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高中物理竞赛辅导 恒定电流导学


稳恒电流
一、 竞赛要求 1、 2、 3、 4、 5、 二、重点知识 焦耳定律 欧姆定律 、基尔霍夫定律 欧姆定律和焦耳定律 欧姆定律和焦耳定律 闭合电路的欧姆定律 复杂电路 无源电阻和电容网络, 无源电阻和电容网络, 物质的导电性

三、 难点突破 复杂电路 、无源电阻和电容网络 、有源电阻和电容网络
§1、电流 、 §1 .1.电流、电

流强度、电流密度 .电流、电流强度、 电流:带电粒子在电场力作用下发生定向移动 电流 形成电流条件:存在自由电荷和导体两端有电势差(即导体中存在电场)。 形成电流条件 电流强度:是描述电流强弱的物理量,单位时间通过导体横截面的电量叫做电流强度。 电流强度 用定义式表示为

I = q/t
电流强度是标量。但电流具有方向性,规定正电荷定向移动方向为电流方向。在金属导 体中电流强度的表达式是

I = nevS
n 是金属导体中自由电子密度,e 是电子电量,v 是电子定向移动平均速度,S 是导体的横 截面积。 在垂直于电流方向上,单位面积内电流强度叫做电流密度,表示为

j = I /S
金属导体中,电流密度为
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j = nev
电流密度 j 是矢量,其方向与电流方向一致。 §1 .2、电阻定律:导体的电阻为 、电阻定律:

R = ρL / S =

L σS

1? ? ?ρ = ? σ ? , 由导体的性质决定。 式中 ρ 、 σ 称为导体电阻率、电导率 ? 实验表明,多数材料的电阻率都随温度的升高而增大,在温度变化范围不大时,纯金属 的电阻率与温度之间近似地有如下线性关系 ρ = ρ 0 (1 + αt )

ρ 0 为 0℃时电子率, ρ 为 t 时电阻率,α 为电阻率的温度系数,多数纯金属α 值接近于
?1

4 × 10 ?3 ℃ ,而对半导体和绝缘体电阻率随温度 的升高而减小。
超导现象:某些导体材料在温度接近某一临界温度时,其电阻率突减为零现象 超导现象 判定“超导状态”的两个必要条件:零电阻特性”和“完全抗磁性 判定“超导状态”的两个必要条件 1 .3、电流密度和电场强度的关系 、 通电导体中取一小段长 ?L ,其两端电压 ?U ,则有:

?U = I ? ρ

?L I ? ?L = S σS

?U / ?L = E ,

j = σE 得到 上式给出了电流密度与推动电荷流动的电场之间的对应关系,更细致地描述了导体的导 电规律,被称为欧姆定律的微分形式。 ①对于金属中的电流,上式中的 σ 还可有更深入的表示。

I = j S

相比,金属的电导率 σ 为

ne 2 λ 对于一定的金属导体, 在一定温度下,2mu ne 2 λ σ= 2mu

r ne 2 λ r j= E 2mu

r r j = σE 是一定的, 与欧姆定律的微分形式

②对于导电液体, σ 同样有更细微的表达式。 j = nqV+ + nqV?
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u 是电子热运动的平均速率、单位体积内自由电子数 n、平均路程为 λ



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定义单位场强下的迁移速度为迁移率,分别用V+ 和V? 表示

0

0

V+0 =


σ = nq(V+0 + V?0 )

V+ V V?0 = ? E E 0 0 j = nq(V+ + V? )E = σE
0 0

对于一定浓度的某一种电解液, n、q、V+ 、V? 均为恒量,液体导电仍满足欧姆定 律。

§2 电路
§2 .1、电路连接与电表改装 、 (1)串、并联电路的性质 串联电路通过各电阻电流相同,总电压为各电阻两端电压之和,电压的分配与电阻成正 比,功率的分配也与电阻成正比,即

U = U 1 + U 2 + … + U n = I (R1 + R2 + … Rn ) Pn = I 2 Ra
串联电路总电阻

I1 = I 2 = … = I

R = R1 + R2 + … Rn
并联电路各电阻两端电压相同,总电流为通过各支路电流之后,电流的分配与电阻成反 比,功率的分配亦与电阻成反比,即

U1 = U 2 … = U
I = I1 + I 2 + … + I n =
Pn = U Rn
2

Ig

Rg
G

R
UR
U

U U U + +…+ R1 R 2 Rn

Ug

UV
V

总电阻:

U

1 1 1 1 = + …+ R R1 R 2 Rn
(2)电表改装

图 2-2-1

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①满偏 g ,内阻为 联,如图 2-2-1 所示

I

Rg 的电流表改装为量程为 U 的电压表,需将分压电阻 R 和电流表串

R=


U ? I g Rg I g Rg

? Rg = (n ? 1)Rg
U ? Rg = nRg I g Rg

RV = R + Rg =
电压表内阻

通常, RV 都很大,理想电压表可认为 RV

→ ∞。

②欲将内阻为 g ,满偏电流为 g 的电流表改装为量程为 I 的电流表时,需将分流电阻 R 和电流表并联,如图 2-2-2 所示。同理可推得

R

I

R=

Ig IR

? Rg =

I n= Ig Ig I ? Ig ? Rg =

I

Ig

R

Ig G R

1 Rg n ?1
→ 0。

I

Rg
G

通常,R 很小 ( R << R g ) ,理想电流表认为 R ③将电流表改装成欧姆表

图 2-2-2
+

简易欧姆表接法示意图如图 2-2-3 所示, R0 为调零电阻,表头

R I 内阻为 g ,满偏刻度为 g 。测量前,应先将两表笔短接,调节 R0
使流过表头的电流为

G

?
R0

R中 R = R中 ,则电流减半,指针指表 如果在两表笔间接一电阻 x1
盘中央,因此, 应于 Rx 2

Ig =

ε

I g ,若电池的电动势为 ε ,内阻为 r ,则

R0 + Rg + r

=

ε

+


?


