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降次——解一元二次方程


22.2
情境感知

降次——解一元二次方程

我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题: “直田积 (矩形面积) , 八百六十四 (平方步) , 只云阔(宽)不及长十二步(宽比长少 12 步) ,问阔及长各几步?”

基础准备
一、配方法 1.配方法的定义 把一元二次方程的左边化成一个____________________, 右边变成一个___________. 通 过这种形式解一元二次方程的方法,叫做配方法. 2.用配方法解一元二次方程的步骤 (1)如果二次项系数不是 1,就在方程两边同时除以_____________,将其化为 1; (2)把___________移到方程的右边; (3)方程两边都加上_________________的平方,使方程的左边变为一个完全平方式; (4)如果方程的右边是一个非负数,根据平方根的定义解方程. 问题 1.用配方法解方程: x ? 10 x ? 9 ? 0 .
2

二、公式法 3.一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的根可用式子______________________求得,
2

这个式子叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法. 问题 2.用公式法解方程: x ? x ? 6 ? 0 .
2

4.求根公式中的____________叫做一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的根判别式.
2

(1)当__________时,一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 有两个不相等的实数根;
2

(2)当__________时,一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 有两个相等的实数根;
2

(3)当__________时,一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 没有实数根. 问题 3.不解方程,判断下列关于 x 的方程的根的情况: (1) 4 x ? 5 ? 4 5x ; (2) x2 ? 2mx ? 4 ? m ?1? ? 0 .
2

三、因式分解法 5.对于一元二次方程,一边是_________,另一边化为两个_____________的乘积,再 使这两个因式分别等于 0,从而实现降次,这种方法叫做因式分解法. 问题 4.用因式分解法解下列方程
2 (1) x ? 2 3x ? 0 ; (2) x ? 3x ? 18 ? 0 .
2

要点探究
探究 1.一元二次方程四种解法的选择 例 1.用适当的方法解下列方程. (1) x ? 7 x ? 1 ? 0 . (2) x ? 2 x ? 0 . (3) x ? 16 ? 0 . (4) x ? x ? 4? ? ?4 .
2 2 2

解析:针对方程特点选择最简捷的方法解题.
2 答案: ( 1 ) a ? 1 , b ? ?7 , c ? ?1 , b ? 4ac ? ? ?7 ? ? 4 ?1? ? ?1? ? 53 ? 0 , 2

x?

? ? ?7 ? ? 53 7 ? 53 7 ? 53 7 ? 53 ,∴ x1 ? , x2 ? . ? 2 2 2 ?1 2
(2)因式分解,得 x ? x ? 2? ? 0 ,∴ x ? 0 或 x ? 2 ? 0 ,∴ x1 ? 0 , x2 ? ?2 . (3)移项,得 x ? 16 ,∴ x1 ? 4 , x2 ? ?4 .
2
2 (4)将方程化为一般形式 x ? 4 x ? 4 ? 0 ,即 ? x ? 2 ? ? 0 ,∴ x1 ? x2 ? 2 .
2

智慧背囊:一元二次方程解法的选择顺序:先特殊,后一般,即先考虑是否可以用直接 开平方法,若不能,则看能否用因式分解法,再考虑用公式法,一般没有特殊说明不用配方 法,因为配方法比较麻烦,四种解法中最简单的是直接开平方法,最常用的是公式法. 活学活用:选择适当的方法解下列方程:

2 2 2 (1) x ? 2 x ? 3 ? 0 ; (2) x ? 9 ; (3) 2 ? x ? 1? ? x ? 1 ; (4) x ? 2 x ? ?1 .
2

探究 2.一元二次方程的判别式 例 2.不解方程,判断下列方程根的情况.
2 2 (1) 2 x ? 3x ? 4 ? 0 ; (2) 16 y 2 ? 9 ? 24 y ; (3) 5 x ? 1 ? 7 x ? 0 .

?

?

