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讲解数列通项公式的求法-15种类型


数列通项公式的求法
数列是高考中的重点内容之一,每年的高考题都会考察到,小题一般较易,大题一般较 难。而作为给出数列的一种形式——通项公式,在求数列问题中尤其重要。本文给出了 求数列通项公式的常用方法。小结:除了熟悉以上常见求法以外,对具体的数列进行适 当的变形,一边转化为熟知的数列模型更是突破数列通项的关键。做题时要不断总结经 验,多加琢磨。 总结方法比做题更重要!方

法产生于具体数学内容的学习过程中. 1.直接法 2.公式法 3.归纳猜想法 4.累加(乘)法 5.取倒(对)数法 6.迭代法 7.待定 系数法 8.特征根法 9.不动点法 10.换元法 11.双数列 12.周期型 13.分解因式法 14.循环 法 15.开方法

◆一、直接法
根据数列的特征,使用作差法等直接写出通项公式。 例 1:根据数列的前 4 项,写出它的一个通项公式: (1)9,99,999,9999,…

4 9 16 , 3 , 4 ,? 5 10 17 2 1 2 , , ,? (3) 1, 3 2 5 1 2 3 4 , ? ,? (4) , ? , 2 3 4 5
(2) 1 , 2

1 2

◆二、公式法
①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前 n 项和 S n 与 an 的关系,求数列 ?an ? 的通项 an 可用公式 an ? ?

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 求解. ?Sn ? Sn ?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? 2

(注意:求完后一定要考虑合并通项) 例 2.①已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? (?1) n , n ? 1 .求数列 ?an ? 的通项公式.

②已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 Sn

? n2 ? n ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式.

③ 已知等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,公比 0 ? q ? 1 ,设数列 ?bn ? 的通项为 bn ? an?1 ? an?2 ,求数列 通项公式。

?bn ? 的

◆三、归纳猜想法
如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项,我们可以根据前几项的规律,归纳猜想出数列的通项公式,然 后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律,然后正面证明。 例 3.已知点的序列 An ( xn ,0), n ? N * ,其中 x1 ? 0 , x2 ? a(a ? 0) , A3 是线段 A1 A2 的中点, A4 是线段 A2 A3 的 中点,…, An 是线段 An?2 An?1 的中点,… (1) 写出 xn 与 xn ?1 , xn?2 之间的关系式( n ? 3 ) 。 (2) 设 an ? xn?1 ? xn ,计算 a1 , a2 , a3 ,由此推测 ?an ? 的通项公式,并加以证明。

变式:设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1,n=1,2,3,… (Ⅰ)求 a1,a2; (Ⅱ) {an}的通项公式
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
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◆四、累加(乘)法
对于形如 an?1 ? an ? f (n) 型或形如 an?1 ? f (n)an 型的数列,我们可以根据递推公式,写出 n 取 1 到 n 时的所 有的递推关系式,然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式。 例 4. 若在数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an?1 ? an ? n ,求通项 an 。

例5.

* 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2 n an ( n ? N ) ,求通项 an 。

◆五、取倒(对)数法
r a、 an?1 ? pan 这种类型一般是等式两边取对数后转化为 an?1 ? pan ? q ,再利用待定系数法求解

b、数列有形如 f (an , an?1 , an an?1 ) ? 0 的关系,可在等式两边同乘以

1 1 , 先求出 , 再求得a n . a n a n ?1 an

c、 a n?1 ?

f ( n) a n 解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 an?1 ? pan ? q 。 g ( n) a n ? h( n)

例 6..设数列 {an } 满足 a1 ? 2, an?1 ?

an (n ? N), 求 a n . an ? 3

2 例 7 、 设正项数列 ?a n ?满足 a1 ? 1 , an ? 2an ?1 (n≥2).求数列 ?a n ?的通项公式.

变式: 1.已知数列{an}满足:a1=

3 3na n-1 ,且 an= 求通项 a n . (n ? 2,n ? N?) 2 2a n-1+n- 1

2、若数列的递推公式为 a1 ? 3,

1 1 ? ? 2(n ? ? ) ,求通项 a n . an ?1 an

3、已知数列{ a n }满足 a1 ? 1, n ? 2 时, a n?1 ? a n ? 2a n?1 a n ,求通项 a n .

4、已知数列{an}满足: a n ?

a n?1 , a1 ? 1 ,求通项 a n . 3 ? a n?1 ? 1
2a n an ? 2

5、若数列{a n }中,a 1 =1,a n?1 =

n∈N ? ,求通项 a n .

