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河南省林州市第一中学2016届高三上学期9月教学质量监测考试理数试题


第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. ⑴已知复数 (A)-1

⑵已知 A ? x | y ? 2x ? 1 , B ? y | x 2 ? lg a ,则 A ? B 的充要条件是

?

2a ? i 是纯虚数,则实数 a ? 2i

? 1 1 1 (B) ? (C) (D)1 4 4

?

?

?

(A) ?

?1 ? , ?? ? ? 10 ?

(B) 0 ? a ?

1 10

(C) 0 ? a ? 1

(D) a ? 1

⑶已知双曲线 C :

a2 x2 y 2 x ? ? ? 1 a ? 0, b ? 0 的右焦点 到渐近线和直线 的距离之比为 F ? ? c a 2 b2

2 :1 ,则双曲线的渐近线方程为
(A) y ? ?

3 x 3

(B) y ? ? 2 x

(C) y ? ? 3x

(D) y ? ?2 x

⑷已知 sin ? ? ? (A) ?

? ?

??

1 ?? ? ? ? cos ? ? ,则 cos ? 2? ? ? ? 6? 3 3? ?
5 18
(C) ?

5 18

(B)

7 9

(D)

7 9

⑸执行右面的程序框图,输出的 s ? (A)1000 (B)5050 (C)101

(D)100

AB ? 2 ,点 A, B, C , D 在球 O 上,球 O 与 BA1 的另一个 ⑹在正方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 中,

O 的表面积为 交点为 E ,且 AE ? BA 1 ,则球
(D) 16? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ⑺ P 是 ? ABC 所在平面上一点,满足 PA ? PB ? PC ? 2 AB ,若 S? ABC ? 12 ,则 ? PAB 的面 (A) 6? (B) 8? 积为 (A)4 (B)6 (C)8 (D)16
2 8

(C) 12?

2 3 8 ⑻已知 1 ? x ? x ? x ? ? ? x ? a0 ? a1 ? x ? 1? ? a2 ? x ? 1? ? ? ? a8 ? x ? 1? ,则 a2 ?

(A)120

(B)84

(C)72

(D)48

⑼已知函数 f ? x ? ? cos 2x ? 2sin x cos x ,则下列说法正确的是

(A) f ? x ? 的图像关于直线 x ? (B) f ? x ? 的图像关于点 ? ?

5 ? 对称 8

? 3? ? , 0 ? 对称 ? 8 ?

(C)若 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 x1 ? x2 ? k? , k ? Z (D) f ? x ? 的图像向右平移

? ?? ? 个单位长度后得 g ? x ? ? 2 sin ? 2 x ? ? 4 4? ?

⑽已知椭圆 E : 方程为

x2 y 2 ?1 ? ? ? 1, 直线 l 交椭圆于 A, B 两点, 若 AB 的中点坐标为 ? , ?1? , 则l 的 4 2 ?2 ?
(B) x ? 2 y ?

(A) 2 x ? y ? 0

5 ?0 2

(C) 2 x ? y ? 2 ? 0

(D) x ? 4 y ?

9 ?0 2

⑾某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 (A)2 (B)

8 3

(C)4

(D)

20 9

⑿已知函数 f ? x ? ? ?

? x2 ? x ? a, x ? 0 ?ln x, x ? 0

,若函数 f ? x ? 的图像在点

A, B 处的切线重合,则以的取值范围是
(A) ? ?2, ?1? (B) ?1, 2 ? (C) ? ?1, ?? ? (D) ? ? ln 2, ???

第 II 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
x ?x ⒀若 f ? x ? ? e ? ae 为奇函数,则 f ? x ? 1? ? e ?

1 的解集为 e

.

?2 x ? 3 y ? 2 ? 0 ? ⒁已知 ? x, y ? 满足不等式 ?3 x ? y ? 4 ? 0 , z ? ax ? y 当且仅当在点 ? 2, 2 ? 取得最大值,则 ?x ? 2 y ?1 ? 0 ?
实数 a 的取值范围是 .

