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全国高中数学联赛省级预赛模拟【试题及答案】


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全国高中数学联赛省级预赛模拟试题 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 参考公式 1.三角函数的积化和差公式

1 2 1 cosα ?sinβ = 2 1 cosα ?cosβ = 2 1 sinα ?sinβ = 2
sinα ?cosβ = V 球=

[sin(α +β )+s

in(α -β )], [sin(α +β )-sin(α -β )], [cos(α +β )+cos(α -β )], [cos(α +β )-cos(α -β )].

2.球的体积公式

4 3 π R (R 为球的半径) 。 3
2

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.设在 xOy 平面上,0<y≤x ,0≤x≤1 所围成图形的面积为 M={(x,y)|x≤|y|}, N={(x,y)|x≥y | 的交集 M∩N 所表示的图形面积为 A.
2

1 。则集合 3

2 3

B.

1 3

C.1

D.

1 6

2.在四面体 ABCD 中,设 AB=1,CD= 3 ,直线 AB 与直线 CD 的距离为 2,夹角为 面体 ABCD 的体积等于 A.

? 。则四 3

3 2

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 3

3.有 10 个不同的球,其中,2 个红球、5 个黄球、3 个白球。若取到一个红球得 5 分,取 到一个白球得 2 分,取到一个黄球得 1 分,那么,从中取出 5 个球,使得总分大于 10 分且 小于 15 分的取法种数为 A.90 B.100 C.110 D.120 4.在Δ ABC 中,若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC,则 A.Δ ABC 是等腰三角形,但不一定是直角三角形 B.Δ ABC 是直角三角形,但不一定是等腰三角形 C.Δ ABC 既不是等腰三角形,也不是直角三角形 D.Δ ABC 既是等腰三角形,也是直角三角形 2 4 3 2 5.已知 f(x)=3x -x+4, f(g(x))=3x +18x +50x +69x+48.那么,整系数多项式函数 g(x)的各 项系数和为 A.8 B.9 C.10 D.11 6.设 0<x<1, a,b 为正常数。则

a2 b2 ? 的最小值是 x 1? x

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A.4ab B.(a+b) C.(a-b) D.2(a +b ) 2008 2008 2006 2006 2 2 7.设 a,b>0,且 a +b =a +b 。则 a +b 的最大值是 A.1 B.2 C.2006 D.2008 8.如图 1 所示,设 P 为Δ ABC 所在平面内一点,并且 AP= ABC 的面积之比等于 A.

2

2

2

2

1 2 AB+ AC。则Δ ABP 的面积与Δ 5 5

1 5

B.

1 2

C.

2 5

D.

2 3

9.已知 a,b,c,d 是偶数,且 0<a<b<c<d, d-a=90, a,b,c 成等差数列,b,c,d 成等比数列。 则 a+b+c+d= A.384 B.324 C.284 D.194 n-1 10.将数列{3 }按“第 n 组有 n 个数”的规则分组如下: , (1)(3,9)(27,81,243) , ,?。 则第 100 组的第一个数是 4950 5000 5010 5050 A.3 B.3 C.3 D.3 11.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 A 关于直线 A1C、直线 BD1 的对称点分别为点 P 和 Q。则 P,Q 两点间的距离是 A.

2 2 3

B.

3 3 2

C.

3 2 4

D.

4 2 3

2 x2 y 12.已知 F1,F2 分别为双曲线 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点,P 为双曲线左支上的任意一点。 a b



| PF2 | 2 的值为 8a,则双曲线离心率 e 的取值范围是 | PF1 |
B.(0,3] C.(1,3] D.(1,2]

A.(1,+∞)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.已知

sin(? ? 2 ? ) 1 ? tan(? ? ? ) ? 3 ,且 ? ? k? , ? ? ? ? n? ? (n, k ? Z ) 。则 的值 sin ? 2 2 tan ?

是_________. 14. 设正数数列{an}的前 n 项之和为 b, 数列{bn}的前 n 项之积为 cn, bn+cn=1.则数列 ? 且 中最接近 2000 的数是_________. 15.不等式 ? 2 ?

?1? ? ? an ?

x 2 ? 2x ? 4 ? x 2 ? 10x ? 28 ? 2 的解集为 _________.