◆六、迭代法
迭代法就是根据递推式,采用循环代入计算. 例 8、设 a 0 为常数,且 a n=3
n

-2 a n -1(n 为正整数)证明对任意 n≥1 , a n= [ 3 +(-1)n -1· 2 n ]+(-1)n · 2 n a 0

n -1

◆七、待定系数法:
求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高。通 常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,该方法体现了数学中化未知为已知的化归思想, 运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。 1、通过分解常数,可转化为特殊数列{a n +k}的形式求解。一般地,形如 a n?1 =p a n +q(p≠1,pq≠0)型的递推式 均可通过待定系数法对常数 q 分解法:设 a n?1 +k=p(a n +k)与原式比较系数可得 pk-k=q,即 k= 比数列{a n +k}。 例 9、数列{a n }满足 a 1 =1,a n =

q ,从而得等 p ?1

1 a n?1 +1(n≥2) ,求数列{a n }的通项公式。 2

练习、数列{a n }满足 a 1 =1, 3an?1 ? an ? 7 ? 0 ,求数列{a n }的通项公式。

2、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an?1 ? 3an ? 2 ,求 an .

2 、递推式为 an?1 ? pan ? q n?1 ( p 、 q 为常数)时,可同除 q n ?1 ,得

an?1 p an a 从而化归为 ? ? n ? 1 ,令 bn ? n n ?1 q q q qn

an?1 ? pan ? q (p、q 为常数)型.


例 10.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ? 3n ? 2an?1 (n ? 2) ,求 an .

3、形如 an?1 ? pan ? an ? b ( p ? 1 、 0,a ? 0) 解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令 an?1 ? x(n ? 1) ? y ? p(an ? xn ? y) ,与已知递推式比 较,解出 x , y ,从而转化为 ?an ? xn ? y?是公比为 p 的等比数列。 例 11:设数列 ?an ? : a1 ? 4, an ? 3an?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,求 an .

1 a1 ? 、点(n、 2an ?1 ? an) a 2 变式:已知数列{ n }中, 在直线 y=x 上,其中 n=1,2,3…
(Ⅰ)令

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?bn ?是等比数列; bn ? an?1 ? an ? 3, 求证数列

(Ⅱ)求数列

?an ?的通项;

4、形如 an?1

、 0,a ? 0) ? pan ? an2 ? bn ? c ( p ? 1

解 法 : 这 种 类 型 一 般 利 用 待 定 系 数 法 构 造 等 比 数 列 , 即 令

an?1 ? x(n ? 1) 2 ? y (n ? 1) ? c ? p (an ? xn 2 ? yn ? c ) ,与已知递推 式比较,解出 x, y ,z. 从而转化为

?a

n

? xn2 ? yn ? c? 是公比为 p 的等比数列。

例 12:设数列 ?an ? : a1

? 4, an ? 3an?1 ? 2n2 ? 1,(n ? 2) ,求 an .

5. 递推公式为 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数) 。
先把原递推公式转化为 an?2

? san?1 ? t (an?1 ? san )

其中 s,t 满足 ?

?s ? t ? p ?st ? ?q
2 1 a n ?1 ? a n ,求 an 。 3 3

例 13:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ?

变式: 1.已知数列

?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ).
(II)求数列 ?an ? 的通项公式; ?an?1 ? an ? 是等比数列;
1 2 n n
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(I)证明:数列 (III)若数列

?bn ? 满足 4b ?14b ?1...4b ?1 ? (an ?1)b (n ? N * ), 证明 ?bn ? 是等差数列

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2.已知数列

?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , an?2 ? 2 an?1 ? 1 an ,求 an
3 3

3.已知数列

?an ?中, S n 是其前 n 项和,并且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2,?), a1 ? 1 ,
? an?1 ? 2an (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列;
? an , (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?cn ? 是等差数列;⑶求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和。 2n

⑴设数列 bn

⑵设数列 c n

◆八:特征根法。
1、设已知数列 {an } 的项满足 a1 ? b, an?1 ? can ? d ,其中 c ? 0, c ? 1, 求这个数列的通项公式。作出一个方 程 x ? cx ? d , 则当 x0 ? a1 时, an 为常数列,即 an ? a1;当x0 ? a1时, an ? bn ? x0 ,其中 {bn } 是以 c 为公比的 等比数列,即 bn ? b1c n?1 , b1 ? a1 ? x0 . 2.对于由递推公式 an?2 ? pan?1 ? qan , a1 ? ? , a2 ? ? 给出的数列 ?an ? ,方程 x 2 ? px ? q ? 0 ,叫做数列

?an ? 的特征方程。若 x1 , x2 是特征方程的两个根,当 x1 ? x2 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? Ax1n?1 ? Bx2n?1 ,
n?1 其中 A,B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,代入 an ? Ax1n?1 ? Bx2 ,得到关于 A、B 的

方程组) ;当 x1 ? x 2 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? ( A ? Bn) x1n?1 ,其中 A ,B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决定(即把

a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,代入 an ? ( A ? Bn) x1n?1 ,得到关于 A、B 的方程组) 。
例 14: (1)已知数列

?an ? 满足 a1 ? a, a2 ? b,3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) ,求数列 ?an ? 的通项公式。

◆九:不动点法,形如 a

n ?1

?

pan ? q ra n ? h
pan ? q (其中 p、q、r、h 均为常数, ra n ? h

解法:如果数列 {an } 满足下列条件:已知 a 1 的值且对于 n ? N ,都有 a n ?1 ?

且 ph ? qr , r ? 0, a1 ? ?