⒂某个部门由 3 个型号相同的电子元件并联而成,3 个电子元件中有一个正常工作,该部件正 常,已知这种电子元件的使用年限 ? (单位:年)服从正态分布,且使用年限少于 3 年的概率 和多于 9 年的概率都是 0.2,那么该部件能正常工作的时间超过 9 年的概率为 .

⒃已知函数 f ? x ? ? x2 ? 4x ,若关于 x 的方程 f ? x ? ? f ? a ? x ? ? t ? 0 有四个不同的实根, 且所有实根之和为 4,则实数 t 的取值范围是 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ⒄(本小题满分 10 分) 在 ? ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 (I)求 ac 的值; (II)若 ? ABC 的面积 S ? ⒅(本小题满分 12 分)
2 已知各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 an ?1 ? 2Sn ? n ? 4, a2 ? 1, a3 , a7 恰为等

cos A cos C 1 ? ? ,且 b ? 2, a ? c . a c b

7 ,求 a, c 的值. 2

比数列 ?bn ? 的前 3 项. (I)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (II)若 cn ? ? ?1? log 2 bn ?
n

1 ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn . an an?1

⒆(本小题满分 12 分) 2015 年高中学业水平考试之后,为了调查同学们的考试成绩,随机抽查了某高中的高二一班 的 10 名同学的语文、数学、英语成绩,已知其考试等级分为 A, B, C ,现在对他们的成绩进 行量化: A 级记为 2 分, B 级记为 1 分, C 级记为 0 分,用 ? x, y, z ? 表示每位同学的语文、 数学、英语的得分情况,再用综合指标 ? ? x ? y ? z 的值评定该同学的得分等级:若 ? ? 4 , 则得分等级为一级;若 2 ? ? ? 3 ,则得分等级为二级;若 0 ? ? ? 1 ,则得分等级为三级,得 到如下结果: 人 员 编号

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

? x, y, z ? ?1,1, 2? ? 2,1,1? ? 2,2,2? ? 0,0,1? ?1, 2,1? ?1, 2, 2? ?1,1,1? ?1, 2, 2? ?1, 2,1? ?1,1,1?

(I)在这 10 名同学中任取两人,求这两位同学英语得分相同的概率; (II)从得分等级是一级的同学中任取一人,其综合指标为 a ,从得分等级不是一级的同学中 任取一人,其综合指标为 b ,记随机变量 X ? a ? b ,求 X 的分布列及其数学期望.

⒇(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAC ? 底面 ABCD ,

1 ? AC ? 2, ?ACB ? ?ACD ? . 2 3 (I)证明: AP ? BD BC ? CD ?
(II)若 AP ?

7 , AP 与 BC 所成角的余弦角为

7 ,求二面角 A ? BP ? C 的余弦值. 7

(21)(本小题满分 12 分)
2 2 已知圆:N : ? x ? 1? ? y ? 2 和抛物线 C : y ? x , 圆 N 的切线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 2

A, B .
(I)当切线 l 斜率为-1 时,求线段 AB 的长; (II)设点 M 和点 N 关于直线 y ? x 对称,且 MA ? MB ? 0 ,求直线 l 的方程.

???? ????

河南省林州市第一中学高三 9 月教学质量检测考试 数学(理)试卷参考答案
1.D【解析】

2a ? i ? 2a ? i ?? 2i ? 1? 2 ? 2a 4a ? 1 ? ? ? i .由纯虚数的定义可知 2i ? 1 ? 2i ?1?? 2i ? 1? 5 5

2 ? 2a ? 0? a ? 1 . 5
2.C【解析】 由 2 ?1 ? 0 得 x ? 0 , 由y? x 2? g l a ?g la
x

, 以及 A ? B 得 lg a ? 0 , 即 0 ? a ? 1.