R0 + Rg + r 称为“中值电阻”,表盘最左刻度对

图 2-2-3

→ ∞ ,最右边刻度对应于 Rx 3 = 0 ,对于任一阻值 Rx ,若
Ig , n R中 + Rx Rx 3 = 0 Rx = (n ? 1)R中 =

I=

ε

8 . 4 k 3 .6 k

1.2 k 0



得 这就是欧姆表的刻度原理,如欧姆表的中值电阻
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图 2-2-4
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R = 1.2k? 中 ,表盘满偏 1 / 4 处的刻度为 (4 ?1)×1.2k? = 3.6k? ,表盘满偏 1 / 8 处的刻度为

8.4k? ,如图 2-2-4 所示。
欧姆表的量程改变后,各刻度所对应的电阻值应乘以相同倍率,另外要注意,凡使用欧 姆表,必须进行机械调零和欧姆调零,并且,换档后一定要重新进行欧姆调零。 ④将电流表改装成交流电压表 交流电压表是直流电压表的基础上改装而成的,在直流电压表上串联一个二极管,就组 成交流电压表。串联二极管后,电表显示的是交流电的平均值(它等于有效值的 0.45 倍)。 用 U 代表某一量程的交流电压有效值,若不考虑二极管正向电阻值,则限流电阻计算公式为
R=

0.45U ′ ? Rg Ig

实验指出,二极管是一且非线性元件,它的伏安特性为一条 60 弯曲的图线,如图 2-1-5 所示,当二极管的正向电阻后,限流电 40 阻 R 与交流电压 U 之间的关系不再是线性的。因此,最大量程的 交流电压表的表盘刻度是不均匀的,如采用 J0411 型多用电表测 20 量 2.5V 以下的交流电压时, 要使用表盘上第三条刻度线, 它的起 0 始段刻度很密,刻度是不均匀的。这一点,从图 2-2-5 中可以看 得很清楚,在二极管两端电压小于 0.8V 的一段图线上,相同的 电压变化(例如 0.2 V)所对应的电流是不同的:顺次分别为

0 .4

0 .8

U (V )

图 2-2-5

1.7 mA、 3.5 mA、 7.1 mA、18.3 mA。
§2 .2、电动势与电功率 、 (1 电源的电动势:在数值上等于电源没有接入外电路时两极间的电压。将理想表直接接 电源的电动势: 在电源的两极上测出的电压就是电源的电动势。 (2 电流在一段电路上所做的功 W,等于这段电路两端的电压 U、电路中电流 I 和通电时 间 t 三者的乘积。即

W = UIt

P=
单位时间内电流所做功叫做电功率,用 P 表示电功率,则

W = UI t 。

§3、电学基本定律
§3.1、 焦耳定律 . 、 焦耳定律:电流在一段只有电阻元件的电路上所做的功等于电流通过这段电路时的所产 焦耳定律 生的热量 Q。

Q = I 2 Rt
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这段电路中电流的发热功率为 P = I R 。 §3.2、欧姆定律 . 、 ①部分电路欧姆定律: 导体中的电流强度 I 跟它两端所加的电压 U 成正比, 跟它的电阻 R 成反比,即
2

I=

U R

上式适用于金属导电和电解液导电的情况。对非线线元件(如灯丝、二极管)和气体导 电等情况不适用。 ②一段含源电路欧姆定律:电路中任意两点间的电势差等于连接这两点的支路上各电路 元件上电势降落的代数和,其中电势降落的正、负符号规定如下: a.当从电路中的一点到另一点的走向确定后, 如果支路 上的电流流向和走向一致,该支路电阻元件上的电势降取 R2 正号,反之取负号。 R1 R2 I2 B b.支路上电源电动势的方向和走向一致时, 电源的电势 A I1 r1 ε1 ε r2 降为电源电动势的负值(电源内阻视为支路电阻)。反之, r3 ε 3 2 取正值。 如图 2-3-1 所示,对某电路的一部分,由一段含源电路 图 2-3-1 欧姆定律可求得:

U A ? U B = I1 R1 ? ε 1 + I1r1 + ε 2 ? I 2 r2 ? I 2 R2 ? ε 3 ? I 2 R3
③闭合电路欧姆定律和电源输出功率 〈1〉闭合电路欧姆定律 U 闭合电路欧姆定律公式: ε
U

I=

ε

ε

R+r
O

Im

I

O

R

路端电压

对于确定电源 ε 、 r 一定,则U

U =ε ?r?I R ?ε U= R+r

图 2-3-2

图 2-3-3

Im =

ε

? I 图线和U ? R 图线如图 2-3-2 和 2-3-3 所示。其中

r ,为电源短路电流。

〈2〉电源输出功率

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P源 = Iε =
电源的功率

(R + r ) (R + r )
ε2
?R =

ε2

P出 = IU =
电源输出功率 当R

(R + r )2 + 4r
R
P

ε2

= r 时电源输出功率为最大

P最大 =

ε2
4r
P最大

η = 50 % 此时电源效率 电源输出功率 P 随外电阻 R 变化如图 2-3-4 所示,若电源外电阻
分别为 R1 、 R2 时,输出功率相等,则必有

O

R1

r

R2

R

r 2 = R1 ? R2
§3.3、基尔霍夫定律 . 、 ①对电路中任何一个节点,流出的电流之和等于流入的电流之和。

图 2-3-4

∑I

i入

= ∑ I j出
=0

或可表达为:汇于节点的各支路电流强度的代数和为零。

∑± I

i

若规定流入电流为正,则从节点流出的电流强度加负号。对于有 n 个节点的完整回路, 可列出 n 个方程,实际上只有 n ? 1 个方程是独立的。 ②沿回路环绕一周,电势降落的代数和为零,即

