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《三角恒等变换章末总结》教师版


《三角恒等变换》章末总结
一、教学目的: 对第三章“三角恒等变换”进行章末知识总结,对重点、热点题型进行归纳总结。 二. 重点、难点: 公式的灵活应用 三、知识分析: 1、 本章网络结构

tan 2? ?

2 tan ? tan ? ? tan ? ? ?? ???? tan?? ? ?? ? 2 1 ? tan ? tan

? 1 ? tan ?
相除 相除

S ? ?? ?
2

cos 2? ? cos ? ? sin ?
2

? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? sin 2? ? 2 sin ? cos ?
移项 ? ? 2?

? ?? ????

S ? ?? ? C ? ?? ? C ? ??
相加减

? 1 ? cos ? ? 2 cos 2 ? 1 ? cos ? ? 2 sin 2 2
2

变形

1 ?sin?? ? ?? ? sin?? ? ??? 2 1 cos ? sin ? ? ?sin?? ? ?? ? sin?? ? ??? 2 1 cos ? cos ? ? ?cos?? ? ?? ? cos?? ? ??? 2 1 sin ? sin ? ? ? ?cos?? ? ?? ? cos?? ? ??? 2 sin ? cos ? ?


sin cos

? 1 ? cos ? ?? 2 2 ? 1 ? cos ? ?? 2 2
相除

?A ? ? ? ? ? ?B ? ? ? ?

? 1 ? cos ? ? 2 1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? cos ? sin ? tan

A?B A?B cos 2 2 A?B A?B sin A ? sin B ? 2 cos sin 2 2 A?B A?B cos A ? cos B ? 2 cos cos 2 2 A?B A?B cos A ? cos B ? ?2 sin sin 2 2 sin A ? sin B ? 2 sin

2、要点概述 (1)求值常用的方法:切割化弦法,升幂降幂法,和积互化法,辅助元素法, “1”的代 换法等。 (2)要熟悉角的拆拼、变换的技巧,倍角与半角的相对性,如
1

2? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??,? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ?
? 2? ? ? 是 的半角, 是 的倍角等。 3 3 2 4
3、题型归纳 (1)求值题 例 1. 已知 ? ? ? 求 cos?? ? ?? 。 点评:<1>三角变换是解决已知三角函数值求三角函数值这类题型的关键; <2> 常 见 角 的 变 换 : 2? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??,? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ,

12 ?? ?? ? 3 ?5 ? ? ? 3? ? ? , ? , ? ? ? 0, ? ,且 cos? ? ?? ? , sin? ? ? ?? ? ? , ?4 ? 5 ?4 ? ?4 ? 13 4? 4?

?? ? ?? ? ? ? ? x? ? ? ? x? ? 等。 ?4 ? ?4 ? 2
(2)化简题

例 2. 化简:

?1 ? sin ? ? cos ??? ? sin ?

? ?? ? cos ? 2 2? ,其中 ? ? ? ? 2 ? 。 2 ? 2 cos ?

(3)证明题 例 3. 求证:

1 ? 2 sin x cos x 1 ? tan x ? cos 2 x ? sin 2 x 1 ? tan x

(4)与向量、三角形等有关的综合题 例 4. 平面直角坐标系内有点 P 1, cos x ,Q cos x,1 ,x ? ?? (1)求向量 OP 与 OQ 的夹角θ的余弦; (2)求 cos ? 的最值。 【模拟试题】 一. 选择题(每小题 4 分,共 48 分) 1.

?

?

?

?

? ? ?? , ?。 4? ? 4

?

?

sin 15o ? cos15o 的值为( sin 15o ? cos15o



A.

3 3

B.

2? 6 4


C.

2? 6 4

D. ? 3

2.

1 3 cos ? ? sin ? 可化为( 2 2 ?? ? ? ?? ?6 ?

A. sin?

B. sin?
2

?? ? ? ?? ?3 ?

C. sin?

?? ? ? ?? ?6 ? ? ? ?? 2?
B.

D. sin?

?? ? ? ?? ?3 ?


3. 若 ?、? ? ? 0, ? ,且 tan ? ?

4 1 , tan ? ? ,则 ? ? ? 的值是( 3 7
C.

A.

? 3

? 4

? 6

D.

? 8


4. 函数 y ? 8 sin x cos x cos 2x 的周期为 T,最大值为 A,则( A. T ? ?,A ? 4 C. T ? ?,A ? 2 5. 已知 A.

? ,A ? 4 2 ? D. T ? ,A ? 2 2
B. T ? ) C. 2 2 ? 2 ) D. D. 2 ? 2 2

1 1 ? ? 1 ,则 sin 2? 的值为( cos ? sin ?
B. 1 ? 2

2 ?1

6. 已知 tan ? ? A. ?

6 5

1 1 2 ,则 cos ? ? sin 2? ( 3 2 4 4 B. ? C. 5 5


6 5

7. 设 f (tan x) ? tan 2x ,则 f (2) ? ( A. 4 8. B.

4 5


C. ?

2 3

D. ?

4 3

2 ? sin 2 2 ? cos 4 的值是(
B. ? cos2

A. sin 2

C. ? 3 cos 2

D.

3 cos 2

9. 在△ABC 中,若 2 cos B sin A ? sin C ,则△ABC 的形状一定是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 10. 要使斜边一定的直角三角形周长最大,它的一个锐角应是( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 正弦值为

11. 已知向量 OB ? 2,0 ,向量 OC ? 2 ,2 ,向量 CA ? 量 OA 与 OB 的夹角范围为( A. ?0, ? 4? ? C. ? , ? 2? ? 12

?

?

?

?

?

?

?

1 的锐角 3

?

2 cos ?, 2 sin ? ,则向

?

?

?

) B. ? , 12 ? ?4 ? D. ? , ?12 12 ? ?
3

?

??

??

5? ?

? 5?

??

??

5? ?

12. 已知: 3cos?2? ? ?? ? 5cos? ? 0 ,则 tan?? ? ?? tan ? 的值为( A. ?4 B. 4 二. 填空题(每小题 3 分,共 12 分) 13. 已知 sin ? ? cos ? ? C. ?4 D. 1



1 ,则 cos4? ? _____________。 3

14. 函数 y ? 2 sin x cos x ? 2 sin 2 x ? 1 的最小正周期为_____________。 15. 已知 ? ? ? ?

? ,且 ?、? 满足关系式 3?tan ? tan ? ? a? ? 2 tan ? ? 3 tan ? ? 0 ,则 6

tan ? ? _____________。
16. 已知 f ( x) ?

1? x ?? ? 。若 ? ? ? ,?? ,则 f (cos ?) ? f ( ? cos ?) 可化简为 ?2 ? 1? x

_____________。 三. 解答题(每小题 10 分,共 40 分) 17. 求值: tan 70o cos10o ·( 3 tan 20o ? 1) 18. 已知函数 f ( x) ? sin x ? 3 sin x cos x ?
2

1 2

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量 x 的集合; (3)求函数的单调区间,并指出在每一个区间上函数的单调性。 19. 若已知 cos?

sin 2 x ? 2 sin 2 x 7? ?? ? 3 17? ,求 的值。 ? x? ? , ?x? ?4 ? 5 1 ? tan x 12 4
2 2

20. 已知α、β为锐角,且 3sin ? ? 2 sin ? ? 1,3sin 2? ? 2 sin 2? ? 0 。 求证: ? ? 2? ?

? 2

4


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