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1.2.1-1.2.2基本初等函数的导数公式及四则运算(1)


1.2.1-1.2.2基本初等函数的导数 基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则

一、复习
1.导数的几何意义: 1.导数的几何意义: 导数的几何意义 曲线在某点处的切线的斜率; 曲线在某点处的切线的斜率;
物理意义: 物理意义: 意义 物体在某一时刻的瞬时度。 物体在某一时刻的瞬时度。 (瞬时速度或瞬时加速度) 瞬时速度或瞬时加速度)

2、由定义求导数(三步法) 由定义求导数(三步法) 步骤: 步骤:

(1) 求增量 ?y = f ( x + ?x) ? f ( x);
?y f ( x + ?x) ? f ( x) (2) 算比值 ; = ?x ?x

?y (3) 当?x →0, → f ′(x) ?x

二、新课 (一).导函数 一 导函数
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到 f’(x0) 在 处求导数的过程可以看到, 由函数 是一个确定的数. 那么, 变化时, 是一个确定的数 那么 当x变化时 f’(x)便是 x的 变化时 便是 的 一个函数, 我们叫它为f(x)的导函数.即: 一个函数 我们叫它为 的 即

?y f ( x + ?x) ? f ( x) f ′( x) = y′ = lim = lim ?x → 0 ? x ?x → 0 ?x
在不致发生混淆时,导函数也简称为导数. 在不致发生混淆时,导函数也简称为导数. 也简称为导数

函数y = f ( x)在点x0处的导数f ′( x0 ) 等于导函数f ′( x)在点x0处的函数值.

例:已知 y =

x,求 y ′.

?y x + ?x ? x 解:y ′ = lim = lim ?x → 0 ? x x→0 x
( x + ?x ? x )( x + ?x + x ) = lim x →0 x( x + ?x + x )

1 1 = lim = . ?x →0 x + ?x + x 2 x

二、几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式 1) 函数 函数y=f(x)=c的导数 的导数. 的导数
?y 解 : y = f ( x) = C, ?y = f ( x + ?x) ? f ( x) = C ? C, = 0, ?x ?y ∴ f ′( x) = C′ = lim = 0. ?x→0 ?x

为常数) 为常数 公式1: 公式1: C′ = 0 (C为常数

请同学们求下列函数的导数: 请同学们求下列函数的导数
2) y = f ( x) = x, y ' = 1 2 3) y = f ( x) = x , y ' = 2 x
表示y=x图象上每一点 图象上每一点 表示 处的切线斜率都为1 处的切线斜率都为

这又说明什么? 这又说明什么

1 1 4) y = f ( x) = , y ' = ? 2 x x
公式2: 公式
. ( x )′ = nx (n∈Q)
n n?1

公式3: 公式3:

(sin x)′ = cos x

公式4: 公式4:

(cos x)′ = ?sin x

公式5:对数函数的导数 公式5:对数函数的导数 5:

1 (1) (loga x)′ = (a > 0, a ≠1). x ln a 1 (2) (ln x)′ = . x

公式6:指数函数的导数 公式6:指数函数的导数 6:

(1) (a )′ = a ln a(a > 0, a ≠1).
x x

(2) (e )′ = e .
x x

注意: 注意:关于a x 和x a 是两个不同 的函数,例如: 的函数,例如:

(1)(3 )′ = 3 ln a
x

x

(2)( x )′ = 3x
3

2

总结:我们今后可以直接使用的基本初等函数 的导数公式
公 式 1.若 f ( x ) = c , 则 f '( x ) = 0; 公 式 2.若 f ( x ) = x n , 则 f '( x ) = nx n ?1 ; 公 式 3.若 f ( x ) = sin x , 则 f '( x ) = cos x ; 公 式 4.若 f ( x ) = cos x , 则 f '( x ) = ? sin x ; 公 式 5.若 f ( x ) = a x , 则 f '( x ) = a x ln a ( a > 0); 公 式 6.若 f ( x ) = e x , 则 f '( x ) = e x ; 1 公 式 7.若 f ( x ) = log a x , 则 f '( x ) = ( a > 0, 且 a ≠ 1); x ln a 1 公 式 8.若 f ( x ) = ln x , 则 f '( x ) = ; x

