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【优化方案】2012高考数学总复习


§3.1 任意角与弧度制、任

意角的三角函数

§ 3.1 任 意 角 与 弧 度 制、 任 意 角 的 三 角 函 数

双基研习?面对高考

考点探究?挑战高考

考向瞭望?把脉高考

双基研习?面对高考

基础梳理
1.

角的概念

(1)角的分类
角按旋转方向不同可分为_______、______、 正角 负角 零角 ______. (2)终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成 {β|β=α+k· 360°,k∈Z} 一个集合__________________________.

2.象限角及终边落在坐标轴上的角 终边位置 第一象限 集合表示

π {α|2kπ<α<2kπ+ ,k∈Z} 2
__________________________________________ {α|2kπ+ <α<2kπ+π,k∈Z} 2 ____

第二象限
第三象限 第四象限

π

3π {α|2kπ+π<α<2kπ+ ,k∈Z} 2 3π __________________________________________ {α|2kπ+ <α<2kπ+2π, k∈Z} 2 _____

终边位置 x 轴

集合表示

正半轴
负半轴 正半轴 负半轴 坐标轴

{α|α=2kπ,k∈Z}
{α|α=2kπ+π,k∈Z} _________________

y 轴

π {α|α=2kπ+ ,k∈Z} 2
π {α|α=2kπ- ,k∈Z} ________________________________________ 2 kπ {α|α= ,k∈Z} 2

思考感悟 1.如何表示终边在x轴上、y轴上的角的集合?

提示: 终边在 x 轴上的角的集合为{α|α=kπ, k∈Z}; π 终边在 y 轴上的角的集合为{α|α=kπ+ ,k∈Z}. 2

3.角度制与弧度制的互化

π π 360°=____,180°=___,1°=_____rad, 2π 180 π 1rad=( 180 )°≈57.3°=57°18′.
4.弧长及扇形面积公式 弧长公式:l=|α|· r,

1 1 2 lr= |α|· r 扇形面积公式:S=_____________, 2 2 其中l为扇形弧长,α为圆心角的弧度数,r为扇形
半径.

5.任意角的三角函数
三角 函数 正弦函数 余弦函数 正切函数

在直角坐标系中,给定单位圆,对于任意角α,使 角α的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合, 终边与单位圆交于点P(x,y)

y x y 定义 ______叫作α的正 x r ____叫作α的 _____叫作α的 r 切函数,记作
正弦函数,记 余弦函数,记 作sinα 作cosα
tanα(α≠ π 2 kπ,k∈Z) +

三角函数 Ⅰ Ⅱ 各象限 符号

正弦函数 + +

余弦函数 + -

正切函数 + -

Ⅲ Ⅳ
口诀

- -

- +

+ -

一全正,二正弦,三正切,四余弦都为 正值 cos(α+ tan(α+2kπ) 终边相同角的三 sin(α+2kπ) k·2π)= sinα tanα 角函数值(k∈Z) =_____ =_____ cosα

思考感悟
2.根据三角函数的定义,三角函数在各象限的 符号与此象限点的坐标的符号有怎样的关系? 提示:根据三角函数的定义,y=sinx在各象限 的符号与此象限点的纵坐标符号相同,y=cosx

在各象限的符号与此象限点的横坐标符号相同,
y=tanx在各象限的符号与此象限点的纵坐标与 横坐标商的符号相同.

6.三角函数线

图中有向线段MP、OM、AT分别表示_______、 正弦线 ________、_______. 余弦线 正切线

课前热身

1.(2011年蚌埠质检)若α=k· 180°+
45°(k∈Z),则α是( A.第一或第三象限角 B.第一或第二象限角 C.第二或第四象限角 )

D.第三或第四象限角
答案:A

2.cos 390° 等于( 1 A.- 2 3 C.- 2

) 1 B. 2 3 D. 2

答案:D

3.若sinα<0且tanα>0,则α是(
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角

)

答案:C

4.(教材习题改编)若角 α 的终边经过点 P(- 3, 3 m),且 sinα= m(m≠0),则 cos α=__________. 4

3 答案:- 4

4 3 5.已知 sinα= ,cosα= ,则角 2α 所在的象限是 5 5 ___________________________________________ _____________________________。

答案:第二象限

考点探究?挑战高考

考点突破 角的集合表示 1.相等的角终边一定相同,但终边相同的角却

不一定相等,终边相同的角有无数个,它们之
间相差360°的整数倍.

