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2016


回归分析的基本思想及其初步应用(第三课时)
班级: 1.下列关系中,是相关关系的有( ) 姓名:_____________

①学生的学 习态度与学习成绩之间的关系; ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系; ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系; ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系. A.①② B.①③ C.②③ D.②④

答案:A 2.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn 不全相等)的散点图中,若所有 1 样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线 y= x+1 上,则这组样本数据的样本相关系数为( 2 1 A.-1 B.0 C. D.1 2 答案:D 3.观察下列变量 x,y 的散点图: )

如图所示的两个变量具有相关关系的是( A.(2)(3) B.(1)(2) C.(2)(4) D.(3)(4)

)

解析:(1)不具有相关关系;(2)具有线性相关关系;(3)是函数表示;(4)是非线性相关关系,选 C. 答案:C 4.在对两个变量 x,y 进行线性回归分析时一般有下列步骤:①对所求的回归方程作出解释;②收集数据
1

(xi,yi)(i=1, 2,…,n);③求线性回归方程;④求相关系数;⑤根据所搜集的数据绘制散点 图,如果 根据可靠性要求能够判定变量 x,y 具有线性相关性,则下列操作顺序正确的是( A.①②⑤③④ B.③②④⑤① C.②④③①⑤ D.②⑤④③① )

答案:D 5.某单位为了了解用电量 y(度)与气温 x(℃)之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当天气温,并制 作了如下的对照表.

气温 x(℃) 用电量 y(度)

18 24

13 34

10 38

-1 64

^ ^ ^ ^ ^ 由表中数据,得回归直线方程y=bx+a,若b=-2,则a=________. - 18+13+10-1 解析:∵ x = =10, 4 -

y=

24+34+38+64 =40, 4

^ ^ ∴40=-2×10+a,∴a=60. 答案:60 6.由一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…, (xn,yn)得到的 回归直线方程 y^=bx+a,那么下面说法不正 确的是________. ①直线 y^=bx+a 必经过点(x,y); ②直线 y^=bx+a 至少经过点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一个点;
n

Σ xiyi-nx y i=1 ③直线 y^=bx+a 的斜率为 n ; 2 2 Σ x i-nx i=1
n

④直线 y^=bx+a 与各点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的总偏差i Σ [yi-(bxi+a)] 是该坐标平面上所有 =1 直线与这些点的偏差中最小的直线. 解析:回归直线一定过点(x,y),但不一定要过样本点. 答案:② 7.某医院用光电比色计检查尿汞时,得尿汞含量(毫克/升)与消光系数如下表:

2

尿汞含量 x

2

4

6

8

10

2

消光系数 y (1)作散点图;

64

138

205

285

360

(2)如果 y 与 x 之间具有线性相关关系,求回归线直线方程; (3)估计尿汞含量为 9 毫克/升时消光系数. 解析:(1)见下图.

i xi yi xiyi

1 2 64 128

2 4 138 552

3 6 205 1 230

4 8 285 2 280

5 10 360 3 600

x=6,y=210.4,
5 2 5

Σ xi =220,i Σ xiyi=7 790 i=1 =1 7 790-5×6×210.4 1 478 ∴b= = =36.95. 2 220-5×6 40 ∴a=210.4-36.95×6=-11.3. ∴回归方程为 y^=36.95x-11.3. (3)当 x=9 时,y^=36.95×9-11.3=321.25≈321. 即估计原汞含量为 9 毫克/升时消光系数约为 321. 8.某数学老师身高 176 c m,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173 cm、170 cm 和 182 cm.因儿子的 身高 与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm. 解析:儿子和父亲的身高列表如下: 父亲身高 173 170 176

3

儿子身高

170

176

182

^ 设回归直线方程y=a+bx,由表中的三组数据可求得 b=1,故 a=y-bx=176-17 3=3,故回归直线方程 ^ 为y=3+x,将 x=182 代入得孙子的身高为 185 cm. 答案:185 9.某车间生产一种玩具,为了要确定加工玩具所需要的时间,进行了 10 次实验,数据如下:

玩具个数 加工时间

2 4

4 7

6 12

8 15

10 21

12 25

14 27

16 31

18 37

20 41

若回归方程的斜率是 b,则它的截距是________.

