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2012届高三数学一轮复习基础导航 6.1平面向量的概念及线性运算


6.1 平面向量的概念及线性运算
【考纲要求】 1、平面向量的实际背景及基本概念 ①了解向量的实际背景. ②理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. ③理解向量的几何表示. 2、向量的线性运算 ① 掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. ② 掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义. ③了解向量线性运算的性质及其几何意义. 【基础知识】

r

uuu r

1、向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量。一般用 a 或 AB 表示。 2、有向线段的定义:带有方向的线段叫有向线段。有向线段包括起点、方向、长度。 所以向量可以用有向线段来表示。

uuu r

uuu r

3、模的定义:向量 AB 的长度叫向量的模,记作 AB . 4、几个特殊的向量 (1)零向量:长度为零的向量。零向量的方向是任意的。零向量和任意一个向量的方向 平行。 (2)单位向量:长度为 1 个单位长度的向量。 5、向量的关系 (1)平行向量(共线向量) :方向相等或相反的向量,叫平行向量。由于平行向量可以自 由平移到一条直线上,所以平行向量又叫共线向量。共线向量不一定在一条直线上。 (2)相等向量的定义:长度相等方向相同的向量叫做相等向量。 (3)相反向量的定义:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 6、向量的加法和减法运算 向量的运算 几何表示 代数表示

C
uuu uuu uuur r r AB + BC = AC

A
向量的加法

B

D A B

C

uuu uuur uuur r AB + AD = AC

用心

爱心

专心

1

C
uuur uuu uuu r r AC ? AB = BC
向量的减法

A

B

向量加法的三角形法则可推广到多个向量相加:AB + BC + CD + ? ? ? + PQ + QR = AR 7、向量的数乘 (1)定义:求实数 λ 与向量 a 的乘积的运算叫向量的数乘,记作 λ a 。 (2)向量的数乘结果还是一个向量。 当 λ > 0 时, λ a 与 a 的方向相同,且 当 λ < 0 时, λ a 与 a 的方向相反,且 (3)结论 ①向量共线定理:如果向量 a 为非零的向量,那么向量 b 与向量 a 共线 ? 有且只有一个 实数 λ ,使得 b = λ a ; ② A, B, C 三点共线 ? AB = λ BC

r

r

r r

r r

λa = λ a ; λ a = ?λ a 。
r r
r r

r

r

r

r

r

uuu r

uuu r

uuu r uuu r AB ③向量 uuu 表示与向量 AB 方向相同的单位向量。 r AB
8、温馨提示 (1)向量手写体必须在字母的上方加一个“→” 。 (2)注意零向量这个特殊的向量。它的方向是任意的,长度是零。 (3)注意向量它既有方向,又有长度。 (4)解向量题时,由于向量属于几何范畴,所以要注意画图分析,注意平面几何知识(相 似、比例等)的运用,利用数形结合的思想分析解答。 (5) a || b ? a = λ b, 只有 b ≠ 0 才是正确的。而当 b = 0 时, a || b 是 a = λ b 的必要非 充分条件。 (6)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件。 (7)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合) ,而向量平行则包括共 线(重合)的情况。 【例题精讲】 例 1 若 a,b 是两个不共线的非零向量,t∈R,若 a,b 起点相同,t 为何值时,a,tb, 1 (a+b)三向量的终点在一条直线上? 3

用心

爱心

专心

2

1 解:设 a-tb=m[a- (a+b)],m∈R, 3 2 m ? ? ? ? 化简得? m-1?a=? -t?b, ?3 ? ?3 ? ∵a 与 b 不共线,

?2m-1=0 ?3 ∴? m ?3-t=0 ?

?m=3, ? 2 ?? 1 ?t=2. ?

1 1 ∴t= 时,a,tb, (a+b)的终点在一条直线上. 2 3 例 2 设 a、b 是不共线的两个非零向量, (1)若 OA = 2a ? b, OB = 3a + b, OC =a-3b,求证:A、B、C 三点共线; (2)若 8a+kb 与 ka+2b 共线,求实数 k 的值. 解:(1)证明:∵ AB = (3a+b)-(2a-b)=a+2b.

uuu r

uuu r

uuur

uuu r

uuu r
uuu r

uuu r

而 BC =(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2 AB,

uuu r

∴ AB 与 BC 共线,且有公共端点 B, ∴A、B、C 三点共线.[.Com] (2)∵8a+kb 与 ka+2b 共线, 存在实数 λ 使得 8a+kb=λ(ka+2b)A(8-λk)a+(k-2λ)b=0, ∵a 与 b 是不共线的两个非零向量,
? ?8-λk=0, ∴? ?k-2λ=0, ? ∴k=2λ=±4.

