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2.2一元二次不等式的解法


2.2一元二次不等式的 解法
(1)

一、区间的概念:
{x | a ? x ? b} ? ? a, b? {x | a ? x ? b} ? ? a, b ? {x | a ? x ? b} ? ? a, b?
R ? ? ??, ???

{x | x ? a} ? ? a, ???
{x |

x ? b} ? ? ??, b ?

注:1、区间也是集合的表达方式之一。 2、a、b叫做区间的端点。(a<b)

同解(不)等式
同解(不)等式:如果两个(不)等式的解集相同,那么这两个(不)等式叫 做同解(不)等式

x2 ? 4 x

x?4

二、定义
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数 是二次,这样的不等式叫做一元二次不等 式。 一般形式: ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0 (a≠0)
不等式怎么解? ax2+bx+c=0

三、解法
例1、解一元二次不等式:x? -x-2>0
(x-2)(x+1)>0

?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 或? ? ?x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 0

代数解法

x ? ?? ?, ?1? ? ?2, ? ??

y=(x-2)(x+1)

几何解法

四、练习解一元二次不等式
练习1: (1) (x-5)(x+1)<0 (2) (5-x)(x-2)<0 (3) -3x2+x+2<0 (4) 3x2-x-1<0

五、例题
1 例1: 若a ? ?1, 解关于x的不等式( x ? a)( ? x) ? 0 a

例2:写出一个一元二次不等式,使它的解集为 (-1,3)

六、思考
1. 若不等式ax2+2x+b>0的解集为 (-1,2),求a,b的值 2. 解不等式组-7<x2+8x+8≤-4 3. 求解一元二次不等式一般步骤 4. Δ<0的一元二次不等式如何求解?

作业
? 习题2.2 A组1,2,3,4
已知ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)有两实根x1 , x2 , 若x1 ? x2 , 则二次不等式ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集是 ax 2 ? bx ? c ? 0的解集是 。

? 一课一练
若ax2 ? bx ? c ? 0的解集为(?1 ,,则 2) cx2 ? bx ? a ? 0的解集为
若函数y ? ax2 ? 2ax ? 1 的图像与x轴无交点,则a的取值范围是 。

2.2一元二次不等式 的解法
(2)

解不等式x2 ? (a ? 2) x ? 2a ? 0

例:16-24x≤-9x2 例:

4x ? x ? 5
2

练习:P36练习2.2(2)1,2

一、解一元二次不等式的一般步骤
一看: 看二次项系数的符号,将不等式转化为标准形式: ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0) 二算:计算判别式,进而解方程ax2+bx+c=0.

三画:画出二次函数的大致图像。
四写:写出不等式的解集(常用区间表示)。

二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)

△情况 一元二次方 一元二次不等式 程 △= b2-4ac ax2+bx+c=0 ax2+bx+c>0 (a>0) (a>0)
x2=

ax2+bx+c<0 (a>0)



△>0

?b? △ 2a
?b? △ 2a

x1=

不等式解集为 { x | x< x1 或x>x2}

不等式解集为 {x|x1<x< x2}


△=0 x 0=



?b 2a

不等式解集 {x|x≠x0, x ∈ R}

解集为

? ?



△<0

方程无解

不等式解集为 R(一切实数)

解集为

a<0的情况自己完成

二、典型习题——逆用解不等式
1. 已知不等式ax2+bx+c>0的解集为 (-2,3),求不等式cx2+ax-b<0的解集。 2. 求a,b满足的条件,使得ax2+2x+b>0 的解集为 (1)(-1,2) (2) (-∞,+∞)

三、典型习题——解不等式组
-7<x2+8x+8 x2+8x+8≤-4

2:解不等式组

? ?9 x ? 6 x ? 1 ? 0 ? 2 ? ??2 x ? x ? 1 ? 0
2

注意:处理不等式组时要多多使用数轴

练习
主要练一元二次不等式组的解法
? x2 ? 2x ? 3 ? 0 ? ?x ?1 ? 0
2 ? x ? ? 2x ? 3 ? 0 ? 2 ? ?x ? x ? 2 ? 0

2 ? x ? ? 2 x ? 15 ? 0 ? 2 ? ? x ? 4 x ? 12 ? 0

四、思考
2 ? ax ?x?2?0 ? 不等式组 ? 2 的解集为R,求a的取值范围 ? ? x ? x ? a (1 ? x)

当k为何值时,不等式(k ? 5) x2 ? (5 ? k ) x ? k ? 10 ? 0对于一切实数都成立?

