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北京市朝阳区高三年级数学学科测试综合练习


北京市朝阳区高三年级数学学科测试综合练习 (理工类) 2013.4 (考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. (1) 为虚数单位,复数 的虚部是 A. B. C

. D. (2)已知集合 , ,则 A. B. C. D. (3)已知向量 , .若 ,则实数 的值为 A. B. C. D. (4)在极坐标系中,直线 与曲线 相交于 两点, 为极点,则 的 大小为 A. B. C. D. (5)在下列命题中, ①“ ”是“ ”的充要条件; ② 的展开式中的常数项为 ; ③设随机变量 ~ ,若 ,则 . 其中所有正确命题的序号是 A.② B.③ C.②③ D.①③ (6)某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三 视图如图所示,则这个几何体的体积为 A. B. C. D. 8 (7)抛物线 ( > )的焦点为 ,已知点 , 为抛物线上的两个动点,且满足 .过弦 的中 点 作抛物线准线的垂线 ,垂足为 ,则 的最大值为 A. B. 1 C. D. 2 (8)已知函数 .若 ,使 成立,则称 为函数 的一个“生成点”.函数 的“生成点”共有 A. 1 个 B .2 个 C .3 个 D .4 个 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. (9)在等比数列 中, ,则 , 为等差数列,且 ,则 数列 的前 5 项和等于 . (10)在 中, , , 分别为角 , ,C 所对的边.已知角 为锐角,且 , 则 . (11)执行如图所示的程序框图,输出的结果 S= .

(12)如图,圆 是 的外接圆,过点 C 作圆 的切

线交 的延长线于点 .若 , ,则线段 的长是 ;圆 的 半径是 . (13)函数 是定义在 上的偶函数,且满足 .当 时, .若在区间 上方程 恰有 四个不相等的实数根,则实数 的取值范围是 . (14)在平面直角坐标系 中,已知点 是半圆 ( ≤ ≤ )上的一个动点,点 在线段 的延 长线上.当 时,则点 的纵坐标的取值范围是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 ( )的最小正周期为 . (Ⅰ)求 的值及函数 的单调递增区间; (Ⅱ)当 时,求函数 的取值范围. (16) (本小题满分 13 分) 盒子中装有四张大小形状均相同的卡片,卡片上分别标有数字 .称“从盒中随机抽取一张, 记下卡片上的数字后并放回”为一次试验(设每次试验的结果互不影响) . (Ⅰ)在一次试验中,求卡片上的数字为正数的概率; (Ⅱ)在四次试验中,求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率; (Ⅲ)在两次试验中,记卡片上的数字分别为 ,试求随机变量 的分布列与数学期望 . (17) (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 中,平面 平面 ,且 , .四边形 满足 , , .点 分别为侧棱 上的点, 且 . (Ⅰ)求证: 平面 ; (Ⅱ)当 时,求异面直线 与 所成角的余弦值; (Ⅲ)是否存在实数 ,使得平面 平面 ?若存在, 试求出 的值;若不存在,请说明理由. (18) (本小题满分 13 分) 已知函数 ,其中 . (Ⅰ)求函数 的单调区间; (Ⅱ)若函数 在 上有且只有一个零点,求实数 的取值范围. (19) (本小题满分 14 分) 已知中心在原点, 焦点在 轴上的椭圆 过点 ,离心率为 , 为其右顶点.过点 作直线 与椭 点 圆 相交于 两点,直线 , 与直线 分别交于点 , . (Ⅰ)求椭圆 的方程; (Ⅱ)求 的取值范围. (20) (本小题满分 13 分) 设 是数 的任意一个全排列,定义 ,其中 . (Ⅰ)若 ,求 的值; (Ⅱ)求 的最大值; (Ⅲ)求使 达到最大值的所有排列 的个数. 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试答案(理工类)

2013.4 一、选择题: 题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 答案 A D A C C D A B 二、填空题: 题号 (9) (10) (11) (12) (13) (14) 答案 ,

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题: (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) . ????????????????4 分 因为 最小正周期为 ,所以 . ????????????6 分 所以 . 由 , ,得 . 所以函数 的单调递增区间为[ ], . ??????8 分 (Ⅱ)因为 ,所以 , ?????????????10 分 所以 . ???????????????12 分 所以函数 在 上的取值范围是[ ]. ???????????13 分 (16) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设事件 A:在一次试验中,卡片上的数字为正数,则 . 答:在一次试验中,卡片上的数字为正数的概率是 .??????????3 分 (Ⅱ)设事件 B:在四次试验中,至少有两次卡片上的数字都为正数. 由(Ⅰ)可知在一次试验中,卡片上的数字为正数的概率是 . 所以 . 答:在四次试验中,至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为 .?????7 分 (Ⅲ)由题意可知, 的可能取值为 ,所以随机变量 的可能取值为 . ; ; ; ; ; . 所以随机变量 的分布列为

所以 .????????13 分 (17) (本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)由已知, , 所以 . 因为 ,所以 .