∑ ± ε + ∑ (± I
i

j

Rj ) = 0

ε

R 对于给定的回路绕行方向,理想电源,从正极到负极,电 r 势降落为正,反之为负;对电阻及内阻,若沿电流方向则电势 降落为正,反之为负。若复杂电路包括 m 个独立回路,则有 m 个独立回路方程。 图 2-4-1 § 4、电路化简 §.4.1、 等效电源定理 . 、 实际的直流电源可以看作电动势为 ε ,内阻为零的恒压源与内阻 r 的串联,如图 2-4-1 所 示,这部分电路被称为电压源。 不论外电阻 R 如何,总是提供不变电流的理想电源为恒流源。实际电源 ε 、r 对外电阻 R 提供电流 I 为

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I=

ε r = ? R+r r R+r 其中 ε / r 为电源短路电流 I 0 , 因而实际电源可看作是一定的内阻与恒流并联的电流源,
I0 r

ε

如图 2-4-2 所示。 实际的电源既可看作电压源,又可看作电流源,电流源与电压 源等效的条件是电流源中恒流源的电流等于电压源的短路电流。利 用电压源与电流源的等效性可使某些电路的计算简化。 等效电压源定理又叫戴维宁定理,内容是:两端有源网络可等 效于一个电压源,其电动势等于网络的开路电压,内阻等于从网络 两端看除电源以外网络的电阻。 如图 2-4-3 所示为两端有源网络 A 与电阻 R 的串联,网络 A 可 视为一电压源,等效电源电动势 ε 0 等 于 a、b 两点开路时端电压,等效内阻

R

图 2-4-2

a
有源 网络

r0 等于网络中除去电动势的内阻,如
图 2-4-4 所示。 等效电流源定理 又叫诺尔顿定 理,内容是:两端有源网络可等效于

b

R

ε0
r0

a
R
b

图 2-4-3

图 2-4-4

一个电流源,电流源的 I 0 等于网络两端短路时流经两端点的电流,内阻等于从网络两端看除 电源外网络的电阻。 §4.2、 Y—△变换 . 、 — 在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的 Y 型或△,如图 2-4-8 所示,有时把 Y 型联接代 换成等效的△型联接,或把△型联接代换成等效的 Y 型联接,可使电路变为串、并联,从而 简 化 计 算 , 等 效 代 换 要 求 Y 型 联 接 三 个 端 纽 的 电 压 U 12、U 23、U 31 及 流 过 的 电 流

I1、I 2、I 3 与△型联接的三个端纽相同。
在 Y 型电路中有

1
I1

I1 R1 ? I 2 R2 = U12 I 3 R3 ? I1 R1 = U 31 I1 + I 2 + I 3 = 0
可解得

R2 R1
O R3 I3 3

2 I2

1
I1 R31

R12
R23
I3 3

2 I2

I1 =

R3 R2 U12 ? U 31 R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 R1 R2 + R2 R3 + R3 R1



图 2-4-8

△型电路中

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I12 = I 31 =

U 12 R12 U 31 R31

I1 = I12 ? I 31 I1 = U 12 U 31 ? R12 R31

等效即满足:

R3 U 12 U 31 R2 ? = U 12 ? U 31 R12 R31 R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 R R + R2 R3 + R3 R1 R12 = 1 2 R3 ① 即 R31 = R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 R2 R23 = R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 R1



类似方法可得 ③ ①、②、③式是将 Y 型网络变换到△型电路中的一组变换。 同样将△型电路变换到 Y 型电路,变换式可由①、②、③式求得:④、⑤、⑥

R =
1

RR R +R +R
12 31 12 23

31



R2 = R3 =

R12 R23 R12 + R23 + R31 R31 R23 R12 + R23 + R31





§4.3、 对称性原理 . 、 ①等势节点的断接法 在一个复杂电路中,如果能找到一些完全对称的点,(以两端连线为对称轴),那么可 以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开(即去掉),也可以用导线或电 阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来,且不影响电路的等效性。 §4.4、 无穷网络等效变换法 . 、
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x = a + a + a + a + …,

(a>0)

在求 x 值时,x 注意到是由无限多个

a 组成,所以去掉左边第一个 a + 对 x 值毫无 x= a+x
,即

影响,即剩余部分仍为 x,这样,就可以将原式等效变换为

x ? x ? a = 0 。所以
2

x=

1 + 1 + 4a 2

这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路。 §4.5、 电流叠加法 . 、 解题步骤是:先考虑一支流入或流出系统的电流,把它看作在给系统充电或放电,利用 对称性求出系统中的电荷分布和电流场分布,求出每一支电流造成的分布后进行叠加,使得 电荷分布全部抵消,而电流场叠加作为所求的电流场。

§5 物质的导电性
§5.1、导体的导电性 . 、 (1)金属中的电流 ) 金属导体内的电流强度与自由电子的平均定向运动速率有关。设金属导体的横截面积为 S,单位面积内自由电子的数密度为 n,自由电子的平均定向运动速率 v,电子电量为 e,则

?q neSv?t = = neSv ?t ?t ?5 由上式可估算出电子的定向运动速率是很小的,一般为10 m / s 数量级,与电子热运 5 动 的 平 均 速 率 ( 约 10 m / s 数 量 级 ) 和 “ 电 的 传 播 速 率 ” ( 即 电 场 的 传 播 速 率 , 为 3 × 108 m / s )不能混为一谈。 I=
)。液体中的电流 (2)。液体中的电流 )。 液体导电包括液态金属导电与电解质导电两种。电解质导电与金属导电的机理不同,固 态金属导电跟液态金属(如汞)导电的载流子是自由电子,在导电过程中,金属本身不发生 化学变化,而电解质导电的载流子是正负离子,在导电过程中,伴随着电解现象,在正负极 板处同时发生化学反应(即电解)。 英国物理学家、化学家法拉第,通过大量的实验,在 1833 年总结出了两条电解定律。电 解质导电时,所析出物质的质量 m 跟通过电解液的电流强度 I 成正比,跟通电时间 t 成正比, 就这是法拉第电解第一定律。由于 Q = It ,法拉第电解第一定律也可表述为:电解时析出物 电解时析出物 跟通过电解液的电量 成正比, 质的质量 m 跟通过电解液的电量 Q 成正比,用公式表示为
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m = kQ = kIt
式中比例恒量 k 叫做电化当量, 其物理意义是: 通过 1C 电量时, 所析出这种物质的质量。 各种物质的电化当量跟它的摩尔质量 M 成正比,跟它的化合价 n 成正比。这就是法拉第 电解第二定律。而在化学中,我们常将 M / n 称为“化学当量”。因此,法拉第电解第二定 律又可简述为:各种物的电化当量与它的化学当量成正比, 即

k = C ( M / n)