作业
? 习题2.2 A组5,6,7,8,9 ? 习题2.2 B组1,2,3,4

2.2一元二次不等式 的解法
应用题
数学来源于生活,又服务于生活

数学是对生活的一种提炼
若水杯中的b克糖水里含有a克糖,如果在添 上m克糖,糖水会变得更甜,试将这一事实 用数学关系式表示出来,并加以证明

例题1、某服装公司生产的衬衫,每件定价80元,在某城市年销 售8万件。

现该公司在该市设立代理商来销售衬衫。代理商要收取代销费,
代销费为销售金额的r%(即每销售100元收取r元)。为此,该 衬衫每件价格要提高到(80/1-r%)元才能保证公司利润,由于 提价每年将少销售0.62r万件,如果代理商每年收取的代理费 不少于16万,求r的取值范围
解:据题意: 代理费= r% × 销售额 销售额 = 每件衬衫价格 × 销售衬衫的数量

80 1? r%
即3.1r2-41r+100≤0 =>100/31≤r≤10

8-0.62r

因此,所求的r取值范围是[100/31,10]

练习1
某旅店有200张床位,若每床一晚上租金27元, 则可全部出租;若将出租收费标准每晚提高10 的整数倍,则出租的床位会将减少10的相应倍 数张。若要是该旅店某晚的收入超过10000元, 则每个床位的出租价格应定在什么范围内?
解:设将出租费用提高10的n倍 据题意得不等式:(200-10n)(27+10n)>10000 解此不等式得:

练习2
某厂计划全年完成产值60万元,前三个季度 已完成43.45万元,如果10月份的产值是5万 元,那么最后两个月中,月平均增长率是多 少时才能超额完成年计划?
解:
设月平均增长率为x

据题意得不等式:5+5(1+x)+5(1+x)2+43.45>60
整理后得:x2+3x-0.31>0 解得:(-∞,-3.1)∪(0.1,+∞) 因为增长率不为负,所以x>0.1

答:

月平均增长率为10%以上才能超额完成年计划

解应用题的一般步骤:
审题 ——从实际问题中寻找关键词、数据

建模 ——方程、不等式、函数等数学模型 求解 作答 ——利用所学的知识寻找答案 ——回答问题,去解决实际问题

例2

台风
影在距已距 响起台知离 的多风台码 时少中风头 间小心以南 大时 每偏 约候 小东 多码千时 少头米 ?将以千 受内米度 台都的的 风受速 影到度 响台向 ,风正千 码影北米 头响方处 受,向有 台问移一 风从动个 台 现,风 中 心 。 350

60(^ ) 400 40

思考题
2007年第13号台风“韦帕”,9月19日10点中心位置 已经到达上海南偏东30度480公里的海面上,近中心 的最大风力大于12级,离中心450公里以内的地方风 力有8级和8级以上。与此同时台风中心正以每小时18 公里的速度朝西北方向移动。
问题一:如果以这样的速度和方向移动,从此时起(9月19日10点)多少时间 后,上海将受到台风“韦帕”的影响。(8级和8级以上风力)持续多久? (精确到0.1) 问题二:上海受其影响在什么时间到达最大?此时台风中心离上海有多远? (精确到0.1)

问题三:如果以这样的速度和方向移动,同时由于台风向内地移动的同时风 力圈以10公里/小时的速度减小。此时上海受其影响的时间持续多久?(精确 到0.1)

