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2014年乌鲁木齐地区高三第三次诊断性测验文科数学试题参考答案及评分标准


乌鲁木齐地区 2014 年高三年级第三次诊断性测验试卷

令 G ? x ? ? f ( x ? 3) ,∵其图象关于直线 x ? 1 对称,∴ G ? 2 ? x ? ? G ? ?x ? , 即 f ? x ? 5? ? f ?3 ? x ? ,∴ f ? x ? 4? ? f ? 4 ? x ? …⑵ 由⑴⑵得, f ? x ? 4? ? ? f ? x ? ,∴ f ? x ? 8? ? f ? x ? …⑶

文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1 2 3 4 5 6 题号 C B D A C B 选项 1.选 C.【解析】由题意知 a ? 3 ? 1 , a ? ?2 2.选 B.【解析】∵ 7 B 8 D 9 D 10 B 11 C 12 B

∴ f ? ?x ? ? f ?8 ? x ? ? f ? 4 ? 4 ? x ? ,由⑵得 f 4 ? ? 4 ? x ? ? f 4 ? ? 4 ? x ? ? f ? x ? ∴ f ? ?x ? ? f ? x ? ;∴A 对; 由⑶,得 f ? x ? 2 ? 8? ? f ? x ? 2? ,即 f ? x ? 2? ? f ? x ? 6? ,∴B 对; 由⑴得, f ? 2 ? x ? ? f ? x ? 2? ? 0 ,又 f ? ?x ? ? f ? x ? ,
x

?

?

?

?

3. 选 D. 【解析】∵ y ? x 是奇函数,但在 ? ??, 0?
?1 x

i ?1 ? i ? i 1 1 ? 1 1? ? ? ? ? i ,对应的点为 ? ? , ? ,在第二象限 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ? 2 2 ? 2 2?

? 0,??? 不是单调函数; y ? 2



∴ f (?2 ? x) ? f (?2 ? x) ? f ? 2 ? x ? ? f ? 2 ? x ? ? 0 ,∴C 对; 若 f ?3 ? x ? ? f ?3 ? x ? ? 0 ,则 f ? 6 ? x ? ? ? f ? x ? ,∴ f ?12 ? x ? ? f ? x ? , 由⑶ f ?12 ? x ? ? f ? x ? 4? ,又 f ?x ? 4? ?? f ?x ? ,∴ f ?x ? ? ?f ? x ? ,∴ f ? x ? ? 0 ,与 题意矛盾,∴D 错.

y ? log2 x 是单调函数,但不是奇函数; y ? lg 2 ? lg 2 ? x 是奇函数又是单调递增函数.
? 3? ? , ? ? ,∴ cos ? ? 0,sin ? ? 0 ,且 cos? ? sin ? , ? 4 ? 1 1 3 4 2 又 ? sin ? ? cos ? ? ? 1 ? sin 2? ? ,∴ sin ? ? cos ? ? ? ,∴ sin ? ? , cos ? ? ? 25 5 5 5 1 1 1 1 1 31 31 5.选 C.【解析】∵ S ? 0 ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ,此时 n ? 5 ,为使输出的 S ? , 2 2 2 2 2 32 32 必须有 n ? p ,所以 p ? 5 6.选 B.【解析】由题意及正弦定理得 sin B cos A ? 3sin A cos B ,∴ tan B ? 3tan A , ? 5 2 5 ∴ 0 ? A, B ? ,又 cos C ? ,故 sin C ? ,∴ tan C ? 2 ,而 A ? B ? C ? ? , 2 5 5 tan A ? tan B ? ?2 ,将 tan B ? 3tan A 代入, ∴ tan ? A ? B ? ? ? tan C ? ?2 ,即 1 ? tan A tan B 4 tan A 1 ? ? ?2 ,∴ tan A ? 1 ,或 tan A ? ? ,而 0 ? A, B ? ,故 A ? 45? 得 2 1 ? 3 tan A 3 2
4.选 A.【解析】∵ ? ? ? 7.选 B.【解析】如图,是此几何体的直观图,