2.角的集合的表示形式不是唯一的,如:终边在 y 轴的负半轴上的角的集合可以表示为{x|x=2kπ- π 3π ,k∈Z},也可以表示为{x|x=2kπ+ ,k∈Z}. 2 2

α 3. 角所在象限 2

α

第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 角 角 角 角

α 2

第一或第 第一或第 第二或第 第二或第 三象限角 三象限角 四象限角 四象限角

例1

(2011年亳州质检)如图所示,点A在半径

为1且圆心在原点的圆上,且∠AOx=45°.点P 从点A出发,依逆时针方向等速地沿单位圆周旋

转.已知P在1秒钟内转过的角度为
θ(0°<θ<180°),经过2秒钟到达第三象限,经

过14秒钟后又回到出发点A,求θ.

【思路点拨】

先把实际语言转化为数学语言,即

14秒钟后P在角14θ+45°的终边上,由此可得到
等量关系,再注意到θ角的范围便可确定θ的值.

【解】 由题意, 14θ+45° 360° 有 =k· +45° (k∈Z), k· 180° ∴θ= (k∈Z). 7 又 180° <2θ+45° <270° ,即 67.5° <θ<112.5° . k· 180° ∴67.5° < <112.5° ,且 k∈Z,∴k=3 或 k=4. 7 540° 720° 故所求的 θ 值为 θ= 或 θ= . 7 7

【名师点评】 解答这类问题,关键在于抓住终 边相同的角的一般表示,即与角α终边相同的角 的一般形式为β=α+k· 360°(k∈Z).另外,对 于角的概念,还要注意区分几个易混淆的概念: (1)正角、负角是以射线绕端点的旋转方向定义的, 零角是射线没有做任何旋转;其顶点都在原点, 始边为x轴的正半轴,所不同的是终边的旋转方 向不同.一个角是第几象限角,关键是看这个角 的终边落在第几象限;(2)“小于90°的角”“锐角 ”“第一象限角”的根本区别在于其范围的不同, 它们的范围分别是: “α<90°”“0°<α<90°”“k· 360°<α<k· 360°+ 90°(k∈Z)”.

三角函数的定义 任意角三角函数的定义是锐角三角函数定义的推

广,利用任意角三角函数的定义可以解决与30°,
45°,60°等特殊角相关的三角函数求值问题,

如计算sin150°,cos135°,tan120°等.已
知角α终边上一点的坐标,也可计算角α的三角函 数值等.

例2

已知角 α 的终边经过点 P(x,- 2)(x≠0),

3 且 cosα= x,求 sinα,tanα 的值. 6 【思路点拨】 先根据三角函数的定义求出x的

值,再求sinα,tanα的值.

【解】 ∵P(x,- 2)(x≠0), ∴P 到原点距离 r= x2+2. 3 又 cosα= x, 6 x 3 ∴cosα= 2 = x. x +2 6 ∵x≠0,∴x=± 10,∴r=2 3.

当 x= 10时,P 点坐标为( 10,- 2), 6 5 由三角函数定义,有 sinα=- ,tanα=- , 6 5 当 x=- 10时,P 点坐标为(- 10,- 2), 6 5 ∴sinα=- ,tanα= . 6 5

【名师点评】

(1)在利用三角函数的定义求角α

的三角函数值时,若角α的终边上点的坐标是以
参数的形式给出的,则要根据问题的实际及解题

的需要对参数进行分类讨论.
(2)任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关, 而与角α终边上点P的位置无关.若角α已经给出, 则无论点P选择在α终边上的什么位置(原点除外), 角α的三角函数值都是确定的.

3 3 互动探究 1 将例 2 中 cosα= x 换为 sinα= x, 6 6 其他条件不变,求 cosα、tanα 的值.
解:P 到原点的距离 r= x2+2, 3 又 sinα= x, 6 3 ∴ 2 = x, x +2 6 - 2

解得 x2=4, 3 又 x<0,∴x=-2, 6 -2 6 则 cosα= =- , 2 3 ?-2? +2 2 tanα= . 2

三角函数值符号的判定 1.熟记各个三角函数在每个象限内的符号是关 键.

2.判断三角函数值的符号就是要判断角所在的
象限.

3.对于已知三角函数式的符号判断角所在象限,
可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符 号,再判断角所在象限.

θ 3 θ 4 (1)已知 sin = ,cos =- ,则 θ 角所在 2 5 2 5 象限为__________; (2)如果点 P(sinθ· cosθ,2cosθ)位于第三象限,试判 断角 θ 所在的象限;
例3

sin?cosθ? (3)若 θ 是第二象限角, 则 的符号是什么? cos?sin2θ?

