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河南省信阳高级中学2015-2016学年高二12月月考数学试卷(理)


信阳高中高二 12 月月考理科数学试题
一.选择题(本题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.数列 {an } 为等差数列, a1 , a2 , a3 为等比数列, a5

? 1 ,则 a10 ?

A. 5 B. ?1 C. 0 D. 1 2.给出如下四个命题: ①若“p 且 q”为假命题,则 p、q 均为假命

题; ②命题“若 a>b,则 2a>2b﹣1”的否命题为“若 a≤b,则 2a≤2b﹣1” ; ③“ ? x∈R, x 2 ? 1 ? 1 ”的否定是“ ? x∈R, x 2 ? 1 ? 1 ; ④在△ABC 中, “A>B”是“sinA>sinB”的充要条件. 其中不正确的命题的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1 3.已知命题 p : “ ?x ? [1,2], x ? a ? 0 ” ,命题 q : “ ?x ? R, x ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ” .
2 2

若命题“ p 且 q ”是真命题,则实数 a 的取值范围为 A. a ? ?2 或 a ? 1 B. a ? ?2 或 1 ? a ? 2 C. a ? 1 D. ? 2 ? a ? 1

x2 y2 1 4.若 ? ? (0, ? ) ,且 sin ? ? cos ? ? ,则曲线 ? ?1是 sin ? cos ? 5
A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 x 轴上的双曲线 B.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线

5.已知点 P( x, y ) 在不等式组 是 A. ?1

?x ? 2 ? 0 ? ? y ?1 ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

表示的平面区域内运动,则 D.3

z ? x ? y 的最大值

B. ?2

C.2

6.在公差不为 0 的等差数列 ?an ?中,2a4 ? a9 2 ? 2a14 ? 0 ,数列 ?bn ? 是等比数列,且 a9 ? b9 则 b 8 b10 ? A. 4 B. 16 C.8 D.2

? ? ? ? 7.已知向量 a =(2,4,5), b =(3,x,y), a, b 分别是直线 l1 , l2 的方向向量,若 l1 //l2 则
A.x=6、y=15 B.x=3、y=

15 2

C.x=3、y=15

D.x=6、y=

15 2

π 2 2 8. 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c ? (a ? b) ? 6 ,C= ,则△ABC 3 的面积是

A.3

3 3 B. 2

9 3 C. 2

D.3

3
1

9.若直线 mx+ny+2=0(m>0,n>0)截得圆 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 1 的弦长为 2,则
2 2

1 3 ? 的最 m n

小值为 A.4
2

B.12

C.16

D.6

10.已知 F 是抛物线 y ? x 的焦点,A,B 为抛物线上的两点,且|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点 M 到 y 轴的距离为 5 A. 4 7 B. 4 3 C. 2 3 D. 4

x2 y2 11.已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,若椭圆的离心率为 a b
2 ,焦距为 2,则线段 AB 的长是 2
A.

2 2 3

B.

4 2 3

C. 2

D. 2

12. 设双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的右焦点为 F ,过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐 a 2 b2

近 线 于 A, B 两 点 , 且 与 双 曲 线 在 第 一 象 限 的 交 点 为 P , 设 O 为 坐 标 原 点 , 若

uuu r uur uuu r 3 OP ? ? OA ? ? OB(? , ? ? R) , ? ? ? ? ,则双曲线的离心率为
16
A.

2 3 3

B.

3 5 5

C.

3 2 2

D.

9 8

二填空题(本题共4道小题,每小题5分,共20分) 13.抛物线 y ? 2 x 2 的准线方程为 .

14 已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a2 a8 15.若 ?ABC 的面积为 S ?

? 2a3 a6 , S5 ? ?62 ,则 a1 的值是

a2 ? b2 ? c2 4 3
2 2

,则角 C =__________.
2 2

16.已知动圆 M 与圆 C1:(x+5) +y =16 外切,与圆 C2:(x-5) +y =16 内切,则动圆圆心 的轨迹方程为 。 第 II 卷 非选择题 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤)

1 x2 y2 ?1 17. 已知命题 p : “存在 x ? R,2 x ? (m ? 1) x ? ? 0 ” , 命题 q : “曲线 C1 : 2 ? 2 2m ? 8 m
2

2

表示焦点在 x 轴上的椭圆”,命题 s : “曲线 C 2 :

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线” m ? t m ? t ?1

(1)若“ p 且 q ”是真命题,求 m 的取值范围; (2)若 q 是 s 的必要不充分条件,求 t 的取值范围。

18.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c ,且 (1)求角 B 的大小; (2)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 面积的最大值.

sin A 3 cos B . ? a b

19.在等比数列 ?an ? 中, a3 ?

3 9 ,S3 ? . 2 2

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; ( Ⅱ ) 设 bn ? log 2

6 a2 n ?1

, 且

?bn ?