3.A【解析】双曲线 C 的渐近线方程为 y ? ?

b bc x, F ? c, 0 ? 到其距离为 ? b ,由题意 2 a a ? b2

? 3 a2 ? 2 知 2? c ? x. ? ? b ,即 2b ? bc ,所以 c ? 2b, a ? 3b ,渐近线方程为 y ? ? 3 c ? ?
4.C【解析】 sin ? ? ?

? ?

??

1 3 1 ?? 1 ? sin ? ? cos ? ?cos ? ?sin ?? ? ? ? ,得 ? ? cos ? ? ,得 6? 3 2 2 6? 3 ?

?? ?? 2 7 ? ? cos 2 ? ? ? ? ? 1 ? 2sin 2 ? ? ? ? ? 1 ? ? . 6? 6? 9 9 ? ?
5.C 【 解 析 】 第 一 次 循 环 s ?

0 ?1 ? 1,1 ? 100 否 , s ? 1 , k ? 3 ,i ? ; 2 第二次循环 1 1? 3 4?5 s? ? 2, 2 ? 100 否 , s ? 4 , k ? 5 ,i ? ; ? 3,3 ? 100 否 , 3 第三次循环 s? 2 3 s?k s? ? 101,101 ? 100 是,输出 101. s ? 9 , k ? 7 ,i ? ;??最后一次循环 4 101

6.B【解析】因为 AB ? 2, AE ? BA1 ,所以 AE ? BE ? 2 ,球 O 的半径为 2 ,所以球 O 的 表面积为 4?

? 2?

2

? 8? .
??? ?

? PC ? C, B所以 7.A 【 解 析 】 由 PA ? PB ? PC ? 2 AB ? 2 PB ? PA , 得 3P A? P B
P A? B C ,且 PA ?
1 BC , ? ABC 的边 AB 上的高是 ? ABP 边 AB 上的高的 3 倍,所以 3

??? ? ??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ?

?

? ???

? ???

? ? ??

? ???

S? ABP 1 ? ,由 S? ABC ? 12,? S? ABP ? 4 . S? ABC 3
8.B【解析】令 x ? 1 ? t ,则 x ? t ? 1 ,所以

1 ? ? t ? 1? ? ? t ? 1? - ? t ? 1? + ? + ? t ? 1? =a0 ? a1t ? a2t 2 ? ? ? a8t 8 ,
2 3 8

2 2 所以 a2 ? C2 ? C4 ? ?C82 ? 84 。

5? 5? ? 3? 3? 时,2 x ? ? , 所以 x ? 是其对称轴, 故 A 项正确; 当x ? ? 8 8 4 2 8 ? ? 3? 时, 2 x ? ? ? ,所以 x ? ? 是对称轴,故 B 项错误; 8 4 2
9.A 【解析】 当x ?

?? ? f ? x ? ? cos 2 x ? 2sin x cos x ? 2 sin ? 2 x ? ? , 则 4? ?
?

? ?? f ?? ?? ? 8?

? 3? f? ? 8

? ??0 ?

, 但

?
8

3 ? ? 8

? ? ? , ? 故 C 项 错 误 ; f ? x? 的 图 像 向 右 平 移 个单位长度后得 4 2

?? ? g ? x ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ,故 D 项错误. 4? ?
10.D【解析】设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则

x12 y12 x2 y 2 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1,两式作差并化简整理得 4 2 4 2

y1 ? y2 y ?y 1 1 y ?y ? ? 1 2 , 而 x1 ? x2 ?1, y1 ? y2 ? ? 2, 所 以 1 2 ? , 直 线 l 的 方 程 为 x1 ? x2 4 x1 ? x2 2 x1 ? x2
9 1? 1? y ? 1 ? ? x ? ? ,即 x ? 4 y ? ? 0 . 2 4? 2?