思考题
2007年第13号台风“韦帕”,9月19日10点中心位置 已经到达上海南偏东30度480公里的海面上,近中心 的最大风力大于12级,离中心450公里以内的地方风 力有8级和8级以上。与此同时台风中心正以每小时18 公里的速度朝西北方向移动。
问题四:台风“韦帕”对上海造成一定的影响,但社会有一定的防御措施。 如果直接经济损失Y元与台风的级数E、台风持续时间T、社会防御级数a(a 为社会防御级数,范围为不大于12的自然数)的关系如下:

Y ? ET [ E ? (10 ? a )

T ? 20] 3

(1)当台风“韦帕”的级数是12,影响上海的持续时间为30小时,社会防 御级数是7级时,直接经济损失是多少? (2)当台风“韦帕”的级数不超过12级,影响上海的持续时间为30小时, 直接经济损失不超过9000万元。社会防御级数的范围是多少?

思考题解答
解:如图建立坐标系,以上海为原点: O?0,0? 9月19日10点中心位置: A 240,?240 3 ? ? 设经过t小时台风中心的位置: B? 240? 18t ? 2 ,?240 3 ? 18t ? 2 ? ? ?
2 ? 2 2 2? ? 2? 台风距离上海距离: OB ? ? ? 240? 18t ? ? ? ? ? 240 3 ? 18t ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? 2

?

?

(1)据题意: OB 2 ? 18 2 t 2 ? 240 ?18 6 ? 2 t ? 4 ? 240 2 ? 450 2 解得: t ? ?1.8,49.7? 答:从此时起(9月19日10点)1.8小时后,上海将受到台风 “韦帕”的影响。(8级和8级以上风力)持续47.9小时.

?

?

(2)当 t ? 240?18 62 ? 2 ? 25.8 距离最近
2 ?18

?

?

答:上海受其影响在25.8小时后达到最大,距离最近为124米

思考题解答
解:设经过t小时受影响台风圈的大小:450-10t 台风距离上海的距离: (3)据题意:
2

? 2? ? 2? ? ? ? ? OB ? ? 240? 18t ? ? ? ? 240 3 ? 18t ? ? 2 ? ? 2 ? ? ?

2

2

OB ? 18 2 t 2 ? 240 ?18 6 ? 2 t ? 4 ? 240 2 ? ?450 ? 10t ?

?

?

2

t ? ?4.1,30.2? 解此一元二次不等式得: 答:此时上海受其影响的时间持续26.1小时

一元二次不等式应用题的小结
? 注意阅读题目,搞清关键数字及语句。
? 学会把题意与所学知识联系起来。 ? 把文字语言转化为数学语言,逐渐培养数 学建模能力。

作业
? 习题2.2 A组 10 习题2.2 B组 5

三个“二次”的联系

预习,试做
1. 当k为何值时,关于x的一元二次不等式x2+(k-1)x+4>0 的解集为(-∞,+∞)? 2. 当k为何值时,关于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x+4≥0 对于一切实数x都成立? 3. 当k为何值时,关于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x+4<0有实 数解? 4. 当k为何值时,关于x的一元二次不等式x2+(k-1)x+4<0 的解集为A,且2∈A? 5. 当k为何值时,B=(1,3)中所有元素都是x2+(k-1)x+4<0 的解?

一、引入
2 y ? ax ? bx ? c 二次函数:

??x, y? | y ? ax
2

2

? bx ? c

?

a?0

二次方程: ax2 ? bx ? c ? 0

??x,?y y? ? ax ? 且 yy ?? 0? x?|| y ?bx bx? ?cc 且 0?
ax2 ? bx ? c ? 0

二次不等式: ax2 ? bx ? c ? 0

2 2 2 2 {( x, y ) y ? ax ? bx ? c 且 y> 0 } {( x , y ) y ? ax ? bx ? c且y y< } x| y?0 x| ?0 0

?

? ?

?

