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三角(11)三角函数的应用


4.10 三角函数的应用
一.知识点: 1. 三角函数的性质和图象变换; 2. 三角函数的恒等变形. 3. 三角函数的化简,求值,证明. 4. 三角函数与几何,向量.等关系 二.例题分析: (一) 化简思想 例 1 (P67).

化简 : cos(

3k ? 1 3k ? 1 ? ? ? ) ? cos( ? ??) 3 3

思路点拨:熟悉三角公式. (二).整体思想

例 2.P(68) 已知

2 1 tan ? 的 sin(? ? ? ) ? ,sin(? ? ? ) ? , 求 3 5 tan ?

值. 思路点拨: 体 深化拓展:P68 (三).换元思想 例 3. P(68)

sin ? cos ? , cos? sin ? 作为整体,或? ? ? , ? ? ? 为整

求函数y ?
三.与其它知识综合 (一).与向量综合

2 sin x(1 ? sin x) ? , x ? (0, ) 的值域 3 ? cos 2 x ? 4 sin x 2

例 4. ( 05 山东)已知向量 m ? (cos ? ,sin ? ) 和 n ? ( 2 ? sin ? ,cos? ),? ? (? , 2? ) ,且

?

?

? ? ? ? 8 2 m?n ? ,求 cos( ? ) 的值 2 8 5
解:

王新敞
奎屯

新疆

因为 m ? n ? (cos? ? sin ? ? 2,cos? ? sin ? ),

?

?

? ? m ? n ? (cos ? ? sin ? ? 2)2 ? (cos ? ? sin ? ) 2
? 4? 2 2 ( ?c?o s ? ? i4n ? 4 c ? s ? ? 2 ) 1 ? c ? s ? s ) o ( o ( 4 4

?

?

)

由已知 m ? n ? 又 cos(? ?

?

?

? 7 8 2 ,得 cos(? ? ) ? 4 25 5

王新敞
奎屯

新疆

) ? 2 cos 2 ( ? ) ? 1 4 2 8 ? ? 16 cos 2 ( ? ) ? 所以 2 8 25 5? ? ? 9? ? ? 4 ? ? ? ∵ ? ? ? ? 2? ,? 所以 cos( ? ) ? ? 8 2 8 8 2 8 5
王新敞
奎屯 新疆

?

?

?

(二)与反三角综合. 例 5 已知 sin x ? ? ① x ? ??

1 ,根据下列条件求角 x : 2

? ? ?? , ? ;② x ? ?0,2? ? ;③ x ? R ? 2 2?

解:① x ? arcsin? ? ②? sin x ? ? 当 x ? ?? , 得x ?

? ? 1? ??? ; 6 ? 2?
1 〈0,? x ? ?? ,2? ? ,? x 有两个值, 2

? ?

1 1 ? 3? ? ? ?? ( ? ? 时,x ? ? ? ? 0, ? ,而 sin x ? ? ) ? ? sin x ? , x ? ? ? arcsin ? 2 2 6 2 ? ? 2?

7? 6




1 ? 3? ? ? ? ? ? ( n x ? ? ,2? ? 时 , x ? 2? ? ? ? ,0 ? , 而 s i x n 2? ) ? s ix ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ?

1 ? 11? ? x ? 2? ? arcsin( ? ) ? ? 得 x ? 。 2 6 6
③从②可知所求为: ? x x ?

? ?

? 7? 11 ? ? 2k? , 或x ? ? 2k?,k ? Z ? 6 6 ?

= ? x x ? ?? 1? arcsin? ?
k

? ?

? ? 1? ? ? k?,k ? Z ? ? 2? ?

思路点拨: 已知三角函数值求在指定区间上的角时先观察是否在可反区间上, 若是则直接反 即是, 若不是则把角变换到可反区间上而由已知求出变换后的角的函数值, 然后进行反三角, 最后求出所求的角的大小。 (三)与函数综合. (05 上海)对定义域是 D f . D g 的函数 y ? f (x) . y ? g (x) ,

? f ( x) g ( x), 当x ? D f 且x ? D g ? 规定:函数 h( x) ? ? f ( x), 当x ? D f 且x ? D g ? g ( x), 当x ? D 且x ? D f g ?
(1)若函数 f ( x ) ?

1 , g ( x) ? x 2 ,写出函数 h(x) 的解析式; x ?1

(2)求问题(1)中函数 h(x) 的值域; (3)若 g ( x) ? f ( x ? ? ) ,其中 ? 是常数,且 ? ? ?0, ? ? ,请设计一个定义域为 R 的函数

y ? f (x) ,及一个 ? 的值,使得 h( x) ? cos4 x ,并予以证明

? x2 x ? (??,1) ? (1, ??) ? [解] (1) h( x) ? ? x ? 1 ?1 x ?1 ?
(2) 当 x≠1 时, h(x)=

1 x2 =x-1+ +2, x ?1 x ?1

若 x>1 时, 则 h(x)≥4,其中等号当 x=2 时成立 若 x<1 时, 则 h(x)≤ 0,其中等号当 x=0 时成立 ∴函数 h(x)的值域是(-∞,0]∪{1}∪[4,+∞) (3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α = 则 g(x)=f(x+α )= sin2(x+

? ? )+cos2(x+ )=cos2x-sin2x, 4 4

? 4

于是 h(x)= f(x)·f(x+α )= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x. 另解令 f(x)=1+ 2 sin2x, α =

? , 2

g(x)=f(x+α )= 1+ 2 sin2(x+π )=1- 2 sin2x,
于是 h(x)= f(x)·f(x+α )= (1+ 2 sin2x)( 1- 2 sin2x)=cos4x. 四.小结与作业


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