11.B【解析】将该几何体置于正方体中来考虑,可知该几何体是正方体中去掉两个三棱柱和一 个三棱锥得到的四棱锥,其体积为 2 ?
3

1 1 1 8 ? 2 ? 1? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? . 2 3 2 3

12.C【解析】设 A x1, f ? x1 ? , B x2 , f ? x2 ? 为该函数图像上的两点,且 x1 ? x2

?

? ?

?

?2 x ? 1,x ? 0 ? 因 为 f ? x? ? ? 1 , 所 以 当 x1 ? x2 ? 0 或 0 ? x1 ? x2 时 , f ' ? x1 ? ? f ' ? x2 ? , 故 ,x ?0 ? ?x
'

x1 ? 0 ? x2 , 当 x1 ? 0 时 , 函 数 f ? x ? 的 图 像 在 点 ? x1 , f ? x1 ? ? 处 的 切 线 方 程 为
2 y ? ? x12 ? x 1? a ? ? ? 2 x ? ,即 y ? ? 2x1 ? 1? x ? x1 ? a ,当 x2 ? 0 时,函数 f ? x ? 的 1 1?? x ? x ? 1

图像在 x2 , f ? x2 ? 处的切线方程为 y ? ln x2 ?

?

?

1 1 lx ? 即 y ? x? n ? x ? x2 ? , 2 1 两切线重合 x2 x2

?1 1 ? ? 2 x1 ? 1 的充要条件是 ? x2 ,由 x1 ? 0 ? x2 知, 0 ? ? 1 ,所以 x2 ?ln x ? 1 ? ? x 2 ? a ? 2 1

? 1 1? ? 1? 1 1 a ? ln x2 ? ? ? ? ? 1 ? ln x2 ? ? ? 1? ? 1 , 令 t ? , 则 0 ? t ?1 , 且 4 ? x2 ? x2 ? 2 x2 2 ?
a? 1 2 1? ? t? 4 ? l n t ? ?1 0 ? t , ? 1 设 h ? ? t? ? 1 ? 4 1 ? t ?
2

2

2

l ? n ? t ?1

0 t ? 1 为 因 ? ?,

h' ? t ? ?

1 1 ? t ? 2 ?? ?1? ? 0 ,所以 h ? t ?? 0 ? t ? 1? 为减函数,则 h ? t ? ? h ?1? ? ?1 , ? t ? 1? ? ? 2 t 2

所以 a ? ?1 ,而当 t ? ? 0,1? 且趋近于 0 时, h ? t ? 无限增大,所以 a 的取值范围是 ? ?1, ?? ? . 13. ? ??,2? 【 解 析 】 由 f ? 0? ? 0 , 得 1 ? a ? 0,a ? 1, 因 为 f ? x ? ? e ? e
x ?x

为增函数,

f ? x ?1? ? f ?1? ,所以 x ? 1 ? 1, 得 x ? 2 .

14. ? ?

? 2 ? , ?? ? 【解析】由条件可知不等式组确定的可行域为以 A? ?1,0? , B ?1, ?1? , C ? 2,2? 为 ? 3 ?

顶点的三角形(含边界) , z ? ax ? y 在 A, B, C 三 点 处 的 目 标 函 数 值 分 别 为 ,又 z A ? ?a , z 1, C z ?2 a ? 2 z 仅在 ? 2, 2 ? 处取得最大值, B ? a? 故?

? zC ? z A ?2a ? 2 ? ?a 2 ,? ? ?a ? ? . 3 ? zC ? zB ?2a ? 2 ? a ? 1

15.0.488【解析】因为 P ? 0 ? ? ? 3? ? P ?? ? 9? ? 0.2 ,所以正太分布的 对称轴为 ? ? 6 ,可得在 9 年内每个电子元件能正常工作的概率为 0.2,因此 9 年内这个部件 不能正常工作的概率为 0.8 ? 0,512 ,故此部件能正常工作的概率为 1-0.512=0.488.
3

x 16. ? 4, 6 ?【解析】设 F ? x ? ? f ? x ? ? f ? a ? x ? ,则 F ?a ?x ? ? f a ??
所以 F ? x ? 的图像关于 x ?