16. 已知常数 a>0,向量 m=(0,a),n=(1,0),经过定点 A(0,-a)以 m+λ n 为方向向量的直互 与经过定点 B(0,a)以 n+2+λ m 为方向向量的直线相交于点 P,其中,λ ∈R。则点 P 的轨迹 方程为_________. 三、解答题(共 74 分) 17.(12 分)甲乙两位同学各有 5 张卡片。现以投掷均匀硬币的形式进行游戏。当出现正面

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朝上时,甲赢得乙一张卡片;否则,乙赢得甲一张卡片,规定投掷硬币的次数达 9 次或在此 之前某人已赢得所有卡片时,游戏终止。设ξ 表示游戏终止时掷硬币的次数。求ξ 取各值时 的概率。 18.(12 分)设∠A,∠B,∠C 是Δ ABC 的三个内角。若向量

9 A? B? A? B? ? ?5 m ? ?1 ? cos(A ? B), cos ?, n ? ? , cos ? ,且 m?n= . 8 2 ? 2 ? ? ?8
(1)求证:tanA?tanB= (2)求

1 ; 9

ab sin C 的最大值。 a ? b2 ? c2
2

19. (12 分)如图 2,Δ ABC 的内切圆⊙I 分别切 BC,CA 于点 D,E,直线 BI 交 DE 于点 G。 求证:AG ? BG. 20. (12 分)设 f(x)是定义在 R 上的以 2 为周期的函数,且是偶函数,在区间[2,3]上, 2 f(x)=-2(x-3) +4。矩形 ABCD 的两个顶点 A,B 在 x 轴上,C,D 在函数 y=f(x)(0≤x≤2)的 图象上。求矩形 ABCI 面积的最大值。 21.(12 分)如图 3 所示,已知椭圆长轴端点 A,B,弦 EF 与 AB 交于点 D,O 为椭圆中心, 且|OD|=1,2DE+DF=0, ?FDO ?

?
4



(1)求椭圆长轴长的取值范围; (2)若 D 为椭圆的焦点,求椭圆的方程。 22. (14 分)已知数列{xn}中,x1=a, an+1=

2 xn . 2 1 ? xn

(1)设 a=tanθ ? 0 ? ? ?

? ?

??

4 ? ,若 x 3 ? ,求θ 的取值范围; 5 2?

(2)定义在(-1,1)内的函数 f(x),对任意 x,y∈(-1,1),有 f(x)-f(y)= f ? ? 1 ? xy ? , ? ? ? 若 f (a) ?

? x? y ?

1 ,试求数列{f(xn)}的通项公式。 2

答案: 第Ⅰ卷 1.B. M∩Nd xOy 平面上的图形关于 x 轴对称,由此,M∩N 的图形面积只要算出在第一象 限的图形面积乘以 2 即可。由题意知 M∩N 的图形在第一象限的面积为

1 1 1 ? ? . 2 3 6

2.C. 过点 D 作 DF // CB,过点 A 作 AE // BC,联结 CE,ED,AF,BF,将棱锥补成棱柱。 故所求棱锥面积为

1 1 1 ? CE?CDsin∠ECD?h= . 3 2 2

3.C. 符合要求的取球情况共有四种:

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红红白黄黄,红红黄黄黄,红白白白黄,红白白黄黄。
1 2 3 1 3 1 1 2 2 故不同的取法数为 C3C5 ? C5 ? C2C3 C5 ? C2C3 C5 ? 110 .

4.A. 左边=sinA?cosA+sinA?cosB+sinB?cosA+sinB?cosB =

1 (sin2A+sin2B)+sin(A+B) 2

=sin(A+B)?cos(A-B)+sin(A+B), 右边=2sin(A+B). 所以,已知等式可变形为 sin(A+B)[cos(A-B)-1]=0. 又因为 sin(A+B)>0,所以 cos(A-B)=1. 故∠A=∠B。 0 0 另一方面,∠A=∠B=30 ,∠C=120 也符合已知条件。 所以,Δ ABC 是等腰三角形,但不一定是直角三角形。 5.A. 设 g(x)的各项系数和为 s,则 2 f(g(1))=3s -s+4=188. 解得 s=8 或 s ? ?

23 (舍去) 。 3

6. B. 当x ?

? a2 x a2 b2 b2 ? 2 2 2 2 2 1? x ? ? ( x ? 1 ? x)? ? ? x 1 ? x ? ? a ? b ? a ? x ? b ? 1 ? x ? ( a ? b) . ? x 1? x ? ?
a 时,取得最小值(a+b)2. a?b
2006 2 2006 2

7.B. 因为 a2008+b2008≥a b +b a , 2006 2006 2 2 2008 2008 2006 2 2006 2 2008 2008 又(a +b )(a +b )=a +b +a b +b a ≤2(a +b ), 2008 2008 2006 2006 且 a +b =a +b , 2 2 所以 a +b ≤2.

1 AE。 5 1 2 联结 BE,作 ED//BA 交 AC 延长线于点 D。由 AP ? AB ? AC ,得 AC=CD。故四边形 ABED 5 5
8.C. 如图 4 所示,延长 AP 到 E,使得 AP= 是平行四边形。 所以

S ?ABP 1 ? . S ?ABE 5
1 S ABED S 2 2 ? ? 2 ,则 ?ABP ? . 1 S ?ABC 5 S ABED 4



S ?ABE S ?ABC

(b ? m) 2 . 9.D. 设 a,b,c,d 分别为 b-m,b,b+m, b


(b ? m) 2 m2 ? (b ? m) ? 90 ,则 b ? . b 3(30 ? m)



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因 a,b,c,d 为偶数,且 0<a<b<c<d,可知 m 为 6 的倍数,且 m<30. 设 m=6k,代入式①得 b ?