? 1 ? h px ? q ) ,那么,可作特征方程 x ? ,当特征方程有且仅有一根 x0 时,则 ? ? 是等差 r rx ? h ? an ? x0 ? ? an ? x1 ? ? 是等比数列。 ? an ? x2 ?
an ? 4 , 且 a1 ? 3, 求 {an } 的通项公式. 2an ? 3

数列;当特征方程有两个相异的根 x1 、 x2 时,则 ?

例 15:已知数列 {an } 满足性质:对于 n ? N, a n?1 ?

变式:数列 {an }满足a1 ? 1且8an?1an ? 16an?1 ? 2an ? 5 ? 0(n ? 1). 记 bn ?

1 1 an ? 2

(n ? 1).

(Ⅰ)求 b1、b2、b3、b4 的值;

(Ⅱ)求数列 {bn } 的通项公式及数列 {an bn } 的前 n 项和 S n .

◆十:换元法:类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种,目的是代换后出现的整体数列具有规律性。
例 16 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 16

例 17

已知数列

?an ? 满足 a1 ?

1 ? an 1 , a n ?1 ? 2 2

,求 an 。

◆十一。双数列
解法:根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。 例 18. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ;数列 ?bn ?中, b1 ? 0 。当 n ? 2 时, a n ?
求 an , b n .

1 1 ( 2a n ?1 ? bn ?1 ) , bn ? (a n ?1 ? 2bn ?1 ) , 3 3

◆十二、周期型

解法:由递推式计算出前几项,寻找周期。

例 19:若数列 ?an ? 满足 a n ?1

1 ? 2a n , (0 ? a n ? ) ? 6 ? 2 ?? ,若 a1 ? ,则 a 20 的值为___________。 7 ?2a ? 1, ( 1 ? a ? 1) n n ? 2 ?

变式:已知数列 {an } 满足 a1

? 0, an?1 ?

an ? 3 3an ? 1

(n ? N * ) ,则 a 20 =





A.0

B. ?

3

C.

3

D.

3 2

◆十三、分解因式法
当数列的关系式较复杂,可考虑分解因式和约分化为较简形式,再用其它方法求得 an. 例 20. 已 知 f ( x) ? ( x ? 1) 4 , g ( x) ? r ? ( x ? 1) 3 , (r ? 0,1), 数 列 {an } 满 足 a1 ? 2, an ? 1 ( n ∈ N ) ,且有条件

(an ? an?1 ) ? g (n ? 1) ? f (an?1 ) ? 0, 求an (n ≥2).

◆十四、循环法
数列有形如 f (an?2,an?1 , an ) ? 0 的关系,如果复合数列构不成等差、等比数列,有时可考虑构成循环关系而求 出 an . 例 21.在数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 5, an?2 ? an?1 ? an , 求a1998.

◆十五、开方法
对有些数列,可先求 a n 或3 a n , 再求 a n . 例 22、两个数列 {an }, {bn }, 它们的每一项都是正整数,且对任意自然数 n, an 、 bn 、 a n ?1 成等差数列, bn 、 a n ?1 、 bn ?1 成等
比数列, a1

? 1, a2 ? 3, b1 ? 2, 求an 和bn .
2bn=an+an+1,① a2n+1=bn· bn+1.②

数列通项公式的求法
◆一、直接法
根据数列的特征,使用作差法等直接写出通项公式。 例 1:根据数列的前 4 项,写出它的一个通项公式: (1)9,99,999,9999,…(2) 1 , 2 (3) 1,

2 , 3

1 , 2
n

4 9 16 , 3 , 4 ,? 5 10 17 2 1 2 3 4 , ? (4) , ? , , ? ,? 5 2 3 4 5

1 2

答案: (1) an ? 10 ? 1

n2 ; (2) a n ? n ? 2 n ?1

(3) a n ?

2 ; n ?1

n ?1 (4) a n ? (?1) ?

n . n ?1

◆二、公式法
①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前 n 项和 S n 与 an 的关系,求数列 ?an ? 的通项 an 可用公式 an ? ? (注意:求完后一定要考虑合并通项)

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 求解. ?Sn ? Sn ?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? 2

例 2.①已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? (?1) n , n ? 1 .求数列 ?an ? 的通项公式. ②已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 Sn ③

? n2 ? n ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式.

已知等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,公比 0 ? q ? 1 ,设数列 ?bn ? 的通项为 bn ? an?1 ? an?2 ,求数列

?bn ? 的

通项公式。 ③解析:由题意, bn?1 ? an?2 ? an?3 ,又 ?an ? 是等比数列,公比为 q ∴

bn?1 an?2 ? an?3 ? ? q ,故数列 ?bn ? 是等比数列, b1 ? a2 ? a3 ? a1q ? a1 q 2 ? q(q ?1) , bn an?1 ? an?2

∴ bn ? q(q ?1) ? q n?1 ? q n (q ? 1)

