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高中数学 3.1.4空间向量的直角坐标运算课件 新人教B版选修2-1


3.1.4空间向量的直角坐标运算

1.空间向量的直角坐标运算:
建立空间直角坐标系 Oxyz,分别沿 x 轴、y 轴、z 轴的正方向引单位向量

? ? ? i, j, k ,这三个互相垂直的单位向量构 ? ? ? 成空间向量的一个基底{ i, j, k },这个
基底叫做单位正交基底。单位向量

>? ? ? i, j, k 都叫做坐标向量。

z a a 3k a 1i k i x O j a 2j y

? ? ? 坐标系[O; i, j, k ]。

空间直角坐标系 Oxyz, 也常说成空间直角

? 在空间直角坐标系中,已知任一向量 a ,

根据空间向量分解定理, 存在惟一数组(a1, 2, a

? ? ? ? ? ? ? a3),使 a ? a1 i ? a2 j ? a3 k , a1 i, a2 j , a3 k 分 ? ? ? ? 别为向量 a 在 i, j, k 方向上的分向量,有序 ? 实数组(a1,a2,a3)叫做向量 a 在此直角坐标系 ? 中的坐标。上式可简记作 a =(a1,a2,a3)。

于是,我们在空间向量集合的元素与三 元有序实数组集合之间建立起了一一对应 ? 关系,即 a ? (a1 , a2 , a3 )
z P a k xi i x yj O j zk y

? ? 设 a =(a1,a2,a3), b =(b1,b2,b3),
则容易得到 ? ? a + b =(a1+b1,a2+b2,a3+b3); ? ? a - b =(a1-b1,a2-b2,a3-b3); ? λ a =(λa1,λa2,λa3); ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 。

??? ? P , 相 对 于 原 点 确 定 了 一 个 向 量 OP , 设 ??? ? ? ? ? OP ? xi ? y j ? zk ,则(x,y,z)也就是点 P 的
坐标,即 P(x,y,z), 设 A(x1 , y1 , z1) , B(x2 , y2 , z2) , 则

在空间直角坐标系 Oxyz 中,对空间任一点

??? ??? ??? ? ? ? AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) ,

这就是说,一个向量在直角坐标系中的坐 标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标 减去起点的坐标。

2.空间向量的平行和垂直的条件

? ? ? ? ? ? 我们知道,a / / b(b ? 0) ? a ? ? b

? 当 b 与三个坐标平面都不平行时,
? ? a1 a2 a3 a / /b ? ? ? b1 b2 b3

? a1 ? ? b1 ? ? ? ? 换用坐标表示,得 a / / b(b ? 0) ? ?a2 ? ?b2 ? ? a ? ?b 3 ? 3

? ? ? ? ? ? 两个向量 a , b 垂直,a ? b ? a ? b ? 0
换用坐标表示,得

? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0

? ? 例 1.已知 a =(1,1,0), b =(0,1,1), ? ? ?? ? ? ? ? ? c =(1,0,1), p = a - b , q = a +2 b - c , ? ? ? ? ? ? 求 p , q, p ? q 。

? ? p ? (1, 0, ? 1) ? q ? (0, 3, 1) ? ? ? p ? q ? ?1

? ? 例 2.已知向量 a =(-2,2,0), b =(-2,0,2), ? ? ? ? ? 求向量 n ,使得 n ⊥ a 且 n ⊥ b 。 ? 解:设 n =(x,y,z), ? ? 则 n ? a =(x,y,z)· 2,2,0)=-2x+2y=0, (- ? ? (- n ? b =(x,y,z)· 2,0,2)=-2x+2z=0, ?? x ? y ? 0 解方程组 ? ,这个方程组有三个 ??x ? z ? 0
未知数,但只有两个方程,不妨把未知数 x 当 x,x)=x(1,1,1)。

? 作已知,求 y,z. 可得 y=x,z=x,于是 n =(x,

3.两个向量夹角与向量长度的坐标计算 公式:

? ? 设 a =(a1,a2,a3), b =(b1,b2,b3), ? ? ? 2 2 2 则 | a |? a ? a ? a1 ? a2 ? a3 , ? ? ? 2 2 2 | b |? b ? b ? b1 ? b2 ? b3 , ? ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b cos ? a, b ?? ? ? ? 。 2 2 | a |?| b | a12 ? a2 ? a3 b12 ? b22 ? b32
设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),