例如一价银的化学当量等于它的摩尔质量 0.107 868 kg / mol ,二价铁的化学当量等于它 的摩尔质量 0.065 546 kg/mol 除以它的化合价 ,得 0.031 772 kg/mol。上式中的比例恒 量 C 是一个普通恒量,对各种物质都是相同的,称为“法拉第恒量”,用 F 表示。因此,法 拉第电解第二定律又可以表示为 实验指出,对于任何物质,都有 F = 96 484C / mol ≈ 9.64 × 10 C / mol ,将上式代入电 解第一定律可得
4

k = M / Fn

m = MQ / (Fn)

这就是法拉第电解定律的统一表达式。 当析出物质的质量 m 等于该物质的化学当量, F 则 与 Q 在数值上相等。 (3)气体中的电流 ) ①通常情况下,气体不导电。只有在电离剂存在或极强大的电场情况下,气体才会被电 离而导电。气体导电既有离子导电,又有电子导电。气体导电不遵从欧姆定律。 ②由于引起气体电离的原因不同,可分为被激放电和自激放电。在电离剂(用紫外线、X 射线或放射性元素发出的放射线照射或者用燃烧的火焰照射气体)的作用下,发生的气体放 电现象叫做被激放电。没有电离剂作用而在高电压作用下发生的气体放电现象叫做自激放电。 各种自激放电形式的区别如下表 气体电离原因 阴极发射电子原因 辉光放电 弧光放电 火花放电 电晕放电 电子碰撞 强电流通过时产生的高温 主要是电子碰撞还有火花本身的辐射 很强电场的作用(场致电离和碰撞电 离) 被正离子轰击 被正离子轰击并保持很高的温度(主要 是热电子发射) 被正离子轰击

种种自激放电形式间的联系主 要表现在它们之间可以转化。在放 电电流很强时,辉光放电可以变成 弧光放电。若电源的功率很大时, 火花放电可以变成弧光放电。 . § 5.2、 . 、 半导体的导电 性
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Si Si Si

Si Si Si

Si Si Si

Si

Si

Si Si

自由 电子
Si Si Si

空穴
Si Si

图 2-7-1

www.topschool.rog 图 2-7-2

(1)半导体的导电性 ) 导电性能介于导体和绝缘体之间的一类物质被称为半导体,如硅、锗、氧化亚铜等。以 硅为例,硅是四价元素,硅原子最外层四个价电子,在形成单晶硅时,每个原子都以四个价 电子与相邻的四个原子联系。相邻的两个原子就有一对共有电子,形成共价键。如图 2-7-1 所 示。共价键中电子是被束缚的。但是由于热运动,极少数电子可能获得足够大能量,挣脱成 为自由电子,同时共价键中留下一个空位叫空穴,原子是中性的,失去电子后可以看作空穴 带正电,如图 2-7-2 所示。这个空穴很容易被附近共价键中束缚电子填补,形成新的空穴,束 缚电子的填补运动叫空穴运动,在纯净的半导体中,自由电子和空穴是成对出现,叫电子— —空穴对。半导体的导电是既有电子导电,又有空穴导电。但由于纯净的半导体中,电子— —空穴对数目较少,导电性差。 但采取某些措施如加热或光照,可使更多电子挣脱束缚,形成更多电子一空穴对,导电 能力大大增强,这种性质称为热敏特性和光敏特性。同样在纯净半导体中掺入其他元素,也 能使半导体的导电性能加强。 (2)N 型半导体、P 型半导体及 P-N 结 ) 型半导体、 在纯净的硅中掺入微量的五价元素如磷、砷等,一些硅原子空间位置被五价的原子代替 如磷原子。磷在与周围硅原子形成共价键时多出一个电子,很容易成为一个自由电子,相应

P区

阻档层

N区

I

+
P
E
N

? + ?
O U

阻档层电场方向

图 2-7-3

图 2-7-4

图 3-2-5

原子失去电子成为正离子。这类半导体由于磷的掺入自由电子数目显著增多,导致电子浓度 比空穴浓度要大得多,因而它主要靠电子导电,叫做电子型半导体或 N 型半导体。 在纯净的硅中掺入微量三价元素如铟、镓、硼等,同样在晶体中一些硅原子会被它们取 代。由于形成共价键时缺少一个电子,附近共价键中电子很容易来填补,使得它们成为负离 子,同时形成一个空穴。三价元素的 掺入使空穴的数目增加,这类半导体中空穴浓度要比自由电子浓度大得多,导电主要是 空穴导电,因而被称为空穴型半导体 P 型半导体。 当采用特殊工艺使半导体一侧为 P 型半导体,另一侧成为 N 型半导体,由于 N 型半导体 中电子浓度大,而 P 型半导体中空穴浓度大,结果发生扩散运动,N 区由于跑掉电子留下正 离子,P 区跑掉空穴留下负离子,在它们的交界处附近形成一个电场,如图 2-7-3 所示,显然 这个电场区是阻止它们扩散的,当该阻挡层达稳定时,扩散运动达到动态平衡,这个电场区 阻挡层叫 PN 结。 PN 结的 N 区和 P 区各引一电极就构成一晶体二极管。 在 晶体二极管对应正、 负极及符号如图 2-7-4 所示。
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晶体二极管加正向电压时(P 接电源“+”极,N 接电源“-”极),外电场与阻挡电场叠 加,使 PN 结阻挡层变薄,这时 P 区空穴、N 区电子又可顺利通过 PN 结,且外加电压大,这 种作用对电子、空穴运动更有利。而电压反向时,会使阻挡层加厚,只有 P 区自由电子和 N 区空穴能通过 PN 结形成反向电流,但是它们的浓度太小,粗略地认为几乎没有反向电流。因 而二极管表现为单向导电特 e 性 , 其 伏 安 特 性 曲 线 如 图 集电区 集电结 P 3-2-5 所示。 e e (3)晶体三极管 ) b N b b 晶 体 三 极 管 由 两 个 PN 基区 RC P 发射结 结、三个电极线和管壳构成, e e ? 分 PNP 型和 NPN 型两类,如 发射区 e ? + + e 图 2-7-6 所示。它的三个电极 e e、b、c 分别称为发射极、基 P 极、集电极。三极管特性是放 b RC b N 大作用,联接电路如图 2-7-7 ? e 所示。 微小的基极电流变化能 P ? + + 引起集电流较大变化。 所以在 e 输入端加一个较弱的信号, 在 输出端 Rc 上得到一个放大的 图 2-7-6 图 2-7-7 强信号。 三极管电流分配关系