◆三、归纳猜想法
如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项,我们可以根据前几项的规律,归纳猜想出数列的通项公式,然 后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律,然后正面证明。 例 3.已知点的序列 An ( xn ,0), n ? N * ,其中 x1 ? 0 , x2 ? a(a ? 0) , A3 是线段 A1 A2 的中点, A4 是线段 A2 A3 的 中点,…, An 是线段 An?2 An?1 的中点,… (3) 写出 xn 与 xn ?1 , xn?2 之间的关系式( n ? 3 ) 。 (4) 设 an ? xn?1 ? xn ,计算 a1 , a2 , a3 ,由此推测 ?an ? 的通项公式,并加以证明。 解析: (1)∵ An 是线段 An?2 An?3 的中点, ∴ x n ?

xn?1 ? xn ?2 (n ? 3) 2

(2) a1 ? x2 ? x1 ? a ? 0 ? a ,

a 2 ? x3 ? x 2 ?

x2 ? x1 1 1 ? x2 = ? ( x 2 ? x1 ) ? ? a , 2 2 2 x3 ? x 2 1 1 ? x3 = ? ( x 3 ? x 2 ) ? a , 2 4 2

a 3 ? x 4 ? x3 ?
1 2

n ?1 猜想 a n ? ( ? ) a ( n ? N *) ,下面用数学归纳法证明

1 0 当 n=1 时, a1 ? a 显然成立;
1 2 0 假设 n=k 时命题成立,即 a k ? (? ) k ?1 a(k ? N *) 2

a k ?1 ? x k ? 2 ? x k ?1 ? 则 n=k+1 时,

x k ?1 ? x k 1 1 1 1 1 ? x k = ? ( x k ?1 ? x k ) ? ? a k = (? )( ? ) k ?1 a ? (? ) k a 2 2 2 2 2 2
*

∴ 当 n=k+1 时命题也成立,∴ 命题对任意 n ? N 都成立。 变式:设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1,n=1,2,3,… (Ⅰ)求 a1,a2; (Ⅱ) {an}的通项公式
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◆四、累加(乘)法
对于形如 an?1 ? an ? f (n) 型或形如 an?1 ? f (n)an 型的数列,我们可以根据递推公式,写出 n 取 1 到 n 时的所 有的递推关系式,然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式。 例 4. 若在数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an?1 ? an ? n ,求通项 an 。 解析:由 an?1 ? an ? n 得 an?1 ? an ? n ,所以

an ? an?1 ? n ? 1, an?1 ? an?2 ? n ? 2 ,…, a2 ? a1 ? 1 ,
将以上各式相加得: an 例6.

? a1 ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? ? ? 1 ,又 a1 ? 3 所以 an =

n(n ? 1) ?3 2

* 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2 n an ( n ? N ) ,求通项 an 。

解析:由已知

an?1 a a a ? 2 n , n ? 2 n?1 , n?1 ? 2 n?2 ,…, 2 ? 2 ,又 a1 ? 1 , a1 an a n?1 an?2

n ( n ?1) a n a n ?1 a2 n ?1 n?2 ? 2 ? 1 ? ?… ? a1 = 2 ? 2 ? … 所以 an = =2 2 a n ?1 a n ? 2 a1

◆五、取倒(对)数法
r a、 an?1 ? pan 这种类型一般是等式两边取对数后转化为 an?1 ? pan ? q ,再利用待定系数法求解

b、数列有形如 f (an , an?1 , an an?1 ) ? 0 的关系,可在等式两边同乘以

1 1 , 先求出 , 再求得a n . a n a n ?1 an

c、 a n?1 ?

f ( n) a n 解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 an?1 ? pan ? q 。 g ( n) a n ? h( n)

例 6..设数列 {an } 满足 a1 ? 2, an?1 ?

an (n ? N), 求 a n . an ? 3
1 1 1 . , 得1 ? 3 ? ? an ? an?1 a n a n ?1
2 . 2 ? 3 n ?1 ? 1

解:原条件变形为 an?1 ? an ? 3 ? an?1 ? an . 两边同乘以

∵( 3

1 1 1 1 1 1 ? )? ? ,? ? ? 3n?1 an 2 an?1 2 an 2
a a a

∴ an ?

2 例 7 、 设正项数列 ?a n ?满足 a1 ? 1 , an ? 2an ?1 (n≥2).求数列 ?a n ?的通项公式.

解:两边取对数得: log2n ? 1 ? 2 log2n ?1 , log2n ? 1 ? 2(log2n?1 ? 1) ,设 bn ? log2n ? 1,
a
a

则 bn ? 2bn?1

?bn ?是以 2 为公比的等比数列, b1 ? log12 ?1 ? 1 .

a n?1 n?1 n , log2n ? 2 ? 1 , bn ? 1? 2n?1 ? 2n?1 , loga 2 ?1 ? 2

∴ an ? 22

n ?1

?1

变式:1.已知数列{an}满足:a1=

3 3na n-1 ,且 an= 求通项 a n . (n ? 2,n ? N?) 2 2a n-1+n- 1

2、若数列的递推公式为 a1 ? 3,

1 1 ? ? 2(n ? ? ) ,求通项 a n . an ?1 an

3、已知数列{ a n }满足 a1 ? 1, n ? 2 时, a n?1 ? a n ? 2a n?1 a n ,求通项 a n . 4、已知数列{an}满足: a n ?

a n?1 , a1 ? 1 ,求通项 a n . 3 ? a n?1 ? 1
2a n an ? 2

5、若数列{a n }中,a 1 =1,a n?1 =

n∈N ? ,求通项 a n .