??? ? | AB |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2 。 则

例 3.已知 A(1,1,0),B(0,3,0),C(2,2,3),

??? ???? ? 求(1) ? AB, AC ? ; ? ???? ??? (2) AC 在 AB 上正投影的数量。
z C

y O x A D B

解:(1)由点 A,B,C 的坐标可求得

??? ? ???? AB ? (?1, 2, 0) , AC ? (1,1,3) , ??? ? ???? | AB |? 5, | AC |? 11 , ??? ??? ? ? AB ? AC ? ?1?1 ? 2 ?1 ? 0 ? 3 ? 1 , ??? ???? ? ??? ???? ? AB ? AC 1 ? ???? ? 因此 cos ? AB, AC ?? ??? , | AB | ? | AC | 55 ??? ???? ? 查表得 ? AB, AC ?? 82.3? .

? ???? ??? (2) AC 在 AB 上正投影的数量 ???? ??? ???? ? AD= | AC | cos ? AB, AC ?
1 1 ? ? 0.45 . = 11 ? 55 5

例 4.已知两点 M1(2,2, 2 )、M2(1,3,0), 计算向量 M 1 M 2 的模、方向余弦、方向角 以及与 M 1 M 2 同向的单位向量
??????? M 1M 2 ? 2
1 1 cos ? ? ? cos ? ? 2 2 2? ? 3? ?? , ?? , ? ? 3 3 4 1 1 2 ? a0 ? (? , , ? ) 2 2 2
2 cos ? ? ? 2

例 5.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

A1 B1 ,求 BE1 与 DF1 所成的角的 B1 E1 ? D1 F1 ? 4
余弦值.

解:不妨设已知正方体的棱长为1个单位长度, 且设 DA =i, DC =j, DD1 =k. 以 i、 k 为坐标向量建立空间直角坐标系 D-xyz, j、 则点 B、E1 、D、F1 的坐标分别为 B(1,1,0),

3 E1(1, ,1),D(0,0,0), 4 1 F1(0, ,1) 4

3 1 ∴ BE1 =(1, ,1)-(1,1,0)=(0,- ,1), 4 4 1 1 DF1 =(0, ,1)-(0,0,0)=(0, ,1). 4 4 17 17 ∴ | BE1 |? , | DF1 |? , 4 4 15 DF BE1 · 1 = . 16 BE1·DF1 15 ? ∴cos< BE1 , DF1 >= | BE1 | ? | DF1 | 17

例6.求证:如果两条直线同垂直于一个平 面,则这两条直线平行. 已知:直线OA⊥平面α,直线BD⊥平面α, O、B为垂足. 求证:OA//BD.

证明:以点O为原点,以射线OA为非负z轴, 建立空间直角坐标系O-xyz,i, j, k为沿x轴, ???? ? y轴,z轴的坐标向量,设 BD ? ( x, y, z ) ∵BD⊥α, ∴ BD ⊥i, BD⊥j, ???? ? ???? ? ∴ BD · BD · 0, 0)=x=0, i= (1, ???? ? ???? ? j= (0, BD · BD · 1, 0)=y=0, ???? ? ???? ? ∴ BD =(0, 0, z).∴ BD =zk. ???? ? 即 BD //k. 由已知O、B为两个不同的点,∴OA//BD.

??? ? 例7.在ΔABC中,已知 AB =(2, 4, 0), ??? ? 45° BC =(-1, 3, 0),则∠ABC=____.

例 8.已知空间三点 A(0, 2, 3), B(-2, 1, 6), C(1, -1, 5) ⑴ 求以向量 AB, AC 为一组邻边的平行四 边形的面积 S;

? ? ⑵ 若向量 a 分别与向量 AB, AC 垂直, a | 且| ? = 3 ,求向量 a 的坐标。
? ? a ? (1,1,1)或a ? (?1, ?1, ?1)

S ?7 3

例9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,
BC=b,CC1=c,求异面直线BD1和B1C所 成角的余弦值。
b ?c
2 2

cos ? ?

(a 2 ? b 2 ? c 2 )(b 2 ? c 2 )


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