2k 2 (k ? 1,2,3,4). 5?k

代入检验知 k=4,b=32. 故 m=24,b=32,a,b,c,d 依次为 8,32,56,98。 所以 a+b+c+d=194. 10.A. 前 99 项的个数和为 1+2+?+99=4950。 0 4950 而第 1 组是 3 ,第 100 组的第一个数应为 3 。 11 . A . 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 有 D(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,1),C(0,1,0), B(1,1,0),D1(0,0,1). 设 P(x,y,z),AP 的中点为 M ?

? x ?1 y z ? , , ?. ? 2 2 2?

?1 ? x ? y ? z ? 0, ? ?1 2 4? 由 AP?A1C=0,MC//A1C,得 ? x ? 1 y z 解得 P? , , ?. ?3 3 3? ? 2 ? 1? 2 ? 2 . ?
同理, Q? ,

2 2 ?1 4 2? . , ?. 故 | PQ |? 3 ?3 3 3?

12.C. 根据双曲线的定义有 |PF2|-|PF1|=2a,

4a 2 4a 2 | PF2 | 2 (| PF1 | ?2a) 2 ? 2 | PF1 | ? ? 4a ? 8a. ? ? |PF1|+4a+ | PF1 | | PF1 | | PF1 | | PF1 |

4a 2 当且仅当 | PF | ? ,即|PF1|=2a 时,上式等号成立。 1 | PF1 |
设点 P(x,y)(-x≥a),由双曲线第二定义得|PF1|=-ex-a≥c-a,即 2a≥c-a. 于是 e ? 第Ⅱ卷 13.2.

c ? 3. 又 e>1,故 1<e≤3. a

sin(? ? 2? ) 1 ?1 [sin(? ? 2? ) ? sin ? ] tan( ? ? ) sin(? ? ? ) ? cos ? 2 ? 3 ?1 sin ? ? ? ? ? ? 2. 1 sin(? ? 2? ) tan ? cos(a ? b) ? sin ? 3 ?1 [sin(? ? 2? ) ? sin ? ] ?1 2 sin ?
14。1980。 依题意,有 bn ?

cn (n ? 2). cn?1

又 bn+cn=1,则

cn 1 1 ? 1. ? cn ? 1,即 ? c n c n ?1 cn ?1

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由 c1=b1,c1+b1=1,可得 c1=b1= . 故 cn ?

1 2

1 n 1 , bn ? , ? n(n ? 1). n ?1 n ? 1 an
?1? ? 中最接近 2000 的数是 44×45=1980。 ? an ?

所以,数列 ?

15.{x|3- 2 ? x ? 3 ? 2 }.
2 2 原不等式即为 | ( x ? 1) ? 3 ? ( x ? 5) ? 3 |? 2.

令 3=y ,不等式可化为 |

2

( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( x ? 5) 2 ? y 2 |? 2.
2

由双曲线的定义知, 满足上述条件的点在双曲线(x-3) -

y2 ? 1 的两支之间的区域内。 因此, 3

? y2 ( x ? 3) 2 ? ? 1, ? 原不等式与不等式组 ? 同解。所以,原不等式的解集为 3 ?y2 ? 3 ?

{x | 3 ? 2 ? x ? 3 ? 2}.
16.y +a =2a x ,去掉点(0,-a). 设点 P(x,y),则 AP=(x,y+a),BP=(x,y-a). 又 n=(1,0),m=(0,a),故 m+λ n=(λ ,a),n+2λ m=(1,2λ a). 由题设知向量 AP 与向量 m+λ n 平行,有λ (y+a)=ax. 又向量 BP 与向量 n+2λ m 平行,有 y-a=2λ ax. 2 2 2 2 2 2 两方程联立消去参数λ ,得点 P(x,y)的轨迹方程是(y+a)(y-a)=2a y ,即 y -a =2a x ,去掉 点(0,-a). 17.ξ 的取值为 5,7,9,则
1 P(ξ =5)= C 2 ? ? ?
2 2 2 2

?1? ?2?

5

1?1? 5 1 1 4? 1 ? , P(ξ =7)= C2 C5 ? ? ? ? ? ? , 64 16 ? 2? 2? 2?

4

2

1 5 55 ? ? . 16 64 64 9 18. (1)由 m?n= ,得 8 5 A? B 9 5 1 ? c o s A ? B) 9 ( [1 ? cos( A ? B)] ? cos 2 ? , 即 [1 ? cos( A ? B)] ? ? , 亦即 8 2 8 8 2 8 1 4cos(A-B)=5cos(A+B).所以 tanA?tanB= . 9 ab sin C ab sin C 1 ? ? tan C ,而 (2)因 2 a ? b 2 ? c 2 2ab cos C 2
P(ξ =9)= 1 ?