◆六、迭代法
迭代法就是根据递推式,采用循环代入计算. n -1 例 8、设 a 0 为常数,且 a n=3 -2 a n -1(n 为正整数)证明对任意 n≥1 , n a n= [ 3 +(-1)n -1· 2 n ]+(-1)n · 2 n a 0 证明: a n=3 n -1-2 a n -1=3 n -1-2(3 n -2-2 a n -2) n -1 n -2 2 n -3 =3 -2· 3 +2 (3 -2 a n -3) n -1 n -2 2 n -3 3 n -4 =3 -2 ·3 +2 ·3 -2 (3 -2 a n -4) ……… ……… n -1 n -2 2 n –3 n -1 n -1 n =3 -2·3 +2 ·3 -…+(-1) ·2 +(-1) ·2 n n n -1 (-1) ·2 a 0 前面的 n 项组成首项为 3 ,公比为-的等比数列,这 n 项的和为: n n -1 n = [ 3 +(-1) ·2 ] n n -1 n n n ∴ a n= [ 3 +(-1) · 2 ]+(-1) · 2 a 0

n

a

0

◆七、待定系数法:
求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高。通 常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,该方法体现了数学中化未知为已知的化归思想, 运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。

1、通过分解常数,可转化为特殊数列{a n +k}的形式求解。一般地,形如 a n?1 =p a n +q(p≠1,pq≠0)型的递推式 均可通过待定系数法对常数 q 分解法:设 a n?1 +k=p(a n +k)与原式比较系数可得 pk-k=q,即 k= 比数列{a n +k}。 解:由 a n = 例 9、数列{a n }满足 a 1 =1,a n =

q ,从而得等 p ?1

1 a n?1 +1(n≥2) ,求数列{a n }的通项公式。 2

1 1 a n?1 +1(n≥2)得 a n -2= (a n?1 -2) ,而 a 1 -2=1-2=-1, 2 2 1 ∴数列{ a n -2}是以 为公比,-1 为首项的等比数列 2 1 n ?1 1 n ?1 ∴a n -2=-( ) ∴a n =2-( ) 2 2
说明:通过对常数 1 的分解,进行适当组合,可得等比数列{ a n -2},从而达到解决问题的目的。 练习、1 数列{a n }满足 a 1 =1, 3an?1 ? an ? 7 ? 0 ,求数列{a n }的通项公式。

7 3 7 1 k 7 设 a n ?1 ? k ? ? ( a n ? k ) ,比较系数得 ? k ? ? 解得 k ? ? 4 3 3 3 7 1 7 7 3 ∴{ a n ? }是以 ? 为公比,以 a1 ? ? 1 ? ? ? 为首项的等比数列 4 3 4 4 4 7 3 1 n ?1 7 3 1 n ?1 ? an ? ? ? (? ) ∴ a n ? ? ? ? (? ) 4 4 3 4 4 3
解:由 3an?1 ? an ? 7 ? 0 得 a n ?1 ? ? a n ? 2、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an?1 ? 3an ? 2 ,求 an . 解:设 an?1 ? t ? 3(an ? t ) ,则 an?1 ? 3an ? 2t ? t ? 1 , an?1 ? 1 ? 3(an ? 1) ? ?an ? 1?是 以 (a1 ? 1) 为首项,以 3 为公比的等比数列 ? an ? 1 ? (a1 ? 1) ? 3n?1 ? 2 ? 3n?1 ? an ? 2 ? 3n?1 ? 1 2 、递推式为 an?1 ? pan ? q n?1 ( p 、 q 为常数)时,可同除 q
n ?1

1 3

,得

an?1 p an a 从而化归为 ? ? n ? 1 ,令 bn ? n n ?1 q q q qn

an?1 ? pan ? q (p、q 为常数)型.


例 10.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ? 3n ? 2an?1 (n ? 2) ,求 an .

an 2a ?1 an 2 a n ?1 ? 1? n ? 1? ? n n n 3 3n ?1 3 3 3 an 2 2 2 1 设 bn ? n ,则 bn ? 1 ? bn ?1 .令 bn ? t ? (bn ?1 ? t ) ? bn ? bn ?1 ? t 3 3 3 3 3 a 2 8 ? t ? 3 .条件可化成 bn ? 3 ? (bn ?1 ? 3) ,数列 ?bn ? 3?是以 b1 ? 3 ? 1 ? 3 ? ? 为首项, 3 3 3 an 2 8 2 n ?1 为公比的等比数列. bn ? 3 ? ? ? ( ) .因 bn ? n , 3 3 3 3 8 2 ? a n ? bn 3n ? 3n (? ? ( ) n ?1 ? 3) ? an ? 3n?1 ? 2n?2 . 3 3
解:将 an ? 3n ? 2an?1 两边同除 3 ,得
n

