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2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案


2012 年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案

2012 年全国高中数学联赛一试及加试试题一、 填空题:本 大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在题中的 横线上. 21.设 P 是函数 y x ( x 0 )的图像上任意一点, 过点 P 分别向 x 直线 y x 和 y 轴作垂线,垂足分别为 A B , PA PB 的值是______

_______. 32.设 ABC 的内角 A 则 B C 的对边分别为 a b c , 且满足 a cos B b cos A c , 5 tan A 则 的值是_____________. tan B3.设 x y z 01 , M x y y 则 z z x 的最大值是_____________.4.抛物线 y 2 px p 0 的焦点 为 F ,准线为 l , A B 是抛物线上的 2 两个动点,且满 足 AFB .设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N , 3 MN 则 的最大值是_____________. AB 5.设同底的两个正 三棱锥 P ABC 和 Q ABC 内接于同一个球.若正三棱锥 P ABC 的侧面与底面所成的角为 45 ,则正三棱锥 Q ABC 的侧面与底面所成角的正切值是_____________.6.设 f x 是 定义在 R 上的奇函数, 且当 x 0 时, f x x . 若对任意的 x a a 2 ,不等式 f x a 2 f x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 _____________. 1 17.满足 sin 的所有正整数 n 的和是 _____________. 4 n 38.某情报站有 A B C D 四种互不相同 的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从上周未使 用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第 1 周使用A种 密码, 那么第 7 周也使用 A 种密码的概率是_____________. (用最简分数表示)二、解答题:本大题共3小题,共56

分. 解答应写出文字说明、 推理过程或演算步骤. 1 3 19. (本 小题满分 16 分) 已知函数 f x a sin x cos 2 x a a R a 0 2 a 2 1) ( 若对任意 x R ,都有 f x 0 ,求 a 的取值范围;(2)若 a 2 ,且存在 x R ,使得 f x 0 ,求 a 的取值范围.10. (本 小题满分20分)已知数列 an 的各项均为非零实数,且对 于任意的正整数 n , 都有 a1 a2 an 2 a13 a2 an 3 3 (1) n 3 当 时,求所有满足条件的三项组成的数列 a1 a2 a3 (2)是否 存在满足条件的无穷数列 an ,使得 a2013 2012 若存在, 求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理 由. (本小题满分 20 分) 11. 如图 5, 在平面直角坐标系 XOY 中,菱形 ABCD 的边长为 4 , OB OD 6 . 且(1)求证: OA OC 为定值;(2)当点 A 在半圆 x 2 y 4 ( 2 x 4 )上 运动时,求 2 2 点 C 的轨迹. 2012 年全国高中数学联赛 加试试题一、(本题满分 40 分)如图,在锐角 ABC 中, AB AC M N 是 BC 边上不同的两点,使得 BAM CAN . 设 ABC 和 AMN 的外心分别为 O1 O2 ,求证: O1 O2 A 三 点共线。二、(本题满分 40 分)试证明:集合 A 2 2 2 满 足 2 n(1)对每个 a A ,及 b N ,若 b 2a 1 ,则 bb 1 一 定不是 2a 的倍数;(2)对每个 a A (其中 A 表示 A 在 N 中的补集) 且 a 1 , , 必存在 b N , b 2a 1 , bb 1 是 使 2a 的倍数.三、(本题满分 50 分)设 P0 P P2 Pn 是平面 上 n 1 个点,它们两两间的距离的最小值为 d d 0 1 d 求证:

P0 P P0 P2 P0 Pn n 1 n 1 3 四、 (本题满分 50 分) 1 1 设 Sn 1 , n 是正整数.证明:对满足 0 a b 1 的任意实数 a b , 数列 Sn Sn 中有无穷多项属于 2 na b .这里, x 表示不超 过实数 x 的最大整数. 2012 年全国高中数学联赛一试及加 试试题 参考答案及详细评分标准 A 卷 word 版一、填空题: 本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在题中 的横线上. 21. 设 P 是函数 y x ( x 0 )的图像上任 意一点,过点 P 分别向 x 直线 y x 和 y 轴作垂线,垂足 分别为 A B ,则 PA PB 的值是 . 2 2 2 解:方法 1:设 p x0 x0 则直线 PA 的方程为 y x0 x x0 即 y x 2 x0 . x0 x0 x0 y x 1 1 由 2 A x0 x0 . y x 2 x0 x x0 x0 0 2 1 1 1 又 B 0 x0 所以 PA PB x0 0. 故 PA PB x0 1. x0 x0 x0 x0 32. 设 ABC 的内 角 A B C 的对边分别为 a b c ,且满足 a cos B b cos A c , 5 tan A 则 的值是 . tan B c2 a 2 b2 b2 c2 a 3 3 解:由题设及余 弦定理得 a b c 即 a 2 b 2 c 2 故 2ca 2bc 5 5 a c b 2 2 2 8 2 a ctan A sin A cos B 2ac c 2 a 2 b2 5 2 2 4.tan B sin B cos A b2 c 2 a 2 b c a 2 2 c 2 b 2bc 53. x y z 01 , M x y y z z x 的 设 则 最大值是 .解:不妨设 0 x y z 1 则 M y x z y z x.因为 y x z y 2 y x z y 2 z x.所以 M 2 z x z x 2 1 z x 2 1. 1 当且仅当 y x z y x 0 z 1 y 时上式等号同时成立.故 M max 2 1. 24.抛物线 y 2 px p 0 的焦点为 F , 准线为l, A B 是抛物线上的 2 两个 动点,且满足 AFB .设线段AB的中点 M 在l上的投影

为 N , 3 MN 则 的最大值是 . AB AF BF 解:由抛物线的 定义及梯形的中位线定理得 MN . 2 在 AFB 中由余弦定理 得 AB AF BF 2 AF BF cos 2 2 2 3 AF BF 2 AF BF 2 AF BF 2 3 AF BF AF BF 2 3 MN . 2 2 2 MN 当且仅当 AF BF 时等号 成立.故 的最大值为 1. AB 设同底的两个正三棱锥 P ABC 和 Q ABC 内接于同一个球.若正三棱锥 P ABC 的侧面与 底面所成的角为 45 ,5.则正三棱锥 Q ABC 的侧面与底 面所成角的正切值是 .解:如图.连结 PQ 则 PQ 平面 ABC 垂足 H 为正 ABC 的中心且 PQ 过球心 O 连结 CH 并 延长交 AB 于点 M 则 M 为 AB 的中点且 CM AB 易知 PMH QMH 分别为正三棱锥 P ABC Q ABC 的侧面与底面 所成二角的平面角则 PMH 45 1 从而 PH MH AH 因为 PAQ 90 AH PQ 2 1 所以 AP PH QH 即 AH AH QH . 2 2 2 QH 所以 QH 2 AH 4 MH . 故 tan QMH 4 MH6. 设 f x 是定 义在 R 上的奇函数,且当 x 0 时, f x x .若对任意的 x a a 2 ,不等式 f x a 2 f x 恒成立,则实数 a 的取值范围 是 . x 2 x 0 解:由题设知 f x 则 2 f x f 2 x. 因此原不等式 等价于 f x a f 2 x. x x 0 2 因为 f x 在 R 上是增函数所以 x a 2 x 即 a 2 1 x. 又 x a a 2 所以当 x a 2 时 2 1x 取得最大 值 2 1a 2. 因此 a 2 1a 2 解得 a 2. 故 a 的取值范围是 2 . 1 17. 满足 sin 的所有正整数 n 的和是 . 4 n 3 3 1 3 1 解: 由正弦函数的凸性有当 x 0 时 x sin x x 由此得 sin sin 6 13

13 4 12 12 4 1 3 1 1 1sin sin . 所以 sin sin sin sin sin . 10 10 3 9 9 3 13 4 12 11 10 3 9 1 1 故满足 sin 的正整数 n 的所有值 分别为 101112 它们的和为 33 . 4 n 38. 某情报站有 A B C D 四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周 都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设 第1周使用A种密码,那么第7周也使用A种密码的概率 是 .(用最简分数表示)解:用 Pk 表示第 k 周用 A 种密 码的概率则第 k 周末用 A 种密码的概率为 1 1 1 1 1 3 11 Pk .于是有 Pk 1 1 Pk k N 即 Pk 1 Pk 由 P 1 知, Pk 是首 项为 , 公比为 的 1 3 4 3 4 4 4 3 1 3 1 k 1 3 1 k 1 1 61 等比数 列。所以 Pk ,即 Pk ,故 P7 4 4 3 4 3 4 243 二、解答题: 本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、推理过 程或演算步骤. 1 3 19.(本小题满分16分)已知函数 f x a sin x cos 2 x a a R a 0 2 a 2(1)若对任意 x R ,都有 f x 0 ,求 a 的取值范围;(2)若 a 2 ,且存在 x R ,使得 f x 0 ,求 a 的取值范围. 3 3 解:1 f x sin x a sin x a 2 . 令 t sin x1 t 1 则 g t t 2 at a 4 分 a a 3 g 1 1 a 0 对任意 x R f x 0 恒成立的充要条件是 a 018 分 g 1 1 2a 3 0 a a 32 因为 a 2 所以 1. 所以 g t min g 1 1 12 分 2 a 3 3 因此 f x min 1 . 于 是存在 x R 使得 f x 0 的充要条件是 1 0 0 a 3. a a 故 a 的 取值范围是 23.16 分10.(本小题满分20分)已知数列 an 的各项均为非零实数,且对于任意的正整数 n ,都有 a1

