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归纳推理1


福 尔 摩 斯

柯南

我们来推测诸葛亮“先生”的推理过程:

1.今夜恰有大雾 2.曹操生性多疑 3.北军不善水战
弓弩利于远战 4.今夜恰有东风 草船借箭必将成功

已知 判断
前提

新的 判断 结论

根据一个或几个已知的判断来确定一个 新的判断的思维过程就叫推理.

? ?


归 纳 合 ? 2. 由三角形内角和为 ,凸四边形内角和 推 180 情 理 ? 推 为 360,?凸五边形内角和为 540,
猜想:凸n边形内角和为 (n ? 2) ?180?. 3.地球上有生命,火星具有一些与地球类 类比 推理 似的特征, 猜想:火星上也有生命.

1.由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电, 猜想:一切金属都能导电.

?

演绎 4.因为所有人都会死,苏格拉底是人, 推理 所以苏格拉底会死.

2.1.1合情推理——归纳推理

铜能导电
铝能导电 金能导电 银能导电

部分 个别
?n ? 2??180 .
?

?

蛇类是用肺呼吸的
一切金属 都能导电. 鳄鱼是用肺呼吸的

海龟是用肺呼吸的
蜥蜴是用肺呼吸的

整 体 一 般

?

爬行动
物都是 用肺呼

吸的

三角形内角和

为 180?
和为 360? 和为

凸四边形内角

凸五边形内角

540?

?

第一个数为2 凸n边形 内角和为 第二个数为4 第三个数为6

第四个数为8

?

第n个 数为2n.

由某类事物的部分对象具有某些特征,推出 该类事物的 全部对象都具有这些特征的推理,或 者由个别事实 概括出一般结论 的推理,称为归纳 推理(简称归纳).

由某类事物的部分对象具有某些特征,推出 该类事物的 全部对象都具有这些特征的推理,或 者由个别事实 概括出一般结论 的推理,称为归纳 推理(简称归纳). 即是由部分到整体,由个别到一般的推理.

你能举出归纳推理 的例子吗?

观察下列等式 6=3+3, 8=3+5, 12=5+7, 14=3+11,

10=3+7, 16=5+11 归纳出一个规律:

偶数=奇质数+奇质数
通过更多特例的检验,从 6开始,没有出现反例.

任何一个不小于6 的偶数都等于两个 奇质数的和.
2n ? p1 ? p2 (n ? N , n ? 3)
?

大胆猜想:

陈氏定理
2n ? p1 ? p2 ? p3

歌德巴赫猜想
四色定理

牛顿发现万有引力
门捷列夫发现元素周期律等等

应用归纳推理可以 发现新事实,获得新结论!

思考题组一:
2n ? 1 1.对于数列1,3,5,7,…,由此你猜想出第 n 个数是____ .
1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? 2n ? 1 ? n . 2.观察右图,可以发现: _____________________
1=12, 1+3=4=22, 1+3+5=9=32, 1+3+5+7=16=42, 1+3+5+7+9=25=52, ??
3.对任意的正整数 n ,猜想 2
n ?1

2

( 第 2 题)

与 (n ? 1) 2 的大小关系. 当 1 ? n ? 6时,2 n ?1 ? (n ? 1) 2 ;当n ? 7时,2 n ?1 ? (n ? 1) 2 ;

当n ? 7时,2 n ?1 ? (n ? 1) 2 .

费马素数猜想 ——一个错误的猜想
一种有趣且有很长历史的数叫费马素数, 这些数是由法国数学家费马在研究数列 Fn ? 22 ? 1 F0 ? 3 F1 ? 5 F2 ? 17 F3 ? 257 F4 ? 65537 的前五项:
n

发现它们都是素数,于是费马就猜想:形 如 Fn ? 22 ? 1 的数都是素数。
n

否定一个猜想只需举出一个反例即可!

F5 ? 2 ? 1 ? 4294967297 ? 641? 6700417
另外,德国数学家希尔伯特1900年在巴黎提出 的著名的“希尔伯特23个问题”。有的尚未解决, 但却极大地促进了数学这门学科的发展和健全.

25

归纳推理的特点: 归纳推理的过程:
实验观察
(1)从特殊到一般; (2)具有创造性;

大胆猜想 验证猜想

(3)具有或然性。
合情推理是冒险的, 有争议的和暂时的. --波利亚

思考题组二: 1.已知数列{an}的第一项 a1 =1, an 且 an ?1 ? ( n =1,2,3,· · · ), 1 ? an 1 an ? n 请归纳出这个数列的通项公式为________.

传说在古老的印度有一座神庙,神庙中有三根针和套在一 根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则, 把圆环从一根针上全部移到另一根针上,第三根针起“过渡” 的作用. 1.每次只能移动1个圆环; 2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天,僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上, 那么世界末日就来临了. 请你试着推测:把 个圆环从1号针移到3号针,最少需要移 动多少次?

n

2

1

3

设 an为把

n=1时,a1=1

n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数,则
第1个圆环从1到3.

2

1

3

设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数,则

a1 =1 n =1时, n=2时,a2=3

第1个圆环从1到3. 前1个圆环从1到2; 第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.

2

1

3

设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数,则 n =1时, a1 =1 第1个圆环从1到3.

n =2时, a2 =3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 前1个圆环从2到3.

n=3时, a3 =7 前2个圆环从1到2;
第3个圆环从1到3;

前2个圆环从2到3.

2

1

3

从 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 7, a4 ? 15,? ? ? ,我们猜 想其通项公式为

an ? 2n ? 1(n ? N * )
根据以上分析,我们可得以下递推公式
?a1 ? 1 ? ?an ? 2an ?1 ? 1(n ? 1)

从这个递推公式出发,可以证明上述通 项公式是正确的.

本课小结
1、归纳推理的含义 2、归纳推理的特点与过程 3、归纳推理的作用

作业
实习作业:(利用网络资源)
孪生素数猜想 ;叙拉古猜想 ; 蜂窝猜想; 费马最后定理; 七桥问题;欧拉回路

探究题: 数列 ?a n ? 满足 ,

猜想此数列的通项公式.

x1 ? 1 x2 ? 0 x3 x4 x5 x6 1 ?? 3 1 ?? 2 3 ?? 5 2 ?? 3

?1 x1 ? 1 ? ? 1 0 x2 ? 0 ? ? 2 1 1 x3 ? ? ? ? 3 3 1 2 x4 ? ? ? ? 2 4 3 3 x5 ? ? ? ? 5 5 2 4 x6 ? ? ? ? 3 6

n?2 猜想: a n ? ? n


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