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对数的运算性质


对数的运算性质 1.对数的运算性质: 如果 a > 0 , a ? 1, M > 0 ,N > 0, 那么(1)log a ( MN ) ? log a M ? log a N ; (2)log a (3) log a M ? n log a M (n ? R) .
n

M ? log a M - log a N ; N

>
2.例题分析: 例 1.用 log a x , log a y , log a z 表示下列各式: (1) log a 例 2.求下列各式的值: (1) log 2 4 ? 2
7

x2 y xy ; (2) log a . 3 z z

?

5

?;

(2) lg 5 100 .

例 3.计算: (1)lg14 ? 21g

7 ? lg 7 ? lg 18 ; 3

(2)

lg 243 ; lg 9

(3)

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 . lg 1.2

例 4.已知 lg 2 ? 0.3010 , lg3 ? 0.4771 ,求 lg1.44 的值。 例 5.已知 log a x ? log a c ? b ,求 x .
a b 例 6. (1)已知 3 ? 2 ,用 a 表示 log 3 4 ? log 3 6 ; (2)已知 log3 2 ? a , 3 ? 5 ,用 a 、 b 表示 log 3

30 .

换底公式 1.换底公式: log a N ? 2.例题分析: 例 1.计算: (1) 5
1? log0.2 3

log m N ( a > 0 , a ? 1 ; m ? 0, m ? 1) log m a



(2) log 4 3 ? log9 2 ? log 2

4

32 .

例 2.已知 log18 9 ? a , 18 ? 5 ,求 log 36 45 (用 a, b 表示) .
b

例 3.设 3 ? 4 ? 6 ? t ? 1 ,求证:
x y z

1 1 1 ? ? . z x 2y

例 4.若 log8 3 ? p , log3 5 ? q ,求 lg 5 . 例 5.计算: (log 4 3 ? log 8 3)(log 3 2 ? log 9 2) ? log 1
2 4

32 .

例 6.若 log 3 4 ? log 4 8 ? log 8 m ? log 4 2 ,求 m . 对数函数 例 1.求下列函数的定义域: (1) y ? log a x ;
2

(2) y ? log a (4 ? x) ;
x

(3) y ? log a (9 ? x ) .
2

?1? ?1? 例 2.求函数 y ? ? ? ? 2 和函数 y ? ? ? ?2? ?5?
例 4.比较下列各组数中两个值的大小:

x 2 ?1

? 2 ( x ? 0) 的反函数。

(1) log 2 3.4 , log 2 8.5 ;

(2) log 0.3 1.8 , log 0.3 2.7 ; (3) log a 5.1 , log a 5.9 .

例 5.比较下列比较下列各组数中两个值的大小: (1) log 6 7 , log 7 6 ; (3) 1.1 , log1.1 0.9 , log 0.7 0.8 ;
0.9

(2) log3 ? , log 2 0.8 ; (4) log 5 3 , log 6 3 , log 7 3 .

例 6.已知 log m 4 ? log n 4 ,比较 m , n 的大小。 例 7.求下列函数的值域: (1) y ? log 2 ( x ? 3) ; (2) y ? log 2 (3 ? x ) ; (3) y ? log a ( x ? 4 x ? 7) ( a ? 0 且 a ? 1 ) .
2
2

例 8.判断函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 1 ? x) 的奇偶性。
2

例 9.求函数 y ? 2log 1 ( x 2 ? 3x ? 2) 的单调区间。
3

例 10.若函数 y ? ? log 2 ( x ? ax ? a) 在区间 (??,1 ? 3) 上是增函数, a 的取值范围。
2

对数函数

1 如图,曲线是对数函数

的图象,已知

的取值

,则相应于曲线



值依次为(

).

(A )

(B)

(C)

(D)

2.函数 y=logx-1(3-x)的定义域是 如果对数 log x ? 7 ( x
2

? 6 x ? 5) 有意义,求 x 的取值范围;

3.已知关于 x 的的方程

log 3 x ? a ,讨论 a 的值来确定方程根的个数。
2

4.若关于 x 的方程 lg(ax) ? lg(ax 5.求函数

) ? 4 的所有解都大于 1,求 a 的取值范围.

y ? log 1 ( x 2 ? 2 x ? 3) 的单调区间.
2

求函数

y ? log( 1
2

1 2 5 的单调区间。 -3x+ ) x 2 2
,若 的值域为 ,求实数 的取值范围.

