当前位置:首页 >> >>

几个基本的函数图像


几个基本的函数图像 积累初等函数图像的 有关信息, 有关信息,应用此知识所 具备的知识特性回答一些 初等数学的命题的逻辑性 的正确性问题. 的正确性问题

(1).函数 f (x ) = x
的图象
y x o

(2).函数 f (x ) = x 2
的图象
y x o

(3).函数 f (x ) = x 3
的图象
y x o

(4).函数 f (x ) = x ?1
1 即 f (x ) = 的图象 x y

(5).函数 f (x ) = x
y

1 2

(6).函数 f (x ) =
的图象
y x

x

即 f ( x ) = x 的图象

x o o

x o

函数 f ( x ) = x 的固有性质:

(1).函数 f (x ) = x
的图象
y x o

(1).定义域为 R ;

(2).函数图象过点 (0 , 0) 的直线 ; (3).函数是奇函数 ; (4).函数是正比例函数; (5).函数是 (? ∞ , +∞ ) 上的增函数; (6).函数属于 y = x n , 当 n = 1 的幂函数; (7 ).函数图象的位置在第一、三象限 .

函数 f ( x ) = x 2 的固有性质:

(2).函数 f (x ) = x 2
的图象
y x o

(1).定义域为 R ; (2).函数图象过点

(0 , 0) 的抛物线 ; )

(3).函数是偶函数 ,
图象关于 y 轴对称 ;

(4).函数在区间 (? ∞

, 0

上是单调递减的函数, 在区间 0 , +∞ 上是 单调递增的函数;

(

)

(5).函数图象的位置在第一、二象限 .

(3).函数 f (x ) = x 3
的图象 函数 f (x ) = x 3 的固有性质: 的固有性质:

y

x
o

(1).定义域为 R ; (2).函数图象过点 (0 , 0) 的抛物线 ; (3).函数是奇函数 ,图象关于原点中心对 称 ; (4).函数在区间 (? ∞ , +∞ ) 上是单调递增的函数; 上是单调递增的函数; (5).函数图象的位置在第一 、三象限 ; (6).函数的导数 f ' (x ) = 3x 2 , 有 f ' (0 ) = 0 ,
在 x = 0 处的导数等于 0 ,在 x = 0 处没有极值 .

(4).函数 f (x ) = x ?1
1 即 f (x ) = 的图象 x
y x o

1 的固有性质: 函数 f ( x ) = 的固有性质: x

(1).定义域为 { x

x≠0 ;

}

(2).函数图象不过点

(0 , 0)

的双曲线, 的双曲线,渐近线是 x 轴和 y 轴 , 离心率为 e = 2 ;

(3).函数是奇函数 ,图象关于原点中心对 称 ; (4).函数在区间 (? ∞
, 0 , 0 , +∞ 上是 .

) (

)

(5).函数图象的位置在第一 、三象限

单调递减的函数; 单调递减的函数;

6 2= 3

6 3= 2

k a= b

k b= a

y ? y0
可知有

k ≠0

k = x ? x0 x ? x0 ≠ 0
y ? y0 ≠ 0

k ≠0

a≠0 b≠0

x ≠ x0
y ≠ y0

1 可知有 y ? 1 = x?3

x≠3
y ≠1

x ? 2 x ? 3 +1 1 y= = = 1+ x?3 x?3 x?3
3 + 2 x 2 x ? 8 + 11 y= = = 2+ x?4 x?4 5? x ?2? x+7 y= = = ?1 + x+2 x+2 11 x?4 7 x+2

bx + c y = x + a

等价于

k y ? y0 = x ? x0

1 y ?1 = x?3
11 y?2= x?4 7 y +1 = x+2
8 y+2= x +1

6 ? 2x ? 2 ? 2x + 8 8 y= = = ?2 + x +1 x +1 x +1

k ≠0
有关 当

k >0

k 的函数,定义域为 y ? y0 = x ? x0

(? ∞, x0 ) U (x0 ,+∞ )