例1:求下列函数的导数

(1) y = x

?5

(2) y = x x x

例2: (1) 已知y = x , 求f ′(2).
3

Q 解: y′ = ( x3 )′ = 3x3?1 = 3x2

′(2) = 3×(2)2 =12 ∴f

′ = ( x?2 )′ = ?2x?2?1 = ?2x?3 Q 解: y
1 2 ∴ f ′(3) = ?2 × (3) = ?2 × = ? 27 27
?3

1 (2)已知y = 2 , 求f ′(3). x

例3.求下列函数的导数 求下列函数的导数
(1) y = sin( + x) 2 (3) y = cos(2π ? x)

π

(2) y = sin

π
3

例4.求下列函数的导数 求下列函数的导数

(1) y = 4

x

(2) y = log x
3

(三)函数的和、差、积、商的求导法则 三 函数的和 函数的和、 设f(x)、g(x)是可导的 、 是可导的 (1) [ f ( x ) ± g ( x )]' = f ' ( x) ± g ' ( x); (2) ( f ( x) g ( x))
'

= f ( x) g ( x) + f ( x) g ( x)
' '

f ( x) ' f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) (3) ( g ( x ) ) = 2 g ( x)
特殊地 为常数) 为常数 (cf ( x)) = cf ( x)(c为常数)
' '

g ( x) 1 ' ( ) =? 2 g ( x) g ( x)
'

注意: 注意:1、前提条件导数存在; 前提条件导数存在; 2、和差导数可推广到任意有限个; 和差导数可推广到任意有限个; 3、商的导数右侧分子中间“-”, 商的导数右侧分子中间“ 先 子导再母导。 子导再母导。

例1求 f (x) = x ? 2x + sin x 在 x = 0 时的导数.
3 2

例2

设 y = xlnx , 求 y ′.

例3

x ?1 设 y = 2 , 求 y ′. x +1

根据除法公式, 解 根据除法公式,有
2 2 ? x ? 1 ? ( x + 1)( x ? 1)′ ? ( x + 1)′( x ? 1) y′ = ? 2 ? = x +1? ( x 2 + 1) 2 ?



( x 2 + 1)[( x )′ ? (1)′] ? [( x 2 )′ + (1)′]( x ? 1) = ( x 2 + 1) 2

( x 2 + 1) ? 2 x ( x ? 1) 2 x ? x 2 + 1 . = = 2 2 2 2 ( x + 1) ( x + 1)

切线问题
1:求过曲线y=cosx上点P( 1:求过曲线y=cosx上点P( 求过曲线y=cosx上点 的切线的直线方程. 的切线的直线方程.
3 ∴ f ′( ) = ? sin = ? . 3 3 2 π 1

π 1
3 2 ,

)

解: f ( x) = cos x,∴ f ′( x) = ? sin x, Q

π

π

3 故曲线在点 P ( , )处的切线斜率为 ? , 3 2 2 1 3 π ( x ? ), ∴ 所求的直线方程为 y ? = ? 2 2 3 3π 即 3x + 2 y ? 1 ? = 0. 3

2.