a2 an 2 a13 a2 an 3 3(1)当 n 3 时,求所有满足条件的三 项组成的数列 a1 a2 a3 (2)是否存在满足条件的无穷数列 an ,使得 a2013 2012 若存在,求出这样的无穷数列的一个 通项公式; 若不存在, 说明理由. 解:1 当 n 1 时 a1 a1 由 a1 0 得 a1 1 .当 n 2 时 1 a2 1 a2 由 a2 0 得 a2 2 或 a2 1 ………5 2 3 2 3 分当 n 3 时 1 a2 a3 1 a2 a3 . 若 a2 2 得 a3 3 或 a3 2 若 a2 1 得 a3 1 2 3 3 综上满足条件的三项数 列有三个:123 或 12-2 或 1-1………………………………………10 分 2 令 S n a1 a2 an 则 S n a1 a2 an n N 从而 S n an 1 a1 a2 an an 1. 2 3 3 3 2 3 3 3 3 两式相减结合 an 1 0 得 2 S n an 1 an 1 当 n 1 时由 1 知 a1 1 2 当 n 2 时 2an 2 S n S n 1 an 1 an 1 an an 即 an 1 an an 1 an 1 0 2 2 所以 an 1 an 或 an 1 an 1 ……………………………………15 分又 a1 1 a2013 2012 n1 n 2012 所以 an ………………………………20 分 2012 1 n 2013 n11.(本小题满分20分)如图 5,在平面直角坐 标系 XOY 中,菱形 ABCD 的边长为 4 ,且 OB OD 6 .(1)求证: OA OC 为定值;(2)当点 A 在半圆 x 2 y 4( 2 x 4 ) 上运动时, 2 2 点 C 的轨迹. 求 解:因为 OB OD AB AD BC CD 所以 O A C 山的共 线………………………………………5 分如图连结 BD 则 BD 垂直平分线段 AC 设垂足为 K 于是有 OA OC OK

AK OK AK OK AK OB BK AB BK OB AB 62 42 20 定 值…………10 分 2 2 2 2 2 2 2 22 设 C x y A2 2 cos 2sin 其中 XMA 则 XOC . 2 2 2 因为 OA 2 2 cos 2sin 81 cos 16 cos 所 以 OA 4 cos 2 2 2 2 …………15 分 2 2 由 1 的结论得 OC cos 5 所以 x OC cos 5. 从而 y OC sin 5 tan 55. 2 2 2 2 故点 C 的轨迹是一条线段其两个端点的坐标分别为 A55 B 5 5 ……………20 分 2012 年全国高中数学联赛加试试题 A ( 卷) (本题满分40分) 一、 如图, 在锐角 ABC 中, AB AC M N 是 BC 边上不同的两点,使得 BAM CAN . 设 ABC 和 AMN 的外心分别为 O O , 求证: O O A 三点共线。 A 1 2 1 2 证明:如图.连接 AO1 AO2 过 A 点作 AO1 的垂线 AP 交 BC 的延长线于点 P 则 AP 是 O1 的切线.因此 B PAC ………10 分因为 BAM CAN 所以 AMP B BAM PAC CAN PAN …………20 分 B M N C 因而 AP 是 AMN 的 外接圆 O2 的切线…………………30 分故 AP AO2 .所以 O1 O2 A 三点共线。………………………………40 分二、 (本题满分40分)试证明:集合 A 2 2 2 满足 2 n(1) 对每个 a A , b N , b 2a 1 , bb 1 一定不是 2a 的 及 若 则 倍数; (2) 对每个 a A (其中 A 表示 A 在N 中的补集) , 且 a 1 ,必存在 b N ,b 2a 1 ,使 bb 1 是 2a 的倍数. k 1 证 明 : 对 任 意 的 a A 设 a 2 k N 则 2a 2 如 果.


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