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tan A ? tan B 9 9 3 ? (tan A ? tan B) ? ? 2 tan A ? tan B ? . 1 ? tan A ? tan B 8 8 4 3 1 所以 tan(A+B)有最小值 。当且仅当 tanA=tanB= 时,取得最小值。 4 3 3 又 tanC=-tan(A+B),则 tanC 有最大值 ? . 4 ab sin C 3 故 2 的最大值为 ? . 2 2 8 a ?b ?c tan( A ? B) ?
19.如试题中图 2 所示,联结 AI,DI,EI。则

1 1 1 0 ∠DIE= (180 -∠C)= (∠ABC+∠BAC). 2 2 2 1 又∠EDC=∠DBG+∠BGD,所以∠BGD= ∠BAC=∠IAE。 2
∠EDC= 故四边形 AIEG 内接于圆,有∠AGI=∠AEI=90 。 所以 AG ? BG . 2 20.当 0≤x≤1 时,有 f(x)=f(x+2)=-2(x-1) +4; 2 当-1≤x≤0 时,有 f(x)=f(-x)=-2(-x-1) +4; 2 2 当 1≤x≤2 时,有 f(x)=f(x-2)=-2[-(x-2)-1] +4=-2(x-1) +4. 设 D(x,t), C(2-x,t). 2 则 t=-2(x-1) +4,易知
0

? (8 ? 2t ) ? t ? t ? S 矩形 ABCD=|AB|?|BC|=(2-2x)t= (8 ? 2t )t ? t ? ? ? 3 ? ?

3

?

16 6 . 9
8 6 16 6 ,即 x ? 1? 时,矩形 ABCD 面积最大值 . 3 3 9

当且仅当 t ?

21. (1)建立如图 5 所示的直角坐标系,D(-1,0),弦 EF 所在直线方程为 y=x+1. 设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y 2 ). a2 b2
2

由 2DE+DF=0,知 y1+y2=-y1,y1y2=-2 y1 .

? x2 y2 ? 1, ? ? 2 2 2 2 2 2 2 由 ?a2 b2 消去 x 得(a +b )y -2b y+b -a b =0. ? y ? x ? 1, ?
则Δ =4b4-4(a +b )(b -a b )=4a b (a +b -1)>0(因(a +b >1) 由韦达定理知 y1 ? y 2 ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2b 2 b 2 ? a 2b 2 ? ? y1 , y1 y 2 ? 2 ? ?2 y12 . y 2 2 2 a ?b a ?b

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? 2b 2 b 2 ? a 2b 2 ? ?2? 2 消去 y1 得 2 ? a ? b2 a ? b2 ?
解得 1<a2<5. 故 2<2a<2 5 .

? a 2 (a 2 ? 1) ? ,即 0<b2= ? a2. 2 ? 9?a ?

2

因此,椭圆长轴长的取值范围为(2,2 5 ). (2) 若 D 为椭圆的焦点,则 c=1. 故 b2=a2-1.

a 2 (a 2 ? 1) ? a 2 ? 1. 可得 b ? 2 9?a
2

解得 a ?
2

9 2 7 ,b ? . 2 2

所以,椭圆方程为

2x 2 2 y 2 ? ? 1. 9 7

22. (1)因 x1=a>0,故所有 xn>0. 又 x n ?1 ?

2 1 ? xn xn

? 1 ,所以 xn∈(0,1]

因为 x3<

2 x2 4 4 2 ,所以 ? ,即 2x2 ? 3x2 ? 2 ? 0. 2 5 1 ? x2 5
1 或 x2>2. 2
1 2

解得 x 2 ?

又 x2∈(0,1],则 0<x2< . 而 x2 ?

2 x1 1 2 tan? ? ? sin 2? ,故 0 ? sin 2? ? . 2 2 2 1 ? x1 1 ? tan ?

因为 2 ? ? (0, ? ) ,所以 0 ? ? ?

?
12



5? ? ?? ? . 12 2

(2)令 x=y=0,得 f(0)=0. 令 x=0,得 f(0)-f(y)=f(-y),即 f(-y)=-f(y). 故 f(x)为奇函数。 注意到 f(xn+1)= f ?

? 2 xn ? ?1? x2 ? ? ? n ? ?

? x ? (? x n ) ? f? n ? 1 ? x (? x ) ? ? f ( xn ) ? f (? xn ) ? 2 f ( xn ), ? n n ? ?



f ( x n ?1 ) ? 2, f ( xn )

所以,数列{f(xn)}是等比数列。 n-1 n-1 n-2 故 f(xn)=f(x1)?2 =f(a)?2 =2 .