为 递 增 数 列 , 若 cn ?

1 , 求 证 : bn ? bn ?1

1 c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? . 4

20. 设函数 f ( x) ? ax ? (b ? 2) x ? 3(a ? 0) ,
2

(1)若不等式 f ( x) ? 0 的解集 (?1,3) .求 a, b 的值; (2)若 f (1) ? 2, a ? 0、b ? 0 求

1 4 ? 的最小值 a b

21.如图,四边形 ABCD 是正方形,△ PAB 与△ PAD 均是以 A 为直角顶点的等腰直角三角
3

形,点 F 是 PB 的中点,点 E 是边 BC 上的任意一点.

(1)求证: AF ? EF ; (2)求二面角 A ? PC ? B 的平面角的正弦值.

22. 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为 2 a b 2

半径的圆与直线 7 x ? 5 y ? 12 ? 0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 A(?4, 0) ,过点 R (3, 0) 作与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆 C 于 P , Q 两点,连接 AP ,

AQ 分别交直线 x ?

16 于 M , N 两点,若直线 MR 、 NR 的斜率分别为 k1 、k2 ,试问:k1k2 3

是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.

4

信阳高中 12 月月考理科数学参考答案 1-5 DCAAC 6-10 14. --2 BDBDA 15. 11-12 BA 16.

y??
13.

1 8

? 6
2

x2 y2 ? ? 1( x ? 0) 16 9
解得 m ? ?1 或 m ? 3

17 解: (1)若 p 为真: ? ? (m ? 1) ? 4 ? 2 ?

1 ?0 2

若 q 为真:则 ?

?m 2 ? 2 m ? 8 ?2 m ? 8 ? 0

解得 ? 4 ? m ? ?2 或 m ? 4

若“ p 且 q ”是真命题,则 ?

?m ? ?1或m ? 3 ?? 4 ? m ? ?2或m ? 4

解得 ? 4 ? m ? ?2 或 m ? 4

(2)若 s 为真,则 (m ? t )(m ? t ? 1) ? 0 ,即 t ? m ? t ? 1 则 可 得 {m | t ? m ? t ? 1} ? ? {m | ?4 ? m ? ?2 或 m ? 4}

由 q 是 s 的必要不充分条件, 即?

?t ? ?4 或t?4 ?t ? 1 ? ?2

解得 ? 4 ? t ? ?3 或 t ? 4 18 ( 1 )

sin A 3 cos B ? a b

, 由 正 弦 定 理 得

sin A 3 cos B ? sin A sin B



tan B ? 3,? B ?
( 2 ) cos B ?

?
3

.

??????????5 分

a 2 ? b2 ? 4 1 ? , ? a 2 ? c 2 ? ac ? 4 2ac 2

又 ? a 2 ? c 2 ? 2ac , 所 以

1 ac ? 4 , 当 且 仅 当 a ? c 取 等 号 . S ? ac sin B ? 3 , ? ABC 为 正 三 角 形 时 , 2

S max ? 3 .
3

???????????12 分

(1) q ? 1 时, an ? ?2 分 2 19.

1 q ? 1 时, an ? 6 ? (? ) n ?1 2
(2) 由题意知:an ? 6 ? (? ) n ?1

??????4 分

1 2

??????6 分 a2 n ?1 ? 6 ? ( ) n

1 4

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∴ bn ? 2n

8 分∴ cn ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 2n ? (2 n ? 2) 4 n ? (n ? 1) 4 n n ? 1
1 1 1 (1 ? )? 4 n ?1 4

10 分

∴ c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ?

??????12 分

20(1)因为不等式 f ( x) ? 0 的解集 (?1,3) ,所以-1 和 3 是方程 f ( x) ? 0 的二实根,从而 有: ?

?

f (?1) ? a ? b ? 5 ? 0

? f (3) ? 9a ? 3(b ? 2) ? 3 ? 0

即?

?a ?b?5 ? 0 ?a ? ?1 解得: ? . ?3a ? b ? 1 ? 0 ?b?4

(2)由 f (1) ? 2, a ? 0、b ? 0 得到 a ? b ? 1 ,

所以

1 4 1 4 b 4a b 4a ? ? ( ? ) ? ( a ? b) ? 5 ? ? ? 5? 2 ? ?9, a b a b a b a b

1 ? ? b 4a ?a ? ? ? 3 时“=”成立;所以 1 ? 4 的最小值为 9. 当且仅当 ? a b 即? 2 a b ? ?a ? b ? 1 ?b ? 3 ? 21.(1)证明:∵ F 是 PB 的中点,且 PA ? AB ,∴ AF ? PB . 1分 ∵ △ PAB 与△ PAD 均是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,∴ PA ? AD , PA ? AB . ∵ AD ? AB ? A , AD ? 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD ,∴ PA ? 平面 ABCD . ∵ BC ? 平面 ABCD , ∴ PA ? BC . 2 分∵ 四边形 ABCD 是正方形∴ BC ? AB . 3 分∵ PA ? AB ? A , PA ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB , ∴ BC ? 平面 PAB .∵ AF ? 平面 PAB ,∴ BC ? AF . 4分 ∵ PB ? BC ? B , PB ? 平 面 PBC , BC ? 平 面 PBC , ∴ AF ? 平 面 PBC . 5 分∵ EF ? 平面 PBC ,∴ AF ? EF . 6分

