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基本初等函数的图像及性质


基本初等函数的图像及性质
函 数 名 称:常数函数 解析式 形 式:f(x)=b (b∈R) 图象及其性质:函数 f(x)的图象是平行于 x 轴或与 x 轴重合(垂直于 y 轴)的直线 定 义 域:R 值 域:{b} 单 调 性:没有单调性 奇 偶 性:均为偶函数(当 b=0 时,函数既是奇函数又是偶函数) 反 函 数:无反函数 周 期 性:是周期函数,任何一个非零常数都是其周期,无最小正周期 y b O

f(x)=b x

函 数 名 称:一次函数 y 解析式 形 式:f(x)=kx+b (k≠0,b∈R) f(x)=kx+b 图象及其性质:直线型图象。|k|越大,图象越陡;|k|越小,图象越平缓; 当 b=0 时,函数 f(x)的图象过原点; x O 当 b=0 且 k=1 时,函数 f(x)的图象为一、三象限角平分线; 当 b=0 且 k=-1 时,函数 f(x)的图象为二、四象限角平分线; 定 义 域:R 值 域:R 单 调 性:当 k>0 时,函数 f(x)为 R 上的增函数; 当 k<0 时,函数 f(x)为 R 上的减函数; 奇 偶 性:当 b=0 时,函数 f(x)为奇函数;当 b≠0 时,函数 f(x)没有奇偶性; 反 函 数:有反函数(特殊地,当 k=-1 或 b=0 且 k=1 时,函数 f(x)的反函数为原函数 f(x)本身) 周 期 性:无

函 数 名 称:反比例函数 解析式 形 式:f(x)=

k (k≠0) x
y f(x)=

图象及其性质:图象分为两部分,均不与坐标轴相交,当 k>0 时,函数 f(x)的 图象分别在第一、三象限;当 k<0 时,函数 f(x)的图象分别在 第二、四象限; 双曲线型曲线,x 轴与 y 轴分别是曲线的两条渐近线; 图象成中心对称图形,对称中心为原点; 图象成轴对称图形,对称轴有两条,分别为 y=x、y=-x; 定 值 单 调 义 域: (??,0) ? (0,??) 域: (??,0) ? (0,??) 性:当 k>0 时,函数 f(x)为 (??,0) 和 (0,??) 上的减函数; 当 k<0 时,函数 f(x)为 (??,0) 和 (0,??) 上的增函数;

k x
x

O

1

奇 反 周

偶 函 期

性:奇函数 数:原函数本身 性:无 y

2 f(x)= ax ? bx ? c

函 数 名 称:二次函数 解析式 形 式:一般式: f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) O 顶点式: f ( x) ? a( x ? k ) ? h(a ? 0)
2

x

两根式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) 图象及其性质:①图形为抛物线,对称轴为 x ? ? 交点为 (0, c) ;

b b 4ac ? b 2 , ) 或 ( k , h) ,与 y 轴的 ,顶点坐标为 (? 2a 2a 4a

b 4ac ? b 2 , ); ②当 a ? 0 时, 抛物线的开口向上, 此时函数图象有最低点 (? 当 a ? 0 时, 2a 4a
抛物线的开口向下,此时函数图象有最高点 (?
2

b 4ac ? b 2 , ); 2a 4a
2

定 值



③当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,函数图象与 x 轴有两个交点,当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,函数图象 2 与 x 轴有一个交点,当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,函数图象与 x 轴没有交点; ④横坐标关于对称轴对称时,纵坐标相等;当 a ? 0 时,横坐标距对称轴近则函数值小, 当 a ? 0 时,横坐标距对称轴近则函数值大; 域:R 域:当 a ? 0 时,值域为 ( 性:当 a ? 0 时, ( ?? ,?

4ac ? b 2 4ac ? b 2 ,??) ;当 a ? 0 时,值域为 (??, ) 4a 4a





奇 反 周

偶 函 期

b b ] 上为减函数, [ ? ,?? ) 上为增函数; 2a 2a b b ,?? ) 上为减函数, ( ?? ,? ] 上为增函数; 当 a ? 0 时, [ ? 2a 2a 性:当 b ? 0 时,函数为偶函数;当 b ? 0 时,函数为非奇非偶函数
数:定义域范围内无反函数,在单调区间内有反函数 性:无 f(x)= a (0 ? a ? 1)
x

y

f(x)= a (a ? 1)
x

函 数 名 称:指数函数 解析式 形 式: f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1)
x

图象及其性质: ①函数图象恒过点 (0,1) , 与 x 轴不相交, 只无限靠近;

O

x

2

x ②函数 f ( x) ? a 与 f ( x ) ? ( ) ? a 的图象关于 y 轴对称;
x ?x

1 a

③当 a ? 1 时,y 轴以左的图象夹在在直线 y ? 1 与 x 轴之间,y 轴以右的图象在直线 y ? 1 以上; 当 0 ? a ? 1 时,y 轴以左的图象在直线 y ? 1 以上,y 轴以右的图象夹在在直线 y ? 1 与 x 轴之间; ④第一象限内,底数大,图象在上方; 域:R 域: (0,??) 调 偶 函 期 性:当 a ? 0 时,函数为增函数;当 a ? 0 时,函数为减函数; 性:无 数:对数函数 f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) 性:无 y 函 数 名 称:对数函数 解析式 形 式: f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) O 图象及其性质:①函数图象恒过点 (1,0) ,与 y 轴不相交,只是无限靠近; ②函数 f ( x) ? loga x 与 f ( x) ? log 1 x ? ? loga x 的图象关于
a

定 值 单 奇 反 周



f(x)= loga x(a ? 1)

x f(x)= loga x(0 ? a ? 1)

x 轴对称;
③当 a ? 1 时,x 轴以下的图象夹在在直线 x ? 1 与 y 轴之间,x 轴以上的图象在直线 x ? 1 以右; 当 0 ? a ? 1 时,x 轴以下的图象在直线 x ? 1 以右,x 轴以上的图象夹在在直线 x ? 1 与 y 轴之间; 定 值 义 ④第一象限内,底数大,图象在右方; 域:R 域: (0,??)

单 调 性:当 a ? 0 时,函数为增函数;当 a ? 0 时,函数为减函数;[与系数函数的单调性类似,因 为两函数互为反函数] 奇 偶 性:无 反 周 函 期 数:指数函数 f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1)
x

性:无

3

函 数 名 称:幂函数 解析式 形 式: f ( x) ? x? (? ? R)

1 x 图象及其性质:① 幂函数必过第一象限,不过第四象限; f ( x) ? x; g ( x) ? x ; h( x) ? x ; q( x) ? x ; r ( x) ?
2 3

1 2

② x? (0,1),α 越大越靠近 x 轴;x? (1,+∞),α 越大越远离 x 轴; ③ 当α >0 时: (研究第一象限) 图像过定点(0,0)和(1,1);函数在[0,+∞)上是增函数; α>1,图像是向下凸抛物线型;0<α<1,图像是向上凸抛物线型; ④ 当 α<0 时:图像过定点(1,1);函数在(0,+∞)是减函数;图像是双曲线型,与 x 轴、y 轴无限接近但永不 相交; ⑤ α 为偶数,幂函数为偶函数;α 为奇数,幂函数为奇函数; 函 数 名 称:三角函数

4


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