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河南省开封高中11-12学年高二上学期期中考试 数学


河南开封高中 2011—2012 学年度上学期期中考试

高二数学试题
命题人:闫霄 审题人:宁宁 (时间:120 分钟 分值:150 分) 一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1. 二 次 不 等 式 ( )

a 2x?

b? x 0 ? 的 c 解 集 是 全 体 实 数 的 条 件 是

A.

?a ? 0 ? ?? ? 0

B.

?a ? 0 ? ?? ? 0

C.

?a ? 0 ? ?? ? 0

D.

?a ? 0 ? ?? ? 0

? 2. 原 点 和 点 (1,1) 在 直 线 x ? y
( )

? a0 的 两 侧 , 则 a 的 取 值 范 围 是
C. 0?a?2 D. 0?a?2

A.

a ? 0或a ? 2

B.

a ? 0或a ? 2

3. 若 ?an ? 是 等 差 数 列 , 且 a1 ? a4 ? a7 ? 45 , a2 ? a5 ? a8 ? 39 , 则 a3 ? a6 ? a9 ? ( )

A.
4. (

39
设 )

B.
a ? 0, b ? 0


20
则 下 列

C.


19.5
等 式

D.
不 成

33
立 的 是

A.
C.
5. (

a?b?

1 ?2 2 ab

B.
D.

1 1 ( a ? b)( ? ) ? 4 a b
a? 1 ?2 a?4

a ? b? 2

ab

2 当 x ? R 时 , 不 等 式 kx ? kx ? 1 ? 0 恒 成 立 , 则 k 的 取 值 范 围 是



A.

? ?0 , 4

B.

(0, 4)

C.

( 0 ?? , )

D.

?0, ???
于 ( )

2 6. ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 b ? ac ,且 c ? 2a ,则 cos B 等

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A.

1 4

B.

3 4

C.

2 4

D.

2 3

7.

若 变 量

x, y

?2 x ? y ? 4 0 ?x ? 2 y ? 5 0 ? 满 足 ? , 则 z ? 3x ? 2 y 的 最 大 值 是 x ? 0 ? ? ?y ? 0
B.
80





A.
8. (

90
已 ) 知

C.

70 xl? y 的 o g

D.


40
值 范 围 是

l o ? 2 xg

y ( ?

2

) x ?l o2,gy 则

A.
9. (

?2, ???
在 ) 等腰三角形 B.

B.

?4, ???

C.

? 0, 2?

D.

?0 , 4 ?
的 形 状 是

?ABC

中 , 已 知

a 2 tan B ? b2 tan A , 则 ?ABC

A.

直角三角形

C.

等腰直角三角形 D.

等腰三角形或直角三角形

10. 在 ?ABC 中, AB ? BC ? 3 , ?ABC 的面积 S ? ? ,

??? ? ??? ?

? ??? ? ??? ?3 3 3 ? ? ,则 AB 与 BC 夹角的取值范围 ?2 2 ?
为 ( )

A.

?? ? ? , ? ?4 3? ?

B.

?? ? ? , ? ?6 4? ?

C.

?? ? ? , ? ?6 3? ?

D.

?? ? ? , ? ?6 2? ?
?1? ?的 ? an ?


11. 已知 ?an ? 是首项为 1 的等比数列, Sn 是 ?an ? 的前 n 项和,且 9S3 ? S6 ,则数列 ? 前 (

5
)





A.

15 或5 8

B.

31 或5 16

C.

31 16
?

D.

15 8

12. 数列 ?an ? 的首项为 3 , ?bn ? 为等差数列且 bn ? an?1 ? an (n ? N ) .若 b3 ? ?2 b10 ? 12 , 则 ( )

a8 ?
0
B.

A.

3

C.

8

D.

11

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二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13. 在等比数列中, a5 ? a1 ? 15, a4 ? a2 ? 6 ,则 a3 ? _______________.

? , b ? 7 6 , a ? 14 ,则 ? A ? _______________. 3 b a 15. 在锐角 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 ? ? 6 cosC ,则 a b tanC tanC ? 的值是_______________. tan A tanB
14. 在 ?ABC 中, B ? 16. 若 a ? 0, b ? 0, c ? 0 , 且 a( a? b? ) c? bc ?4 ?2 , 3 则 2a ? b ? c 的 最 小 值 为 _______________. 三、解答题(第 17 题 10 分,其余各题 12 分,共 70 分)
2 2 17.已知集合 A ? x x ? x ? 6 ? 0 , B ? x x ? 2 x ? 8 ? 0 ,求 A ? B .

?

?

?

?

18. 数列 ?an ? 是等差数列,a1 ? f ( x ? 1) ,a2 ? 0 ,a3 ? f ( x ? 1) ,其中 f ( x) ? x ? 4x ? 2 ,
2

求该数列的通项公式 an .

19. 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对应的边为 a 、 b 、 c (1)若 sin( A ?

) ? 2 cos A , 求 A 的值; 6 1 (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 3

?

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20. 在△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , A ? (1)求 C ; (2)若 CB ? CA ? 1 ? 3 ,求 a , b , c .

?
6

, (1 ? 3)c ? 2b .

??? ? ??? ?

21. 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ?

