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2015郑州二模数学理试题及答案


2015 郑州二模数学理试题及答案
2015 年高中毕业年级第二次质量预测 理科数学试题卷 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 11 卷(非选择题)两部分.考试时间 120 分钟,满分 150 分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无 效.交卷 时只交答题卡. 第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. 1、设 i 是虚数单位,复数 ,则|z|= A.1 B. C. D. 2

2.集合 U={0,1,2,3,4},A={1,2},B={x Z}x2 一 5x+4<0},则 C u(AUB)= A. { 0,1,3,4} B.{1,2,3} C.{0,4} D. { 0}

3.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数也相同,则图中的 m,n 的比值 =

A.1

B.

C.

D.

4.某校开设 A 类选修课 2 门,B 类选修课 3 门,一位同学从中选 3 门.若要求两类课程 中各至少选一门,则不同的选法共有 A. 3 种 B. 6 种 C. 9 种 D.18 种

5.如图 y= f (x)是可导函数,直线 l: y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线,令 g(x)=xf(x),g (x)是 g(x)的导函数,则 g (3)=

A. -1

B. 0

C. 2

D. 4

6.有四个关于三角函数的命题: p1:sinx=siny =>x+y= 或 x=y,

其中真命题是 A. p1,p3 B. p2,p3 C.p1,p4 D. p2,p4

7.若实数 x、y 满足 ,且 x=2x+y 的最小值为 4,则实数 b 的值为 A.1 B. 2 C. D. 3

8.如图所示是一个几何体的三视图,则这个几何体外接球的表面积为

A. 8

B. 16

C. 32

D. 64

9.已知函数 f(x)= ,函数 g(x) = f (x)一 2x 恰有三个不同的零点,则实数 a 的

取值范围是 A.[一 1,3) B.〔-3,一 1〕 C.[-3,3) D.[一 1,1)

10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 sin (B 十 A)+sin(B-A) = 3sin2A,且 ,则△ABC 的面积是

11.如图,矩形 ABCD 中,AB=2AD,E 为边 AB 的中点,将△ADE 沿直线 DE 翻折成 △A1DE.若 M 为线段 A1C 的中点,则在△ADE 翻折过程中,下面四个命题中不正确的是

A.|BM|是定值

B.点 M 在某个球面上运动 D.存在某个位置,使 MB//平面 A1DE

C.存在某个位置,使 DE⊥A1 C

12.已知双曲线 的左、右焦点分别是 Fl,F2,过 F2 的直线交双 曲线的右支于 P,Q 两点,若|PF1|=|F1F2|,且 3|PF2|=2 |QF2|,则该双曲线的 离心率为 A、 B、 C、2 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13-21 题为必考题.每个试题考生都必须作 答.第 22-24 题为选考题.考生根据要求作答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知点 A(-1,1)、B(0,3)、C(3,4),则向量 在 方向上的投影为 14.已知实数 m 是 2 和 8 的等比中项,则抛物线 y=mx2 的焦点坐标为 15.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值是 . . D、

16.已知偶函数 y= f (x)对于任意的 x 满足 f (x)cosx+f(x)sinx>0(其中 f (x)是函数 f (x)的导函数),则下列不等式中成立的有

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、或演算步骤 17.(本小题满分 12 分) 已知等差数列{ }的各项均为正数, =1,且 成等比数列. (I)求 的通项公式, (II)设 ,求数列{ }的前 n 项和 Tn. 18.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,四边形 AA1C1C 是边长为 2 的菱形,平面 ABC ⊥平面 AA1 C1C, ∠A1AC=600, ∠BCA=900. (I)求证:A1B⊥AC1

(II)已知点 E 是 AB 的中点,BC=AC,求直线 EC1 与平面平 ABB1A1 所成的角的正弦值。

19.(本小题满分 12 分) 某商场每天(开始营业时)以每件 150 元的价格购人 A 商品若千件(A 商品在商场的保 鲜时间为 10 小时,该商场的营业时间也恰好为 10 小时),并开始以每件 300 元的价格出 售, 若前 6 小时内所购进的商品没有售完,则商场对没卖出的 A 商品将以每件 100 元的价格低 价处理完毕(根据经验,4 小时内完全能够把 A 商品低价处理完毕,且处理完毕后,当天不 再 购进 A 商品).该商场统计了 100 天 A 商品在每天的前 6 小时内的销售量,制成如下表格 (注:视频率为概率).(其中 x+y=70)

(I)若某天该商场共购人 6 件该商品,在前 6 个小时中售出 4 件.若这些产品被 6 名 不同的顾客购买,现从这 6 名顾客中随机选 2 人进行服务回访,则恰好一个是以 300 元价 格 购买的顾客,另一个以 100 元价格购买的顾客的概率是多少? (II)若商场每天在购进 5 件 A 商品时所获得的平均利润最大,求 x 的取值范围. 20.(本小题满分 12 分) 设椭圆 C: ,F1,F2 为左、右焦点,B 为短轴端点,且 S△BF1F2=4,离 心率为 ,O 为坐标原点. (I)求椭圆 C 的方程, (B)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 C 恒有两个交点 M, N,且满足 ?若存在,求出该圆的方程,若不存在,说明理由. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ax+ln(x-1),其中 a 为常数. (I)试讨论 f (x)的单调区间, (II)若 时,存在 x 使得不等式 成立,求 b 的取值范围.