P F

H

A E D C

B

(2)解法 1:作 FH ? PC 于 H ,连接 AH , ∵ AF ⊥平面 PBC , PC ? 平面 PBC ∴ AF ? PC . ∵ AF ? FH ? F , AF ? 平面 AFH , FH ? 平面 AFH , ∴ PC ⊥平面 AFH . 8 分∵ AH ? 平面 AFH , ∴ PC ? AH . 9 分∴∠ AHF 为二面角 A ? PC ? B 的平面角.

7分

10 分

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设正方形 ABCD 的边长为 2 ,则 PA ? AB ? 2 , AC ? 2 2 , 在 Rt△ PAB 中,在 Rt△ PAC 中, PC ?

PA2 ? AC 2 ? 2 3 , AH ?

PA ? AC 2 6 , ? PC 3

在 Rt△ AFH 中, sin ?AHF ?

AF 3 . ? AH 2
z

二面角 A ? PC ? B 的平面角的正弦值为

P F

A E

B C

y

3 . 2

x

D

解法 2:以 A 为坐标原点,分别以 AD, AB, AP 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴 , 建立空间直角坐标系 A ? xyz ,设 PA ? 1 , 则 P ? 0, 0,1? , B ? 0,1, 0 ? , C ?1,1, 0 ? , D ?1, 0, 0 ? . ∴ PB ? ? 0,1, ?1? , BC ? ?1, 0, 0 ? . 7分

??? ?

??? ?

?? 设平面 PBC 的法向量为 m ? , (x, y,z )
?? ??? ? ? ? y ? z ? 0, m ? PB ? 0, ? 由 ? ?? ??? 得? ? ? x ? 0. ? ?m ? BC ? 0,

8 分令 y ? 1 ,得 z ? 1 ,

?? ∴ m ? ? 0,1,1? 为平面 PBC 的一个法向量.

9分

∵ PA ? 平面 ABCD , PA ? 平面 PAC , ∴ 平面 PAC ? 平面 ABCD . 连接 BD ,则 BD ? AC . ∵ 平面 PAC ? 平面 ABCD ? AC , BD ? 平面 ABCD , ∴ BD ? 平面 PAC . 10 分 11 分
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??? ? ∴ 平面 PAC 的一个法向量为 BD ? ?1, ?1, 0 ? .

设二面角 A ? PC ? B 的平面角为 ? ,

?? ??? ? ?? ??? ? m ? BD 1 则 cos ? ? cos m, BD ? ?? ??? ? ? . 2 m BD
3 . 2

∴ sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

3 .∴ 二 面 角 2

A ? PC ? B 的平面角的正弦值为

12 分

?c 1 ?a ? 2 , ?a ? 4, ? ? x2 y 2 ? 12 ? b, 解得 ?b ? 2 3, 故椭圆 C 的方程为 ? 22 解(1)由题意得 ? ? 1. 16 12 7 ? 5 ? ?c ? 2, ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? ?
? x2 y 2 ? 1, ? ? (2)设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,直线 PQ 的方程为 x ? my ? 3 ,由 ?16 12 ? x ? my ? 3, ?
得 (3m ? 4) y ? 18my ? 21 ? 0 .
2 2

?18m ?21 , y1 y2 ? , 2 3m ? 4 3m 2 ? 4 yM y 28 y 由 A , P , M 三点共线可知, ? 1 ,所以 yM ? ? 1 ; 16 3 x1 ? 4 ? 4 x1 ? 4 3
∴ y1 ? y2 ? 同理可得 y N ? 所以 k1k2 ?

28 y2 ? 3 x2 ? 4

y 9y y 16 y1 y2 yM . ? N ? M N ? 16 16 ( x ? 4)( x ? 4) 49 1 2 ?3 ?3 3 3

因为 ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? ( my1 ? 7)( my2 ? 7) ? m 2 y1 y2 ? 7 m( y1 ? y2 ) ? 49 ,

?21 12 16 y1 y2 3m 2 ? 4 ? ?? . 所以 k1k2 ? 2 7 m y1 y2 ? 7m( y1 ? y2 ) ? 49 m 2 ? ?21 ? 7m ? ?18m ? 49 2 2 3m ? 4 3m ? 4 16 ?

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