?? f

x? ? ? F x

? ?,

a 对称,又因为 F ? x? ? t 的四个不同的实根之和为 4 ,所以 2
f2 ? ? ?x ? ? x x ? 4?
2 ?4 ? x ,当

a a ? 2 ? ? 2 ? 4 , 得 a ? 2 , 所 以 F ? x? ? f? x ?? 2 2

2 1? x ? 2 时 , F? x 2 x ?4 x ?4, 当 2 ? x ? 4 , F ? x ? ? 4x ? 4 , 当 x ? 4 时 , ?? ? 2 ,同一坐标系下作出 y ? F ? x ? 和 y ? t 的草图,如图所示,由图像可知, F ? x? ? 2 x ? 4 x? 4

要使 y ? t 和 y ? F ? x ? ,有四个交点,需满足 4 ? t ? 6 . 17.【解析】 (I)由

cos A cos C 1 1 1 1 cos A cos C ? ? ,得 ? ? ? ,因为 a c b tan A tan C sin B sin A sin C

?

cos A sin C ? cos C sin A sin ? A ? C ? sin B ? ? , sin A sin C sin A sin C sin A sin C
sin B 1 ? ,? sin 2 B ? sin A sin C ,由正弦定理得 b2 ? ac,?ac ? 4 ; sin A sin C sin B

所以

( II ) S? ABC ?

1 7 7 2 c 即 ac sin B ? 2sin B ? ? sin B ? , 又 a c ? 4且 a ? c? a ? a, 2 2 4
3 ,由余弦定理 4

a ? 2 ,又 b ? 2 ,所以 A ? B , B 一定为锐角,因此 cos B ? 1 ? sin 2 B ?
得 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? ? a 2 ? c 2 ? 10 ,由 ac ? 4且a ? c 解得 a ? 2 2, c ? 2 . 2ac 4
2 2

18.【解析】 (I)因为 an?1 ? 2Sn ? n ? 4?an ? 2Sn?1 ? n ?1? 4 ? n ? 2? ,两式相减得
2 2 2 2 an ?1 ? an ? 2an ? 1? an ?1 ? an ? 2an ? 1 ? ? an ? 1? , an ?1 ? an ? 1 , 2 2 2 又 a3 ? ? a2 ? 1? a2 ? ? a2 ? 1? ? ? a2 ? 1?? a2 ? 5 ? ,解得 a2 ? 3,又a2 ? 2a3 ? 1 ? 4?a1 ? 2, 2

所以 ?an ? 是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,所以 an ? n ? 1 (II)由(I)得, cn ?

n 1 ? , n 2 ? n ? 1?? n ? 2 ?

故 Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? ? 设 Fn ?

? n ? ? 1 1 1 ?1 2 ? ?? n ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? n ? 1?? n ? 2 ? ? ?2 3 ? 2 ? 3 3? 4 ?

1 2 n 1 1 2 n 1 1 1 1 n ? ? ? n ,则 Fn ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ,作差得 Fn ? ? 2 ? ? n ? n ? 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n?2 所以 Fn ? 2 ? n 2
设 Gn ?

1 1 1 ? ??? 2 ? 3 3? 4 ? n ? 1?? n ? 2 ?

?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? ? 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n ? 2

所以 Tn ? 2 ?

n?2 ?1 1 ? 3 n?2 1 ?? ? ?? ? n ? n 2 2 n?2 ?2 n?2? 2

19.【解析】 (I)设事件为“从 10 名同学中随机抽取两人,他们的英语得分相同”. 英语得分为 1 的有 A2 , A4 , A5 , A7 , A9 , A 10 英语得分为 2 的有 A1 , A3 , A6 , A8
2 从 10 名同学中随机抽取两人的所有可能结果数为 C10 ? 45 ,英语得分相同的所有可能结果数 2 2 为 C6 ? C4 ? 15 ? 6 ? 21 ,

所以英语得分相同的概率 P ? A? ?