解析:先将方程化成一般形式,确定 a , b , c 的值,再计算 b ? 4ac 的值,并与 0 进
2

行比较.
2 2 答案: (1)∵ a ? 2 , b ? 3 , c ? ?4 ,∴ b ? 4ac ? 3 ? 4 ? 2 ? ? ?4? ? 41 ? 0 ,∴原

方程有两个不相等的实数根. (2)原方程可变形为 16 y 2 ? 24 y ? 9 ? 0 ,∵ a ? 16 , b ? ?24 , c ? 9 ,∴ b ? 4ac
2

? ? ?24 ? ? 4 ?16 ? 9 ? 0 ,∴原方程有两个相等的实数根.
2

2 2 a c ? ? ?7 ? (3) 原方程可变形为 5 x ? 7 x ? 5 ? 0 , ∵ a ? 5 ,b ? ?7 ,c ? 5 , ∴b ? 4

2

?4 ? 5 ? 5 ? 49 ? 100 ? ?51 ? 0 .∴原方程没有实数根.
智慧背囊:判断方程根的情况的关键是准确计算 b ? 4ac 的值,并将其与 0 进行比较.
2

活学活用:不解方程,判断下列方程根的情况. (1) x ? 4 3x ? 10 ? 0 ; (2) 3x ?
2

2 ? x ? 1?? x ? 1? .

例 3.已知关于 x 的方程 kx ? 4kx ? k ? 5 ? 0 有两个相等的实数根,求 k 的值,并解这
2

个方程. 解析:若一元二次方程有两个相等的实数根,则 b ? 4ac ? 0 .解题时注意题中隐含条
2

件二次项系数 k ? 0 .
2 2 b ? ?4k ,c ? k ? 5 , 答案: ∵a ? k, ∴ b ? 4ac ? ? ?4k ? ? 4k ? k ? 5 ? ? 12k ? 20k . 2

∵ 方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 , ∴ b ? 4ac ? 0 , 即
2

12k 2 ? 20 k ? 0, 解 得 k1 ? 0 ,

5 5 k2 ? ? .当 k ? 0 时,原方程不是一元二次方程,∴ k ? 0 不合题意,舍去,当 k ? ? 时, 3 3
原方程化为 x ? 4 x ? 4 ? 0 ,解得 x1 ? x2 ? 2 .
2

智慧背囊: 对于一次项系数含有字母的一元二次方程, 在用根的判别式时必须考虑题目 中的隐含条件,即二次项系数不能等于 0. 活学活用:已知关于 x 的方程 ? m ?1? x2 ? 2mx ? m ? 3 ? 0 有两个不相等的实数根,求

m 的取值范围.

随堂尝试
A 基础达标
1.选择题 (1)一元二次方程 x ? 4 ? 0 的解是(
2



(A) x ? 2 . (B) x ? ?2 . (C) x1 ? 2 , x2 ? ?2 . (D) x1 ? 2 , x2 ? ? 2 . (2)方程 x ? x ? 0 的解是(
2



(A) x ? ?1 . (B) x ? 0 . (C) x ? 1 . (D) x1 ? 0 , x2 ? ?1 . (3)用配方法将代数式 a ? 4a ? 5 变形的结果是(
2
2 2


2 2

(A) ? a ? 2 ? ? 1. (B) ? a ? 2 ? ? 1 . (C) ? a ? 2 ? ? 1. (D) ? a ? 2 ? ? 1 . (4)已知 x ? 8x ? k 是完全平方式,则 k 的取值是(
2 2



(A)4. (B) ? 4. (C) ?4 . (D)16. (5)下列方程中,无实数根的是(
2


2

7 x2 ? 0 . (A) (B) (C) (D) ? x ? 1? ? 16 . ? x ? 1? ? 2 ? 0 . ? x ?1?? x ?1? ? ?2 .
2.填空题 (1)对于方程 3x ? 16 x ,用_____________法解最简便.
2

2 (2)当 y ? _____________时,代数式 y ? 7 y ? 6 的值与 y ? 1 的值相同.

