当前位置:首页 >> 数学 >>

椭圆的简单几何性质


标准方程

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
y P

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a y
F2 P x

不 同 点




F1

O

F2

x

O

F1

焦点坐标
相 同 点 定 义 a、b、c 的关系 焦点位置的判断

F1 ? -c , 0?,F2 ? c , 0?

F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹
a 2 = b2 + c 2

分母哪个大,焦点就在哪个轴上

1.顶点:椭圆和坐标轴的交点叫做椭圆的顶点 ? 椭圆有四个顶点(±a,0)、(0,±b)
B1 (0,b)
(-a,0) A1 F1 F2 (a,0) A2 x y

O B2(0,-b)

? 线段A1A2叫做椭圆的长轴,且长为2a, a叫做椭圆的长半轴长 ? 线段B1B2叫做椭圆的短轴,且长为2b, b叫做椭圆的短半轴长 2c 为椭圆的焦距, c 为椭圆的半焦距

?

a、b、c的几何意义
B1 (0,b) a b c O B2(0,-b) y

(-a,0) A1

F1

F2

(a,0) A2 x

?a ? b ? c
2 2

2

? B1F1 ? B1F2 ? B2 F1 ? B2 F2 ? a

2、范围:
B2 A1

y
b a
F2

F1

o c
B1

A2

2 y x ? 1, 2 ? 1得: 2 b a -a≤x≤a, -b≤y≤b 知 椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中

2

x2 y2 3、对称性: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b 从图形上看,椭圆关于x轴、y轴、原点对称, 原点是椭圆的中心. 从方程上看: (1)把x换成-x方程不变,图象关于y轴对称; (2)把y换成-y方程不变,图象关于x轴对称; (3)把x换成-x,同时把y换成-y方程不变,图 y 象关于原点成中心对称。 B2
A1

b F1

a F2

o c
B1

A2

根据前面所学有关知识画出下列图形
x y ? ?1 (1 ) 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2

x2 y2 ? ?1 (2) 25 4
y
4 3 B 2 2 1

A1

A2 x

A1

A2 x

-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4

123 4 5

B1

-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4

4、椭圆的离心率 (刻画椭圆扁平程度的量)

c 椭圆的焦距与长轴长的比e ? a 叫做椭圆的离心率。 [1]离心率的取值范围: 0<e<1

[2]离心率对椭圆形状的影响: 2 2 1)e越接近1,c就越接近a,从而b ? a ? c 就越小,椭圆就越扁 2 2 2)e越接近0,c就越接近0,从而b ? a ? c 就越大,椭圆就越圆 思考:当e=0时,曲线是什么? 圆 线段F1F2 当e=1时曲线又是 什么?

c [3]e与a,b的关系: e ? ? a

a ?b b ? 1? a a
2 2 2

2

2

两种标准方程的椭圆性质的比较
方程

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
B2 y A1 F1 O B1 F2 A2 x

2

2

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
A2 F2 B1 O F1 A1 y B2

图形

x

范围 对称性 顶点
离心率

? a ? x ? a,?b ? y ? b ? a ? y ? a,?b ? x ? b
关于x轴、y轴、原点对称 A1(-a,0), A2(a,0) A1(0,-a), A2(0,a) B1(0,-b), B2(0,b) B1(-b,0), B2(b,0)

例1求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴长,离心率 焦点和顶点坐标。 x2 y2 ?解:把已知方程化为标准方程 ? ?1

所以a ? 5, b ? 4, c ? 3
因此长轴长 2a

25 16

c 3 离心率 e ? ? a 5

? 10

,短轴长 2b ? 8

练习:P41 T2

焦点F1(-3,0)和F2(3,0), 椭圆的四个顶点是A1(-5,0)、A2(5,0)、 B1(0,-4)、B2(0,4)

例2:求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(-3,0)、Q(0,-2); ⑵长轴长等于20,离心率3/5。 (1)解:利用椭圆的几何性质,以坐标轴为对 称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点,于 是焦点在x轴上,且点P、Q分别是椭圆长轴与短 轴的一个端点,故a=3,b=2,故椭圆的标准方 2 2 程为 x y

9
2 2

?

