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河南省南阳市2014届高三第三次高考模拟联考数学(理)试题 Word版含解析


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第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
1.设全集 U 是实数集 R ,集合 M ={x | x 2 ? 2 x}, N={x | log2 ( x ?1) ? 0} ,则 (CU M) A. {x |1 ? x ? 2} B. {x

|1 ? x ? 2} C. {x |1 ? x ? 2} D. {x |1 ? x ? 2}

N 为(



2.设复数 z 满足 ( z ? 1)i ? ?3 ? 2i ( i 为虚数单位) ,则 z 的实部是( A.1 B.2 C.3 D.4



3.等差数列 {an } 中,如果 a1 ? a4 ? a7 ? 39 , a3 ? a6 ? a9 ? 27 ,则数列 {an } 前 9 项的和为( ) A.297 B.144 C.99 D.66

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4.下列命题中正确命题的个数是(
2


2

(1)命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ” ; (2)设回归直线方程 y ? 1 ? 2 x 中, x 增加 1 个单位时, y 一定增加 2 个单位; (3)若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题;
2 (4)对命题 p : ?x0 ? R ,使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ;
2

?

(5)设随机变量 ? 服从正态分布 N (0,1) ,若 P(? ? 1) ? p ,则 P(?1 ? ? ? 0) ? A.2 B.3 C.4 D.5

1 ? p. 2

5.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示,俯视图是变长为 2 的正三角形,侧视图是有一条直角边为 2 的 直角三角形,则该三棱锥的正视图可能为( )

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6.一个算法的程序框图如图,则其输出结果是( A.0 B.



2 2

C.

2 ?1 2

D.

2 ?1

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7.若函数 f ( x) ? 2sin ? x (? ? 0) 的图像在 (0, 2? ) 上恰有一个极大值和一个极小值,则 ? 的取值范围是 ( )

A. ( ,1]

3 4

B. (1, ]

5 4

C. ( , ]

3 4 4 5

D. ( , ]

3 5 4 4

8.已知点 P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( x ? 0, y ? 0) 上的动点, F1 , F2 为椭圆的两个焦点,O 是坐标原点,若 M 16 8


是 ?F 1PF 2 的角平分线上一点,且 F 1M ? MP ? 0 ,则 | OM | 的取值范围是( A. (0,3) B. (0, 2 2) C. (2 2,3) D. (0, 4)

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9.已知 ? , ? ? [ ? A. ? ? ?

? ?

, ] 且 ? sin ? ? ? sin ? ? 0 ,则下面结论正确的是( 2 2
B. ? ? ? ? 0 C. ? ? ? D. ? ? ?
2 2



10.已知 ?ABC 的重心为 G,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 aGA ?bGB ? 为( A. ) B.

3 cGC ? 0 ,则角 A 3

? 6

? 4

C.

? 3

D.

? 2

【答案】A

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11.动圆 C 经过点 F (1, 0) ,并且与直线 x ? ?1 相切,若动圆 C 与直线 y ? x ? 2 2 ? 1 总有公共点,则圆 C 的面积( ) B.有最小值 2? C.有最小值 3? D.有最小值 4?

A.有最大值 8?

12.已知函数 f ( x) ? ? 取值范围为(
2

?| ln x |,(0 ? x ? e) ,若 a,b,c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 a ? b ? c 的 ? 2 ? ln x,( x ? e)
1 e 1 ? 2 e) e

) B. ( ? 2e, 2 ? e )
2

A. (1 ? e,1 ? e ? e )

C. (2 1 ? e2 , 2 ? e2 )

D. (2 1 ? e ,
2

∴ bc ? e ,∴ a ? b ? c ? 2e ?
2

1 1 2 2 , a ? b ? c ? e ? 2 ,∴ a ? b ? c 的取值范围是 ( ? 2e, 2 ? e ) . e e

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第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 13.设实数 x,y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z ? abx ? y ( a ? 0, b ? 0 )的最大值为 8, ? x ? 0, y ? 0 ?
则 a ? b 的最小值为 .

14.设 a ?

?

?

0

x 1 6 (sin x ? 1 ? 2 cos 2 )dx ,则 (a x ? ) ? ( x 2 ? 2) 的展开式中常数项是 2 x
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.

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' ' x 15.已知 f ( x ) 、 g ( x) 都是定义在 R 上的函数, g ( x) ? 0 , f ( x) g ( x) ? f ( x) g ( x) , f ( x) ? a g ( x) ,

5 f (1) f (?1) 5 ? ? ,则关于 x 的方程 abx 2 ? 2 x ? ? 0 ( b ? (0,1) )有两个不同实根的概率为 2 g (1) g (?1) 2

.

16.在三棱锥 S ? ABC 中, AB ? BC , AB ? BC ? 2 , SA ? SC ? 2 ,二面角 S ? AC ? B 的余弦值是

?

3 ,若 S , A, B, C 都在同一球面上,则该球的表面积是 3

.

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三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 1 , Sn?1 ? 2Sn ? n ? 1 (n ? N * ) , (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ?

n * ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , n ? N ,证明: Tn ? 2 . an ?1 ? an

∴ an?1 ? 2an ? 1-----------------------------------------------2 分

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18.某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动,为了了解本次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的 分数 (得分取正整数, 满分为 100 分) 作为样本 (样本容量为 n) 进行统计, 按照 [50,60) , [60,70) , [70,80) , 并作出样本分数的茎叶图 (图中仅列出了得分在 [50,60) , [80,90) , [90,100] 的分组作出频率分布直方图,

[90,100] 的数据).

(1)求样本容量 n 和频率分布直方图中 x,y 的值; (2)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 3 名同学到市政广场参加 环保知识宣传的志愿者活动,设 ? 表示所抽取的 3 名同学中得分在 [80,90) 的学生个数,求 ? 的分布列及 其数学期望.

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19.如图, 正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,AD ? CD ,AB / / CD ,AB ? AD ? 点 M 在线段 EC 上(除端点外). (1)当点 M 为 EC 中点时,求证: BM / / 平面 ADEF ; (2)若平面 BDM 与平面 ABF 所成二面角为锐角,且该二面角的余弦值为 体积.

1 CD ? 2 , 2

6 时,求三棱锥 M ? BDE 的 6

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所以 BM ∥ 平面 ADEF .

………..6 分

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4 x2 y 2 20.已知圆 C1 : x ? y ? ,直线 l : y ? x ? m(m ? 0) 与圆 C1 相切,且交椭圆 C2 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 5 a b
2 2

于 A1 , B1 两点,c 是椭圆的半焦距, c ? 3b . (1)求 m 的值; (2)O 为坐标原点,若 OA 1 ? OB 1 ,求椭圆 C2 的方程; (3)在(2)的条件下,设椭圆 C2 的左右顶点分别为 A,B,动点 S ( x0 , y0 ) ? C2 ( y0 ? 0) ,直线 AS , BS 与 直线 x ?

34 分别交于 M,N 两点,求线段 MN 的长度的最小值. 15

以用 k 表示 S 坐标,利用 B 点坐标,求出直线 BS 的方程,直线 BS 的方程与直线 x ?

34 联立,求出 N 点 15

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设 S ( x0 , y0 ) 则 x0 ? (?2) ?

16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 ? x ? , y 0 ? k ( x0 ? 2) 即 0 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

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21.已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1) , g ( x) ? x ?

1 2 x ,a?R . 2

(1)若 a ? ?1 ,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 0 处的切线方程; (2)若对任意的 x ? [0, ??) ,都有 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 a 的最小值; (3) 设 p( x) ? f( x 1 )? ,a ? 0 , 若 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) 为曲线 y ? p( x) 的两个不同点, 满足 0 ? x1 ? x2 ,

且 ?x3 ? ( x1 , x2 ) ,使得曲线 y ? P( x) 在 ( x3 , f ( x3 )) 处的切线与直线 AB 平行,求证: x3 ?

x1 ? x2 . 2

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x2 ? 1) x2 2( x2 ? x1 ) x1 a ln x2 ? a ln x1 2a ? ? 即 ,变形可得: ln . ? x2 x1 x1 ? x2 x2 ? x1 x1 ? x2 1? x1 2(

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请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.
22.(选修 4-1:几何证明选讲)如图,直线 AB 过圆心 O,交 O 于 F(不与 B 重合) ,直线 l 与 O 相切 于 C,交 AB 于 E,且与 AF 垂直,垂足为 G,连结 AC.
2 求证: (1) ?BAC ? ?CAG ; (2) AC ? AE ? AF .

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23.(选修 4-4:坐标系与参数方程) 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? sin 2 ? ? 4cos? , 直线 l 的参数方程为 ?

? x ? t cos ? 0 ?? ?? ) (t 为参数, . y ? 1 ? t sin ? ?

(1)把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明曲线 C 的形状;

(2)若直线 l 经过点 (1, 0) ,求直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长.

? 3? 2 ?? t ? x ? t cos ? 4 2 (t 为参数) ? 直线 l 的参数方程为 ? 3 ? 2 ? y ? 1 ? t sin ? 1? t ? 4 2 ?

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24.(选修 4-5:不等式选讲) 设 f ( x) ?| x ? a |, a ? R . (1)当 ?1 ? x ? 3 时, f ( x) ? 3 ,求 a 的取值范围; (2)若对任意 x ? R , f ( x ? a) ? f ( x ? a) ? 1 ? 2a 恒成立,求实数 a 的最小值.

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