时, 函数在区间 (? ∞, x0 ) 上单调递减, 函数在区间 ( x0 ,+∞ ) 上单调递减;



k <0

时,函数在区间 (? ∞, x0 ) 上单调递增, 函数在区间
0 0

(x0 ,+∞ ) 上单调递增. 函数的值域为 (? ∞, y ) U ( y ,+∞ ) 即 {y y ≠ y } . .
0

注:不能说函数在区间 (? ∞, x0 ) U ( x0 ,+∞ )是单调函数.

x?2 例题:求函数 f (x ) = x ? 3 的定义域和值域. x?2 解:函数 f (x ) = 即函数 x ?3 1 x ? 2 x ? 3 +1 = 1+ y= = x ?3 x ?3 x ?3

x?2 y= x ?3

1 y ?1 = x?3

函数的定义域 x ∈ R x ≠ 3} 函数的值域

{y ∈ R y ≠ 1}

{

函数图象的对称中心为M(3,1).

如图所示

(5).函数 f (x ) = x
y

1 2

即 f ( x ) = x 的图象

函数 f ( x ) = x 的固有性质:

(1).定义域为 [ 0

, +∞ ;

)

x o

? y≥0 (2).函数图象过点 0 , 0 ,即 ? 2 ?y = x 是 x 轴上方的半个抛物线 ;

(

)

(3).函数是非奇非偶函数 ,图象仅在第一象限 ;
? y≥0 , y 2 = 2 px ? 2 ?y = x 2P = 1 , P = 1 , 2

(4).函数在区间 [ 0

, +∞

) 上是单调递增的函数 .

? y≥0 (5).函数 ? 2 即 y 2 = 2 px 焦点在 x 正半轴上 , ?y = x ?1 ? 抛物线的焦点坐标 F ? , 0 ? ; ?4 ? ? ?

?1 ? P 1 = , F ? , 0? ?4 ? 2 4 ? ?

函数 f ( x ) = x 的固有性质:

(6).函数 f (x ) =
的图象

x

(1).定义域为 R , x ∈ (? ∞ 即

, +∞ ;

)

y x o

(2).函数图象过点 (0 , 0) 的折线 ; (3).函数是偶函数 ,图象关于 y 轴对称 ,
若函数 y = x + a 是偶函数,则有 a = 0 ;

(7 ) 函数

y = f (x )

(4).函数在区间 (? ∞

, 0 上是单调递减的函数,

)

的图象在尖的地方 导数值不存在 .

在区间 0 , +∞ 上是单调递增的函数;

(

)

(5).函数图象的位置在第一、二象限 ; (6).函数在 x = 0 处的导数不存在, 但是有 ymin = f (0 ) = 0 .

(8) 函数

y = f (x )

的导数等于 0 , 函数不一定有极值; 函数有极值是其导 数不一定等于 0 .

(7 ).幂函数 f (x ) = x

n

y

x

3

x

2

x

1
1 2

在第一象限内的图象

x
1

(i )幂函数 f (x ) = x
一、二象限;

n

x

?1

x0

o

1

是偶函数图象在第

x
函数 f (x ) = x n

(ii )幂函数 f (x ) = x n
是奇函数图象在第 一、三象限;

(iii )幂函数 f (x中 nx的增大趋势. )= n
的函数图象不经过第四 象限;

(7 ).幂函数 f (x ) = x

n

y

x

3

x

2

x

1
1 2

在第一象限内的图象

x

(iv ) 函数 f (x ) = x 恒过定点 (1 , 1) ;
n

1

x

?1

x0

o

1

(v )幂函数 f (x ) = x n n 函数 f (x ) = x 当 n > 0 时在区间 (0 , ∞ ) 上是增函数; + 中 n 的增大趋势. 当 n < 0 时在区间 (0 , ∞ ) 上是减函数; +
当 n < 0 时函数定义域

x

{x

x ≠ 0 }.