如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行, 求切点坐标与切线方程. 平行 求切点坐标与切线方程 平行, 解: ∵切线与直线 y=4x+3 平行 ∴切线斜率为 4. 又切线在 x0 处斜率为 y′ | x=x0 =(x3+x-10)′ | x=x0 =3x02+1. ′ - ′ ∴3x02+1=4. ∴x0=±1. ± 当 x0=1 时, y0=-8; 当 x0=-1 时, y0=-12. ∴切点坐标为 (1, -8) 或 (-1, -12). 切线方程为 y=4x-12 或 y=4x-8. -

3、若直线y=3x+1是曲线y=ax3 若直线y=3x+1是曲线y=ax y=3x+1是曲线 的切线,试求a的值. 的切线,试求a的值.
设直线y=3x+1与曲线 与曲线y=ax3相切于点 解:设直线 设直线 与曲线 P(x0,y0),则有 则有: y0=3x0+1①, 则有 ① y0=ax03②, 3ax02=3.③ ③ 由①,②得3x0+1=ax03,由③得ax02=1,代 由 代 入上式可得:3x 入上式可得 0+1=x0,x0=-1/2. -
所以a?( 所以 -1/2)2=1,

即:a=4

练习: 1 若直线 y = ? x + b为函数 y = 图象的切线, x 求 b的值和切点的坐标. 的值和切点的坐标.

4.已知曲线 C: y=x3-3x2+2x, 直线 l: y=kx, 且直线 l 与 曲线
C 相切于点 (x0, y0)(x0≠0), 求直线 l 的方程及切点坐标 的方程及切点坐标. y0 过点(x 解: 由直线 l 过点 0, y0),其斜率 k= x , , 0 ∵点 (x0, y0) 在曲线 C 上, ∴y0=x03-3x02+2x0. y0 ∴ x =x02-3x0+2. 又 y′=3x2-6x+2, ′ 0 ∴在点 (x0, y0) 处曲线 C 的切线斜率 k=y′|x=x0. ′ ∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2. 整理得 2x02-3x0=0. 解得 x0= 3 (∵ 0≠0). 2 (∵x ) 3 1 这时 y0=- 8 , k=- 4 . 3 3 ∴直线 l 的方程为 y=- 1 x, 切点坐标是 ( 2 , - 8 ). -4

5. 已 知 直 线 y = x ? 1, 点 P为 y = x 2 上 任 意 一 点 , 求 P在 什 么 位 置 时 到 直 线 的 距 离 最 短 ?

1 练习:已知曲线 在点P(1,1)处的切线与直线 平 处的切线与直线m平 练习 已知曲线 y = x 3 在点 处的切线与直线

求直线m的方程 行且距离等于 10 ,求直线 的方程 求直线 的方程.

1 1 ′ = ( 3 )′ = ( x?3 )′ = ?3x?4; y 解: = 3 , y x x ∴ 曲线在 P (1,1)处的切线的斜率为 k = y′ | x =1 = ?3, 从而切线方程为 y ? 1 = ?3( x ? 1), 即3 x + y ? 4 = 0.
设直线m的方程为 设直线 的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 的方程为 由平行线间的距离公 式得: 式得
| b ? ( ?4) | 32 + 1 = 10 ?| b + 4 |= 10,∴ b = 6或 b = ?14;

故所求的直线m的方程为 故所求的直线 的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0. 的方程为 或

1、设 f (x) = (1+x)(1+2x) ??? (1+10x), 、 ,

求 f' (0) . 2、求曲线 、

y = 2x ? x

3

上与

x轴

平行的切线方程. 平行的切线方程

f(x)=(x-1)( )…(x-9)( ( ) ( )( )(x-2) ( )( )(x-10) )


f (10) =
'

9!

3.求曲线 y = 2x ? x3 上与 x轴平行的切线方程 求曲线 轴平行的切线方程. k =0

解:

y′ = 2 ? 3 x 2

令 y′ = 0

? 2 ? 3x2 = 0

2 x1 = 3

2 x2 = ? 3

? 2 4 6? 切点为 ? , ? ? 3 9 ?

2 4 6? ? ?? , ? ? 3 9 ? ?