3、形如 an?1 ? pan ? an ? b ( p ? 1 、 0,a ? 0) 解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令 an?1 ? x(n ? 1) ? y ? p(an ? xn ? y) ,与已知递推式比

较,解出 x , y ,从而转化为 ?an ? xn ? y?是公比为 p 的等比数列。 例 11:设数列 ?an ? : a1 ? 4, an ? 3an?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,求 an . 解:令

an?1 ? x(n ? 1) ? y ? 3(an ? xn ? y) an?1 ? 3an ? 2xn ? 2 y ? x an?1 ? (n ? 1) ? 3(an ? n)

化简得:

?2 x ? 2 ?x ? 1 ? ? 2 y ? x ? ?1 y?0 ? 所以 解得 ?
又因为

,所以

a1 ? 1 ? 5 ,所以数列 ?an ? n? 是以 5 为首项,3 为公比的等比数列。

从而可得

an ? n ? 5 ? 3n?1, 所以an ? 5 ? 3n?1 -n
1 a1 ? 、点(n、 2an ?1 ? an) 2 在直线 y=x 上,其中 n=1,2,3…
(Ⅱ)求数列

a 变式:已知数列{ n }中,
(Ⅰ)令 4、形如 an?1

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?bn ?是等比数列; bn ? an?1 ? an ? 3, 求证数列

?an ?的通项;

、 0,a ? 0) ? pan ? an2 ? bn ? c ( p ? 1
构 造 等 比 数 列 , 即 令

解 法 : 这 种 类 型 一 般 利 用 待 定 系 数 法

an?1 ? x(n ? 1) 2 ? y (n ? 1) ? c ? p (an ? xn 2 ? yn ? c ) ,与已知递推式比较,解出 x, y ,z. 从而转化 为

?a

n

? xn2 ? yn ? c? 是公比为 p 的等比数列。

例 12:设数列 ?an ? : a1

? 4, an ? 3an?1 ? 2n2 ? 1,(n ? 2) ,求 an .

5. 递推公式为 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数) 。
解法先把原递推公式转化为 an?2

?s ? t ? p ? san?1 ? t (an?1 ? san ) 其中 s,t 满足 ? ?st ? ?q
2 1 a n ?1 ? a n ,求 an 。 3 3

例 13:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ?
变式: 1.已知数列

?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ).
(II)求数列 ?an ? 的通项公式; ?an?1 ? an ? 是等比数列;
1 2 n n
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(I)证明:数列 (III)若数列 2.已知数列 3.已知数列

?bn ? 满足 4b ?14b ?1...4b ?1 ? (an ?1)b (n ? N * ), 证明 ?bn ? 是等差数列
3 3

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?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , an?2 ? 2 an?1 ? 1 an ,求 an

?an ?中, S n 是其前 n 项和,并且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2,?), a1 ? 1 ,

⑴设数列 bn

? an?1 ? 2an (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列;
? an , (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?cn ? 是等差数列;⑶求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和。 2n

⑵设数列 c n

◆八:特征根法。
1、设已知数列 {an } 的项满足 a1 ? b, an?1 ? can ? d ,其中 c ? 0, c ? 1, 求这个数列的通项公式。作出一个方 程 x ? cx ? d , 则当 x0 ? a1 时, an 为常数列,即 an ? a1;当x0 ? a1时, an ? bn ? x0 ,其中 {bn } 是以 c 为公比的 等比数列,即 bn ? b1c n?1 , b1 ? a1 ? x0 . 2.对于由递推公式 an?2 ? pan?1 ? qan , a1 ? ? , a2 ? ? 给出的数列 ?an ? ,方程 x 2 ? px ? q ? 0 ,叫做数列

?an ? 的特征方程。若 x1 , x2 是特征方程的两个根,当 x1 ? x2 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? Ax1n?1 ? Bx2n?1 ,
n?1 其中 A,B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,代入 an ? Ax1n?1 ? Bx2 ,得到关于 A、B 的

方程组) ;当 x1 ? x 2 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? ( A ? Bn) x1n?1 ,其中 A ,B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决定(即把

a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,代入 an ? ( A ? Bn) x1n?1 ,得到关于 A、B 的方程组) 。
例 14: (1)已知数列

?an ? 满足 a1 ? a, a2 ? b,3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) ,求数列 ?an ? 的通项公式。

解法一(待定系数——迭加法) 由 3an? 2

? 5an?1 ? 2an ? 0 ,得

2 (a n ?1 ? a n ) ,且 a2 ? a1 ? b ? a 。 3 2 则数列 ?an?1 ? an ?是以 b ? a 为首项, 为公比的等比数列,于是 3 2 n ?1 a n ?1 ? a n ? (b ? a)( ) 。把 n ? 1,2,3,? ? ?, n 代入,得 3 a n ? 2 ? a n ?1 ?