幂函数的概念及性质 幂函数:形如 f ( x ) = x n 的函数(n为实数)称为幂函数. (幂函数的自变量x在底数的位置上) 幂函数具有下列性质: (1).幂函数的图象一定过定点(1,1),定义域、奇 偶性由n的值而确定,分式中的分母不等于零,偶次方 根的被开方式不小于零; (2).幂函数在第一象限的图象可显示出它的主要性质. 当n>0时,函数图象过点(0,0)和(1,1), 在区间 [0,+∞ ) 为单调递增的函数; 当n<0时,函数的图象不过点(0,0), 过(1,1),在区间 (0,+∞ ) 为单调递减的函数;

幂函数的概念及性质 f ( x ) = x n n 1.幂函数 y = x 的函数图象一定 过定点 (1,1); 2.当n>0时,函数的定义域为全体 实数集R;即区间 (? ∞,+∞) , 可有函数图象在第一象限是上升的, 函数在区间 (0,+∞ ) 上是单调递增 的函数; 3.当n<0时,函数的定义域为 (? ∞,0) U (0,+∞) 即 {x ∈ R x ≠ 0} 可有函数图象在第一象限是下降的,函数在区间 (0,+∞ ) 上是单调递减的函数; 4.对于实数n的不同,在同一坐标系中,可以得到n的增 大与每个幂函数图象的相对位置的关系.

(8).指数函数 f (x ) = a (a > 0且a ≠ 1)

x

,

?1? ?1? ? ? ? ? ?2? ?3?
x

x

y

3

x

2

x

的图象在第一、 的图象在第一、二象限 .

(i )函数 f (x ) = a x , (a > 0且 a ≠ 1)的定义域 2 ? x
是 ? ∞ ,+ ∞ ;即有 x ∈ R ;

(

)

1
?1? ? ?x ? (v )函数 f (x ) =3a? ,

1
x

x
x

(ii )函数 f (x ) = a x 的值域是 (0 ,+ ∞ ) ,
即有 y > 0 恒成立 ,有 a > 0 恒成立 ;
x

?1? ? ? ?2?

o

x

(iii ) 指数函数 f (x ) = a x , (a > 0且a ≠ 1)
的函数图象在第一、 象限; 的函数图象在第一、二 象限;

(iv ) 指数函数 f (x ) = a x , (a > 0且a ≠ 1)
1 的函数图象恒过点 0 , ;

(

)

当 0 < a < 1时函数) = a x 函数 f ( x 在 (- ∞ , ∞ )上是减函数; a 上是减函数; 中+ 的增大趋势. 当 a > 1时函数在 (- ∞ , ∞ )上是增函数; + 上是增函数;

(a > 0, a ≠ 1)的函数

(1).函数的定义域为 (? ∞,+∞ ) 值域为 {y ∈ R y > 0} 即 (0,+∞ ) 函数图象在x轴的上方,图象和x轴一定不相交, 图象过第一、二象限; (2).函数图象一定过定点(0,1);

(3).当a > 1时, 函数图象是上升的,函数在

全体实数集R 即区间 (? ∞,+∞ )上是增函数. (自变量x增大时函数值y同时增大). (4).当0 < a < 1时, 函数图象是下降的,函数在 全体实数集R 即区间 (? ∞,+∞ ) 上是减函数. (自变量x增大时函数值y同时减小).

y = ax 与 y = ? 1 ? (5)指数函数 指数函数 ? ?
?a ?

x

的图象关于y轴对称 的图象关于 轴对称. 轴对称 (6)对于多个指数函数 指数函数

y = a

x

在同一坐标系中 的图象我们可以 总结出底数a的增 大与函数图象的 相对位置的关系.