6、设函数 7
2 2

y ? log (a x +ax ? 1) 的定义域为 R,求 a 的取值范围。
) D.(-1,+∞) ) D.1<a≤2
2

8.函数 y=log 1 [(1-x)(x+3)]的递减区间是( A.(-3,-1) A.0<a<1 B.(-∞,-1) B.a>1
x 2x

C.(-∞,-3)

9.已知函数 y=loga(2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( C.1<a<2 10.求函数 y=loga(2-a -a )的值域。

11.求函数 y=log2

x x ·log (x∈[1,8])的最大值和最小值. 2 4
2

12.设函数 y=f(x),且 lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),(1)求 f(x)的表达式及定义域; (2)求 f(x)的值域。

13 函数

在区间

上的最大值比最小值大 2,则实数

=___.

14 已知函数 时,求

.① 判断函数的单调区间及在每一个单调区间内的单调性; 的最大值,最小值及相应的 值.

② 当

x 15、已知函数y=loga(1-a )(a>0且a≠1)。(1)求函数的定义域和值域;(2)证明函数图象关于直线y=x对称。

x ? ? 1 1? ? x?? , ? f ( x) ? ? log 3 ? (log 3 3x) 27 ? ? 27 9 ? ,求函数 ? 16、.设 的最大值。
f ( x) ? log 2 x ?1 ? log 2 ( x ? 1) ? log 2 ( p ? x) x ?1 。

17、已知函数

(1)求函数f(x)的定义域;(2)求函数f(x)的值域。 (1)函数的定义域为(1,p)。(2)当p>3时,f(x)的值域为(-∞,2log2(p+1)-2);

2(log 1 x) 2 ? 7 log 1 x ? 3 ? 0
18、已知
2 2



求函数

x 4 y ? (log 2 ) ? (log 1 ) 2 x 2

2,?
的最大值和最小值 、 ) 答案:B。

1 4

19:已知 y 的减函数,则 a的取值范围是( ? l o g ( 2 ? a x ) 在 0 , 1 上 是 x a A. (0,1) B. (1,2) C. (0,2) D.

? ?

?? ? ?2,

20.函数 21 已知 f(x)=


2

)图象的对称轴方程为

,求

的值.

[3-(x-1) ],求 f(x)的值域及单调区间.

分析:分清内层与外层函数.

22 已知 y=log0.5(x -ax-a)在区间(-∞,-
2

2

)上是增函数,求实数 a 的取值范围.

23.已知函数 f(x)=loga(ax -x), 是否存在实数 a,使它在区间[2,4]上是增函数?如果存在,说明 a 可取哪些值;如果不存在,说明理 由.
?

对数函数的图象变换及在实际中的应用 对数函数图象是对数函数的一种表达形式,形象显示了函数的性质。为研究它的数量关系提供了“形”的直观性,它是探求解题途径、 获得问题结果的重要途径。 一. (一) 利用对数函数图象的变换研究复杂函数图象的性质 图象的平移变换 画出函数

例1 .

y ? log 2 ( x ? 2) 与 y ? log 2 ( x ? 2) 的图像,并指出两个图像之间的关系?

2.竖直平移:函数

y ? f ( x) ? b , (b ? 0) 的图像,可由 y ? f ( x) 的图像向上(+)或向下 ?? ? 平移 b 个单位而得到.

(二)图像的对称变换

例 2.画出函数 例 3.画出函数 二. (一)

y ? log 2 x 2 的图像,并根据图像指出它的单调区间. y ? log 3 x 与 y ? log 1 x 的图像,并指出两个图像之间的关系?
3

利用对数函数的图象解决有关问题 利用图像求参数的值

例 4.已知函数 值.

y ? log a ( x ? b) 的图像如图所示,求函数 a 与 b 的

(二)利用图像比较实数的大小 例 5.已知 log m 关系. (三)利用图像解有关的不等式 例 6.解关于 x 的不等式 log 2 ( x ? 6) (四)利用图像判断方程根的个数 例 7.已知关于 x 的的方程 定方程根的个数。

2 ? log n 2 , m, n ? 1 ,试确定实数 m 和 n 的大小

? x ?1

log 3 x ? a ,讨论 a 的值来确


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