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全国高中数学联赛模拟试题 第一试试题 一、选择题(每空 6 分) 1. 20 个乒乓球 将 (不加区分) 装入 5 个不同的盒子里, 要求不同的盒子中的球数互不相同, 且盒子都不空,一共有_______种不同装法。 A.7 B.14
4 C. C19

D.7×5!

2.若对实数 x∈[10,+∞)恒有|logmx|≥2,则 m 取值范围是_________。 A. (0,1) B. (1, 10] C. ? 0,

? ? ?

10 ? ? 10 ?

D. ?

? 10 ? ,1? ? 1, 10 ? ? 10 ?

?

?

3.椭圆的中心为原点 O,焦点在 x 轴上,过椭圆的左焦点 F 的直线交椭圆于 P,Q 两点,且 OP ? OQ,则椭圆的离心率 e 的取值范围是_________。 A. ?

? 5 ?1 ? ,1? ? 2 ? ?

B. ? 0,

? ? ?

5 ? 1? ? 2 ?

C. ?

? 3 ? ,1? 2 ? ? ?

D. [

5 ?1 5 ?1 , ] 4 4

4. p,q∈N+且 p+q>2007, 0<p<q≤2007, 若 (p,q)=1, 则形如

1 的所有分数的和为_________. pq

A.

2006 2007

B.

2007 2008

C.

1 2

D.1

5.已知 A,B,C 为Δ ABC 的三个内角, y=sin3A+sin3B+sin3C, y 的取值范围是______。 记 则 A.[0,2] B. ? ? 2,

? ? ?

3 3? ? 2 ?

C.[-2,2]

D. ? 0,

? ? ?

3 3? ? 2 ?

6. 对任意一组非负实数 a1,a2,?,an, 规定 a1=an+1, 若有 成立,则实数λ 的最大值为_________. A.0 B.

?
k ?1

n

a ? a k a k ?1 ? a
2 k

2 k ?1

? ? ? ai 恒
i ?1

n

2 2

C.1

D. 2

二、填空题(每题 9 分) 7. 四棱锥 P—ABCD 的底面是直角梯形, DA 垂直于底边 AB, 是棱锥的高, 腰 PD PD=AD=AB=2CD=1, 则二面角 A—PB—C 大小为_________。 8.数列{an}满足 a1=1, a2=2, an+1=(n-1)(an+an-1)n≥2,则{an}的通项公式为 an=_________。 9.满足条件:对任意 x∈R,都有 f(f(x))=x 且 f(f(x)+1)=1-x 的函数 f(x)有_________个。 10.AM 为抛物线的一条弦,C 为 AM 的中点,B 在抛物线上,且 BC 平行于抛物线的对称轴, E 为 AC 中点,DE//BC,且 D 在抛物线上,则 11.已知平面向量 a=( 3 ,-1),b= ?

DE ? _________。 BC

?1 3? ? ? ?? ? ? 2 , 2 ? ,若存在非零实数 k 和角 ? , ? ? ? ? 2 , 2 ? ,使 ? ? ? ?

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得 c=a+(tan α -3)b, d=-ka+(tanα )b,且 c ? d,则 k=_________。 (用α 表示) 12.已知复数 z1,z2,z3 满足|z1|≤1,|z2|≤1,|2z3-(z1+z2)|≤|z1-z2|,则|z3|的最大值与最小 值的差为_________。 三、解答题(每题 20 分) 13.设抛物线 S 的顶点在原点,焦点在 x 轴上,过焦点 F 作一条弦 AB,设 AO,BO 延长线分 别交准线于 C,D,若四边形 ABCD 的面积的最小值为 8,试求此抛物线的方程。
2

2 ? an ? ? 2 ? 2 ?a n ,证明:对任何 k∈N, 14.给定 a>2,数列{an}定义如下:a0=1, a1=a, an+1= ? ? ? a n ?1 ?



1 1 1 1 ? ??? ? (2 ? a ? a 2 ? 4 ) 。 a0 a1 ak 2
2 2

15.已知 a>0, y>0,且 0<x +y ≤π ,求证:1+cosxy≥cosx+cosy. 第二试试题 1.见图 1,以Δ ABC 的三边向外作正方形 ABED,BCGF 和 CAIH,直线 DI,EF,GH 交成Δ LMK, 其中 K=DI∩EF,M=DI∩GH,L=EF∩HG。 求证:Δ KLM 中 KM 上的中线 LN ? BC。 2.设非负整数数列 a1,a2,?,a2007 满足:ai+aj≤ai+j≤ai+aj+1,对一切 i,j≥1,i+j≤2007 成 立。 证明:存在实数 x,使对一切 1≤n≤2007,有 an=[nx]. 3. 试找出最大的正整数 N, 使得无论怎样将正整数 1 至 400 填入 20×20 方格表的各个格中, 都能在同一行或同一列中找到两个数,它们的差不小于 N。

答案: 第一试试题解答 1.D. 问题等价于求方程 x1+x2+x3+x4+x5=20 满足 i≠j,xi≠xj 的正整数解组数,先考虑方 程 y1+y2+y3+y4+y5=5 满足 0≤y1≤y2≤y3≤y4≤y5 的非负整数解,设满足 y1+y2+?+yk=n 满足 0 ≤ y1 ≤ y2 ≤ ? ≤ yk 的 非 负 整 数 解 组 数 为 f(k,n). 则 f(5,5)=1+f(4,5) =1+1+f(3,5)=2+f(2,2)+f(2,5)=7. 所以所求方程正整数解有 7×5!组。故选 D。 2.D. 当 x≥10 时,logmx≥-2 即 lgx≤lgm 或 lgx≥lgm (m>0 且 m≠1),解得 1<m≤ 10
2 -2



10 ? m ? 1. 10
设椭圆方程为

3.A.

x2 y2 ? ? ?? ? ? 2 ? 1 (a>b>0), P(r1cosθ ,r1sinθ ),Q ? r2 cos?? ? ? ? , 2 ? a b 2 ?? ? ? ?

1 1 1 1 ? ? ?? ? ? r2 sin ?? ? ? ? 即 Q(-r2sinθ ,r2cosθ ),因为 P,Q 在椭圆上,所以 2 ? 2 ? 2 ? 2 。 ? ? 2 ?? r1 r2 a b ? ?

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设 O 到 PQ 距离为 d.则 d ?

r1 r2 r ?r
2 1 2 2

?

ab a ?b
2 2

? c (c ? a 2 ? b 2 ) , 解得

5 ?1 ? e ? 1. 2

4.C. 记 2007=n,往证

? pq ? 2 . 当 n=2 时,显然成立。设当 n=k 时成立,当 n=k+1 时,
1 1 的和记为 S,所有形如 (p<k, (k,p)=1)的和记为 T, pq kp 1 1 1 ,T 中恰有一对分数 , 与之对应, pq pk qk

1

1

取所有满足 p+q=k, (p,q)=1 的

则 Sk=Sk-1+T-S;再证 S=T, S 中任取一个分数 在

而且

1 1 1 1 ? ? ,这样的对应是一一对应,所要 Sk-1=Sk,所以 S n ? . 2 pq pk qk

5.B. 当 A=B→

? ? ,C→0 时,y→-2,设 A≥B≥C,则 C≤ ,所以 sin3C≥0,所以 y>-2; 2 3





A=B=

?
9

,C ?

7? 9





y?

3 3 2





y=sin3A+sin3B+sin3C
2



1 ? 3 A ?? 3A ? 3 3 3A ? 3( B ? C ) 3A ? . ? 2 cos ? cos ? sin ??1 ? sin ? ? ? ≤ 2 ? 3?1 ? sin 3 ? 2 ?? 2 ? 2 2 ? 2 2 ?
6.C . 因 为 a ? a k a k ?1 ? a
2 k 2 k ?1 2 a 2 ? a k ?1 (a k ? a k ?1 ) 2 ? a k ? a k ?1 ? ? ,所以 ? k ? ?? ? ? 2 2 2 ? ? 2

?
k ?1

n

2 2 ak ? ak ak ?1 ? ak ?1 ? ?

n ak ? ak ?1 ? ? ak . 2 k ?1 k ?1 n

又当 a1=a2=?=an 时, “=”成立,所以λ 最大为 1。 7.90 . 延长 AD,BC 交于 E,连结 PE,则 DE=DA,PA=PE= 2, AE=2,所以 PE ? PA,又 PD ? AB,AB ? AD,所以 AB ? 平面 PAE, 所以 PE ? AB,所以 PE ? 平面 PAB。所以 A—PB—C 为直二面角。 8.由 an+1=(n-1)(an+an-1)得 an+1-nan=-[an-(n-1)an-1], 所以{an+1-nan}是首项为 a2-a1=1,公比为(-1)的等比数列, 所以 an+1-nan=(-1)n-1,所以
0

an?1 an 1 ? ? (?1) n?1 ? n! (n ? 1)! n!



在①中用 2,3,?,n-1 代替 n 并相加得

an a 1 1 ? 2 ? (?1) ? ? (?1) 2 ? +?+(-1)n-2? (n ? 1)! 1! 2! 3!

1 . (n ? 1)!

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所以 an ? (n ? 1)!? ? (?1)1 ?

?1 ?1!

1 1 1 ? 。 ? (?1) 2 ? ? ? ? (?1) n?2 ? 2! 3! (n ? 1)!? ?

9.0. 假设存在这样的函数 f(x),则由条件知它为单射,且 f(f(0))=0=f(f(1)+1),所以 f(0)=f(1)+1. ① 又 f(f(1))=1=f(f(0)+1),所以 f(1)=f(0)+1,与①矛盾。 10. .

3 4

设抛物线方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,点 C(x1,y1)把 AM 参数方程 ?

? x ? x1 ? t cos? , ? ? y ? y1 ? t sin ? ?
y12 ? 2 px1 ,又 sin 2 ?

2 2 2 2 代入 y =2px 得 t sin θ +2(y1sinθ -pcosθ )t+ y1 -2px1=0,所以 t1 t 2 ?

| BC |?
所以

2 px1 ? y12 , 2p

AC ? CM 2p AE ? EM 2p DE 3 ? ? ? . ,同理 ,所以 2 2 BC DE BC 4 sin ? sin ?

11.

?1 3? 1 ? ? ?? ? (tan3 ? ? 3 tan? ),? ? ? ? , ? 。由 a?b=( 3 ,-1)? ? , ? 2 2 ? =0 4 ? 2 2? ? ?
2

得 a ? b,又 c ? d,则[a+(tan ? -3)b]?[-ka+(tan ? )b]=0, 2 3 2 3 2 即 ka =(tan ? -3tan ? )b ,所以 k|a|2=(tan ? -3tan ? )|b| , 由题设|a|=2,|b|=1。从而 k ?

1 1 ? ? ?? (tan3 ? ? 3 tan? ),? ? ? ? , ? 。 4 4 ? 2 2?

12. 2.

由|2z3-(z1+z2)|≤|z1-z2|得

2|z3|-|z1+z2|≤|z1-z2|和|z1+z2|-2|z3|≤|z1-z2|, 所以

1 1 (|z1+z2|-|z1-z2|)≤|z3|≤ (|z1+z2|+|z1-z2|). 2 2
2(| z1 ? z 2 | 2 ? | z1 ? z 2 | 2 )

2 又|z1+z2|-|z1-z2|= (| z1 ? z 2 | ? | z1 ? z 2 |) ?

4(| z1 | 2 ? | z 2 | 2 ) ? 2 2 .

? 时,|z3|取最大值 2. 2 ? 又|z3|≥0,当且仅当 z2,z1 辐角相差 时,z3 可以为 0,所以|z3|min=0. 2
当且仅当 z1,z2 辐角相差 13.解 若抛物线的开口向右,设其方程为 y =2px(p>0),设 A? ?
2

? y12 , y1 2p ?

? ?, ? ?

? y2 ? ? p ? ? p ? ?p ? B ? 2 , y 2 ? , C ? ? , y 3 ? , D ? ? , y 4 ? , F ? ,0 ? 。 ? 2p ? ? 2 ? ? 2 ? ?2 ? ? ?

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因为 A,O,C 三点共线,所以

y3 y p2 ? 12 ,所以 y3 ? ? . p y1 y1 ? 2 2p

p2 2 同理,由 B,O,D 共线有 y 4 ? ? ,又因为 A,F,B 共线,所以 y1y2=-p , y2
所以 y1 ? ?

p2 ? p ? ? p ,所以点 C 坐标为 ? ? , y 2 ? ,D 坐标为 ? ? , y1 y2 ? 2 ? ? 2

? ?。 ?
1 2 |AB| sinθ 2

所以 AD//BC//x 轴,所以 ABCD 为直角梯形。 由抛物线定义,|BF|=|BC|,|AF|=|AD|,设∠BFx=θ ,则 ABCD 面积 SABCD=

=

? 2 p2 ? 2 p 2 ,当且仅当 ? ? 时,SABCD 取最小值 2p2,由已知 2p2=8,所以 p=2。故所求 3 2 sin ?
2

抛物线方程为 y =±4x.

14 . 证 明

记 f(x)=x -2 , 则 f(x) 在 [0,+ ∞ ) 上 是 增 函 数 , 又

2

a1 ? 2 ,所以 a0

?a ? a2 a a a a ? f ? 1 ? =a2-a>a,所以 2 ? 1 ,依此类推有 n?1 ? n ? 2 ,再用数学归纳法证明 ?a ? a1 a1 a 0 an a n?1 ? 0?
原命题。 (1)当 k=0,1 时,不等式显然成立。 (2)设当 k=m 时,原不等式成立。 当 k=m+1 时,因为 an ?

an an?1 a a ? ? ? ? 2 ? 1 ? f ( n?1) (a) f ( n?2) (a)? f (1) (a) f 0 (a), an?1 an?2 a1 a0 1 1 1 <1+ ? ( 0) ? ? ? ( 0) (1) (1) f ( a) f ( a) f (a) f (a) f (a)? f ( n?1) (a)
( 0)

其中 f (a)<a,所以 1 ?
(0)

1 1 1 2 1 ? 2 ? f (1) (a) ? ( f (1) (a)) 2 ? 4 ? 1 ? a ? a a 2 ? 4 ? 1 ? (a ? a 2 ? 4 ). a 2 2a 2
证。 15.证明 (1)若 0<x≤1,则 0<xy≤y<π ,所以 cosxy>cosy, 又 cosx≤1,所以 1+cosxy>cosx+cosy; (2)若 0<y≤1,同理可得 1+cosxy>cosx>cosy;

?

?

?

?



x? y ( x ? y) 2 ? t ,则 (3)若 x>1,y>1,则 xy≤ ,记 2 4
0<t ≤
2

? ? 2 2 ,所以 xy≤t ≤ ,所以 cosxy≥cost , 2 2

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又 cosx+cosy=2cos
2

x? y x? y cos ? 2 cos t , 2 2
2

所以只需证 1+cost ≥2cost,即证 f(t)=1+cost -2cost≥0. 这里 t ? ?1,

? ? ?

??

? ? sin t ? 2 ? sin t 2 ? ,因为 0<t<t2< , ? ,则 f ' (t ) ? ?(sin t ) ? 2t ? 2 sin t ? 2t ? 2 2? ? t ?
sin t ,所以 f ' (t ) ? 0. t

所以 sint >sint>

2

所以 f(t)在 ?1,

? ?

??

? ?? ? ? ? 1 ? 2 cos , ? 上单调递减,又 f ? ? 2? 2? 2 ? ?



?
2

?

?
3

(因为

?
2

?

?2
9

) ,所以 cos

?
2

? cos

?
3

?

1 , 2

所以 f ?

? ? ? ? ? 2 ? ? 0 ,所以 f(t)>0。所以原不等式成立。 ? ?

第二试试题解答 1. 证明 取 DI 中点 Q,作 AP ? BC 于 P。因为 2. AQ ? BC ?

1 1 ( AD ? AI ) ? BC ? ( BE ? CH ) ? BC = 2 2

1 [| AB | ? | BC | cos ?EBC ? | AC | ? | BC | cos ?BCH ] 2 1 1 ? | BC | ?(? | AB | ? sin ?ABC ? | AC | sin ?ACB ) ? | BC | (? | AP | ? | AP |) ? 0. 2 2 所以 AQ ? BC,所以 Q,A,P 三点共线。
延长 AP 至 R,使 AR=CG,则 AR//BF ,又因为 AD // BE, 所以 ?ARD ? ?BFE ,所以 RD // EF,同理 RI // GH, 所以Δ RDI∽Δ LKM, 且对应边平行, 所以 RQ//LN 或 RQ 与 LN 重合, 因为 RQ ? BC, 所以 LN ? BC。 2.证明 先证对任意 m,n∈N+,1≤m,n≤2007,有

an am ? 1 ? ,即 man<nam+n. n m



(1)当 m=n=1 时 a1<a1+1,结论成立; (2)设 m,n 都小于 k 时,命题成立,ⅰ)当 m=k,n<k 时,设 m=nq+r,则 am≥anq+ar≥qan+ar, 所以 nam≥nqan+nar,所以 nam+n≥nqan+nar+n=man-ran+nar+n>man; ⅱ)当 n=k, m<k 时,设 n=mq+r, 0≤r<m,则 an≤aqm+ar+1≤a(q-1)m+ar+am+2≤?≤qam+ar+q,由 归纳假设 ram+r≥mar,所以 man≤mqam+mar+mq<mqam+ram+r+mq=nam+n,所以当 m,n 至少有一个 为 k 时结论成立,而 m=n=k 时,结论也成立,所以由数学归纳法,①得证。 记 x ? max ?

? an ? ? ,则对一切 n∈N+,1≤n≤2007,有 an≤nx<an+1,所以 an=[nx]. ?n?

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3.解 N=209。先证明 N≤209,用正中的竖直直线将方格表分成两个 20×10 的方格表,将 1 至 200 逐行按递增顺序填入左表中,再在右表中按同样的原则填入 201 至 400,这样一来, 在每一行中所填之数的最大差不超过 210-1=209,在每一列中所填之数的最大差都不超过 191-1=190,所以 N≤209。 再证 N 不能小于 209。考察子集 M1={1,2,?,91}和 M2={300,301,?,400},将凡是填 有 M1 中的数的行和列都染为红色;将凡是填有 M2 中的数的行和列都染为蓝色,只要证明红 色的行和列的数目不小于 20,而蓝色的行和列的数目不小于 21。那么,就有某一行或某一 列既被染为红色,又被染为蓝色,从而其中必有两个数的差不小于 300-91=209。 设有 i 行和 j 列被染为红色,于是,M1 中的元素全部位于这些行与这些列的相交处,所以 ij ≥ 91, 从 而 i+j ≥ 2

ij ≥ 2 91 ≥ 19. 同 理 , 被 染 为 蓝 色 的 行 数 与 列 数 之 和

i'? j' ? 2 i' j' ? 2 101 ? 20.


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