(9).对数函数 f (x ) = log a x , (a > 0且a ≠ 1)
的图象在第四、 的图象在第四、一象限 .
(i ) 函数 f (x ) = log a x , (a > 0且a ≠ 1)的
定义域是 0 ,+ ∞ ;即有 x ∈ R + ;

函数 f ( x ) = log a x 中 a 的增大趋势.

y

log 3 x
log 2 x

(

)

(ii ) 函数 f (x ) = log a x , (a > 0且a ≠ 1)
的值域是 R ;

(iii ) 函数 f (x ) = log a x , (a > 0且 a ≠ 1)
的函数图象在第四、 象限; 的函数图象在第四、一 象限;

o

1
,

x
log 1 x
2

(iv ) 函数

(v )函数 f (x ) = log a x f ( x ) = log a x , (a > 0且 a ≠ 1) (a > 0, a ≠ 1)

log 1 x
3

0 的函数图象恒过点 1 , ;

(

)

当 0 < a < 1 时函数 当 a > 1 时函数在

+ 上是减函数; 在 (- ∞ , ∞ )上是减函数;

(- ∞ , ∞ )上是增函数; + 上是增函数;

对数函数的概念及性质: 对数函数: f ( x ) = log a x (a > 0且a 有性质: (1)定义域为 (0, ∞ ) + + 值域为全体实数R,即 (? ∞, ∞ ) (2)函数图象一定过定点(1,0); (3)函数图象在y轴的右侧, 在第 一、四象限; + (4)当0<a<1时,函数为区间 (0, ∞ ) 上的单调递减的函数; + (5)当a>1时,函数为区间 (0, ∞ ) 上的单调递增的函数;

≠1 )

对数函数的性质 f ( x ) = log a x (6)两函数 f (x ) = log a x与g (x ) = log 1 x
a

(a > 0且a ≠ 1 )

的图象关于x轴对称;

f (x ) = log a x与? ( x ) = a x (7)两函数
的图象关于直线y = x对称, 这样的两个函数互为反函数; (8)由 f ( x ) = log a x

(a > 0且a ≠ 1) 的函数
在同一坐标系内作的函数图 象,可以看到a的增大与它 们的相对位置的关系.

对数函数的底数的增大趋势

的固有性质: 函数 f ( x ) = 2 的固有性质:
x

(11).函数 f (x ) = 2 x

(1).定义域为 R , x ∈ (? ∞ 即

, +∞ ;

)

的图象
y
1

(2).函数图象过点 (0 , 1) 的折曲线 ; (3).函数是偶函数 ,图象关于 y 轴对称
若函数 y = 2
x+a

x

,

o

是偶函数,则有 a = 0 ; 是偶函数, , 0 上是单调递减的函数, 上是单调递减的函数,

(7 ) 函数

y = f (x )

(4).函数在区间 (? ∞

)

的图象在尖的地方 导数值不存在 .

上是单调递增的函数; 在区间 0 , +∞ 上是单调递增的函数;

(

)

(5).函数图象的位置在第一 、二象限 (6).函数在 x = 0 处的导数不存在, 处的导数不存在, 但是有 ymin = f (0 ) = 1 .

(8) 函数

y = f (x )

;

的导数等于 0 , 函数不一定有极值; 函数有极值是其导 数不一定等于 0 .

?1? 的固有性质: 函数 f ( x ) = ? ? 的固有性质: ?2?

x

(12).函数 f (x ) = ? 1 ? ? ?
?2? 即f ( x ) = 2 的图象
-x

x

(1).定义域为 R , x ∈ (? ∞ 即

, +∞ ;

)

(2).函数图象过点 (0 , 1) 的折曲线 ; (3).函数是偶函数 ,图象关于 y 轴对称 (4).函数在区间 (? ∞
?1? 若函数 y = ? ? ?2?
x+a

y
1

x

,

是偶函数,则有 a = 0 ; 是偶函数, , 0 上是单调递增的函数, 上是单调递增的函数,

(7 ) 函数

o

y = f (x )

的图象在尖的地方

)

导数值不存在 .

在区间 0 , +∞ 上是单调递减的函数; 上是单调递减的函数;

(

)

(8) 函数

y = f (x )

(5).函数图象的位置在第一 、二象限 (6).函数在 x = 0 处的导数不存在, 处的导数不存在, 但是有 ymax = f (0) = 1 .