4

?1

2 2 x y y x ? ?1 ? ?1或 ⑵ 100 64 100 64

练习:P42 T5

例3 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且椭圆过(-2,-4) 点,求椭圆的标准方程。 解: ? 2a ? 2 ? 2b ? a ? 2b 2 2 y 当焦点在 x轴上时,设椭圆方程为 x 2 ? 2 ? 1 , 4b b ? 椭圆过点(?2 , ? 4) 2 2 y x ? 2 ? 椭圆方程为 ? 1. ? 4 2 ? 16 ? 1 , ? b ? 17 , 2 68 17 4b b 2 2 y 当焦点在 y轴上时,设椭圆方程为 x2 ? 2 ? 1 , b 4b ? 椭圆过点(?2 , ? 4) 2 2 y 16 ? 1, ? b2 ? 8 , ? 椭圆方程为 x ? ? 1. ? 4 ? 2 2 8 32 b 4b

例4、已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列, 求该椭圆的离心率.

例5:点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直 25 4 线x? 的距离的比是常数 ,求点M的轨迹。
4
5

猜想证明
猜想: 点动点M(x,y)与定点 F(c,0)的距离和 2 c a e ? x ? 它到定直线L : c 的距离的比是常数 a (0<e<1) ,动点M的轨迹就是椭圆。

猜想证明
回顾:求轨迹的一般步骤: 解:设 d是点M到直线 l 的距离,依题意知,所求轨迹就 1.建系,设点. | MF | c ? 是集合 P ? ? ? ? 设M ( x , y ) ?M | d a? ? 2.列等式. y 2 2

5.证明(验证). 将上式两边平方并化简得 :

( x ? c) ? y c ? 2 由此得 3.代入坐标得到方程. a a | ?x | 4.化简方程. c

M 0
F (c,0)

x

(a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 )
2 2 x y 设 设a ? c ? b 原方程可化为: ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 这是椭圆的标准方程,所以M点的轨迹是长轴长为2a 短轴长为 2b 的椭圆.

2

2

2

a2 x? c

概念引入
问题2:

(1)定义中有哪些已知条件?
(2)定点定比在椭圆中的名称各是什么? (3)定比的取值范围是什么? (4)椭圆有几条准线,他们与椭圆的位置关系?

首页

上页

下页

概念分析
由此可知,当点M与一个定点的距离和它到一条定直 ,0 ) 2 能不能说Mc到 F ?( -c a ,这个点的 线的距离的比是一个常数 e ? (0 ? e ? 1) 时 x? 的距离与到直线 a c 轨迹是椭圆,这叫做椭圆的第二定义 的距离比也是离,定点是椭圆的焦 心率e呢 ? e是椭圆的离心率. 点,定直线叫做椭圆的准线 ,常数 y x2 y2 对于椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) M a b 相应与焦点 F (c,0) 的准线
F ?(?c,0) 0
F (c,0)
2 a x 方程是 x ? c

a x?? c

2

a x? c

2

由椭圆的对称性,相应与焦点 F ?(?c,0) 的准线方程是

a2 x?? c

知识归纳
图 形 相同点
方程
长轴长 ? 2a, 短轴长 ? 2b
c 离心率e ? (0 ? e ? 1) a 2 ? b2 ? c2 a 2 2 2 2 y x x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 2 a b a b

不 同 点

焦点
顶点 准线

F1 (?c,0) F2 (c,0)
A1 (?a,0) A2 (a,0) B1 (0,?b) B(0, b)

F1 (0,?c) F2 (0, c)
A1 (0,?a) A2 (0, a ) B1 (?b,0) B(b,0)

a2 x?? c

a2 y?? c

例题讲解
练习1: 求下列椭圆的焦点坐标和准线

(1)

+ =1 100 36
25 __ x= ±

x2 __

2 y __

焦点坐标:(-8,0),(8,0). 准线方程:

2

(2) 2x2+y2=8
焦点坐标:(0,-2),(0,2). 准线方程:y= ±4
首页 上页 下页

例题讲解
例2:求中心在原点,一条准线方程是x=3, 离心率为 5 的椭圆标准方程。
3

解:依题意设椭圆标准方程为

? b2 ? 1(a ? b ? 0) 5 c ? ? ?a 3 由已知有 解得a= ? a2 ? ? c ?3
x a2
2

y2

5 c=

5 3

?b2 ? a2 ? c2 ? 20 9

? 所求椭圆的标准方程为

x 5

2

?

y

2

20 9

?1
上页 下页

首页

例题讲解
x2 y2 ? ? 1 ,其上有一点P,它到右焦点 例3.椭圆方程为 100 64
的距离为14,求P点到左准线的距离. 解:由椭圆的方程可知:

c 3 a ? 10, b ? 8,? c ? 6, e ? ? a 5
由第一定义可知:

y

| PF1 |? 2a? | PF2 |? 20 ? 14 ? 6
由第二定义知:

d1 P
F1

d2
0
F2

PF1 d1

? e ? d1 ?

PF1 e

x

? 10

课堂小结
1.椭圆的几何性质(1)顶点四个(2)对称性(3) 范围(4)离心率 2.用几何性质确定椭圆方程。 3.椭圆第二定义是: 当点M与一个定点的距离和它到一条定 直线的距离的比是常数e = 这个点的轨迹是椭圆
2 2

c (0<e<1)时, __ a

4.方程 方程

x y ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的准线方程是 2 a b y2 x2 ? ?1 (a ?b ?0) 的准线方程是 a2 b2

2 a x= ± __ c 2 a __ y= ± c


相关文章:
椭圆的简单几何性质(一)(教案)
椭圆的简单几何性质(一)(教案)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。椭圆的简单几何性质(一)池州第六中学 王超 教学目标(一)教学知识点 椭圆的范围、对称性、对称...
《椭圆的简单几何性质》教学设计
3. 重点、难点:教学重点:掌握椭圆的简单几何性质,并能初步运用其探索方法研究问题,体会数形结合思想方法在数学中的应用 教学难点;利用曲线方程研究曲线几何性质的...
高中数学《椭圆的简单几何性质》教案
高中数学《椭圆的简单几何性质》教案_数学_高中教育_教育专区。高中数学《椭圆的简单几何性质》教案 高中数学教案 第 8 章圆锥曲线方程(第 4 课时) 课 题:8.2...
椭圆的简单几何性质教案
椭圆的简单几何性质教案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。课题:椭圆的简单几何性质 设计意图: 本节内容是椭圆的简单几何性质, 是在学习了椭圆的定义和标准方程之后...
椭圆的简单几何性质习题
椭圆的简单几何性质习题_数学_高中教育_教育专区。[学业水平训练] 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于( ) 1 3 A. B. 3 3 1 3 C...
椭圆的简单几何性质练习题
椭圆的简单几何性质练习题_语文_初中教育_教育专区。课时作业(八) [学业水平层次] 一、选择题 3 1.(2015· 人大附中月考)焦点在 x 轴上,短轴长为 8,离心...
2.1.2椭圆的简单几何性质练习题及答案
选修1-1 2.1.2 椭圆的简单几何性质 编制:高辉波 班级 学号 姓名 一、课前练习: 课前练习: 1.椭圆x2+ 8y2=1的短轴的端点坐标是 ( ) 2 2 )、(0,...
《椭圆的简单几何性质》教学反思
椭圆的简单几何性质》教学反思_高二数学_数学_高中教育_教育专区。《椭圆的简单几何性质》教学反思椭圆的简单几何性质的重点是性质, 难点是应用。 椭圆的简单几 何...
椭圆的简单几何性质(附练习题答案及知识点回顾)
椭圆的简单几何性质基础卷 1.设 a, b, c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距,则 a, b, c 的大小关系是 (A)a>b>c>0 (B)a>c>b>0 ...
2.1椭圆的简单几何性质学案
我的困惑椭圆的简单几何性质 学习目标:1 掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解 a,b,c,e 的几何意义 2 通过对椭圆标准方程的讨论,理解在解析几何中是...
更多相关标签:
椭圆 | 椭圆的简单几何性质2 | 上海师范大学 | 弦长公式 | 椭圆离心率 | 椭圆的几何性质 | 中行 | 椭圆几何性质 |