θ θ θ 【思路点拨】 (1)由 sin , cos 的值确定 所在的象 2 2 2 限,进而求出 θ 所在象限. (2)由点 P 所在的象限,知道 sinθ· cosθ,2cosθ 的符 号,从而可求 sinθ 与 cosθ 的符号. (3)由 θ 是第二象限角,可求 cosθ,sin2θ 的范围, 进而把 cosθ,sin2θ 看作一个用弧度制的形式表示 的 角 ,并 判断 其 所在 的象 限 ,从而 sin(cosθ) , cos(sin2θ)的符号可定.

θ θ 3 【解】 (1)由条件知 是第二象限角,又由 sin = 2 2 5 2 3π 3π θ < =sin ,知 2kπ+ < <2kπ+π,k∈Z,所以 2 4 4 2 3π 4kπ+ <θ<4kπ+2π,k∈Z,故角 θ 在第四象限. 2 (2)∵点 P(sinθ· cosθ,2cosθ)位于第三象限, ∴sinθ· cosθ<0 且 cosθ<0, ∴sinθ>0,cosθ<0. 由 sinθ>0 得 θ 位于第一、二象限或 y 轴正半轴上, 由 cosθ<0 得 θ 位于第二、三象限或 x 轴负半轴上. ∴θ 为第二象限角.

π (3)∵2kπ+ <θ<2kπ+π(k∈Z), 2 ∴-1<cosθ<0, 4kπ+π<2θ<4kπ+2π(k∈Z),-1≤sin2θ<0. ∴sin(cosθ)<0,cos(sin2θ)>0, sin?cosθ? sin?cosθ? ∴ <0,即 的符号是负号. cos?sin2θ? cos?sin2θ?

θ 3 2 【误区警示】 在第(1)问中, 易忽视 sin = < 而 2 5 2 得出 θ 是第三、四象限角;第(2)问中,当 sinθ>0, cosθ<0 时,易漏写 θ 位于 y 轴正半轴上和 x 轴负半 轴上;第(3)问中,易出现找不到解题方向,而无法 π π 解答,实质上- <-1<cosθ<0,- <-1≤sin2θ<0, 2 2 这里应把 cosθ,sin2θ 看作角.

弧度制的应用

这类问题主要是利用周长和面积公式,找出扇形
半径、圆心角、周长和面积的联系,建立函数关

系式.
例4

已知一扇形的圆心角是α,半径为R,弧

长为l. (1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长l; (2)若扇形周长为20 cm,当圆心角α为多少弧度

时,这个扇形的面积最大?

【思路点拨】
面积公式.

利用弧度制下扇形弧长及

π π 10π 【解】 (1)∵α=60° , = ∴l=α· R= ×10 cm= 3 3 3 cm. (2) 由 题 意 得 : l + 2R = 20 cm , 则 l = 20 - 2R(0<R<10). 1 1 所以 S 扇= l· R= (20-2R)· R=(10-R)· R=-R2+ 2 2 10R,当且仅当 R=5 cm 时,S 有最大值 25 cm .此 l 时 l=20-2×5=10 cm,α= =2 rad.即当 α=2 R rad 时,扇形面积最大.
2

【名师点评】

解决此类问题时,用弧度制下的

扇形弧长、面积公式比较简单,但一定要注意将

角度化为弧度.第(2)问中的最值问题一般是转化
为函数最值问题或是利用均值不等式求解. 变式训练2 半径是R. (1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长及该 已知一扇形的圆心角是α,所在圆的

弧所在的弓形面积;
(2)若扇形的周长是一定值c(c>0),当α为多少弧 度时,该扇形有最大面积?

解:(1)设弧长为 l,弓形面积为 S 弓, π 10 ∵α=60° ,R=10,∴l= π(cm), = 3 3 1 10 1 π 2 S 弓 =S 扇-S△= × π×10- ×10 ×sin 2 3 2 3 π 3 =50( - )(cm2) 3 2

(2)法一:∵扇形周长 c=2R+l=2R+αR, c ∴R= , 2+α 1 2 1 c 2 c2 1 ∴S 扇= α· = α( R ) = α· 2 2 2+α 2 4+4α+α2 2 2 c 1 c = · ≤ , 2 4 16 4+α+ α 4 ∴当且仅当 α= ,即 α=2(α=-2 舍去)时, α c 扇形面积有最大值 . 16
2

c-l 法二:由已知 2R+l=c,∴R= (l<c), 2 1 1 c-l 1 1 c 2 c2 ∴S= Rl= · · (cl-l2)=- (l- ) + , l= 2 2 2 4 4 2 16 c 2 c c2 l ∴当 l= 时,Smax= ,此时 α= = =2. 2 16 R c c- 2 2 c ∴当扇形圆心角为 2 弧度时,扇形面积有最大值 16
2