4 6 4 6 所求切线方程为 y = 和 y=? 9 9

4 、 求曲线 求曲线y=xlnx平行于 平行于x-y+1=0的切线方程 平行于 的切线方程
解:设切点p ( x 0 y 0 ) ∴ 切线的斜率为 切线的斜率为1

y' = (x ln x) = (x) ln x + x(lnx) = ln x +1
' ' '

∴ 1 = ln x0 + 1 ∴ ln x0 = 0 ∴ x0 = 1 y0 = 0 ∴ 切线方程为y=x-1 即x-y-1=0

5、 求曲线 、 求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线 上的点到直线2x-y+3=0 上的点到直线 的最短距离
解:设曲线点在 p( x0 y0 ) 处的切线与2x-y+3=0 平行则切点p到直线2x-y+3=0的距离即为 所求

2 ∵ y = 2x ?1
'



2 2 x0 ? 1

=2

∴ x0 = 1 ∴ d min

∴切点为(1,0)

5 = = 5 5

小结:基本初等函数的导数公式
公 式 1.若 f ( x ) = c , 则 f '( x ) = 0; 公 式 2.若 f ( x ) = x n , 则 f '( x ) = nx n ?1 ; 公 式 3.若 f ( x ) = sin x , 则 f '( x ) = cos x ; 公 式 4.若 f ( x ) = cos x , 则 f '( x ) = ? sin x ; 公 式 5.若 f ( x ) = a x , 则 f '( x ) = a x ln a ( a > 0); 公 式 6.若 f ( x ) = e x , 则 f '( x ) = e x ; 1 公 式 7.若 f ( x ) = log a x , 则 f '( x ) = ( a > 0, 且 a ≠ 1); x ln a 1 公 式 8.若 f ( x ) = ln x , 则 f '( x ) = ; x

注意:牢记公式呦 注意 牢记公式呦

弄清“函数 在点x 导函数” 弄清“函数f(x)在点 0处的导数”、“导函数”、 在点 处的导数” 导数” 之间的区别与联系。 “导数” 之间的区别与联系。 (1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改 )函数在一点处的导数, 变量与自变量的改变量之比的极限, 变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个 常数,不是变数。 常数,不是变数。 而言的, (2)函数的导数,是指某一区间内任意点 而言的 )函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的 就是函数f(x)的导函数 f ′(x) 。 就是函数 的导函数 在点x (3)函数 )函数f(x)在点 0处的导数 f ′( x0 ) 就是导函数 f ′(x) 在点 处的函数值, 在x=x0处的函数值,即 f ′( x0 ) = f ′( x) |x= x 。这也是 求函数在点x 处的导数的方法之一。 求函数在点 0处的导数的方法之一。
0

三、巩固练习
1、函数 f ( x ) = sin α ? cos x 则
f ' (α ) =

2 ? x2 x y' = 2、函数 y = 2 的导数是 (2 + x 2 ? x) 2 x ?x+2

sin2x+2x 3、函数 y = x tan x 的导数是 y = 2 2cos x
'

2x 4、函数 f ( x) = 2 1 ? ax

f ' (1) = 2

则 a=

0或3

5、求下列函数的导数 (1)y=xsinx 解: ' = ( x sin x ) ' y
'

= x sin x + x(sin x)

'

(2)y=tanx
'

= sin x + x cos x
'

sin x ' ) 解: y = ( cos x
(sin x) cos x ? sin x(cos x) = 2 cos x
cos x + sin x = 2 cos x
2 2

'

1 = 2 cos x

6、求下列函数的导数 、
(1)y )

= (3 x + 2)( x ? 5) y = 9 x ? 30 x + 2
2

'

2

(2) )

y = (5 x ? 7)(3x + 8)
3

y = 60 x + 120 x ? 21
' 3 2

x (3) y = 2 ) x +1
(4) )

1? x y = 2 2 ( x + 1)
2 '

sin x y= x

x cos x ? sin x y = 2 x
'

7、(1)已知 f ( x) = ax + 3x + 2 若 f (?1) = 4 、(1 则a=( D )
3 2

'

A

19 3

B

16 3

C

13 3

D

10 3

ax ' π f (2) ( x) = ) 若 f ( )=3 sin x 2

则a=( B ) ( D -2

A6

B3 C0


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