Ie = Ic + Ib I c >> I b
Ie = Ic + Ib β =
放大倍数β (4)电子电量的确定 ) 按法拉第电解定律

?I c I c ≈ ?I b I b
MQ Fn

m=

按当今电子论的观点:一个电子所带的电量为 e,在电解池中通过电量 Q 时,阴极板将向 溶液提供 Q / e 个电子,这些电子可以使 Q / ne 个化合价为 n 的正离子还原。由于每析出 N 个 原子(N 是阿伏伽德罗数),可以在极板上得到 M 克物质。因此电解池通过电量 Q 时所析出 的物质质量为

m=
比较以上二式得

QM neN

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或 上式把法拉第恒量 F、电子电量 e、阿伏伽德罗数 N 三者联系起来,只要用实验精确测量出法 拉第恒量 F、阿伏伽德罗数 N,就可以计算出电子的电量了。 例 1、为了使一圆柱形导体棒电阻不随温度变化,可将两根截面积相同的碳棒和铁棒串联 起来,已知碳的电阻率为 ρ 0 碳 = 3.5 × 10 ? ? m ,电阻率温度系数 α 碳 = ?5 × 10
?5 ?8 ?4

F = Ne

e=

F N

?1



,而

铁 ρ 0 铁 = 8.9 × 10 ? ? m , 铁 ℃ 求这两棒的长度之比是多少? 解: 各种材料的长度和截面积都会随温度变化而变化,但它们电阻率的变化比线度的变 化要明显得多(一般相差两个数量级),因此可以忽略线度的变化。 将ρ =

α = 5 × 10

?3

?1

ρ 0 (1 + αt ) 代入 R = ρL / S ,得

R = R0 (1 + αt )
式中 R0 为材料 0℃时电阻 将碳棒和铁棒串联,总电阻为

R = R碳 + R铁 = R0碳 + R0铁 + R0碳α 碳 t + R0铁α 铁 t
要 R 不随温度变化,必须有

R0碳α 碳 t + R0铁α 铁 t = 0
由R

= ρL / S ,可知截面积相同的两棒长度之比为
ρ 碳α 碳 3.5 × 10 ?5 × (? 5 × 10 ?4 ) =? ρ 铁α 铁 8.9 × 10 ?8 × 5 × 10 ?3

L铁 L碳

=

= 39.3 : 1
例 2、如图 2-3-6 所示电路中,已知

ε1 = 32V , ε 2 = 24V , R1 = 5?, R2 = 6?, R3 = 54?,
求各支路的电流。 分析: 分析: 题中电路共有 2 个节点,故可列出一个节点方程。而支路 3 个,只有二个独立 的回路,因而能列出两个回路方程。三个方程恰好满足求解条件。 解: 规定 I1、I 2、I 3 正方向如图所示,则有
ε1
R1
I1 I2

I3

I1 + I 2 ? I 3 = 0
两个独立回路,有

ε2
R3

? ε1 + ε 2 ? I 2 R2 + I1 R1 = 0 ? ε 2 + I 2 R2 + I 3 R3 = 0 联解方程得: I1 = 1A,I 2 = ?0. A, I 3 = 0.5 A I 2 <0,说明 I 2 实际电流方向与图中所假定电流方向相反。
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R2

图 2-3-6
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例 3、如图 2-4-5 所示的电路中,

ε = 3.0V , ε = 1.0V , r = 0.5?, r = 1.0?, R = 10.0?, R = 5.0?,
1 2 1 R = 4.5?, R = 19.0? 3 4 2 1 2

(1)试用等效电压源定理计算从电源

(ε 2、r2 ) 正极流出
A

E

ε 1 r1
R1

R3
B R2

D
C

的电流 I 2 ; (2)试用等效电流源定理计算从结点 B 流向节点 A 的电流 I1 。 分析: 在求通过 ε 2 电源的电流时, 可将 ABCDE 分析: 根据题意, 部分电路等效为一个电压源,求解通过 R1 的电流时,可将上下 两个有源支路等效为一个电流源。 解: (1)设 ABCDE 等效电压源电动势 ε 0 ,内阻 r0 ,如 图 2-4-6 所示,由等效电压源定理,应有

R4

ε 2 r2

图 2-4-5
ε0
r2

R ε = 1.5V r +R +R +R R (r + R2 + R3 ) r0 = 1 1 = 5? r1 + R1 + R2 + R3 电源 ε 0、r0 与电源 ε 2、r2 串联,故 ε2 + ε0 I2 = = ?0.02 A r0 + R4 + r2 I 2 <0,表明电流从 ε 2 负极流出。

ε =
0

1

1

1

1

2

3

ε 2 r2

R4

图 2-4-6

(2)将 A、B 两个节点短接,构成等效电流源( I 0、r0 )如图 2-4-7 所示,由等效电流 源定理,I 0 为原电路流经 A、 短接后的支路电流。 B 因为有 ε 1、ε 2 两电源,必须用线性叠加原理,所谓叠加原理与力学中“力的独立 作用原理”极为相似,其内容为:若电路中有多个电源,则通过任 一支路的电流等于各个电动势单独存在时该支路产生的电流之和。 由叠加原理