;

的导数等于 0 , 函数不一定有极值; 函数有极值是其导 数不一定等于 0 .

(2).函数 f (x ) = lg(x + 1)
的图象

(1).函数 f (x ) = lg x
的图象
y

(3).函数 f (x ) = lg(x ? 1)
的图象
y

y

1

o

x

o

1

x

o 1

2

x

(4).函数 f (x ) = lg x
的图象
y

(5).函数 f (x ) = lg x
的图象
y
1

(6).函数 f (x ) = lg(x ? 1)
的图象
y

1 o

1

x

o

1

x

o

1

2

x

(1).函数 f (x ) = lg x
的图象
y

(7 ).函数 f (x ) = log 2 x ?log 2 (? x ) 即f ( x ) = ?
? log 2 x 的图象

x<0

x>0

(偶函数 ) .
y o

o

1

x

-1

1

x

(5).函数 f (x ) = lg x
的图象
y

-1 o o 1

x

(12).函数 f (x ) = sin x 的图象
y
1

(13).函数 f (x ) = cos x 的图象
x
3π 2

? 2π

?

3π 2



?

π
2

o
-1

π
2

π



5π 2



有的性质: 正弦余弦函数的共同具 有的性质:

(1).定义域 R

, 即 x ∈ (? ∞ , + ∞ ) ;
? 1 ≤ y ≤ 1 }, 即 y y ≤ 1 ,

(2).弦函数的值域是 { y

{

}

有 ? 1 ≤ sin x ≤ 1 与 ? 1 ≤ cos x ≤ 1 恒成立 ;

(3).函数 f (x ) = sin x 与 f (x ) = cos x 的最小正周期是 T = 2π ;

(12).函数 f (x ) = sin x 的图象
y
1

? 2π

?

3π 2



?

π
2

o
-1

π
2

π

x
3π 2



5π 2



的性质: 正弦函数 f (x ) = sin x 的性质:

(4).基本五点作图法的第一 点,即单调递增区间的 中点 x1 = 0 ; π (5).正弦函数 f (x ) = sin x 的对称轴方程是 x = kπ + ; 2 (6).函数 f (x ) = sin x 的对称中心为 (kπ , 0) ; π π (7 ).当 2kπ ? ≤ x ≤ 2kπ + 时函数是增函数 ,
2 3π π 当 2kπ + ≤ x ≤ 2kπ + 时函数是减函数 ; 2 2 2

(12).函数 f (x ) = sin x 的图象
y
1

? 2π

?

3π 2



?

π
2

o
-1

π
2

π

x
3π 2



5π 2



(8).正弦函数 f (x ) = sin x 当 x = 2kπ +
函数有最大值 f max (x ) = 1 ;

π
时 2

(9).正弦函数 f (x ) = sin x 当 x = 2kπ ?
函数有最大值 f max ( x ) = ?1 ;

π
时 2

(10).正弦函数 f (x ) = sin x 的导数是

f ' ( x ) = cos x .

(13).函数 f (x ) = cos x 的图象
y
1

? 2π

?

3π 2



?

π
2

o
-1

π
2

π

3π 2



5π 2



x

的性质: 余弦函数 f ( x ) = cos x 的性质:

(4).基本五点作图法的第一 点,即单调递增区间的 中点 x1 = 0 ;

(5).余弦函数 f (x ) = cos x 的对称轴方程是 x = kπ ;
π ? ? (6).函数 f (x ) = cos x 的对称中心为 ? kπ + , 0 ? ; 2 ? ? (7 ).当 2kπ ≤ x ≤ 2kπ + π 时函数是减函数 , 当 2kπ + π ≤ x ≤ 2kπ + 2π 时函数是增函数 ;

(13).函数 f (x ) = cos x 的图象
y
1

? 2π

?

3π 2



?