答案:22-11b 10.炼钢是一个氧化降碳的一个过程,钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短,必须掌握钢水含碳量 和冶炼时间的关系,如果已测的炉料熔化完毕时,钢水的含碳量 x 与冶炼时间 y(从炉料熔化完毕到出钢的 时间)的一组数据如下表所示: x(0.01%) y(min) 104 100 180 200 190 210 177 185 147 155 134 135 150 170 191 205 204 235 121 125

(1)作出散点图,你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗? (2)若 x 与 y 线性相关,求回归直线方程: (3)预测当钢水含碳量为 160(0.01%)时,应冶炼多少分钟? 解析:(1)以 x 轴表示含碳量,y 轴表示冶炼时间,可作数点图如图所示.

从图中可以看出,各点散布在一条直线附近,即 x 与 y 线性相关.

^ - - (2) 设所求回归直线方程为 y = bx + a.∵ x = 159.8 , y = 172 ,

xiyi=287 640.

xi =265 448,
4

2

∵b=

- - ^ ≈1.267,a= y -b x ≈-30.47.故所求的回归直线方程为y=1.267x-30.47.

^ (3)当 x=160 时,y=1.267×160-30.47=172.25≈173.即大约要冶炼 173 分钟. 11.1971 年至 1980 年,某城市居民的年收入金额与皮鞋销售额如下表: 年度 1971 197 2 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 求 y 对 x 的回归直线方程. 解析: 年收入 x/亿元 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0 皮鞋销售额 y/万元 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x
32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0

y
25 30 34 37 39 41 42 44 48 51

x2
1 036.84 967.21 1 082.41 1 281.64 1 376.41 1 444.00 1 521.00 1 849.00 1 989.16 2 116.00

xy
805.0 933.0 1 118.6 1 324.6 1 446.9 1 558.0 1 638.0 1 892.0 2 140.8 2 346.0
5

Σ

379.7

391

14 663.67

15 202.9

12.某 5 名学生的数学和化学成绩如下表: 学生 学科 数学成绩/x 化学成绩/y (1)画出散点图; (2)求化学成绩(y)对数学成绩(x)的回归直线方程. 解析:(1)散点图为: A 88 78 B 76 65 C 73 71 D 66 64 E 63 61

(2)

序号 1 2 3 4

x
88 76 73 66

y
78 65 71 64

x2
7 744 5 776 5 329 4 356

xy
6 864 4 940 5 183 4 224

6

5 Σ
n

63 366

61 339

3 969 27 174

3 843 25 054

Σ xiyi-nx y 25 054-5×73.2×67.8 i=1 b= n = ≈0.624 869, 2 27 174-5×73.2 2 2 Σ xi -nx i=1

a=y-bx=67. 8-0.624 869×73.2≈22.059 6.
所以 y 对 x 的回归直线方程为 y^=0.62x+22.06. 13.某城市预测 2010 年到 2014 年人口总数与年份的关系如下表所示: 年份 201x(年) 人口总数 y(十万) (1)请画出上表数据的散点图; ^ (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程y=bx+a; (3)据此估计 2015 年该城市人口的总数. (参考数据:0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132,0 +1 +2 +3 +4 =30) 解析:(1)据表画出数据的散点图如下图所示.
2 2 2 2 2

0 5

1 7

2 8

3 11

4 19

- 1 - 1 (2)由表可知 x = (0+1+2+3+4)=2, y = (5+7+8+11+19)=10. 5 5

∴b= - - a= y -b x =36

14.在某种产品表面进行腐蚀性试验,得到腐蚀深度 y 与腐蚀时间 t 之间对应的一组数据: 时间 t/s 深度 y/μ m (1)画出散点图;
7

5 6

10 10

15 10

20 13

30 16

40 17

50 19

60 23

70 25

90 29

120 46

(2)试求腐蚀深度 y 与时间 t 的回归直线方程. 解析: (1)如下图

,
(2)经计算可得

t≈46.36,y≈19.45,

=36 750,

=13 910.

8


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