I0

r0 A I 1 R1 B

I0 = r0' =

ε1
r1 + R3 + R2

+

ε2
r2 + R4

= 0.35 A

图 2-4-7

(r1 + R3 + R2 )(r2 + R4 ) = 6.7? r1 + R3 + R2 + r2 + R4
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1 I
由 r0 和 R1 的分流关系

1′



1? 6? 6? 4V 2′ 1? 3′ 1? 6? 3 2

I1 =

r0' I 0 = 0.14 A r0' + R1

图 2-4-9

例 4、试求如图 2-4-9 所示电路中的电流。 分析: 分析: 这是包含一个 Y 型电路和一个△型电路的网络,解决问题的方向可将左边 Y 型 网络元变换成△型网络元,或将右侧△型网络元变换成 Y 型网络元。 解: 将左侧 Y 型网络换成△型,如图 2-4-10 1 1′ 所示已知 R1 + R2 + R3 = 1? 则有

R12 = R23 = R31 =
4 ? 3

R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 = 3? R3 R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 = 3? R1 R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 = 3? R2

R31 6? R12 6? 4V 3′ 2 3 2′ 6? R23

图 2-4-10

由图 2-4-10,可进一步电路整理为图 2-4-11 所示。

R总 =

4V

2?

2? 2?

6? 6?

6?

将右侧△型网络元换成 Y 型网络元同样可求得

4 R总 = ? 3 ,这里不再叙述。
例 5、用导线连接成如图 2-4-12 所示的框架,ABCD 和 ABCE 是正四面体,每段导线的电阻都是 1 ? 。求 AB 间的总电阻。 解: 设想 A、B 两点上存在电势差U A

图 2-4-11
A

? U B ,由于电路的对称性
C B

可以知道 D、C、两点的电势都应该介乎U A 与U B 的中间,即

U = (U A ? U B ) / 2 ,所以两点应是等电势的。这样,去掉 CD 段导
线,对 A、B 间的总电阻不会有影响。当去掉 CD 段导线后,就成为三 路并联,即 A—D—B,A—C—B,和 AB。于是: D

1 1 1 = + +1 = 2 R总 2 2 ∴ R总 = 0.5(?)

图 2-4-12

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②电流分布法 设有电流 I 从 A 点流入、B 点流出,应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电压 的思想,(即基耳霍夫定理),建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组,解出各支路 B 再由 电流与总电流 I 的关系, 然后经任一路径计算 A、 两点间的电压U AB , 可求出等效电阻。 例 6、有一个无限平面导体网络,它由大小相同的正六边形网眼组成, 如图 2-4-17 所示。所有六边形每边的电阻为 R0 ,求: (1)结点 a、b 间的电阻。 (2)如果有电流 I 由 a 点流入网络,由 g 点流出网络,那么流过 de 段电阻的电流 Ide 为多大。 解: (1)设有电流 I 自 a 点流入,流到四面八方无穷远处,那么必

R AB =

U AB I
2 1



3

4 b9 a g 5 d e 8 6 7

c

/ 3 电流由 a 流向 c,有 I / 6 电流由 c 流向 b。再假设有电流 I 由四面 八方汇集 b 点流出, 那么必有 I / 6 电流由 a 流向 c, I / 3 电流由 c 流向 有
b。

有I

图 2-4-17

将以上两种情况综合,即有电流 I 由 a 点流入,自 b 点流出,由电流叠加原理可知

I I I + = 3 6 2 (由 a 流向 c) I I I I cb = + = 3 6 2 (由 c 流向 b) I ac =
因此,a、b 两点间等效电阻

RAB =

U AB I ac R0 + I cb R0 = = R0 I I

(2)假如有电流 I 从 a 点流进网络,流向四面八方,根据对称性,可以设

应该有 因为 b、d 两点关于 a 点对称,所以

I1 = I 4 = I 7 = I A I2 = I3 = I5 = I6 = I8 = I9 = I B 3I A + 6 I B = I
' I dc = I dc =

1 IA 2

同理,假如有电流 I 从四面八方汇集到 g 点流出,应该有
'' I dc = I B

最后,根据电流的叠加原理可知
' '' I dc = I dc + I dc =

1 1 1 I A + I B = (3I A + 6 I B ) = I 2 6 6
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以上几种方法可实现电路的化简。其中,电流分布法特别适合于纯电阻电路及求复杂导

1 体和等效电阻, 当为纯电容电路时, 可先将电容换成电阻为解等效阻值, 最后只需将 R 换成 C
即可。 例 7、十个电容为 C 的电容器按图 2-4-17 个方式连接,求 AB 间等效电容 C AB 。 解: 将电容全部换成阻值为 r 的电阻,由“电容分布法”中的例题可知

R AB =

15 r 8

B

1 用 C 代替 R,则
1 15 1 = ? 8 C C AB 15 ∴ C AB = C 8
例 8、如图 2-4-15 所示,框架是用同种金属丝制成的,单

A

图 2-4-17

一连串内接等边三角形的数目可认为趋向 位长度的电阻为 ρ , 无穷,取 AB 边长为 a,以下每个三角形的边长依次减小一半, 则框架上 A、B 两点间的电阻为多大? 从对称性考虑原电路可以用如图 2-4-16 所示的等效电路来 A 代替, 同时我们用电阻为 RAB

B

/ 2 的电阻器来代替由无数层 “格

子” 所构成的 “内” 三角, 并且电阻是 RAB 这样的,RAB = Rx , R = aρ 因此

图 2-4-15
R/2 R/2 R/2
B

? RRx / 2 ? ? RRx / 2 ? ???R + R + ? Rx = R? R + ? ? ? R + Rx / 2 ? ? R + Rx / 2 ? ? ?
解此方程得到

Rx / 2 R/2
A

R AB = Rx =

7 ?1 1 R= 3 3

(

7 ? 1 aρ

)