a 1 , f ? 0 ? ? ? ,∴ f ? x ? 的图象在 x ? 0 处的切线方程为 b b 1 ax ? by ? 1 ? 0 ,它与圆 x2 ? y 2 ? 1相切,∴ ? 1,即 a 2 ? b2 ? 1 ,∵ a ? 0, b ? 0 2 2 a ?b 1 1 2 2 2 时,有 2ab ? a ? b ? 1 ,∴ ab ? ,∴ ab 的最大值是 ,此时 a ? b ? . 2 2 2 11. 选 C. 【解析】设 ?ABC 的外接圆的圆心为 O? ,由 AB ? BC ? 2 , AC ? 2 2 ,知 ?ABC ? 90? ,∴点 O? 为 AC 的中点,∴ OO? ? 平面ABC ,设直线 OO? 交球 O 于 D1 和 D2 ,不妨设点 O 在线段 O?D1 内,∴ O?D1 为四面体 D ? ABC 的高的最大值,
10.选 B.【解析】∵ f ? ? 0 ? ? ?

1 1 40 V ? ? ?1 ? 4 ? ? 4 ? 4 ? 3 2 3
8.选 D. 【解析】 依题意, 有 3sin a ? 4 cos a ? ?5 , 即n i s

2 4 1 ?1 2 ? ? ? AB ? BC ? h ? h ,依题意知, h ? ,即 h ? 2 ,当且仅当点 D 与 D1 3 3 3 ?2 3 ? 重合时, VD ? ABC 取最大值,此时 h ? 2 ,
∴ VD1 ? ABC ? 由 ? h ? R? ?
2

? ?
2

2

? R2 ,得 R ?

3 h2 ? 2 2 ,∴ R ? ,∴ S ? 4? R ? 9? . 2 2h

1 ? a ? ? ???



其 中

12. 选 B. 【解析】不妨设

t a? n ?

4 3

且0 ?? ? 得

?
2

,∴ a ? ? ? k? ? ,∴ k? ?

?
2

,即 a ? k? ?

?
2

? ? , k ? Z ,由 tan ? ?

3? ? a ? k? ? ? , k ? Z ,故,选 D(此时 k ? 0 ). 4 2 4 9.选 D.【解析】令 F ? x ? ? f ( x ? 1) ,∵其图象关于 ?1,0 ? 对称,∴ F ? x ? ? ?F ? 2 ? x ? ,

?

?? ?

?

4 ? 且0 ?? ? , 3 2

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线 OA, OB 的方程分别为 bx ? ay ? 0 和 a 2 b2 bc bx ? ay ? 0 ,则右焦点 F ? c,0? 到直线 OA 的距离 d ? ? b ,又由 FA ? OA ,得 a 2 ? b2 OA ? a ,∵ OA ? OB ? 2 AB ,∴ OB ? 2 AB ? a …①
2 2 2

∵ ?AOB ? 90? ,∴ OA ? AB ? OB 在 Rt ?OAB 中, tan ?AOB ?

…②,①②联立,解得 AB ?

4 a 3

AB OA

即 f (3 ? x) ? ? f ?1 ? x ? ,∴ f ? 4 ? x ? ? ? f ? x ? …⑴

?

b 4 ,而 ?AOB ? 2?AOF 且 tan ?AOF ? a 3

乌鲁木齐地区 2014 年高三年级第三次诊断性测验文科数学参考答案及评分标准第 1 页(共 4 页)

?b? 2? ? 2 tan ?AOF b 1 b 4 a ∴ tan ?AOB ? ,即 ? ? 2 ? ,解得 ? ,或 ? ?2 (舍) 2 1 ? tan ?AOF a a 2 3 ?b? 1? ? ? ?a? 2 2 b 1 c 5 c 5 ∴ 2 ? ,即 2 ? ,∴离心率 e ? ? a 4 a 4 a 2
二、填空题 :共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

由 EB ∥ FG ,得 EB ∥平面 FAC ,∴ d ? h 又平面 A1 ACC1 ? 平面 ABC , BG ? AC ,∴ BG ? 平面 FAC 在正三角形 ABC 中, AB ? 2 ,∴ BG ? 3 ,即 h ? 3 ∵ S ?FAC ? ∴ VF ? AEC

1 FG ? AC ? 6 2 1 ? VE ? FAC ? S ?FAC ? h ? 2 3

…12 分

3 n ? ,解得 n ? 13 . 60 120 ? 80 ? 60 1 ? 14.填 ?6 .【解析】∵ S ?ABC ? AB AC sin A ? 3 ,又 A ? ,∴ AB AC ? 4 3 2 6 ∴ AB ? CA ? AB AC cos ?? ? ?BAC ? ? ?6
13.填 13 .【解析】依题意,有