?8=2λ ?λ=±2,

2

6.1 平面向量的概念及线性运算强化训练 【基础精练】 1.已知 λ∈R,则下列命题正确的是 A. |λa|=λ|a| C.|λa|=|λ||a| B.|λa|=|λ|a D.|λa|>0 ( )

r uuu
2.如图所示,D 是△ABC 的边 AB 的中点,则向量 CD =

用心

爱心

专心

3

A. ? CD + C. BC ?

r uuu

r 1 uuu BA 2

B. ? BC + D BC +

r uuu

r 1 uuu BA 2

uuu r

r 1 uuu BA 2

uuu r

r 1 uuu BA 2
)

3.如图,D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、BC、CA 的中点,则( A. AD + BE + CF = 0 B. BD + CE + DF = 0 C. AD + CE + CF = 0 D. BD + BE + FC = 0 4.(2010· 苏 州 模 拟 ) 若 ( ) A.都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 B.一定不可能构成三角形 C.都是非零向量时能构成三角形 D.一定可构成三角形

r uuu uuu uuu r r

r uuu uuu uuur r r uuu uuu uuu r r

uuu uuu uuu r r r

a + b + c = 0 , 则

a 、 b 、 c

且 5.已知 O 为△ABC 内一点, OA + OC + 2OB = 0, 则△AOC 与△ABC 的面积之比是( A.1∶2 B.1∶3 C.2∶3 D.1∶1

r uuu uuu r

r uuu

)

6.已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足 PA + PB + PC = AB , 则点 P 与△ABC 的关系为 A.P 在△ABC 内部 C.P 在 AB 边所在直线上 B.P 在△ABC 外部 D.P 是 AC 边的一个三等分点 ( )

r uuu uuu uuu r r

r uuu

uuu r r uuu
a,b 表示).

uuur
r uuu

uuu r

uuu r uuur

uuur uuur

7.在△ABC 中, BD = 2DC , AD =m AB +n AC ,则 =

m n

.

r uuuu
(用

8.在?ABCD 中,AB =a,AD =b,AN =3 NC , 为 BC 的中点, MN = M 则

9.如图,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、

r uuu

r uuuu

uuur
.

N,若 AB =m AM ,=n AN ,则 m+n 的值为

r uuu

r uuu

10.设 i、j 分别是平面直角坐示系 Ox,Oy 正方向上的单位向量,且 OA =-2i+mj,OB

用心

爱心

专心

4

r uuu
=ni+j, OC =5i-j,若点 A、B、C 在同一条直线上,且 m=2n,求实数 m、n 的值.

11.已知 P 为△ABC 内一点,且 3 AP + 4 BP + 5CP = 0. 延长 AP 交 BC 于点 D,若 AB =a,

r uuu

r uuu

r uuu

r uuu

uuur uuu uuu r r AC =b,用 a、b 表示向量 AP 、 AD .

【拓展提高】 1.如图所示,△ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N 在 AC 边上,且 AN=2NC,AM 与 BN 相交于点 P,求 APAPM 的值.

2.设 a、b 是不共线的两个非零向量,

r uuu

r uuu

r uuu

(1)若 OA =2a-b, OB =3a+b, OC =a-3b, 求证:A、B、C 三点共线; (2)若 8a+kb 与 ka+2b 共线,求实数 k 的值;

r uuuu

uuur

r uuu

(3)设 OM =ma, ON =nb, OP =α a+β b,其中 m、n、α、β 均为实数,m≠0,

n≠0,若 M、P、N 三点共线,
求证: + =1.

α β m n

【基础精练参考答案】
用心 爱心 专心 5

1.C 解析:当 λ<0 时,|λa|=λ|a|不成立,A 错误;|λa|应该是一个非负实数,而 非向量,所以 B 不正确;当 λ=0 或 a=0 时,|λa|=0,D 错误. 2.A 解析: BD = CB + BD = ? BC + 3.A 解析: AD + BE + CF =

r uuu

r uuu uuu r

r uuu

1 uuur BA. 2

uuur uuu uuu r r

r r r 1 uuu 1 uuu 1 uuu AB + BC + CA 2 2 2

r r r 1 uuu uuu uuu = ( AB + BC + CA) = 0. 2
4.A 解析:若 a、b、c 均为共线向量时也可以使 a+b+c=0,但是无法构成三角形或者 若 a、b、c 为两两夹角都为 120°,且模相等时 a+b+c=0,但也无法构成三角形. 5.A 解析:设 AC 的中心点为 D 则 OA + OC = 2OD , ∴ OA + OC + 2OB = 2OD + 2OB = 0, ∴ OD = ? OB 即点 O 为 AC 边上的中线 BD 的中点, ∴