21 7 ? 45 15

(II)计算 10 名同学的综合指标,可得下表: 人员 编号 综合 指标

A1
4

A2
4

A3
6

A4
1

A5
4

A6
5

A7
3

A8
5

A9
4

A10
3

其中综合指标是一级的 ?? ? 4? 有 A 1, A 2, A 3, A 5, A 6, A 8, A 9 ,共 7 名, 综合指标不是一级的 ?? ? 4? 有 A 1, A 7, A 10 共 3 名. 随机变量 X 的所有可能取值为:1,2,3,4,5.

P ? X ? 1? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 C4 C2 8 C2 C2 4 C4 C1 ? C1 C2 6 , ? P X ? 2 ? ? , P X ? 3 ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 C7C3 21 C7C3 21 C7C3 21

1 1 1 1 C1 C2 2 C1 C 1 P ? X ? 4 ? ? 1 1 ? , P ? X ? 5? ? 1 1 ? , 1 C7C3 21 C7C3 21

所以 X 的分布列为:

X P

1

2

3

4

5

8 21

4 21

6 21

2 21

1 21

8 4 6 2 1 47 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 5? ? . 21 21 21 21 21 21 20.【解析】 (I)如图,连接 BD 交 AC 于点 O ,因为 BC ? CD , 即 ? BCD 为等腰三角形,又 AC 平分 ?BCD ,故 AC ? BD , 作 PE ? AC 于点 E . 因为平面 PAC ? 底面 ABCD ,平面 PAC ? 底面 ABCD ? AC 所以 PE ? 底面 ABCD , PE ? BD , 所以 BD ? 平面 PAC , AP ? 平面 PAC ,所以 AP ? BD . ??? ? ??? ? ??? ? (II)以 O 为坐标原点, OB, OC, EP 的方向分别为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向,建立空间直
所以 EX ? 1?

? OC ?3 ,又 cos ? 1 角 坐 标 系 O ? xyz , 则 O C ? C D , 而 AC ? 4 , 则 A O ? A C

?

O D? C D sin ? 3

?

3

3 ,故 A ? 0, ?3, 0 ? , B

?
2

3, 0, 0 , C ? 0,1, 0 ? , D ? 3, 0, 0 .

?

?

?

2 设 P ? 0, y, z ? ,则由 AP ? 7 ,得 ? y ? 3 ? ? z ? 7 ,

??? ? ??? ? ??? ? AP ? ? 0, y ? 3, z ? , BC ? ? 3,1, 0 , BP ? ? 3, ?1, 3 ,

?

?

?

?

设平面 ABP 的法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? ,平面 BCP 的法向量为 n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? 由 n1 ? AB ? 0, n1 ? BP ? 0 ,得 ?

??

?? ?

?? ??? ?

?? ??? ?

? ? 3x1 ? 3 y1 ? 0 ? ?? 3x1 ? y1 ? 3z1 ? 0 ? ?? 3x2 ? 3 y2 ? 0

因此取 n1 ? ? 3, ?1,

??

? ? ?

2 3? ?. 3 ? ?

由 n2 ? BP ? 0, n2 ? BC ? 0 ,得 ?

?? ? ??? ?

?? ? ??? ?

? ?? 3x2 ? y2 ? 3z2 ? 0 ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 2 从而法向量 n1 , n2 的夹角的余弦值为 cos, ? n1 , n2 ?? ?? ?? , ? ? 4 n1 ? n2
故二面角 A ? BP ? C 的余弦值为

,故可取 n2 ?

?? ?

?

3,3, 2 3 .

?

2 . 4


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