19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)甲生产的零件的尺寸的平均值为

1 . 【解析】 依题意有 a ? log2 a ? 1 , 即o 易知 a ? 1 , ∴ f ?x ? ? 1 ?o lg 2 a 1 ? ?a , lg 2 x 2 1 令 f ? x ? ? 0 ,解得 x ? 2 16.填 ?1 .【解析】设点 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由 OB ? 2OA ,得 x2 ? 2 x1 , y2 ? 2 y1 ,
15.填
2 2 y2 x2 y12 x12 ? ? 1 ,∴ ? ? 1 …①, 又∵点 B 在椭圆 C2 上,∴ 16 4 4 4 2 x y 2 ∵点 A 在椭圆 C1 上,∴ 1 ? y1 ? 1 …②,①②可得 1 ? ?1 .∴射线 OA 的斜率为 ?1 . 4 x1

1 x甲 = ( 165+169+169+171+176+173+178+186+180+193) =176(mm); 10 168+170 =169 ? mm ? 乙生产的零件的尺寸的中位数为: …6 分 2 (Ⅱ)乙生产的合格零件共有 6 件,其尺寸分别为: 166,167,168,170,171,176 将它们依次 记为: a, b, c, A, B, C 其中在中位数 169 以上的有 3 件:从 6 件合格零件中任取 2 件的 不同取法分别为: ab, ac, aA, aB, aC, bA, bB, bC, cA, cB, cC, AB, AC, BC, 共有15 种, 其中至少有一件零件尺寸在中位数以上的不同取法有: aA, aB, aC, bA, 12 4 bB, bC, cA, cB, cC, AB, AC, BC ,共有12 种,所求概率 P ? ? …12 分 15 5
20. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)分别过 A, B 作准线的垂线,垂足分别是 A1 , B1

三、解答题 17. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)∵ 3S1 , 2S2 , S3 成等差数列,∴ 4S2 ? 3S1 ? S3 , ∴ an ? a1qn?1 ? 3n (Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn ? log3 an ? log3 3n ? n , ∴ Tn ? ?bb 1 2 ? b2b3 ? ? ?b3b4 ? b4b5 ? ?

∴ 4 ? a1 ? a2 ? ? 3a1 ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ,即 a3 ? 3a2 ,∴公比 q ? 3 …6 分

∵ b2n?1b2n ? b2nb2n?1 ? ? 2n ?1? 2n ? 2n ? 2n ?1? ? ?4n

? ?4 ?1 ? 2 ?

? n ? ? ?4 ?

n ? n ? 1? ? ?2n2 ? 2n 2

? ?b2n?1b2n ? b2nb2n?1 ?
…12 分

AF AA1 HA , ? ? BF BB1 HB AF HA AF BF ? ? ∴ ,∴ …① BF HB HA HB AF sin ?AHF ?AHF 中, ? …②, HA sin ?AFH BF sin ?AHF ?BHF 中, ? …③ HB sin ?BFH sin ?AHF sin ?AHF ? 将②③代入①,得 ,∴ sin ?AFH sin ?BFH sin?AFH ? sin? BFH ∴ ?AFH ? 180? ? ?BFH ? ?BFx ∴ k AF ? kBF ? 0 ,∴ kBF ? ?k AF ? ?2 …6 分
则 AF ? AA 1 , BF ? BB 1∴ 设交点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,满足 ?

18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)取 AC 的中点 G ,连接 FG, BG ,则有 EB ∥ C1C ∥ FG , ∴平面 BEF 即是平面 EBGF ∴ FG ? AC ,而在正三角形 ABC 中, G 是 AC 的中点,∴ BG ? AC 又 FG BG ? G ,∴ AC ? 平面 EBGF ,即 AC ? 平面 BEF (Ⅱ)设点 E 到平面 FAC 的距离为 h ,点 B 到平面 FAC 的距离为 d ,

2 l 的方程为 y ? k ? x ? 1? , (Ⅱ) 依题意可知, 抛物线为 y ? 4 x , 直线 l 的斜率 k 存在且 k ? 0 ,

…6 分

2 2 2 2 2 即 x1 , x2 满足 k x ? 2k ? 4 x ? k ? 0 ,∴ ? ? 2k ? 4

?

?

? ? y ? k ? x ? 1? , 2 ? ? y ? 4x

?

?

