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2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程


课时作业
一、选择题 1.若 k,-1,b 三个数成等差数列,则直线 y=kx+b 必经过定点 ( A.(1,-2) C.(-1,2) B.(1,2) D.(-1,-2) )

A [因为 k,-1,b 三个数成等差数列,所以 k+b=-2,即 b=-2-k,于 是直线方程化为 y=kx-k-2, 即 y+2=k(x-1),故直线必过定点(1,-2)

.] 2.直线 2x+11y+16=0 关于点 P(0,1)对称的直线方程是 ( A.2x+11y+38=0 C.2x-11y-38=0 B.2x+11y-38=0 D.2x-11y+16=0 )

B [因为中心对称的两直线互相平行,并且对称中心到两直线的距离相等, 故可设所求直线的方程为 2x+11y+C=0,由点到直线的距离公式可得 |0+11+16| |0+11+C| = ,解得 C=16(舍去)或 C=-38.] 22+112 22+112 3.直线 l1 的斜率为 2,l1∥l2,直线 l2 过点(-1,1)且与 y 轴交于点 P,则 P 点 坐标为 ( A.(3,0) C.(0,-3) B.(-3,0) D.(0,3) )

D [∵l1∥l2,且 l1 斜率为 2,∴l2 的斜率为 2. 又 l2 过(-1,1),∴l2 的方程为 y-1=2(x+1), 整理即得 y=2x+3.令 x=0,得 P(0,3).] 4.直线 ax+by+c=0 同时要经过第一、第二、第四象限,则 a,b,c 应满足 ( A.ab>0,bc<0 C.ab<0,bc>0 B.ab>0,bc>0 D.ab<0,bc<0 )

A [由于直线 ax+by+c=0 经过第一、二、四象限,

a c 所以直线存在斜率,将方程变形为 y=-bx-b, a c 易知-b<0 且-b>0,故 ab>0,bc<0.] 5.将直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90°,再向右平移 1 个单位,所得到的直线 为 ( 1 1 A.y=-3x+3 C.y=3x-3 1 B.y=-3x+1 1 D.y=3x+1 )

1 A [将直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90°得到直线 y=-3x,再向右平移 1 1 1 1 个单位,所得直线的方程为 y=-3(x-1),即 y=-3x+3.] 6.已知点 A(1,-2),B(m,2),且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x+2y-2=0, 则实数 m 的值是 ( A.-2 C.3 C B.-7 D.1 )

?1+m ? [线段 AB 的中点? ,0?代入直线 x+2y-2=0 中,得 m=3.] ? 2 ?

二、填空题 7.(2014· 贵阳模拟)直线 l 经过点 A(1,2),在 x 轴上的截距的取值范围是(-3, 3),则其斜率的取值范围是________. 解析 设直线 l 的斜率为 k,则方程为 y-2=k(x-1),

2 在 x 轴上的截距为 1- , k 2 1 令-3<1- k<3,解得 k<-1 或 k>2. 答案 ?1 ? (-∞,-1)∪?2,+∞? ? ?

8.(2014· 常州模拟)过点 P(-2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程为 ________.

解析

3 3 直线 l 过原点时,l 的斜率为-2,直线方程为 y=-2x;l 不过原点时,

x y 设方程为a+a=1, 将点(-2,3)代入,得 a=1,直线方程为 x+y=1. 综上,l 的方程为 x+y-1=0 或 2y+3x=0. 答案 x+y-1=0 或 3x+2y=0

9.不论 m 取何值,直线(m-1)x-y+2m+1=0 恒过定点________. 解析 把直线方程(m-1)x-y+2m+1=0

整理得(x+2)m-(x+y-1)=0, ?x+2=0, ?x=-2, 则? 得? ?x+y-1=0, ?y=3. 答案 (-2,3)

三、解答题 10.(2012· 莆田月考)已知两点 A(-1,2),B(m,3). (1)求直线 AB 的方程; ? ? 3 (2)已知实数 m∈?- -1, 3-1?,求直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围. ? 3 ? 解析 (1)当 m=-1 时,直线 AB 的方程为 x=-1; 1 (x+1). m+1

当 m≠-1 时,直线 AB 的方程为 y-2= π (2)①当 m=-1 时,α= 2 ;

? 3 ? ②当 m≠-1 时,m+1∈?- ,0?∪(0, 3 ], ? 3 ? ∴k= 1 ? 3 ? ∈(-∞,- 3 ]∪? ,+∞?, m+1 ?3 ?

?π π? ?π 2π? ∴α∈? , ?∪? , ?. 2? ?2 3 ? ?6 ?π 2π? 综合①②知,直线 AB 的倾斜角 α∈? , ?. 3 ? ?6

2 11.(2014· 河北沧州一模)如图,函数 f(x)=x+ x 的定义域为 (0,+∞).设点 P 是函数图象上任一点,过点 P 分别作直 线 y=x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M,N. (1)证明:|PM|· |PN|为定值; (2)O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值. 解析 ? 2? (1)证明:设 P?x0,x0+ ?(x0>0), x ? 0?

? 2? ? ? ? x0 ? 1 则|PN|=x0,|PM|= = , 2 x0 因此|PM|· |PN|=1.即|PM|· |PN|为定值. 2 (2)直线 PM 的方程为 y-x0- x =-(x-x0),
0

2 即 y=-x+2x0+ x ,
0

?y=x, 解方程组? 2 ?y=-x+2x0+ x0 ,
解得 x=y=x0+ 1 .连接 OP, 2x0

S 四边形 OMPN=S△NPO+S△OPM 1 1 =2|PN||ON|+2|PM||OM| 1 ? 1 ? ? 2? 1 1 ? =2x0?x0+ ?+2·x · 2?x0+ x0 ? 2x0? ? ? 0

1 当且仅当 x0=x ,即 x0=1 时等号成立,
0

因此四边形 OMPN 的最小值为 1+ 2. 12.已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点;

(2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,设△ AOB 的面积为 S,求 S 的最小值及此时直线 l 的方程. 解析 (1)证明:解法一:直线 l 的方程可化为 y=k(x+2)+1,

故无论 k 取何值,直线 l 总过定点(-2,1). 解法二:设直线过定点(x0,y0),则 kx0-y0+1+2k=0 对任意 k∈R 恒成立, 即(x0+2)k-y0+1=0 恒成立, ∴x0+2=0,-y0+1=0, 解得 x0=-2,y0=1,故直线 l 总过定点(-2,1). (2)直线 l 的方程为 y=kx+2k+1,则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k+1, ?k≥0, 要使直线 l 不经过第四象限,则? ?1+2k≥0, 解得 k 的取值范围是[0,+∞). 1+2k (3)依题意,直线 l 在 x 轴上的截距为- k ,在 y 轴上的截距为 1+2k, ? 1+2k ? ?,B(0,1+2k). ∴A?- k ,0? ? 又- 1+2k k <0 且 1+2k>0,∴k>0.

1 1 1+2k 故 S=2|OA||OB|=2× k (1+2k) 1 ? 1 1? =2?4k+k +4?≥2(4+4)=4, ? ? 1 1 当且仅当 4k=k,即 k=2时,取等号. 故 S 的最小值为 4,此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0.


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