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2013年全国高中数学联合竞赛试题 (第一试)


2013 年全国高中数学联合竞赛试题 (第一试)
一、 填空题 (每小题 8 分, 共 64 分)
1. 设集合 A = { 2, 0, 1, 3 } ,集合 B={ x| -x ∈ A, 2 - x2 ? A } . 则集合 B 中所有元素的和为 ?? ? ?? ? 2. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A、 B 在抛物线 y2 = 4x 上,满足 OA ? OB = - 4, F 是抛物线的焦点 . 则 S△OFA ? S△OFB = 3. 在△ ABC 中,已知 sin A = 10sin Bsin C , cos A = 10cos Bcos C , 则 tan A 的值为 ? 4. 已知正三棱锥 P-ABC 底面边长为 1,高为 ?2 ,则其内切球半径为 5. 设 a、 b 为实数,函数 f (x) = ax + b 满足:对任意 x ∈ [ 0, 1 ] ,有 ? f (x) ? ≤ 1. 则 ab 的最大值为 6. 从 1, 2, ? , 20 中任取 5 个不同的数,其中至少有两个是相邻数的概率为 ? ? 7. 若实数 x、 y 满足 x - 4 y = 2 x - y ,则 x 的取值范围是

a i+ 1 1 8. 已知数列{an }共有 9 项,其中 a1 = a9 = 1,且对每个 i ∈ { 1, 2, ? , 8 } ,均有 ? ∈ { 2, 1, - ? } ,则这样 ai 2 的数列的个数为

二、 解答题 (共 56 分)
9. ( 16 分)给定正数数列{xn}满足 Sn ≥ 2Sn-1, n = 2, 3, ? ,这里 Sn = x1 + ? +xn. 证明:存在常数 C > 0, 使得 xn ≥ C ? 2n, n = 1, 2, ? .

y2 x2 ? 10. ( 20 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆的方程为 ? = 1 ( a > b > 0 ) , A1 、 A2 分别为椭圆的 2 + a b2 左右顶点 , F1 、 F2 分别为椭圆的左、 右焦点 , P 为椭圆上不同于 A1 和 A2 的任意一点 . 若平面中两个点 Q、 R 满足 QA1 ⊥ PA1, QA2 ⊥ PA2, RF1 ⊥ PF1, RF2 ⊥ PF2,试确定线段 QR 的长度与 b 的大小关系,并 给出证明 .

11. ( 20 分)求所有的正实数对( a, b ) ,使得函数 f (x) = ax2 + b 满足:对任意实数 x, y,有 f (xy) + f ( x + y ) ≥ f (x) f (y) .


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