请考生在第 22,23,24 三题中任选一题做答.如果多做,则按所做的第一题记分.做答

时.用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4--1:几何证明选讲 奴图,已知圆 O 是△ABC 的外接圆,AB=BC,AD 是 BC 边上的高,AE 是圆 O 的直径.过点 C 作 圆 O 的切线交 BA 的延长线于点 F. (I)求证:AC?BC=AD?AE; (II)若 AF=2, CF=2 ,求 AE 的长

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 M 的参数方程为 为参数), 若以直角坐标系中的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 N 的极坐标 方程为 (t 为参数). (I)求曲线 M 和 N 的直角坐标方程, (11)若曲线 N 与曲线 M 有公共点,求 t 的取值范围. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|3x+2| (I)解不等式 , (B)已知 m+n=1(m,n>0),若 恒成立,求实数 a 的取 值范围.

2015 年高中毕业年级第二次质量预测 理科数学 一、选择题 BCDC BDDC ADCA 二、填空题 参考答案

(Ⅱ) , ……… 8 分 所以 . ……… 12 分 18. (1)证明:取 中点 ,连接 , 因为平面 平面 , , 所以 平面 所以 . 又 , 所以 平面 ,

所以 在菱形 中, . 所以 平面 , 所以 . (2)以点 为坐标原点,

.……… 4 分

……… 6 分

建立如图所示的空间直角坐标系 , 则 , , , , , , 设 是面 的一个法向量, 则 , 即 取 可得 又 ,所以 , 所以直线 与平面 所成的角的正弦值 = . ……… 12 分 ……… 10 分

19.解:(1)恰好一个是以 300 元价格购买的顾客,另一个以 100 元价格购买的顾客的概 率是 A, 则 ……… 3 分 (2)设销售 A 商品获得的利润为 (单位:元), 依题意, 视频率为概率,为追求更多的利润, 则商店每天购进的 A 商品的件数取值可能为 4 件,5 件,6 件. 当购进 A 商品 4 件时, 当购进 A 商品 5 件时, 当购进 A 商品 6 件时,

= 由题意 ,解得 ,又知 , 所以 x 的取值范围为 , . 20.解:(1)因为椭圆 ,由题意得 , , , ……… 4 分

……… 9 分

……… 12 分

所以解得所以 椭圆 的方程为

(2)假设存在圆心在原点的圆 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交点 ,因为 , 所以有 , 设 , 当切线斜率存在时,设该圆的切线方程为 ,解方程组

得 ,即 , 则△= ,即

……… 6 分

要使 ,需 ,即 , 所以 ,所以 又 ,所以 , 所以 ,即 或 ,因为直线 为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为 , , , 所求的圆为 , 此时圆的切线 都满足 或 , 而当切线的斜率不存在时切线为 与椭圆 的两个交点 为 或 满足 , 综上, 存在圆心在原点的圆 满足条件. 21.解:(1)由已知得函数 的定义域为 = 当 时, 在定义域内恒成立, 的单调增区间为 , 当 时,由 得 当 时, ;当 时, 的单调增区间为 ,减区间为 .……… 5 分 . ……… 12 分 ……… 10 分

(2)由(1)知当 时, 的单调增区间为 ,减区间为 . 所以 所以 恒成立,当 时取等号. 令 = ,则 当 时, ;当 时, 从而 在 上单调递增,在 上单调递减 所以, 所以,存在 使得不等式 只需 即: 22.(10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解:(1)证明:连结 ,由题意知 为直角三角形. 因为 , , ∽ , 所以 ,即 . ……… 12 分 成立 ……… 10 分 ……… 7 分

又 , 所以 . ……… 5 分

(2)因为 是圆 的切线,所以 , 又 ,所以 , 因为 ,又 ,所以 ∽ . 所以 ,得

……… 10 分 23.(10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解(1)由 得 , 所以曲线 可化为 , , 由 得 , 所以 ,所以曲线 可化为 . ……… 5 分

(2)若曲线 , 有公共点,则当直线 过点 时满足要求,此时 ,并且向左下方平行运动 直到相切之前总有公共点,相切时仍然只有一个公共点, 联立 ,得 , ,解得 ,综上可求得 的取值范围是 . ……… 10 分

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 解:(I)不等式 ,即 , 当 时,即 当 时,即 解得 解得

当 时,即 无解, 综上所述 (Ⅱ) , 令 时, ,要使不等式恒成立, 只需 即 . ……… 10 分 .……… 5 分


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