R

图 2-4-16

例 9、 把 2.92 g 的食盐溶解在 1L 的水中,测得 44%的食 盐分子发生电离。若钠离子的迁移率(单位电场强度所产生的平均速率)为
?8 2 4.5 × 10 ?8 m 2 / s ? V , 氯离子的迁移率为 6.67 × 10 m / s ? V 。 求食盐溶液的电阻率。

分析: 分析:

由于溶液中的电流是正、负离子共同提供的,所以溶液中导电电流微观表达式

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I = I + + I ? = neS (v+ + v? )
根据欧姆定律、电阻定律可以导出电阻率与钠离子、氯离子迁移率之间的关系,利用分

子动理论求出离子体密度,代入数据可求解食盐溶液的电子率 ρ 。 解: 根据溶液中电流的微观表达式

I = neS (v+ + v? )
R=ρ

根据欧姆定律、电阻定律

I =U / R
得:

l S

I =U / ρ
1

l E?S = = neS (v+ + v? ) s ρ

v ? ?v = ne ? + + ? ? = ne[k + + k ? ] ρ ?E E?
又由分子动理论,求得离子体密度 n

n=
ρ=

η 为电离率,M 为摩尔质量,N 为阿伏加德罗常数。
1 MV = ne( k + + k ?1 ) mN ? ηe( k + + k ? ) = 4.17? ? m
I2
R2 R4

m ? N ?η MV

A

练习题 1、如图 2-3-5 所示电路,设电源电压不变,问:(1) R2 在什么 范围内变化时, R2 上消耗的电功率随 R2 的增大而增大?(2) R2 在什么范 围内变化时, R2 上消耗的电功率随 R2 增大而减小?(3) R2 为何值时, R2 上消耗的电功率为最大?
R1

R3 I3

B

I1

ε

图 2-3-5
B
2、、10 根电阻均为 r 的电阻丝接成如图 2-4-13 所示的网 络,试求出 A、B 两点之间的等效电阻 RAB 。

A
3、如图 2-7-8 所示,电阻 R1
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= R2 = 1k? ,电动势

图 2-4-13
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ε = 6V

, 两个相同的二极管串联在电路中, 二极管 D 的 I D

? U D 特性曲线如图 2-7-9 所示,

试求: (1)通过二极管 D 电流; (2)电阻 R1 消耗的功率。
I D / mA
6 5 4 3 2 1 0

R1 R2

D D

UD /V
1 2
3

图 2-7-9

图 2-7-8

4、如图所示,六面体框架由 12 个不同电阻组成,已知 R1=12?,其余未知,测得 A、B 间总 、 . 阻为 4?,若 R1 变为 6?,则 A、B 间电阻变为多大

A

R1

B

5、六个相同的电阻(阻值均为 R )连成一个电阻环,六个接点依次为 1、2、3、4、5 和 6, 如图复 16-5-1 所示。现有五个完全相同的这样的电阻环,分别称为 D1 、 D2 、┅ D5 。 现将 D2 的 1、3、5 三点分别与 D1 的 2、4、6 三点用导线连接,如图复 16-5-2 所示。然 后将 D3 的 1、3、5 三点分别与 D2 的 2、4、6 三点用导线连接,┅ 依此类推。最后将 D5 的 1、 3、5 三点分别连接到 D4 的 2、4、6 三点上。 1.证明全部接好后,在 D1 上的 1、3 两点间的等效电阻为 2.求全部接好后,在 D5 上的 1、3 两点间的等效电阻。

724 R。 627

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答案解析
2 1、解: 先求出 P 随 R2 变化的表达式。 、

R AB =
I1 =

(R2 + R4 )R3 (R2 + R4 ) + R3
ε

R1 +

I1 =

(R2 + R4 ) ? R3 (R2 + R4 ) + R3 (R2 + R4 + R3 )ε
ε ? (R2 + R4 )R3
R1 R2 + R1 R4 + R1 R3 + R2 R3 + R3 R4
2

R1 R2 + R1 R4 + R1 R3 + R2 R3 + R3 R4

U AB = I1 R AB =
2 2

? U AB ? R32ε 2 R2 P2 = I R2 = ? ? R + R ? R2 = (R R + R R + R R + R R + R R )2 ? ? 2 4 ? 1 2 1 4 1 3 2 3 3 4
R32ε 2 R2 = [(R1 R4 + R1 R3 + R3 R4 ) + R2 (R1 + R3 )]2
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令:

R1 R4 + R1 R3 + R3 R4 = A
R2 (R1 + R3 ) = B R32ε 2 = C
则:

P2 =

CR2 CR2 = 2 ( A + BR2 ) ( A ? BR2 )2 + 4ABR2

=

C ? A ? ? ? B R2 ? + 4 AB ? R ? 2 ? ?
2

(1)当 A > B

R2 时,即 R1 R4 + R1 R3 + R3 R4 > R2 (R1 + R3 )

R2 ↑,

A ↓, B R2 ↑, P2 ↑ R2

(2)当 A < B

R2 时,即 R1 R4 + R1 R3 + R3 R4 > R2 (R1 + R3 )
2

? A ? A R2 ↑ ? ? B R2 ? ↑, P2 ? B R2 ? R ? R2 2 ? ? <0,
(3)当 A = B

R2 时,即 R1 R4 + R1 R3 + R3 R4 = R2 (R1 + R3 ) , P2 最大

2、由结构对称性,要求电流 I 从 A 点流入后在 A 点的电流分布应与电流 I 从 B 点流出前 的电流分布相同,中间四方形必具有上、下电流分布对称和左、右电流分布对称,因此网络 内电流分布应如图 2-4-14 所示。对图中 C 点和 D 点,有电流关联

(I
I1 + I 2 =

I ? I 1 = I 2 + (I 1 + I 2 )
1

+ I 2 ) + I 2 = I ? I1

解得 由 A、E 两点间不同路线等电压的要求,得

1 I 2





I 1 ? 2r = ( I ? I 1 ) r + I 2 r 3I 2 ? I 1 = I ②

E I1 + I 2 I ? I 1 B D
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A

I ? I 1 C I1 + I 2

图 2-4-14

解①、②两式得

I1 =
选择线路 AEDB,可得

3 1 I, I2 = I 8 8

U AB = I 1 ? 2r + (I 1 + I 2 )r + (I ? I 1 )r
= 15 Ir 8 U AB 15 = r I 8

因此,A、B 间等效电阻便为

R AB =
路特点确定由电路欧姆的律找出其U D 两根图线的交点即为其工作点解: 解

3 分析: 二极管属于非线性元件,它的电阻是随其不同工作点而不同。所以应当根据电 分析:

? I D 关系, I D ? U D 特性曲线上作出相应图线, 在其

设二极管 D 两端电压U D ,流过二极管电流为 I D ,则有

? 2U 2U D = ε ? ? I D + D R2 ?