2

? 4k 4 ? 0 ,∴ k 2 ? 1 ,

乌鲁木齐地区 2014 年高三年级第三次诊断性测验文科数学参考答案及评分标准第 2 页(共 4 页)

4 ? 2k 2 , x1 x2 ? 1 设 M ? x0 , y0 ? ,由 FA ? FB ? tFM ,其中 t ? 0 , k2 x1 ? x2 ? 2 ? x ? ?1 0 ? ? t 得 ? x1 ?1, y1 ? ? ? x2 ?1, y2 ? ? t ? x0 ?1, y0 ? ,∴ ? , y ? y 1 2 ?y ? 0 ? t ? ? 4 ? 2k 2 ? 2 ?2 ? ? 2 4 ?4? 2 ? 1? , 而 y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? 2 ? ? ,代入 y0 ? 4 x0 ,得 ? ? ? 4 ? k k t ? kt ? ? ? ? ? ? ? 4 ? 4t 2 2 2 2 2 2 化为: k t ? 4k t ? 4t ? 4 得, k ? 2 ,而 k ? 1 且 k ? 0 , t ? 4t ∴ t ? ?2 ,或 1 ? t ? 2 . …12 分
且 x1 ? x2 ? 21. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)令 h ? x ? ? f ? x ? ? ?1? x ? ? x ? ln ? x ?1? ,则 h? ? x ? ? 当 ?1 ? x ? 0 时, h? ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 递减

⑶当 a ?

1 1 ? 2a ? 0 , 时, ∴当 x ? 0 时, ∴ x ? 1 ? 0 ,2ax ? 2a ? 1 ? 0 , ∴ F? ? x? ? 0 2 ∴函数 y ? F ? x ? 在 ? 0, ??? 为增函数,∴ x ? 0 时, F ? x ? ? F ? 0? ? 0 ,
综合⑴⑵⑶,当 a ?? ??,0? 时,对 x ? 0 ,有 f ? x ? ? g ? x ? . …12 分

即 g ? x ? ? f ? x ? ,与题意矛盾

22. (本小题满分 10 分) (Ⅰ)由题意可知 ?ACD ? ?AEC, ?CAD ? ?EAC ∴ ?ADC ∽ ?ACE ,∴ 同理,

CD AC ? , CE AE

x , x ?1

当 x ? 0 时, h? ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 递增,故 h ? x ? 在 x ? 0 处取得最小值 h ? 0? ? 0 即,对 x ? ?1 ,有 h ? x ? ? h ? 0? ? 0 ,故 f ? x ? ? 1 ? x

BD AB ? ,又∵ AB ? AC , BE AE CD BD EC ?D B ? DC E? ? ∴ , ∴B …5 分 CE BE 2 (Ⅱ)如图,由切割线定理,得 FB ? FD ? FC ,∵ CE ∥ AB ∴ ?FAD ? ?AEC , 又∵ AB 切圆于 B ,∴ ?ACD ? ?AEC ,∴ ?FAD ? ?FCA , AF FD 2 ? ∴ ?AFD ∽ ?CFA ,∴ ,即 AF ? FD ? FC CF AF 2 2 ∴ FB ? AF ,即 FB ? FA ,∴ F 为线段 AB 的中点.
23. (本小题满分 10 分) (Ⅰ)设曲线 C 上任意点 M 的坐标为 ? cos ?,sin ? ? ( 0 ? ? ? 2? ) 依题意,直线 l 的普通方程为 x ? y ? 4 ? 0

…10 分

1 x x ? ? ln ? x ? 1? ,则 I ? ? x ? ? ? 令 I ? x? ? f ? x? ? , 2 1? x 1? x ?1 ? x ?
当 ?1 ? x ? 0 时, I ? ? x ? ? 0 ,函数 I ? x ? 递增 当 x ? 0 时, I ? ? x ? ? 0 ,函数 I ? x ? 递减,故 I ? x ? 在 x ? 0 处取得最大值 I ? 0? ? 0

1 即,对 x ? ?1 ,有 I ? x ? ? I ? 0? ? 0 ,故 f ? x ? ? 1? x 1 ∴1 ? x ? f ? x ? ? 1? x
2

…6 分

(Ⅱ)令 F ? x ? ? g ? x ? ? f ? x ? ? ln ? x ?1? ? ax ? x ,则 F ? ? x ? ?

