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高三数学:定积分与微积分基本定理


定积分与微积分基本定理;

1.设函数 f(x)=xm+ax 的导函数 f′(x)=2x+1,则? ?1f(-x)dx 的值等于( 5 A. 6 2 C. 3 1 B. 2 1 D. 6

2

);

2.从空中自由下落的一物体,在第一秒时恰经过电视塔顶,在第二秒时物体落地,已 知自由落体的运动速度

为 v=gt(g 为常数),则电视塔高为( 1 A. g 2 3 C. g 2 B.g D.2g );

3.(2012· 湖北高考)已知二次函数 y=f(x)的图像如图所示,则它与 x 轴所围图形的面积为( 2π A. 5 3 C. 2 x+1,-1≤x<0, ? ? 4.函数 f(x)=? π ? ?cos x,0≤x≤2 3 A. 2 C.2 ); 4 B. 3 π D. 2

的图像与 x 轴所围成的封闭图形的面积为(

)

B.1 1 D. 2

5.(2011· 新课标全国卷)由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为 ( ); 10 A. 3 16 C. 3 B.4 D.6 );

1 6.(2012· 威海模拟)曲线 y=sin x(0≤x≤π)与直线 y= 围成的封闭图形的面积是( 2 A. 3 π C.2- 3 B.2- 3 D. 3- π 3

7. (2012· 吉林实验中学高三模拟)设函数 f(x)=ax2+c(a≠0), 若∫1 0≤x0≤1, 0f(x)dx=f(x0),

则 x0 的值为______.
1 2 8.(2012· 江西高考)计算定积分∫- 1(x +sin x)dx=________.

9.由曲线 y= 3-3x2与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 ________. 10.求下列定积分; . 1? 2 0 x ? (1)∫2 1 x-x +x dx;(2)∫-π(cos x+e )dx. ? ?

11.求函数 y=∫x ; 0(sin t+cos tsin t)dt 的最大值.

1 12.已知 f(x)为二次函数,且 f(-1)=2,f′(0)=0,∫0 f(x)dx=-2.

(1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值. ;

1.(2012· 唐山统考)由曲线 y=x2+2x 与直线 y=x 所围成的封闭图形的面积为( 1 A. 6 5 C. 6 1 B. 3 2 D. 3

);

3 2 2.(2012· 威海模拟)定积分∫- 2 16+6x-x dx=________.;

3.(2012· 石家庄模拟)如图,过点 A(6,4)作曲线 f(x)= 4x-8 的切线 l. (1)求切线 l 的方程; (2)求切线 l、x 轴及曲线 f(x)= 4x-8所围成的封闭图形的 面积 S.





课时跟踪检测(十七) A级 1. 选 A 由于 f(x)=xm+ax 的导函数为 f′(x)=2x+1, 所以 f(x)=x2+x, 于是? ?1f(-x)dx
2 1 3 1 2??2 5 =? ?1(x2-x)dx= ? ?3x -2x ??1=6. 2

2.选 C 由题意知电视塔高为 1 22 1 3 ∫2 1gtdt= gt 1=2g- g= g. 2 2 2 3.选 B 由题中图像易知 f(x)=-x2+1,
3 2 ? x ?1 4 则所求面积为 2∫1 0(-x +1)dx=2 - 3 +x |0= . ? ? 3

π 4.选 A S=∫0 -1(x+1)dx+∫ 0cos xdx 2 1 2 ??0 π 3 = ? ?2x +x??-1+sin x20=2. 5.选 C 由 y= x及 y=x-2 可得,x=4,所以由 y= x及 y=x-2 及 y 轴所围成的封

?2 3 1 2 ??4 16. 闭图形面积为∫4 0( x-x+2)dx= x - 2x +2x 0= ?? 3 3 2 ?
1 π 5π 6.选 D 由 sin x= 及 0≤x≤π 得 x= 或 , 2 6 6 1 5ππ 1 所以曲线 y=sin x(0≤x≤π)与直线 y= 围成的封闭图形的面积是 S=∫ sin xdx- 2 66 2 5π π? 5ππ π ×? ? 6 -6?=-cos x 6 6-3 =-cos π π 5π ? - -cos 6? ?-3 6 ?