方法感悟 方法技巧
1.在利用三角函数定义时,点P可取终边上任一

点,如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|=
r一定是正值.(如例2) 2.要熟悉角的弧度制与角度制间的换算关 系.给定一个角,要准确判断它所在的象限或区 域.熟记一些常见角的集合.(如课前热身5)

3.根据三角函数的定义可知:(1)一个角的三角函 数值只与这个角的终边位置有关, 即角 α 与 β=2kπ +α(k∈ Z)的同名三角函数值相等;(2)|sinα|≤1, |cosα|≤1 是三角函数中最基本的一组不等关系. (如 例 3(3)) 4. 牢记各象限角的三角函数值的符号, 在计算或化 简三角函数关系时,常需要对角的范围以及相应三 角函数值的正负情况进行讨论.(如例 3(2)) 1 5.掌握好弧长公式 l=|α|R、扇形面积公式 S= lR 2 1 = |α|R2(α 为圆心角的弧度数)的使用.(如例 4) 2

失误防范 1.注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、

小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象
限角,第二、第三类是区间角. 2.角度制与弧度制可利用180°=π rad进行互 化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致, 不可混用.

3.注意熟记0°~360°间特殊角的弧度表示.

考向瞭望?把脉高考

考情分析

从近几年高考来看,三角函数定义在高考中经
常出现,既有小题也有大题,主要是与其他知 识相结合考查,一般不单独命题. 预测2012年高考仍将与其他知识结合考查,重 点考查基础知识与运算能力.

规范解答


(本题满分10分)已知角θ的终边上一点

P(3a,4a)(a≠0),求角θ的正弦、余弦和正切值.

【解】 ∵x=3a,y=4a, ∴r= ?3a?2+?4a? 2= 25a2=5|a|.3 分 (1)当 a>0 时,r=5a, y 4 x 3 y 4 ∴sinθ= = ,cosθ= = ,tanθ= = ;7 分 r 5 r 5 x 3 (2)当 a<0 时,r=-5a, y 4 x 3 y 4 ∴sinθ= =- ,cosθ= =- ,tanθ= = .10 分 5 5 r r x 3

【名师点评】 (1)由终边上一点求三角函数值时, 由 于 没 有 考 虑 参 数 的 取 值 情 况 , 从 而 求 出 r= ?3a? +?4a? = 25a =5a, 结果得到下列错误的解 y 4 x 3 y 4 法:sinθ= = ,cosθ= = ,tanθ= = . r 5 r 5 x 3 (2)角的终边是一条射线,而不是直线.该题中,我 们只能确定角的终边所在直线,若将已知改为角的 终边在直线 4x-3y=0 上,则解题过程仍然不变,
2 3 2

应分两种情况讨论.

(3)如果是在单位圆中定义任意角的三角函数,设角 α 的终边与单位圆的交点坐标为(x, 则 sin α=y, y), y cos α=x,tan α= ,但如果不是在单位圆中,设角 x y α 的终边经过点 P(x,y),|OP|=r,则 sin α= ,cos r x y α= ,tan α= .在这个定义中最容易弄错的就是正 r x 弦和余弦的定义,在解决与三角函数定义有关的试 题时, 一定要注意准确性, 不要把 x, 的位置颠倒. y

名师预测
1.下列各选项中,与 sin(2191° )的值最接近的数是 ( ) 1 2 A. B. 2 2 1 C.- 2 2 D.- 2

解析:选A.sin(2191°)=sin(6×360°+31°)
=sin31°.故选A.

2.角 α 的终边过点 P(-1,2),则 sin α=( 5 2 5 A. B. 5 5 5 2 5 C.- D.- 5 5
解析:选 B. y 2 2 5 r= ?-1? +2 = 5.∴sinα= = = . 5 r 5
2 2

)

3.若角α与角β的终边在同一条直线上,则角α
与角β满足关系式__________. 解析:由条件知角α与角β的终边或重合或共线且 反向,于是有α=β+2k1π或α=β+π+2k2π=β +(2k2+1)π(k1、k2∈Z),即α=β+kπ(k∈Z).

答案:α=β+kπ(k∈Z)

4.已知圆的半径是6 cm,则15°的圆心角与圆
弧围成的扇形面积是________.
π 解析:∵15° = rad, 12 1 2 1 π 3π 2 ∴S 扇= α· = × ×36 = cm . r 2 2 12 2
3π 答案: cm2 2


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