2ax 2 ? ? 2a ? 1? x x ?1 ⑴当 a ? 0 时, 2a ? 1 ? 0 ,当 x ? 0 ,∴ x ? 1 ? 0 , 2ax ? 2a ? 1 ? 0 ∴ F ? ? x ? ? 0 ,∴函数 y ? F ? x ? , x ? 0 为减函数,
∴当 x ? 0 时, F ? x ? ? F ? 0? ? 0 ,即 a ? 0 时, f ? x ? ? g ? x ? 成立

⑵当 0 ? a ?

1 1 ? 2a 1 ?1? ? 1? ? 0 ,取 x ? ? 0 ,∵ F ? ? ? ln ?1 ? ? ? 0 时, 2 2a a ?a? ? a? ?1? ?1? 即 g ? ? ? f ? ? ,与题意矛盾 ?a? ?a?

? 2 ? ? 9? ∵ 0 ? ? ? 2? ,∴ ? ? ? ? , 4 4 4 3? ?? ? ? ∴ 2 sin ? 4 ? 2 sin ? ? ? ? ? 4 ? 2 sin ? 4 2 4? 2 ? ?? ? 即 ? 2 ? 4 ? 2 sin ? ? ? ? ? 4 ? 2 ? 4 , 4? ? ? 2 ?4 ? 3? 5? ? 2 2 ?1 当? ? ? ,即 ? ? 时, d max ?? …5 分 4 2 4 2 (Ⅱ)设射线 OP 的极坐标方程为 ? ? ? ,依题意可知,动点 Q 的极坐标为 ? ? , ? ? ,

点 M 到 l 的距离为 d ?

cos ? ? sin ? ? 4

?? ? 2 sin ? ? ? ? ? 4 4? ? 2

R ?1,? ? , P ? ?P ,? ? ,由 OP ? OQ ? OR ,得 ?P ? ? ? 1 …⑴
2

点 P ? ?P ,? ? 在直线 l 上,∴ ?P ? cos? ? sin ? ? ? 4 …⑵,

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cos ? ? sin ? ? 0 ,∴ ? P ?
将其代入⑴得

4 …⑶, cos ? ? sin ?

4 ? ? 1 ,即 4? ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? 2 2 由 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,∴ 4 ? x ? y ? ? x ? y ,其中 xy ? 0
∴所求动点 Q 的轨迹是以 ? , ? 为圆心, 24. (本小题满分 10 分)

?1 1? ?8 8?

2 为半径的圆除原点后的部分 8

…10 分

3 3 3 2 2 2 (Ⅰ)∵ 3 a ? b ? c ? ? a ? b ? c ? a ? b ? c 3

? ? 2?a

? b3 ? c 3

? ? ? a ?b

2

? c2 ? ? b ? a 2 ? c2 ? ? c ? a 2 ? b2 ?
2

?

?

∵ a3 ? b3 ? a2b ? ab2 ? a2 ? a ? b ? ? b2 ?b ? a ? ? ? a ? b ? ∵ a, b ? R ? ,∴ ? a ? b ?
3 3 2
2

?a ? b?

? a ? b ? ? 0 ,∴ a3 ? b3 ? a2b ? ab2 ,
3 3 2 2

同理, b ? c ? b c ? bc , c ? a ? c a ? ca
2

? ∴ 2?a

? ? b ? c ? ? a ?b ? c ? ? b ? a ? c ? ? c ? a ∴ ? a ? b ? c? ?a ? b ? c ? ? 3?a ? b ? c ?
3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3

3 3 3 2 2 2 2 2 2 ∴ 2 a ? b ? c ? a b ? ab ? b c ? bc ? c a ? ca 2

? b2 ? ? 0
…5 分

(Ⅱ)∵ a, b, c ? R ? ,∴ a ? b ? 0, b ? c ? 0, c ? a ? 0 ,由柯西不等式得

1 1 ? ? 1 ? ?? a ? b ? ? ? b ? c ? ? ? c ? a ? ? ?? a ?b ? b ?c ? c ? a ? ? ?

1 1 1 ? ? ? ? a?b ? ? b?c? ? c?a? ? ?9 a?b b?c c?a ? ? 1 1 ? a b ? ? 1 ? c 即 2? ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? ? 9 ,∴ 2 ? ??3 ? a?b b?c c?a ? ? a?b b?c c?a ? a b c 3 ? ? ? ,当且仅当 a ? b ? c 时不等式取等号 故, …10 分 b?c c?a a?b 2
以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分.

2

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