a2 ? a1 ? b ? a ,
2 a3 ? a 2 ? (b ? a ) ? ( ) , 3 2 a 4 ? a3 ? (b ? a ) ? ( ) 2 , 3 ??? 2 a n ? a n ?1 ? (b ? a )( ) n ? 2 。 3
把以上各式相加,得

2 1 ? ( ) n ?1 2 2 2 3 a n ? a1 ? (b ? a)[1 ? ? ( ) ? ? ? ? ? ( ) n ? 2 ] ? (b ? a) 。 2 3 3 3 1? 3

2 2 ? a n ? [3 ? 3( ) n ?1 ]( b ? a) ? a ? 3(a ? b)( ) n ?1 ? 3b ? 2a 。 3 3
解法二(特征根法:这种方法一般不用于解答题) :数列 征方程是: 3x
2

?an ? : 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) ,
2 , 3

a1 ? a, a2 ? b 的特

? 5x ? 2 ? 0 。

? x1 ? 1, x 2 ?

2 n?1 ? A ? B ? ( ) n ?1 。 ? an ? Ax1n?1 ? Bx2 3
又由 a1

? a, a2 ? b ,于是
2 ? 3b ? 2a ? 3(a ? b)( ) n ?1 3

?a ? A ? B ? A ? 3b ? 2a ? 2 ?? ? b ? A ? B ?B ? 3(a ? b) ? 3 ?
(2).已知数列 {an } 满足: a n ?1

故 an

1 ? ? a n ? 2, n ? N, a1 ? 4, 求 a n . 3 1 3 3 11 . 解:作方程 x ? ? x ? 2, 则x 0 ? ? . 当 a1 ? 4 时, a1 ? x 0 , b1 ? a1 ? ? 3 2 2 2 1 数列 {bn } 是以 ? 为公比的等比数列. 3 1 n?1 11 1 n ?1 3 3 11 1 ? (? ) , an ? ? ? bn ? ? ? (? ) n?1 , n ? N. 于是 bn ? b1 (? ) 3 2 3 2 2 2 3

◆九:不动点法,形如 a

n ?1

?

pan ? q ra n ? h
pan ? q (其中 p、q、r、h 均为常数, ra n ? h

解法:如果数列 {an } 满足下列条件:已知 a 1 的值且对于 n ? N ,都有 a n ?1 ?

且 ph ? qr , r ? 0, a1 ? ?

? 1 ? h px ? q ) ,那么,可作特征方程 x ? ,当特征方程有且仅有一根 x0 时,则 ? ? 是等差 r rx ? h a ? x ? n 0? ? an ? x1 ? ? 是等比数列。 ? an ? x2 ?
an ? 4 , 且 a1 ? 3, 求 {an } 的通项公式. 2an ? 3
1 1 an ? 2 (n ? 1).

数列;当特征方程有两个相异的根 x1 、 x2 时,则 ?

例 15:已知数列 {an } 满足性质:对于 n ? N, a n?1 ?

变式:数列 {an }满足a1 ? 1且8an?1an ? 16an?1 ? 2an ? 5 ? 0(n ? 1). 记 bn ?

(Ⅰ)求 b1、b2、b3、b4 的值;

(Ⅱ)求数列 {bn } 的通项公式及数列 {an bn } 的前 n 项和 S n .

◆十:换元法:类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种,目的是代换后出现的整体数列具有规律性。
例 16 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 16

1 2 (bn ? 1) 24 1 2 1 (bn ?1 ? 1) ,代入 an ?1 ? (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) 得 故 an ?1 ? 24 16 1 2 1 1 2 (bn ?1 ? 1) ? [1 ? 4 (bn ? 1) ? bn ] 24 16 24
解:令 bn

? 1 ? 24an

,则 an

?

即 4bn?1 因为 bn

2

? (bn ? 3)2

? 1 ? 24an ? 0 ,故 bn?1 ? 1 ? 24an?1 ? 0

1 3 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ? bn ? , 2 2 1 可化为 bn ?1 ? 3 ? (bn ? 3) , 2
则 2bn?1 所以 是 以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ?1 ? 3 ? 2 {bn ? 3 } 为首项, 以

1 2

为公比 的等 比数列 , 因此

1 1 1 1 bn ? 3 ? 2( ) n ?1 ? ( ) n ? 2 ,则 bn ? ( ) n ? 2 ? 3 ,即 1 ? 24an ? ( ) n ? 2 ? 3 ,得 2 2 2 2 2 1 1 1 an ? ( ) n ? ( ) n ? 。 3 4 2 3
评注:本题解题的关键是通过将

1 ? 24an

的换元为 bn ,使得所给递推关系式转化 bn ?1

?

1 3 bn ? 形式,从而可知数列 2 2

{bn ? 3} 为等比数列,进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。
例 17. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 ? an 1 , a n ?1 ? 2 2 an?1 ? 1 ? an 2


,求 an 。

解析:设 a1

?

