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1.3 全称量词与存在量词1.3.1~1.3.2


1.下列命题是全称命题并且是真命题的是________. ①每个二次函数的图象都开口向上; ②对任意非正数 c,若 a≤b+c,则 a≤b; ③存在一条直线与两个相交平面都垂直; ④存在一个实数 x0 使不等式 x2 0-3x0+6<0 成立. 解析:∵c≤0,∴b+c≤b. ∵a≤b+c,∴a≤b. 答案:② 2.(2010· 高考安徽卷)命题“存在 x∈R,使得 x2+2x+5=0”的否定是________. 解析:存在性命题的否定是全称命题. 答案:对任何 x∈R,都有 x2+2x+5≠0 3.(2010· 高考安徽卷)命题“对任何 x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是________. 解析:全称命题的否定是存在性命题. 答案:存在 x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤3 4.已知命题:“?x∈[1,2],使 x2+2x+a≥0”是真命题,则 a 的取值范围是________. 解析:由已知知道:?x∈[1,2],使 a≥-x2-2x 成立;若记 f(x)=-x2-2x(1≤x≤2), 则 a≥f(x)min;而结合二次函数 f(x)=-x2-2x(1≤x≤2)的图象得 f(x)的最小值为 f(2)=-22 -2×2=-8,所以 a≥-8. 答案:a≥-8 5.不等式 x2-x>x-a 对?x∈R 都成立,则 a 的取值范围是________. 解析:法一:不等式 x2-x>x-a 对?x∈R 都成立,即不等式 x2-2x+a>0 恒成立; 结合二次函数图象得其Δ<0,即 4-4a<0,所以 a>1. 法二:不等式 x2-x>x-a 对?x∈R 都成立,也可看作 a>-x2+2x 对?x∈R 都成立, 0-22 所以 a>(-x2+2x)max;而二次函数 f(x)=-x2+2x 的最大值为 =1,所以 a>1. 4×(-1) 答案:a>1

[A 级 基础达标] 1.下列存在性命题中,是真命题的是________. ①?x∈R,x≤0; ②至少有一个整数,它既不是合数,也不是质数; ③?x∈{x|x 是无理数},x2 是无理数. 解析:①真命题,如当 x=-1 时,x≤0 成立;②真命题,1 既不是合数,也不是质数; 4 ③真命题,如 x= 5,x2= 5为无理数. 答案:①②③ 2.下列全称命题中是假命题的是________. ①2x+1 是整数(x∈R); ②对所有的 x∈R,x>3;

③对任意的 x∈Z,2x2+1 为奇数. 解析:①假命题,当 x=0.6 时,2x+1=2.2,不是整数;②假命题,当 x=1 时,x<3; ③真命题,∵x∈Z,∴2x2 必为偶数,∴2x2+1 必为奇数. 答案:①② 3.(2011· 高考辽宁卷改编)已知命题 p:?n∈N,2n>1000,则﹁p 为________. 解析:由于存在性命题的否定是全称命题,因而﹁p 为?n∈N,2n≤1000. 答案:?n∈N,2n≤1000 4.命题“原函数与反函数的图象关于 y=x 对称”的否定是________. 解析:命题中隐含全称量词“所有的”. 答案:存在一个原函数与反函数的图象不关于 y=x 对称 5.下列命题的否定为假命题的是________. ①?x∈R,-x2+x-1<0; ②?x∈R,|x|>x; ③?x,y∈Z,2x-5y≠12; ④?x∈R,sin2x+sinx+1=0. 解析:命题的否定为假命题亦即原命题为真命题,只有①为真命题. 答案:① 6.判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并写出它们的否定: (1)p:对任意的 x∈R,x2+x+1=0 都成立; (2)p:?x∈R,x2+2x+5>0. 解:(1)由于命题中含有全称量词“任意的”,因而是全称命题;又由于“任意的”的 否定为“存在一个”,因此,﹁p:存在一个 x∈R,使 x2+x+1≠0 成立,即“?x∈R,使 x2+x+1≠0 成立”; (2)由于“?x∈R”表示存在一个实数 x, 即命题中含有存在量词“存在一个”, 因而是 存在性命题;又由于“存在一个”的否定为“任意一个”,因此,﹁p:对任意一个 x 都有 x2+2x+5≤0,即“?x∈R,x2+2x+5≤0” . 7.判断下列命题的真假. (1)?x∈R,|x|>0; (2)?a∈R,函数 y=logax 是单调函数; (3)?x∈R,x2>-1; (4)?a∈{向量},使 a· b=0; (5)?x>0,y>0,使 x2+y2=0. 解:(1)由于 0∈R,当 x=0 时,|x|>0 不成立,因此命题“?x∈R,|x|>0”是假命题. (2)由于 1∈R,当 a=1 时,y=logax 无意义,因此命题“?a∈R,函数 y=logax 是单 调函数”是假命题. (3)由于?x∈R,都有 x2≥0,因而有 x2>-1. 因此命题“?x∈R,x2>-1”是真命题. (4)由于 0∈{向量},当 a=0 时,能使 a· b=0,因此命题“?a∈{向量},使 a· b=0”是 真命题. (5)由于使 x2+y2=0 成立的只有 x=y=0,而 0 不是正实数,因而没有正实数 x,y,使 x2+y2=0,因此命题“?x>0,y>0,使 x2+y2=0”是假命题. [B 级 能力提升] 1 8.已知:对?x>0,a≤x+ 恒成立,则 a 的取值范围为________. x 1? 1 1 解析:?x>0,x+ ≥2(当且仅当 x= 时等号成立),? ?x+x?min=2; x x

1 而对?x>0,a≤x+ 恒成立,所以 a≤2. x 答案:a≤2 9.已知命题 p:?x∈R,ax2+2x+3>0,如果命题﹁p 是真命题,那么实数 a 的取值范围 是________. 解析:因为命题﹁p 是真命题,所以命题 p 是假命题,而当命题 p 是真命题时,就是不
?a>0 ? 1 等式 ax2+2x+3>0 对一切 x∈R 恒成立,这时就有? ,解得 a> ,因此当命题 p 3 ?Δ=4-12a<0 ? 1 是假命题,即命题﹁p 是真命题时,实数 a 的取值范围是 a≤ . 3 1 答案:a≤ 3 1 10.已知 p:|3x-4|>2,q: 2 >0,求﹁p 和﹁q 对应的 x 的值的集合. x -x-2

解:命题 p 中的元素组成的集合为 M,那么对命题 p 的否定﹁p 组成的集合就是 M 的补 集. 2 2 ? 2 ? 由 p:|3x-4|>2,得 p:x< 或 x>2,所以﹁p: ≤x≤2,即﹁p:?x|3≤x≤2?; 3 3 ? ? 1 由 q: 2 >0,得 q:x<-1 或 x>2, x -x-2 所以﹁q:-1≤x≤2,即﹁q:{x|-1≤x≤2}. 11.(创新题)是否存在整数 m,使得命题“?x∈R,m2-m<x2+x+1”是真命题?若存 在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由. 1 3 3 解: 假设存在整数 m, 使得命题是真命题. 由于对于?x∈R, x2+x+1=(x+ )2+ ≥ >0, 2 4 4 因此只需 m2-m≤0,即 0≤m≤1.故存在整数 m=0 或 m=1,使得命题是真命题.


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