π = 3- . 3

1 2 ?1 3 ? 7.解析:∫1 0f(x)dx=∫0(ax +c)dx= 3ax +cx ? ?

? ? ? ?

1 0

1 = a+c=f(x0)=ax2 0+c, 3 1 3 2 ∴x0 = ,x0=± . 3 3 又∵0≤x0≤1,∴x0= 答案: 3 3 3 . 3

2 2 ?1x3-cos x?|1 8.解析:∫1 -1(x +sin x)dx= ?3 ? -1=3. 2 答案: 3

9.解析:所求体积 V=∫1 -1

? ? π(3-3x )dx=π(3x-x ) ? ?
2 3

1

-1

=4π.

答案:4π 1? 2 ? 10.解:(1)∫2 1 x-x +x dx ? ?
2 2 21 =∫2 1xdx-∫1x dx+∫1 dx x



x22 x32 3 7 5 - +ln x2 1= - +ln 2=ln 2- . 21 31 2 3 6

x 0 0 x (2)∫0 -π(cos x+e )dx=∫-πcos xdx+∫-πe dx

1 x0 =sin x0 -π+e -π=1- π. e 11.解:y=∫x 0(sin t+cos tsin t)dt 1 ? ? =∫x 0 sin t+2sin 2t dt ? ? 1 ?x =? ?-cos t-4cos 2t?0 1 5 =-cos x- cos 2x+ 4 4 1 5 2 =-cos x- (2cos x-1)+ 4 4 1 3 =- cos2x-cos x+ 2 2 1 =- (cos x+1)2+2≤2, 2 当 cos x=-1 时取等号. 所以函数 y=∫x 0(sin t+cos tsin t)dt 的最大值为 2. 12.解:(1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则 f′(x)=2ax+b. 由 f(-1)=2,f′(0)=0,
? ? ?a-b+c=2, ?c=2-a, 得? 即? ?b=0, ?b=0, ? ?

故 f(x)=ax2+(2-a).
1 2 又∫1 0f(x)dx=∫0[ax +(2-a)]dx

1 3 2 ?1 =? ?3ax +?2-a?x?0=2-3a=-2, 得 a=6,故 c=-4. 从而 f(x)=6x2-4. (2)因为 f(x)=6x2-4,x∈[-1,1], 所以当 x=0 时,f(x)min=-4; 当 x=± 1 时,f(x)max=2. 即 f(x)在[-1,1]上的最大值为 2,最小值为-4. B级 1.选 A 在直角坐标系内,画出曲线 y=x2+2x 和直线 y=x 围成
2 ? ?y=x +2x, 的封闭图形, 如图所示, 由? 得曲线与直线的两个交点坐标 ?y=x, ?

1 1 2 ? 1 3 1 2?0 为(-1,-1)和(0,0),故封闭图形的面积为 S=∫0 -1[x-(x +2x)]dx= - x - x -1=- - 2 ? ? 3 3 2 1 = . 6 2.解析:设 y= 16+6x-x2,即(x-3)2+y2=25(y≥0), ∵∫3 16+6x-x2dx 表示以(3,0)为圆心,5 为半径的圆的面积的四分之一, -2 25π ∴∫3 16+6x-x2dx= . -2 4 25π 答案: 4 3.解:(1)∵f′(x)= 1 1 ,∴f′(6)= , 2 x-2

1 ∴切线 l 的方程为 y-4= (x-6), 2 即 x-2y+2=0. (2)令 f(x)=0,则 x=2, 1 令 y= x+1=0,则 x=-2. 2

?1x+1?dx-∫6 故 S=∫6 -2 2 4x-8dx ?2 ?
1 2 ? =? ?4x +x?

? ? ? ?

-2

6

1 3 - (4x-8) 6 2

? 16 ? =3. ?
6 2


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