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2014届高三数学一轮复习巩固与练习:两角和与差的三角函数


巩固 1 1.(2009 年高考陕西卷)若 3sinα +cosα =0,则 2 的值为( ) cos α +sin2α 10 5 A. B. 3 3 2 C. D.-2 3 2 2 1 1 sin α +cos α 解析: A.3sinα +cosα =0, tanα =- , 2 选 则 = 2 3 cos α +sin2α cos α +2sinα cosα 1 2 (-

) +1 2 3 tan α +1 10 = = = . 1+2tanα 1 3 1+2×(- ) 3 3 π π 5π 2.若 sinα = ,α ∈(- , ),则 cos(α + )=( ) 5 2 2 4 7 2 A.- 10 C. 2 10 B.- 2 10

7 2 D. 10

π π 3 4 解析:选 B.由 α ∈(- , ),sinα = 可得 cosα = ,由两角和与差的余弦公式得: 2 2 5 5 5π 2 2 cos(α + )=- (cosα -sinα )=- ,故选 B. 4 2 10 π 4 π 2 3.若 α ∈( ,π ),且 sinα = ,则 sin(α + )- cosα =( 2 5 4 2 A. C. 2 2 5 4 2 5 2 2 B.- 5 4 2 D.- 5 π 2 π π 2 4 2 )- cosα =sinα cos +cosα sin - cosα = × = 4 2 4 4 2 5 2 )

解析:选 A.sin(α + 2 2 .故选 A. 5

π π )=sin(α - ),则 tanα =_______ _. 3 3 π π 解析:∵cos(α + )=sin(α - ), 3 3 π π π π ∴cosα cos -sinα sin =sinα cos -cosα sin , 3 3 3 3 ∴tanα =1. 答案:1 3 5.已知 sin(30°+α )= ,60°<α <150°,则 cosα 的值为________. 5 解析:∵60°<α <150°,∴90°<30°+α <180°. 3 4 ∵sin(30°+α )= ,∴cos(30°+α )=- . 5 5 ∴cosα =cos[(30°+α )-30°] =cos(30°+α )·cos30°+sin(30°+α )·sin30° 4.(原创题)已知 cos(α +
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4 3 3 1 3-4 3 =- × + × = . 5 2 5 2 10 3-4 3 答案: 10 6.化简: sin(α +β )-2sinα cosβ (1) ; 2sinα sinβ +cos(α +β ) 1 1 (2) - . 1-tanθ 1+tanθ sinα ·cosβ +cosα ·sinβ -2sinα ·cosβ 解:(1)原式= 2sinα ·sinβ +cosα ·cosβ -sinα ·sinβ -(sinα ·cosβ -cosα ·sinβ ) = cosα ·cosβ +sinα ·sinβ sin(α -β ) =- =-tan(α -β ). cos(α -β ) (1+tanθ )-(1-tanθ ) (2)原式= 2 1-tan θ 2tanθ = =tan2θ . 2 1-tan θ 练习

1. A. 1 2

3-sin70° =( 2 2-cos 10°

) B. D. 2 2

3 2 3-sin70° 6-2sin70° 解析:选 C.原式= = =2,故选 C. 1+cos20° 3-sin70° 2- 2 1 π π 3 2.已知 sinθ =- ,θ ∈(- , ),则 sin(θ -5π )sin( π -θ )的值是( 3 2 2 2 C.2 A.

)

2 2 2 2 B .- 9 9 1 1 C.- D. 9 9 解析:选 B.由已知条件可得 θ 为第四象限角,根据同角三角函数关系式可得 cosθ = 2 2 ,由三角函数诱导公式可得 3 3 1 2 2 2 2 sin(θ -5π )sin( π -θ )=sinθ cosθ =- × =- ,正确答案为 B. 2 3 3 9 cos(π -2α ) 2 3.已知 =- ,则 cosα +sinα 等于( π 2 sin(α - ) 4 A.- 7 2 B. 7 2 )

1 D.- 2 cos(π -2α ) -cos2α 解析:选 D.由已知可得 = π 2 sin(α - ) (sinα -cosα ) 4 2 C. (sinα +cosα )(cosα -sinα ) sinα +cosα 2 =- = =- 2 2 2 (sinα -cosα ) 2 2 1 ?sinα +cosα =- . 2 4.设 α ,β 都是锐角,那么下列各式中成立的是( ) A.sin(α +β )>sinα +sinβ B.cos(α +β )>cosα cosβ C.sin(α +β )>sin(α -β ) D.cos(α +β )>cos(α -β ) 解析:选 C.∵sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ , sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ , 又∵α 、β 都 是锐角,∴cosα sinβ >0, 故 sin(α +β )>sin(α -β ). 2 2 2 5.在直角坐标系 xOy 中,直线 y=2x- 与圆 x +y =1 交于 A,B 两点,记∠xOA= 5 π 3π α (0<α < ),∠xOB=β (π <β < ),则 sin(α +β )的值为( ) 2 2 3 4 A. B. 5 5 3 4 C.- D.- 5 5
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1 2

?y=2x-2 ? 5 解析:选 D.由? ?x2+y2=1 ?