r uuu uuu r

r uuu

r uuu uuu r

r uuu

r uuu

r uuu

r uuu

r uuu

S△AOC 1 = . S△ABC 2

6.D 解析:∵ PA + PB + PC = AB , ∴ PA + PB + PC = PB ? PA, ∴ PC = ?2 PA = 2 AP , ∴P 是 AC 边的一个三等分点. 1 7. 解:法一: 2

r uuu uuu uuu r r

r uuu

r uuu uuu uuu r r

r uuu uuu r

r uuu

r uuu

r uuu

uuur uuu uuu uuu 2 uuu r r r r AD = AB + BD = AB + BC , 3 uuu 2 uuur uuu r r r r 1 uuu 2 uuu = AB + ( AC ? AB ) = AB + BC . 3 3 3
1 2 m 1 ∴ m= , n= , = 3 3 n 2 法二:∵ BD = 2 DC , ,∴ AD ? AB , =2( AC ? AD )

r uuu

uuur

uuur uuu r

uuur uuu r

uuu 1 uuu 2 uuur r r 1 2 m 1 ∴ AD = AB + AC ,得 m= ,n= .∴ = . n 2 3 3 3 3 uuur uuur uuur uuur 1 1 8. - a+ b 解析:由 AN = 3 NG , 得 4 AN = 3 AN =3(a+b), 4 4 uuur 3 uuuu r 1 即 AN = (a+b),又∵ AM =a+ b, 4 2
用心 爱心 专心 6

uuuu uuur uuuu 3 r r 1 1 1 ∴ MN = AN ? AM = (a+b)-(a+ b)=- a+ b. 4 2 4 4

uuur 1 uuu uuur r 9.2 解析: AO = ( AB + AC ) 2
= AM + AN , 2 2 ∵M、O、N 三点共线,∴ + =1, 2 2 ∴m+n=2. 10.解: AB = OB ? OA =(n+2)i+(1-m)j,

r m uuuu

n uuur

m n

r uuu

r uuu uuu r

r uuu uuu uuu r r BC = OC ? OB =(5-n)i+(-2)j. r uuu uuu r ∵点 A、B、C 在同一条直线上,∴ AB ∥ BC , uuu r uuu r 即 AB =λ BC ,
∴(n+2)i+(1-m)j=λ[(5-n)i+(-2)j],

? n + 2 = λ (5 ? n) ?m = 3 ?m = 6 ? ? , 解得 ? 或? 3 ?1 ? m = ?2λ ?n = 3 ?n = . ? m = 2n 2 ? ? uuu uuu uuu uuu r r r r uuu uuu uuu r r r 11.解:∵ BP = AP ? AB = AP ? a , CP = AP ? AP ? b, uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 又 3 AP + 4 BP + 5CP =0,∴ 3 AP + 4( AP ? a ) + 5( AP ? b ) =0,
uuu 1 r 5 化简,得 AP = a+ b. 3 12 r uuu r uuu
设 AD =t AP (t∈R),

uuu 1 r 5 则 AD = ta+ tb.① 3 12 r uuu

r uuu

r uuu

uuur

r uuu

又设 BD =k BC (k∈R),由 BC = AC - AB =b-a,得

r uuu uuu r uuu uuu r r uuu r BD =k(b-a).而 AD = AB + BD =a+ BD , uuu r ∴ AD =a+k(b-a)=(1-k)a+kb.②

?1 ? 3 t = 1 ? k, 4 ? 由①②,得 ? 解 得t = . 3 ? 5 t = k. ? 12 ?
uuu 4 5 r 代入①,有 AD = a+ b. 9 9
【拓展提高参考答案】

用心

爱心

专心

7

r uuu
2.解:(1)证明:∵ AB =(3a+b)-(2a-b)=a+2b,

r uuu
r uuu

r uuu

而 BC =(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2 AB ,

r uuu

∴ AB 与 BC 共线,且有公共端点 B, ∴A、B、C 三点共线. (2)∵8a+kb 与 ka+2b 共线, ∴存在实数 λ, 使得(8a+kb)=λ(ka+2b)?(8-λk)a +(k-2λ)b=0, ∵a 与 b 不共线,

?8 ? λ k = 0 ? 8 = 2λ = ±2 ∴ k = 2λ = ±4. ? ? k ? 2λ = 0
(3)证明:∵M、P、N 三点共线,∴存在实数 λ,使得 MP = λ PN ,

uuur

uuur

uuuu r uuur r uuu OM + λ ON m λn ∴ OP = = a+ b. 1+λ 1+λ 1+ λ

m ? ?α = 1 + λ , ? ∵a、b 不共线,∴ ? ?β = λn ? 1+ λ ?


α β 1 λ + = + =1. m n 1+λ 1+λ

用心

爱心

专心

8


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