1 ? ? cos 2 3

,∵



a 2 ? cos

?
6

, a3

? cos

?
2 ?3
2

,…, a n

? cos

?
2
n ?1

?3

总之,求数列的通项公式,就是将已知数列转化成等差(或等比)数列,从而利用等差(或等比)数列的通项公式求其通项。

◆十一。双数列
解法:根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。 例 18. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ;数列 ?bn ?中, b1 ? 0 。当 n ? 2 时,

1 1 a n ? ( 2a n ?1 ? bn ?1 ) , bn ? (a n ?1 ? 2bn ?1 ) ,求 an , b n . 3 3 1 1 解:因 an ? bn ? ( 2a n ?1 ? bn ?1 ) ? ( a n ?1 ? 2bn ?1 ) ? an?1 ? bn?1 3 3
所以 an 即 an

? bn ? an?1 ? bn?1 ? an?2 ? bn?2 ? ? ? ? ? a2 ? b2 ? a1 ? b1 ? 1

? bn ? 1 …………………………………………(1)

1 1 1 ? bn ? (2a n ?1 ? bn ?1 ) ? (a n?1 ? 2bn?1 ) ? (a n ?1 ? bn ?1 ) 3 3 3 1 1 2 1 n ?1 所以 a n ? bn ? ( a n ?1 ? bn ?1 ) ? ( ) a n ? 2 ? bn ? 2 ) ? …… ? ( ) ( a1 ? b1 ) 3 3 3 1 n ?1 1 n ?1 ? ( ) .即 an ? bn ? ? ( ) ………………………(2) 3 3 1 1 n ?1 1 1 n ?1 由(1) 、 (2)得: a n ? [1 ? ( ) ] , bn ? [1 ? ( ) ] 2 3 2 3
又因为 a n

◆十二、周期型
例 19:若数列

解法:由递推式计算出前几项,寻找周期。

?an ? 满足 an?1

1 ? ?2a n , (0 ? a n ? 2 ) 6 ? ?? ,若 a1 ? ,则 a 20 的值为___________。 7 ?2a ? 1, ( 1 ? a ? 1) n n ? 2 ?

变式:已知数列 {an } 满足 a1

? 0, an?1 ?

an ? 3 3an ? 1

(n ? N * ) ,则 a 20 =





A.0

B. ?

3

C.

3

D.

3 2

◆十三、分解因式法
当数列的关系式较复杂,可考虑分解因式和约分化为较简形式,再用其它方法求得 an. 例 20. 已 知 f ( x) ? ( x ? 1) 4 , g ( x) ? r ? ( x ? 1) 3 , (r ? 0,1), 数 列 {an } 满 足 a1 ? 2, an ? 1 ( n ∈ N ) ,且有条件

(an ? an?1 ) ? g (n ? 1) ? f (an?1 ) ? 0, 求an (n ≥2).
解:由得:

(an ? an?1 ) ? r ? (an?1 ? 1) 3 ? (an?1 ? 1) 4 ? 0.即(an?1 ? 1) 3 [r(an ? an?1 ) ? (an?1 ? 1)] ? 0
a n ? 1, 故r (a n ? a n ?1 ) ? (a n ?1 ? 1) ? 0.合并同类项得 : a n ? an ? 1 ? r ?1 (a n ?1 ? 1). r r ? 1 n ?1 ) . ∴ an ? 1 ? ( r



n



N



1 r ?1 ? ? a n ?1 , 再 由 待 定 系 数 法 得 : r r

◆十四、循环法
数列有形如 f (an?2,an?1 , an ) ? 0 的关系,如果复合数列构不成等差、等比数列,有时可考虑构成循环关系而求 出 an . 例 21.在数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 5, an?2 ? an?1 ? an , 求a1998. 解:由条件 a n ? 3 ? a n ? 2 ? a n ? 1 ? (a n ? 1 ? a n ) ? a n ? 1 ? ?a n , 即 an?3 ? ?an ,? an?6 ? ?an?3 ? an ,

即每间隔 6 项循环一次.1998=6×333, ∴ a1998 ? a6 ? ?4.

◆十五、开方法
对有些数列,可先求 a n 或3 a n , 再求 a n . 例 22、两个数列 {an }, {bn }, 它们的每一项都是正整数,且对任意自然数 n, an 、 bn 、 a n ?1 成等差数列, bn 、 a n ?1 、 bn ?1 成等
比数列, a1

? 1, a2 ? 3, b1 ? 2, 求an 和bn .
2bn=an+an+1,①

解:由条件有:

a2n+1=bn· bn+1.②
由②式得: a n

? bn?1 ? bn , ③

an?1 ? bn ? bn?1 . ④
把③、④代入①得: 2bn ∵ bn >0,∴

? bn?1 ? bn ? bn ? bn?1
.∴

,变形得

bn ( bn ? bn?1 ) ? b( bn?1 ? bn n
? 1, a2 ? 3, b1 ? 2,

).

bn



bn?1 ? bn?1 ? bn

bn

是等差数列.因 a1

9 9 故b2 ? , 故 b2 ? b1 ? ? 2 ? 2, 2 2


bn ? n 2 , bn ? 2n 2 , 故 an ? bn bn?1 ? 2n(n ? 1).


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