而 平面 , 平面 , 所以 平面 . ????????????????????4 分 (Ⅱ)因为平面 平面 , 平面 平面 ,且 , 所以 平面 . 所以 , . 又因为 , 所以 两两垂直. ????????????????????5 分 如图所示,建立空间直角坐标系, 因为 , , 所以 . 当 时, 为 中点, 所以 , 所以 . 设异面直线 与 所成的角为 , 所以 , 所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .?????????????9 分 (Ⅲ)设 ,则 . 由已知 ,所以 , 所以 所以 . 设平面 的一个法向量为 ,因为 , 所以 即 令 ,得 . 设平面 的一个法向量为 ,因为 , 所以 即 令 ,则 . 若平面 平面 ,则 ,所以 ,解得 . 所以当 时,平面 平面 .????????????????14 分 (18) (本小题满分 1 3 分) 解:函数定义域为 , 且 ????2 分 ①当 ,即 时,令 ,得 ,函数 的单调递减区间为 , 令 ,得 ,函数 的单调递增区间为 . ②当 ,即 时,令 ,得 或 , 函数 的单调递增区间为 , . 令 ,得 ,函数 的单调递减区间为 . ③当 ,即 时, 恒成立,函数 的单调递增区间为 . ?7 分 (Ⅱ)①当 时,由(Ⅰ)可知,函数 的单调递减区间为 , 在 单调递增. 所以 在 上的最小值为 , 由于 , 要使 在 上有且只有一个零点, 需满足 或 解得 或 . ②当 时,由(Ⅰ)可知, (ⅰ)当 时,函数 在 上单调递增;

且 ,所以 在 上有且只有一个零点. (ⅱ)当 时,函数 在 上单调递减,在 上单调递增; 又因为 ,所以当 时,总有 . 因为 , 所以 . 所以在区间 内必有零点.又因为 在 内单调递增, 从而当 时, 在 上有且只有一个零点. 综 上 所 述 , 或 或 时 , 在 上 有 且 只 有 一 个 零 点. ??????????????????????????????????13 分 (19) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)设椭圆的方程为 , 依题意得 解得 , . 所以椭圆 的方程为 . ??????????????????4 分 (Ⅱ)显然点 . (1)当直线 的斜率不存在时,不妨设点 在 轴上方,易得 , ,所 以 . ????????????????6 分 (2)当直线 的斜率存在时,由题意可设直线 的方程为 ,显然 时,不符合题意. 由 得 . 新课 标第 一 网 设 ,则 . 直线 , 的方程分别为: , 令 ,则 . 所以 , . ????????10 分 所以 . ?????????????????12 分 因为 ,所以 ,所以 ,即 . 综上所述, 的取值范围是 . ??????????????14 分 (20) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) . ??3 分 (Ⅱ)数 的 倍与 倍分别如下:

其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为 ,所以 . 对于排列 ,此时 , 所以 的最大值为 . ???????????????????????8 分 (Ⅲ) 由于数 所产生的 个数都是较小的数, 而数 所产生的 个数都是较大的数, 所以使 取 最大值的排列中,必须保证数 互不相邻,数 也互不相邻;而数 和 既不能排在 之一的后 面,又不能排在 之一的前面.设 ,并参照下面的符号排列 △○□△○□△○□△○ 其中 任意填入 个□中,有 种不同的填法; 任意填入 个圆圈○中,共有 种不同的填法; 填入 个△之一中,有 种不同的填法; 填入 个△中,且当与 在同一个△时,既可以在 之 前又可在 之后,共有 种不同的填法,所以当 时,使 达到最大值的所有排列 的个数为 , 由轮换性知,使 达到最大值的所有排列 的个数为 . ???????????13 分


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