(3)当 x ? _____________时,最简二次根式 x2 ? 3x 和 x ? 15 是同类二次根式. (4)一个三角形两边长为 2 和 4,第三边长适合方程 2 x ? 10 x ? 12 ? 0 ,则三角形的
2

周长为_____________. 3.用适当的方法解下列方程:

1? ? 2 (1) 9 ? x ? ? ? 4 ; (2) x ? x ? 6 ? 0 ; 3? ?

2

(3) y ? 3 y ? 1 ? 0 ; (4)
2

2 2 1 1 x ? x ? ? 0. 3 6 2

4.若关于 x 的方程 ? m ? 2? x ? (2m ? 1) x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根,求 m 的取值
2

范围.

B 能力升级
5.试分别写出一个一元二次方程,使它的两根: (1)一根是 0,一根是负数; (2)一根是正数,另一根是在 ? 2 与 ? 1 之间.

2 6. 已知实数 a ,b ,c 满足 a ? 3a ? 2 ? b ? 1 ? ? c ? 3? ? 0 , 求方程 ax ? bx ? c ? 0
2 2

的根.

7. 若规定两个数 a ,b 通过运算得 4ab , 即 a △ b ? 4ab , 例如: 2△6 ? 4 ? 2 ? 6 ? 48 . (1)求 3△5 的值; (2)求 x △ x ?2 △ x ? 2△4 ? 0 中 x 的值; (3)若不论 x 是什么数时,总有 a △ x ? x ,求 a 的值.

C 感受中考
8.下列关于 x 的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是(
2 2 2 2



(A)x ? 4 ? 0 . (B)4 x ? 4 x ? 1 ? 0 . (C)x ? x ? 3 ? 0 . (D)x ? 2 x ? 1 ? 0 . 9.方程 x ? 2 x ? 0 的解为_____________.
2

10.已知关于 x 的一元二次方程 x ? 4 x ? m ? 1 ? 0 .
2

(1)请你为 m 选取一个合适的整数,使得到的方程有两个不相等的实数根; (2)设 ? , ? 是(1)中你所得到的方程的两个实数根,求 ? 2 ? ? 2 ? ?? 的值.

课后实践
高次方程有求根公式吗 一元二次方程有求根公式, 一般的一元三次方程、 一元四次方程等高次方程是否也有类 似的求根公式呢? 数学家们也曾提出过类似的问题,在意大利的数学家们之间还发生了一连串有趣的故 事. 1535 年,意大利数学家塔尔塔利亚与另一位数学家举行了一场数学比赛,双方各出 30 个三次方程的问题,限 30 日交卷,约定谁解出的题目多谁就获胜,结果塔尔塔利亚取得了 胜利.这次胜利促使塔尔塔利亚进一步潜心研究一般三次方程的解法.1541 年,他终于完 全解决了三次方程的求解问题. 意大利米兰城有个学者卡尔达诺听说塔尔塔利亚会三次方程的解法, 就多次向塔尔塔利 亚恳求教他,并保证严守秘密,不告诉别人.当塔尔塔利亚把这个方法告诉了他之后,卡尔 达诺却将其公开发表,因此现在还习惯称三次方程的求解公式为卡尔达诺公式.当然,塔尔 塔利亚大为光火,两人为此曾展开公开论战. 一元三次方程一经解出,一元四次方程的解法很快就被卡尔达诺的学生费拉里获得.

此后 200 多年的时间里, 推求四次以上高次方程的解法的人不可胜数, 但都没有结果. 久 而久之, 人们怀疑这个问题难以解决. 挪威数学家阿贝尔证明了一般的五次及五次以上的方 程都不可能有公式解法.而代数方程可解性问题的完满解决应归功于法国数学奇才伽罗瓦, 他的成果被后人称之为伽罗瓦理论.


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