π
2

o
-1

π
2

π

3π 2



5π 2



x

(8).正弦函数 f (x ) = cos x 当 x = 2kπ 时 函数有最大值 f max ( x ) = 1 ;
(9).正弦函数 f (x ) = cos x 当 x = 2kπ + π 时 函数有最大值 f max (x ) = ?1 ;
(10).正弦函数 f (x ) = cos x 的导数是
f ' ( x ) = ? sin x .

(12).函数 f (x ) = sin x 的图象
y
1

? 2π

?

3π 2



?

π
2

o
-1

π
2

π

x
3π 2



5π 2



(13).函数 f (x ) = cos x 的图象
y
1

? 2π

?

3π 2



?

π
2

o
-1

π
2

π

3π 2



5π 2



x

(14).函数 f (x ) = tan x 的图象 性质(1).定义域 ? x x ≠ kπ + π ? ; ? ? 2? ? 性质(2).值域是 { y y ∈ R }; 性质(3).函数 f ( x ) = tan x 是奇函数; 是奇函数;
y

? 2π

?

3π 2



?

π
2

o

π
2

π

x
3π 2



5π 2



(14).函数 f (x ) = tan x
的图象
函数的性质 ? π? (1).定义域 ? x x ≠ kπ + ? ; 2? ?

(2).值域是 { y y ∈ R }; (3).函数 f (x ) = tan x 是奇函数; 是奇函数;
(4).函数 f (x ) = tan x 的最小正周期是 T = π ;
(5).函数 f (x ) = tan x 有对称中心是 (kπ , 0);

(6).函数 f (x ) = tan x 有渐近线 x = kπ +
?

π
2


2 , kπ +

(7 ).函数 f (x ) = tan x 的单调区间是 ? kπ ? π ?

π?

?; 2?

(15) 函数 f (x ) = 2 x 2 ? 4 x ? 6 即函数 f (x ) = 2(x ? 3)(x + 1) 2 的函数图象大致为: 也就是函数 f ( x ) = 2( x ? 1) ? 8 的函数图象大致为:
y o -1 1 2 3 x

-6

-8

1 (16) 函数 f (x ) = 的函数图象大致为: 的函数图象大致为: x
y

1 o -1 1 x

-1

* “函数 y = f ( x ) =

1 在其定义域 x

上是单调递减的函数”是假命题 .

1 (17 ).函数 f (x ) = x + 的值域为 (? ∞, 2] U [2, ∞ ) , ? + x 下凸函数 1 1 x + ≥2. 即有 x + ≥ 2 , y x x

1 综合以上函数 f ( x ) = x + x 的性质信息可以作出函数 的图象的大致形状如右图:
-2 -1

2

x
o
-1 -2 1 2

上凸函数

k (17 ).综合以上函数 g (x ) = x + x 的性质信息可以作出函 数 的图象的大致形状如右 图:

y

( k >0 )

2 k

? k

o
k

x

?2 k

(18).对于函数

y = g (x ) = x ?

(1) 函数的定义域为 (

?∞ , U 0 ,+ ∞ , 0

即定义域为 x x < 0 或 x > 0

{

) (

k 为非零正实数, 的图像 , 这里的 k 为非零正实数, x

)

};

(2) 这里函数

y = g (x ) = x ?

k , k > 0 , 函数是奇函数; 函数是奇函数; x

k (3) 函数 y = g (x ) = x ? 的图象 x 0 ? ? 过点 ? ? k , ? , ? ? ? ? ? 在区间 k, ?; 0 ? ?

( ?∞ ,0 ) 上是单调递增的函数; 上是单调递增的函数; 上是单调递增的函数; 在区间 ( 0 ,+ ∞ ) 上是单调递增的函数;

(19).函数 f (x ) = x 2 ? 4 x + 1 的函数图像
?x2 ? 4x +1 即函数 f ( x ) = ? 2 ?x + 4x + 1 ?( x ? 2)2 ? 3 即函数 f ( x ) = ? (x + 2)2 ? 3 ?
函数信息分析:

x≥0 x<0 x≥0 x<0
点(- 4, 1)
-4 -3 -2 -1

x = -2

x=2
y 3 2

(1).由 f (x ) = x 2 ? 4 x + 1 可知函数图像过点(0,, 1)
为偶函数; ?x2 ? 4x + 1 (2).由 f (x ) = ? 2 ?x + 4x + 1 ? (x ? 2) ? 3 ? f (x ) = ? (x + 2)2 ? 3 ? ?
2

点(0, 1 1)

点(4, 1)
1 2 3 4

o -1

x

x≥0 x<0 顶点(- 2,3) 顶点(2,3) -

-2

顶点(- 2,3) .