二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)

△情况 △= b2-4ac

一元二次方 一元二次不等式 程 ax2+bx+c=0 ax2+bx+c> (a>0) 0(a>0)
x2=

ax2+bx+c< 0(a>0)



△>0

?b? △ 2a
?b? △ 2a

x1=

不等式解集为 { x | x< x1 或x>x2}

不等式解集为 {x|x1<x< x2}


△=0 x 0=



?b 2a

不等式解集 { x| x≠x0,x∈R}

解集为

? ?



△<0

方程无解

不等式解集为 R(一切实数)

解集为

a<0的情况自己完成

例题
例1、当k为何值时,关于x的一元二次不等式 x2+(k-1)x+4>0的解集为(-∞,+∞)?
解:函数y= x2+(k-1)x+4的图像:开口向 上,与x轴无交点。 即,方程x2+(k-1)x+4=0无实根。△<0 (k-1)2-16<0

? k ? (?3,5)

答:当 k ? (?3,5) 时,关于x的一元二次不 等式x2+(k-1)x+4>0的解集为? ??, ???

例1、当k为何值时,关于x的一元二次不等式 x2+(k-1)x+4>0的解集为(-∞,+∞)?
练习1、当k为何值时,关于x的二次函数y=kx24x+k的图像全在x轴上方。 “二次” 二次项系数为字母 二次项系数不为0 要研究开口方向

例1、当k为何值时,关于x的一元二次不等式 x2+(k-1)x+4>0的解集为(-∞,+∞)?
练习2、当k为何值时,关于x的不等式(k-1) x2+(k-1)x+4≥0对于一切实数x都成立。 不一定是一元二次不等式 少了“一元二 次” 要研究开口方向 二次项系数改为“k-1” “>”改为“≥” 相应方程至多有一解

例2:当k为何值时,关于x的不等式

(k-1)x2+(k-1)x+4<0有实数解?

一种 先考虑(k-1)x2+(k-1)x+4<0无实数解时, 解法:

k的取值范围。 (a)k-1=0,x2+(k-1)x+4<0无实数解 (b)k-1≠0, 当k-1>0且Δ ≤0, (k-1)x2+(k-1)x+4<0 无实数解?k∈(1,17] 由a),b)可知k∈[1,17] 答: (k-1)x2-(k-1)x+4<0有实数解时,k的 取值范围k∈(-∞,1)∪(17,+∞)

当k为何值时,关于x的一元二次不等式 例 3: 2 x +(k-1)x+4<0的解集为A,且 2 ? A ?
解法1:2是二次不等式x2+(k-1)x+4<0的解。 解法2:根据图像,满足题意时,x=2时,二次函数 y=x2+(k-1)x+4的值永运小于0 ∴22+2(k-1)+4<0 解法3:根据题意,满足条件时,二次方程x2+(k1)x+4=0的两根一根比2大,一根比2小

? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? 0 ? x1x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 ? 0
∴ k<-3 答:当k <-3时,关于x的一元二次不等式 x2+(k-1)x+4>0的解集为A,且 2 ? A .

例4:当k为何值时,B=(1,3)中所有元素都是
x2+(k-1)x+4<0的解? 解: 设:A是x2+(k-1)x+4<0的解集。B ? A
令:f ( x) ? x2 ? (k ?1) x ? 4

? f (1) ? 0 ? f (3) ? 0 ?

? k ? ?4

答:当 k ? ?4 时, B=(1,3)中所有元 素都是x2+(k-1)x+4<0的解。

小结:
二次函数图像

一元二次不等式

一元二次方程

数形结合、分类讨论、等价转化、逆向思维

思考题:

0 ? x ? mx ? 5 ? 4 的解有且只有一个,求m的值。
2

已知A={x|1≤x≤4},B={x|x2-2ax+a+2≤0} (1)若A是B的非空子集,求实数a的取值范围。 (2)若B是A的非空子集,求实数a的取值范围。

作业
? 习题2.2B组3 +2思考题


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