3 4 7 24 4 3 得点 A( , ),点 B(- ,- ).sinα = ,cosα = , 5 5 25 25 5 5

24 7 sinβ =- ,cosβ =- ,然后由两角和的正弦公式求解. 25 25 π 4 7π 6.已知 cos(α - )+sinα = 3,则 sin(α + )的值是( 6 5 6 2 3 A.- 5 4 C.- 5 2 3 B. 5 4 D. 5 π 4 解析:选 C.∵cos(α - )+sinα = 3, 6 5 ∴ 3 1 4 cosα + sinα +sinα = 3, 2 2 5

)

1 3 4 ∴ 3( cosα + sinα )= 3, 2 2 5 π 4 ∴sin(α + )= , 6 5 7π π π 又∵sin(α + )=sin(π +α + )=-sin(α + ), 6 6 6 7π 4 ∴sin(α + )=- . 6 5
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cos2α 1+tanα · 的值为________. 1+sin2α 1-tanα sinα 1+ 2 2 cosα cos α -sin α 解析:原式= 2· (sinα +cosα ) sinα 1- cosα cosα -sinα sinα +cosα = · =1. sinα +cosα cosα -sinα 答案:1 8.若点 P(cosα ,sinα )在直线 y=-2x 上,则 sin2α +2cos2α =________. 解析:∵P(cosα ,sinα )在 y=-2x 上, ∴sinα =-2cosα ,即 tanα =-2. 2 2tanα 1-tan α ∴sin2α +2cos2α = +2· 2 2 1+tan α 1+tan α 2 2+2tanα -2tan α 2-4-2×4 = = =-2. 2 1+tan α 1+4 答案:-2 2cos5°-sin25° 9. 的值为______ __. cos25° 7. 2cos5°-sin25° 2cos(30°-25°)-sin25° 3cos25° 解析: 由已知得: = = = 3. cos25° cos25° cos25° 答案: 3 π sin(α + ) 4 5 10.已知 α 是第一象限角,且 cosα = ,求 的值. 13 cos(2α +4π ) 5 12 解:∵α 是第一象限角,cosα = ,∴sinα = . 13 13 π 2 2 sin(α + ) (sinα +cosα ) (sinα +cosα ) 4 2 2 ∴ = = 2 2 cos(2α +4π ) cos2α cos α -sin α 2 2 2 2 13 2 = = =- . cosα -sinα 5 12 14 - 13 13 2cos10°-sin20° 11.求值:(1) ; sin70° π π π π (2)tan( -θ )+tan( +θ )+ 3tan( -θ )tan( +θ ). 6 6 6 6 2cos(30°-20°)-sin20° 解:(1)原式= sin70° 3cos20°+sin20°-sin20° 3cos20° = = 3. sin70° sin70° π π π π π (2)原式=tan[( -θ )+( +θ )][1-tan( -θ )tan( +θ )]+ 3tan( - 6 6 6 6 6 π θ )tan( +θ )= 3. 6 =

12.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 α 、β ,它们的终边 2 2 5 分别与单位圆相交于 A、B 两点.已知 A、B 两点的横坐标分别为 , . 10 5 (1)求 tan(α +β )的值; (2)求 α +2β 的值. 解:(1)由已知条件及三角函数的定义可知, 2 2 5 cosα = ,cosβ = . 10 5 因 α 为锐角,故 sinα >0,从而 sinα = 1-cos α =
2

7 2 , 10

5 1 .因此 tanα =7,tanβ = . 5 2 1 7+ 2 tanα +tanβ 所以 tan(α +β )= = =-3. 1-tanα tanβ 1 1-7× 2 1 -3+ 2 (2)tan(α +2β )=tan[(α +β )+β ]= =-1. 1 1-(-3)× 2 π π 3π 又 0<α < ,0<β < ,故 0<α +2β < , 2 2 2 3π 从而由 tan(α +2β )=-1 得 α +2β = 4 同理可得 sinβ =
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