-3 -4

x≥0 x<0

顶点(2,3) -

19.函数 f ( x ) = x 2 + 2 x ? 3 即函数 f ( x ) = ( x + 1) ? 4
2

函数 f ( x ) = ( x + 3)( x ? 1) 的图像

分析函数的可显条件

(1).函数 f (x ) =

x2 + 2x ? 3

过点 0 ,- 3 ;

(

)

(2).函数 f (x ) = (x + 1)2 ? 4
顶点信息 - 1 ,- 4 ;

(

)

(3).函数 f (x ) = (x + 3)(x ? 1) 过的 (- 3,) 和过的 (1 , ) ; 0 0

(4).函数的值域为 [0 ,+ ∞ ) ,
恒有 y ≥ 0 成立, 即 f ( x ) ≥ 0 成立.

19.函数 f ( x ) = x 2 + 2 x ? 3 即函数 f ( x ) = ( x + 1) ? 4
2

函数 f ( x ) = ( x + 3)( x ? 1) 的图像

分析函数的可显条件

(1).函数 f (x ) =

x2 + 2x ? 3

过点 0 ,- 3 ;

(

)

(2).函数 f (x ) = (x + 1)2 ? 4
顶点信息 - 1 ,4 ;

(

)

(3).函数 f (x ) = (x + 3)(x ? 1) 过的 (- 3,) 和过的 (1 , ) ; 0 0

(4).函数的值域为 [0 ,+ ∞ ) ,
恒有 y ≥ 0 成立, 即 f ( x ) ≥ 0 成立.

19.函数 f ( x ) = x 2 + 2 x ? 3 即函数 f ( x ) = ( x + 1) ? 4
2

y

函数 f ( x ) = ( x + 3)( x ? 1) 的图像

分析函数的可显条件

(1).函数 f (x ) =

x2 + 2x ? 3

过点 0 ,- 3 ;

(

)

(2).函数 f (x ) = (x + 1)
顶点信息 - 1 ,4 ;

2

?4

O

x

(

)

(3).函数 f (x ) = (x + 3)(x ? 1) 过的 (- 3,) 和过的 (1 , ) ; 0 0

(4).函数的值域为 [0 ,+ ∞ ) ,
恒有 y ≥ 0 成立, 即 f ( x ) ≥ 0 成立.

19.函数 f ( x ) = x 2 + 2 x ? 3即 f (x ) = ( x + 1) ? 4
2

函数 f (x ) = (x + 3)(x ? 1)的图像

(5).方程


x 2 + 2 x ? 3 = a 对于 a 为常数的方程 个不相同的实数根 .

问题解析:

(i ) 当 a < 0 时有 0 个不相等的实数根; (ii ) 当 a = 0 时有 2 个不相等的实数根; (iii ) 当 0 < a < 4 时有 4 个不相等的实数根; (iv ) 当 a = 4 时有 3 个不相等的实数根; (i ) 当 a > 4 时有 2 个不相等的实数根; (vi ) 无论 a 为何实数时方程都不可能有且只有一个实数根.

导函数索取 函数的信息 函数是函数, 导函数也是函数

1. 函数 f (x ) = x 2 + 4 x + 3 的函数图象如下图:
抛物线开口向上

3. 函数 f (x ) = x 2 + 4 x + 3 的导函数图象如下图:
y

y

x o
2. 函数 f ( x ) = x 2 + 4 x + 3 f (x ) = (x + 2) ? 1 ,
2

x

o

即 f (x ) = x 2 + 4 x + 4 ? 1 , f ( x ) = (x + 3)(x + 1) .