? ? R1 ?
3

I D / mA
6 5 4 3 2 1 0

U = (1.5 ? 0.25I × 10 ) 在二极管 I D — U D 特性曲线上再
D D

代入数据解得U D 与 I D 的关系为

UD /V
1 1 .5 2
3

作出上等式图线,如图 2-7-10 所示。 由图可见,两根图线交点 P 就在此状态下二极管工作点。

图 2-7-10

U D = 1V , I P = 2mA
电阻 R1 上的电压为 U 1

U1 = ε ? 2U D = 4V
P= 1
其功率为

U12 = 16mW R1

4、

3?

5、.(1)电阻图变形.

此题连好的线路的平面图如图预解16-5-1所示. 现将电阻环改画成三角形,1、3、5三点为顶点,2、4、6三点为三边中点, 如图预解16—5-2与图预解16-5-3所示. 整个连好的线路相当于把 Dn 的三个顶点分
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别接到 Dn?1 的三个中点上,图预解16-5-1变为图预解16-5-4.这样第1问归结为求 图预解16-5-4中最外层三角环任意两顶点间的等效电阻。 (2)递推公式. 为使图形简化,讨论如何将接好的两个电阻环化简成为一个单环。由六个阻值 为 r 的电阻构成一个三角环, 将其顶点接在另一由六个阻值为 R 的电阻构成的三角 环的中点上(如图预解16-5-5所示)。 图预解16-5-6是由六个阻值为 R ′ 的电阻构成的三角 环。 若图预解16-5-5顶点1、 3间的电阻与图预解16-5-6顶点l、 3间的电阻阻值相等,我们称图预解16-5-6中的 R ′ 为等效单 环电阻. 用符号“//”表示电阻的并联,如
RA // RB = 1 (1/ RA ) + (1/ RB )

由图预 解16-5-5中 的 对称 性可知l、 3两顶点间的电阻 R 1, 3 等于图预解16-5-7中1、 0间的电 阻 R 1, 0 的2倍,即

R 1, = 2 R 1, 0 3 = 2{[ R // r //(2r )] + R}// R 1 ? ? ? 1 1 1 + R ? // R =2 ? + + ? ? R r 2r ? 2 4rR + 3R =2 // R 2 r + 3R 1 4r + 3R = R 3 r+R

1 = R + r // R 3

(1)

同理,图预解16-5-6中1、3两顶点间的电阻 R 1, 3 为

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R 1, 3 = 2[(2 R′) // R′] = 3 1 R + r // R 4 4

4 R′ 3

(2)

由(1)、(2)式得等效单环电阻 R ′ 为
R′ =

(3)

2. 第一问 现在考虑把 D1 、D2 、D3 、D4 、D5 按相反的次序, 由内向外依次连接的情况. 首 先将 D4 接在 D5 外面,求双环 D4 ? D5 的等效单环电阻 R (2) 〔即(3)式中的 R ′ 〕.这 时 r = R .由(3)式得到 R (2) 为
3 1 7 R (2) = R + R // R = R 4 4 8

其次,在双环 D4 ? D5 外面接上 D3 ,这时 r = R (2) .三环 D3 ? D4 ? D5 的等效单环 电阻 R (3) 为
R (3) = 3 1 3 1 ? 7 ? 13 R + R // R (2) = R + R // ? R ? = R 4 4 4 4 ? 8 ? 15

由此可得一般公式, ( s + 1) 环的等效单环电阻 R ( s +1) 可由 R (s ) 求出
3 1 R ( s +1) = R + R // R (s ) 4 4

(4)

于是
R ( 4) = 3 1 3 1 13 97 R + R // R (3) = R+ R // ? R ? = R ? ? 4 4 4 4 ? 15 ? 112

R (5 ) =

3 1 3 1 97 ? 181 R + R // R ( 4) = R+ R // ? R? = R ? 4 4 4 4 ? 112 ? 209

由(2)式 R 1, 3 = (4 / 3) R′ 得出由一个环( D5 )、两个环( D5 ? D4 )直至五个环 ( D5 ? D4 ? D3 ? D2 ? D1 )构成的线路1、3点间的电阻为
(1) R 1, 3 =

4? 7? 7 4 ? 13 ? 52 4 4 (2) (3) R ' = R ; R 1, 3 = ? ? R = R ; R 1, 3 = ? ? R = R ; 3? 8? 6 3 ? 15 ? 45 3 3
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4 ? 97 ? 97 4 ? 181 ? 724 (4) (5) R 1, 3 = ? R ? R = R ; R 1, 3 = ? ?R = 3 ? 112 ? 84 3 ? 209 ? 627

答:所求的五个环的1与3间的等效电阻确为 3. 第二问

724 R .证毕。 627

根据五个 D 组成的圆柱形网络的对称性, D5 的l、3两点等价于 D1 的2、4两 点.等价线路如图预解16-5-8与图预解16-5-9所示.设二图等价,求图预解16-5-9 中的 R′′ 即可.













R′′ = (2 R ) //(2 R (4) ) =

2 388 1 194 (5) R = R 所以: R 2, 4 = R′′ // 2 R′′ = R′′ = 1 56 209 3 627 + 2 R 97 R 388 R。 627

答:所求值为

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