2an 2 , an?1 ? , n ? 1, 2,? . 3 an ? 1

(1)证明:数列 ?

?1 ? ? 1? 是等比数列; ? an ?

(2)求数列 ?

?n? ? 的前 n 项和 Sn . ? an ?

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22. 已知点(1, )是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,等比数列 {an } 的前 n 项和为 f (n) ? c ,数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 Sn 满足 Sn - S n?1 = S n + S n?1 ( n ? 2 ). (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1 3

1000 1 的最小正整数 n 是多少? } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 2009 bn bn?1

参考答案
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1. D 2. C 3. D 4. D B D C 7. 8. 9. 10. A 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13. 5. A 11. C 6. B 12. B

?4

14.

? 4

15.

4

16.

2( 3 ?1)

三、解答题(第 17 题 10 分,其余各题 12 分,共 70 分)
2 17. 解:? A ? x x ? x ? 6 ? 0 ? ? ?2,3?

?

?

?????4 分 ?????8 分
?????10 分

B ? ? x x 2 ? 2 x ? 8 ? 0? ? ? ??, ?4 ? ? ? 2, ?? ?

? A ? B ? ? 2,3?
18.解:? a1 ? f ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 4( x ? 1) ? 2 ? x ? 2 x ?1, a2 ? 0
2 2

a3 ? f ( x ?1) ? ( x ?1)2 ? 4( x ?1) ? 2 ? x2 ? 6x ? 7

?????4 分

? ( x2 ? 2x ?1) ? ( x2 ? 6 x ? 7) ? 2 x2 ? 8x ? 6 ? 0 解之得: x ? 1 或 x ? 3 ?????8 分
x ? 1 时 an ? 2n ? 4 ; x ? 3 时 an ? 4 ? 2n
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?????12 分

19. 解: (1)由题设知 sin( A ?

?
6

) ? 2 cos A ? sin A ? 3 cos A

?????3 分 ?????6 分

tan A ? 3 且 A ? (0, ? ) ? A ?
(2)? cos A ?

?
3

1 , b ? 3c 3

? a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b2 ? c2 故△ ABC 是直角三角形且 B ?
1 ? sin C ? cos A ? . 3
20. 解: (1)由 (1 ? 3)c ? 2b 得

?
2

?????9 分 ?????12 分

b 1 3 sin B ? ? ? c 2 2 sin C

?????2 分

?


sin(? ?

?

6 sin C

? C)

?

sin

5? 5? cos C ? cos sin C 1 3 1 3 6 6 ??? 4 = cot C ? ? ? 2 2 2 2 sin C
?????6 分

? cot C ? 1 即 C ?

?

4 ??? ? ??? ? (2) 由 CB ? CA ? 1 ? 3 ? ab cos C ? 1 ? 3

.

?C ?

?
4

?

2 ab ? 1 ? 3 2

?????8 分

? 2 ab ? 1 ? 3 ? 2 ? ? 则有 ?(1 ? 3)c ? 2b ?????10 分 ? a c ? ? ? ? sin A sin C
21. (1) ? an ?1 ?

?a ? 2 ? ? 解得 ?b ? 1 ? 3 ?????12 分 ?c ? 2 ? ?

2an 1 1 1 1 1 1 1 , n ? 1, 2,?? ? ? ? ? ? 1 ? ( ? 1) an ? 1 an?1 2 2 an an ?1 2 an
?????4 分

?1 ? ? 数列 ? ? 1? 是等比数列 ? an ?
(2)

1 1 1 1 ? 1 ? ? ( )n?1 ? ( )n an 2 2 2

n n ? n ?n an 2

?????6 分

1 2 3 n 1 1 2 3 n ? 2 ? 3 ? ? ? n ①则 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ② 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 n 1 n ?????8 分 ① ? ②得: Tn ? 1 ? n ? n ?1 ? Tn ? 2 ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2
设 Tn ?
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又?1 ? 2 ? ? ? n ?

n(n ? 1) 2

?????10 分 ?????12 分

? Sn ?

n2 ? n ? 4 n ? 2 ? n 2 2
1 ?1? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ? 3?
x

22. 解: (1) Q f ?1? ? a ?

1 2 f ? 2? ? c? ?? f ?1? ? c ? a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? ?? , ? ? ? ? 3 9 2 a3 ? ? ? f ? 3? ? c ? ??? ? f ? 2? ? c? ? ? ? 27 . 4 2 a 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? 2 ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; ?????2 分 2 a3 ? 3 3 27
又公比 q ?

a2 1 2?1? ? ,所以 an ? ? ? ? a1 3 3? 3?

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ? 3?

n

n? N*



?????3 分

Q Sn ? Sn?1 ?

?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn ?1 ? 1;

? 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n

? Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n ? Sn ? n2
2 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ; 2

?????5 分

?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );
(2) Tn ?

?????6 分

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? ? 2n ? 1?
1? ?? 3? 1 1 ? 1 ?1 ? 1 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?K ? ? ? 2 2 ? 2 n1 ? ?2 1 ? 3 ?5 ? 2 5 ? 7 ? n
?????10 分

1? ? ?1 ? 2?

1? 1 ? n ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1
由 Tn ?

n 1000 1000 1000 ? 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. ???12 分 2n ? 1 2009 9 2009

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