过点(0,) 3

4. 函数 f ( x ) = x 2 + 4 x + 3 的导函数为:f ' (x ) = 2 x + 4 即 y = 2x + 4 .

顶点(? 2, 1) ?

过点(? 3,) 0 和(? 1,) . 0

1 1. 函数 f (x ) = x 的函数图象如下图:
反比例函数

1 3. 函数 f ( x ) = x 的导函数图象如下图:
y

y

o x o
1? ? ? 1 ? 过点? ? 2, ?和点? ? , 2 ? ? ? 2? ? 2 ? ?

x

过点(1, 1)

1 2. 函数 f ( x ) = x 1 即 y = , =1 . xy x

? 1? 过点? 2, ? ? 2?

4. 函数 f ( x ) = x ?1 的导函数为:f ' ( x ) = ? x ? 2 1 即 y=? 2 . x

?1 ? 过点? ,? 2 ?2 ? 和(? 1, 1) . ?

1. 函数 f (x ) = x 3 的函数图象如下图:
y

3. 函数 f ( x ) = x 3 的导函数图象如下图:
y

x o
函数图象关于原点中心对称

2. 函数 是奇函数,

f (x ) = x

3

过点(1, 1)
过点(2,) 8

o

x

是增函数,

是定义域为全体实数 过点 O 0 , 的函数 . 0

4. 函数 f ( x ) = x 3 过点(? 1, 1) ?
和(? 2, 8) . ?

(

)

的导函数为:f ' ( x ) = 3x 2 .


相关文章:
1.5 几种常用的函数作图法
然后给出自变量 x 的几个值,计算出对应的函数值,这样 就能大致地描出函数的图形。这些方法在中学里已经介绍过。下 面我们主要介绍在工程实际中常遇到的一些作图...
基础函数图像
函数图形 基本初等函数幂函数(1) 指数函数(1) 指数函数(2) 幂函数(2) 指数...(1) 两个重要极限 y=sinx/x (1) y=sinx/x (2) y=(1+1/x)^x (2...
五大基本初等函数性质及其图像
当时,函数在 上是单调增加的,当时,函数在 内是单调减少的。下面给出几个常用的函数: 的图形,如图 1-1-2、图 1-1-3。 图 1-1-2 图 2.指数函数 1...
基本初等函数图像及性质
基本初等函数图像及性质。数学 DDY 整理 基本初等函数 . 幂函数 (a 为实数) 要记住最常见的几个幂函数的定义域及图形 . . 指数函数 DDY 整理 定义域: , ...
基本函数图像与性质
该考向在高考中主要考查与函数、映射概念相关的定义 域、映射个数、函数值、...要点考向:函数图象问题 考情聚焦:1.函数图象作为高中数学的一个“重头戏” ...
五类基本初等函数及图形
五类基本初等函数图形_高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档五类基本初等函数图形_高三数学_数学_高中教育_教育专区。五类...
高中常用函数的基本性质及图像
高中常用函数的基本性质及图像_高一数学_数学_高中教育_教育专区。一次函数(一)...(2)将 x、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以...
初中三种函数图像基本练习题
初​中​​种​函​数​图​像​基​本​练​习​题...反比例函数 1. 一个反比例函数的图象经过点 P(1,-2),则这个函数的表达式是...
基本初等函数图像及性质小结
基本初等函数图像及性质小结_理学_高等教育_教育专区。这是我总结的高等数学课本...函数的五个要素 2.函数的四种特性:有界限,单调性,奇偶性, 2.函数的四种特性...
基本初等函数图像及性质小结
基本初等函数图像及性质小结_数学_高中教育_教育专区。整理 为高等数学小结的——基本初等函数 1.函数的五个要素:自变量,因变量,定义域,值域,对应法则 2.函数的四...
更多相关标签: