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2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件


§ 1.2

命题及其关系、充分条件与必要条件

1.命题的概念 可以判断真假、用文字或符号表述的语句,叫作命题.其中判断为真的语句叫真命题, 判断为假的语句叫假命题. 2. 四种命题及相互关系

3. 四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 4. 充分条件与必要条件 (1)如果 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件; (2)如果 p?q,q?p,则 p 是 q 的充要条件.

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“x2+2x-3<0”是命题. (2)“sin 45° =1”是真命题. (3)命题“三角形的内角和是 180° ”的否命题是三角形的内角和不是 180° . (4)若一个命题是真命题,则其逆否命题是真命题. (5)“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的必要不充分条件. 3 (6)若 α∈(0,2π),则“sin α=-1”的充要条件是“α= π”. 2 2. 设 a,b 是向量,命题“若 a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是 A.若 a≠-b,则|a|≠|b| B.若 a=-b,则|a|≠|b| ( × ( × ( × ( √ ( × ( √ ( ) ) ) ) ) ) )

C.若|a|≠|b|,则 a≠-b D.若|a|=|b|,则 a=-b 答案 D 解析 命题“若 a=-b,则|a|=|b|”的逆命题为“若|a|=|b|,则 a=-b”,故选 D. π 3. 命题“若 α= ,则 tan α=1”的逆否命题是 4 π A.若 α≠ ,则 tan α≠1 4 π B.若 α= ,则 tan α≠1 4 π C.若 tan α≠1,则 α≠ 4 π D.若 tan α≠1,则 α= 4 答案 C π π 解析 命题“若 α= ,则 tan α=1”的逆否命题是“若 tan α≠1,则 α≠ ”,故选 C. 4 4 4. (2013· 福建)已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 答案 A 解析 a=3 时 A={1,3},显然 A?B. 但 A?B 时,a=2 或 3.所以 A 正确. 5. (2012· 天津)设 φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 答案 A 解析 由条件推结论和结论推条件后再判断. 若 φ=0,则 f(x)=cos x 是偶函数, 但是若 f(x)=cos(x+φ) (x∈R)是偶函数, 则 φ=π 也成立.故“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件. B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) ( )

题型一 四种命题及真假判断 例1 (1)下面是关于复数 z= p1:|z|=2, p2:z2=2i, p3:z 的共轭复数为 1+i, p4:z 的虚部为-1. 其中的真命题为 A.p2,p3 C.p2,p4 B.p1,p2 D.p3,p4 ( ) 2 的四个命题: -1+i

(2)已知命题“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是增函数,则 m≤1”,则下列结论正 确的是 A.否命题“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是减函数,则 m>1”是真命题 B.逆命题“若 m≤1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是增函数”是假命题 C.逆否命题“若 m>1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是减函数”是真命题 D.逆否命题“若 m>1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真命题 思维启迪 (1)可化简复数 z,再利用复数的知识判断命题真假;(2)利用四种命题的定义 ( )

判断四种命题形式是否正确,可利用四种命题的关系判断命题是否为真. 答案 解析 (1)C (2)D 2?-1-i? 2 (1)z= = =-1-i, -1+i ?-1+i??-1-i?

所以|z|= 2,p1 为假命题;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2 为真命题, z =-1+i,p3 为 假命题;p4 为真命题.故选 C. (2)命题“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是增函数,则 m≤1”是真命题,所以其逆 否命题“若 m>1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真命题. 思维升华 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键; (2)根据“原

命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断 不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假;(3)判断一个命题为假命题可举反例. π 1 (1)命题“若 α= ,则 cos α= ”的逆命题是 3 2 π 1 A.若 α= ,则 cos α≠ 3 2 ( )

π 1 B.若 α≠ ,则 cos α≠ 3 2 1 π C.若 cos α= ,则 α= 2 3 1 π D.若 cos α≠ ,则 α≠ 2 3 (2)命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆否命题是 A.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 B.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 C.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 D.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 答案 解析 (1)C (2)C π 1 (1)命题“若 α= ,则 cos α= ”的逆命题是 3 2 ( )

1 π “若 cos α= ,则 α= ”. 2 3 (2)由于“x,y 都是偶数”的否定表达是“x,y 不都是偶数”,“x+y 是偶数”的否定 表达是“x+y 不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若 x+y 不是偶数,则 x,y 不都是 偶数”,故选 C. 题型二 充要条件的判定 例2 已知下列各组命题,其中 p 是 q 的充分必要条件的是 A.p:m≤-2 或 m≥6;q:y=x2+mx+m+3 有两个不同的零点 f?-x? B.p: =1;q:y=f(x)是偶函数 f?x? C.p:cos α=cos β;q:tan α=tan β D.p:A∩B=A;q:A?U,B?U,?UB??UA 思维启迪 首先要分清条件和结论,然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考 问题,做出判断. 答案 D 解析 对于 A,由 y=x2+mx+m+3 有两个不同的零点,可得 Δ=m2-4(m+3)>0,从而 可得 m<-2 或 m>6.所以 p 是 q 的必要不充分条件; f?-x? f?-x? 对于 B, 由 =1?f(-x)=f(x)?y=f(x)是偶函数, 但由 y=f(x)是偶函数不能推出 f?x? f?x? =1,例如函数 f(x)=0,所以 p 是 q 的充分不必要条件; 对于 C,当 cos α=cos β=0 时,不存在 tan α=tan β,反之也不成立,所以 p 是 q 的既不 充分也不必要条件; 对于 D,由 A∩B=A,知 A?B,所以?UB??UA; ( )

反之,由?UB??UA,知 A?B,即 A∩B=A. 所以 p?q. 综上所述,p 是 q 的充分必要条件的是 D. 思维升华 充要条件的三种判断方法 (1)定义法:根据 p?q,q?p 进行判断; (2)集合法:根据 p,q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断; (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题 进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1 或 y≠1” 的何种条件,即可转化为判断“x=1 且 y=1”是“xy=1”的何种条件. (1)(2012· 福建)已知向量 a=(x-1,2), b=(2,1), 则 a⊥b 的充要条件是( 1 A.x=- 2 C.x=5 B.x=-1 D.x=0 )

(2)设集合 A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B” 是“x∈C”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 答案 解析 (1)D (2)C (1)∵a=(x-1,2),b=(2,1), B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

∴a· b=2(x-1)+2×1=2x. 又 a⊥b?a· b=0,∴2x=0,∴x=0. (2)因为 A={x|x-2>0}={x|x>2}=(2,+∞), B={x|x<0}=(-∞,0), 所以 A∪B=(-∞,0)∪(2,+∞), C={x|x(x-2)>0}={x|x<0 或 x>2} =(-∞,0)∪(2,+∞). 即 A∪B=C.故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件. 题型三 充分条件与必要条件的应用 例3
?log2x,x>0, ? (1)函数 f(x)=? x 有且只有一个零点的充分不必要条件是 ? ?-2 +a,x≤0

(

)

A.a<0 1 C. <a<1 2

1 B.0<a< 2 D.a≤0 或 a>1

(2)设 p:|4x-3|≤1,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若非 p 是非 q 的必要不充分条件,

则实数 a 的取值范围是 1? A.? ?0,2? 1 ? C.(-∞,0]∪? ?2,+∞? 思维启迪 1? B.? ?0,2? 1 ? D.(-∞,0)∪? ?2,+∞?

(

)

(1)根据图像交点先求得 f(x)有一个零点的充要条件,再利用“以小推大”(集

合间关系)判定;(2)考虑条件所对应集合间的包含关系. 答案 解析 (1)A (2)A (1)因为函数 f(x)过点(1,0), 所以函数 f(x)有且只有一个零点?函数 y=-2x+a(x≤0)

没有零点?函数 y=2x(x≤0)与直线 y=a 无公共点.由数形结合,可得 a≤0 或 a>1. 观察选项,根据集合间关系{a|a<0} {a|a≤0 或 a>1}, ∴答案选 A. (2)p:|4x-3|≤1?-1≤4x-3≤1, 1 ∴ ≤x≤1; 2 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0?(x-a)[x-(a+1)]≤0, ∴a≤x≤a+1. 1 1 ? ? ?a≤2, ?a<2 1 由题意知 p 是 q 的充分不必要条件,故有? 或? ,则 0≤a≤ . 2 ? ? ?a+1>1, ?a+1≥1 思维升华 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意: (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系 列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. (1)若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,则 a 的最大值为________. x2 y2 (2)已知命题 p:实数 m 满足 m2+12a2<7am(a>0),命题 q:实数 m 满足方程 + m-1 2-m =1 表示的焦点在 y 轴上的椭圆, 且 p 是 q 的充分不必要条件, 则 a 的取值范围为_______. 答案 解析 1 3? (1)-1 (2)? ?3,8? (1)由 x2>1,得 x<-1,或 x>1.

又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件, 知由“x<a”可以推出“x2>1”,反之不成立, 所以 a≤-1,即 a 的最大值为-1. (2)由 a>0,m2-7am+12a2<0,得 3a<m<4a,即命题 p:3a<m<4a,a>0. 由 x2 y2 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, m-1 2-m

3 可得 2-m>m-1>0,解得 1<m< , 2 3 即命题 q:1<m< . 2 因为 p 是 q 的充分不必要条件, 3a>1, 3a≥1, ? ? ? ? 1 3 所以? 或? 解得 ≤a≤ , 3 3 3 8 ?4a≤2 ? ? ?4a<2, 1 3? 所以实数 a 的取值范围是? ?3,8?.

等价转化思想在充要条件中的应用

3 3 典例: (12 分)已知集合 A={y|y=x2- x+1, x∈[ , 2]}, B={x|x+m2≥1}. p: x∈A, q: x∈B, 2 4 并且 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围. 思维启迪 (1)先对集合进行化简;

(2)将条件间的关系转化为集合间的包含关系; (3)利用集合间的关系列出关于 m 的不等式,求出实数 m 的范围. 规范解答 解 化简集合 A,

3 由 y=x2- x+1. 2 3?2 7 配方,得 y=? ?x-4? +16. 3 ? ∵x∈? ?4,2?, ∴ymin= 7 ,y =2. 16 max

7 ? ∴y∈? ?16,2?.
? 7 ? ? ∴A=?y? ?16≤y≤2 . ? ?

[4 分]

化简集合 B,由 x+m2≥1, 得 x≥1-m2,B={x|x≥1-m2}. ∵命题 p 是命题 q 的充分条件, ∴A?B. [8 分] [6 分]

7 3 3 ∴1-m2≤ ,解得 m≥ ,或 m≤- . 16 4 4 3? ?3 ? ∴实数 m 的取值范围是? ?-∞,-4?∪?4,+∞?.

[11 分] [12 分]

温馨提醒 本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏 的问题转化为简单、熟悉的问题来解决.一般地,在涉及字母参数的取值范围的充要关 系问题中,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是破解此类问题的关键.

方法与技巧 1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定 义来写;在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时,要借助原命题与其逆 否命题同真或同假,逆命题与否命题同真或同假来判定. 2.充要关系的几种判断方法 (1)定义法:直接判断若 p 则 q、若 q 则 p 的真假. (2)等价法:即利用 A?B 与綈 B?綈 A;B?A 与綈 A?綈 B;A?B 与綈 B?綈 A 的等价 关系,对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断:设 A={x|p(x)},B={x|q(x)},若 A?B,则 p 是 q 的充 分条件或 q 是 p 的必要条件;若 A=B,则 p 是 q 的充要条件. 失误与防范 1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时,必须保留大前提,也就是大前提不动. 2. 判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若 p 则 q”的形式. 3. 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正确理解“p 的一个充分而不必要条 件是 q”等语言.

A 组 专项基础训练 (时间:30 分钟) 一、选择题 1. 命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是 A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” ( )

C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 答案 B 解析 依题意,得原命题的逆命题:若一个数的平方是正数,则它是负数. 2. 下列命题中为真命题的是 A.命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题 B.命题“若 x>1,则 x2>1”的否命题 C.命题“若 x=1,则 x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若 x2>0,则 x>1”的逆否命题 答案 A
? ?y ?y≥0? 解析 对于 A,其逆命题:若 x>|y|,则 x>y,是真命题,这是因为 x>|y|=? , ?-y ?y<0? ?

(

)

必有 x>y;对于 B,否命题:若 x≤1,则 x2≤1,是假命题.如 x=-5,x2=25>1;对于 C,其否命题:若 x≠1,则 x2+x-2≠0,因为 x=-2 时,x2+x-2=0,所以是假命题; 对于 D,若 x2>0,则 x>0 或 x<0,不一定有 x>1,因此原命题的逆否命题是假命题,故 选 A. 3. 已知集合 M={x|0<x<1},集合 N={x|-2<x<1},那么“a∈N”是“a∈M”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 答案 B 解析 因为 M N,所以 a∈M?a∈N,反之,则不成立,故“a∈N”是“a∈M”的必 要而不充分条件.故选 B. 4. 与命题“若 a,b,c 成等比数列,则 b2=ac”等价的命题是 A.若 a,b,c 成等比数列,则 b ≠ac B.若 a,b,c 不成等比数列,则 b2≠ac C.若 b2=ac,则 a,b,c 成等比数列 D.若 b2≠ac,则 a,b,c 不成等比数列 答案 D 解析 因为原命题与其逆否命题是等价的,所以与命题“若 a,b,c 成等比数列,则 b2 =ac”等价的命题是“若 b2≠ac,则 a,b,c 不成等比数列”. 5. 已知向量 a=(m2,-9),b=(1,-1),则“m=-3”是“a∥b”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 A B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )
2

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(

)

解析 当 m=-3 时,a=(9,-9),b=(1,-1),则 a=9b, 所以 a∥b,即“m=-3”?“a∥b”; 当 a∥b 时,m2=9,得 m=± 3, 所以不能推得 m=-3,即“m=-3”D?/“a∥b”. 故“m=-3”是“a∥b”的充分不必要条件. b 6.有设 a,b∈R,i 是虚数单位,则“ab=0”是“复数 a+ 为纯虚数”的 i A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 B b 解析 复数 a+ =a-bi 为纯虚数,则 a=0,b≠0, i b 而 ab=0 表示 a=0 或 b=0, 故“ab=0”是“复数 a+ 为纯虚数”的必要不充分条件. 故 i 选 B. 7. 给出命题:若函数 y=f(x)是幂函数,则函数 y=f(x)的图像不过第四象限,在它的逆命题、 否命题、逆否命题 3 个命题中,真命题的个数是 A.3 答案 C 解析 原命题是真命题,故它的逆否命题是真命题; 它的逆命题为“若函数 y=f(x)的图象不过第四象限, 则函数 y=f(x)是幂函数”, 显然逆命题为假命题,故原命题的否命题也为假命题. 因此在它的逆命题、否命题、逆否命题 3 个命题中真命题只有 1 个. 8. 函数 f(x)=x2+mx+1 的图像关于直线 x=1 对称的充要条件是 A.m=-2 答案 A 解析 已知函数 f(x)=x2-2x+1 的图像关于直线 x=1 对称,则 m=-2;反之也成立. 所以函数 f(x)=x2+mx+1 的图像关于直线 x=1 对称的充要条件是 m=-2. 二、填空题 9. 若命题“ax2-2ax-3>0 不成立”是真命题,则实数 a 的取值范围是________. 答案 [-3,0] 解析 ax2-2ax-3≤0 恒成立,当 a=0 时,-3≤0 成立;
? ?a<0 当 a≠0 时,得? , 2 ?Δ=4a +12a≤0 ?

(

)

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

(

)

B.2

C.1

D.0

(

)

B.m=2

C.m=-1

D.m=1

解得-3≤a<0,故-3≤a≤0. 10.“若 a≤b,则 ac2≤bc2”,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的 个数是________. 答案 2 解析 其中原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假命题. 11.“x= 2”是“向量 a=(x+2,1)与向量 b=(2,2-x)共线”的________条件. 答案 充分不必要 解析 若 a=(x+2,1)与 b=(2,2-x)共线, 则有(x+2)(2-x)=2,解得 x=± 2, 所以“x= 2”是“向量 a=(x+2,1)与向量 b=(2,2-x)共线”的充分不必要条件. 12. 若 x<m-1 或 x>m+1 是 x2-2x-3>0 的必要不充分条件, 则实数 m 的取值范围是________. 答案 [0,2] 解析 由已知易得{x|x2-2x-3>0} {x|x<m-1 或 x>m+1}, 又{x|x2-2x-3>0}={x|x<-1 或 x>3},
?-1≤m-1 ?-1<m-1 ? ? ∴? 或? ,∴0≤m≤2. ? ? ?m+1<3 ?m+1≤3

B 组 专项能力提升 (时间:15 分钟) 1. 若集合 A={x|2<x<3},B={x|(x+2)(x-a)<0},则“a=1”是“A∩B=?”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 A 解析 当 a=1 时,B={x|-2<x<1},满足 A∩B=?; 反之,若 A∩B=?,只需 a≤2 即可,故“a=1”是“A∩B=?”的充分不必要条件. 2.“λ<1”是“数列 an=n2-2λn(n∈N+)是递增数列”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 A 解析 若数列 an=n2-2λn(n∈N+)为递增数列, 则有 an+1-an>0,即 2n+1>2λ 对任意的 n∈N+都成立, 3 于是可得 3>2λ,即 λ< . 2 3 注意到由 λ<1 可得 λ< ; 2 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

3 但反过来,由 λ< 不能得到 λ<1, 2 故“λ<1”是“数列 an=n2-2λn(n∈N+)是递增数列”的充分不必要条件. k2 1 3. 命题“函数 y=f(x)的导函数为 f′(x)=ex+ x- (其中 e 为自然对数的底数,k 为实数), e k 且 f(x)在 R 上不是单调函数”是真命题,则实数 k 的取值范围是 A.?-∞,- ( )

?

2? 2?

B.?-

?

2 ? ,0 2 ?

C.?0,

?

2? 2?

D.?

2 ? ? 2 ,+∞?

答案 C 1 解析 当 k=-1 时,f′(x)=ex+ x+1≥2+1=3, e 则 f(x)在 R 上单调递增,不满足题意,应排除 A; 1 1 当 k=- 时,f′(x)=ex+ x+2≥1+2=3, 2 4e 所以 f(x)在 R 上单调递增,不满足题意,应排除 B; 1 当 k=1 时,f′(x)=ex+ x-1≥2 e 1 ex·x-1=2-1=1, e

则 f(x)在 R 上单调递增,不满足题意,应排除 D.选 C. 1 4. “m< ”是“一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解”的____________条件. 4 答案 充分不必要 解析 x2+x+m=0 有实数解等价于 Δ=1-4m≥0, 1 1 1 即 m≤ ,∵m< ?m≤ ,反之不成立. 4 4 4 1 故“m< ”是“一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解”的充分不必要条件. 4
? 1 x ? 5. 已知集合 A=?x|2<2 <8,x∈R?,B={x|-1<x<m+1,x∈R},若 x∈B 成立的一个充分 ? ?

不必要的条件是 x∈A,则实数 m 的取值范围是________. 答案 (2,+∞)
? ?

? 1 x ? 解析 A=?x|2<2 <8,x∈R?={x|-1<x<3},

∵x∈B 成立的一个充分不必要条件是 x∈A, ∴A B,∴m+1>3,即 m>2. 6. 下列四个结论中: ①“λ=0”是“λa=0”的充分不必要条件; ②在△ABC 中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件;

③若 a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b 全不为零”的充要条件; ④若 a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b 不全为零”的充要条件. 正确的是________. 答案 ①④ 解析 由 λ=0 可以推出 λa=0,但是由 λa=0 不一定推出 λ=0 成立,所以①正确. 由 AB2+AC2=BC2 可以推出△ABC 是直角三角形, 但是由△ABC 是直角三角形不能确定 哪个角是直角,所以②不正确. 由 a2+b2≠0 可以推出 a,b 不全为零; 反之,由 a,b 不全为零可以推出 a2+b2≠0, 所以③不正确,④正确.


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数学复习讲义1.2命题及其关系充分条件与必要条件
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