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第03届北京高中数学知识应用竞赛初赛及解题


第三届北京高中数学知识应用竞赛初赛 试题
1.根据国家版权局《书籍稿酬暂行规定》,书籍稿酬由基 本稿酬和印数稿酬组成。 基本稿酬的标准为: (1)著作稿酬每千字 10 至 30 元,确 有学术价值的,可适当提高,但每千字不超过 40 元;(2)词书稿 有两种计酬方法: 其一是按一般著作稿标准另加 15%至 20%计算 (词 条书目);其二是按每千字 20 元至 30 元计算,另增加 20%至 30% 的基本稿酬(百科全书词条)。 印数稿酬的标准为: (1) 一般书籍, 印数在一万册以内的, 以一万册计算付基本稿酬的 8%。印数超过一万册的,其超过部分每 千册付基本稿酬的 0.8%。(2)确有学术价值而印数较少的专著, 印数在一万册以内的,以一万册计算付基本稿酬的 30%,印数超过 一万册的,计算方法同(1)。 根据以上内容,解答下列问题。 (1) 若印 x 千册,试写出每千字最高稿酬 f(x) 和每千 字最低稿酬 g(x) 的函数关系式; (2) 若王教授出版了一本 25.4 万字的书, 印数 1.8 万册, 试计算他可获得的最高稿酬和最低稿酬。 2. 小童的父亲要到美国访问, 受人之托希望多带点东西。 中国民航的《国际旅客须知》中有关规定:"计件免费行李额"中规 定"适用中美、 中加国际航线上的行李运输……。 经济和旅游折扣票 价,免费交运的行李数为两件,每件箱体三边之和不超过 62 英寸 (158 厘米),但两件之和不得超过 107 英寸(273 厘米),每件最 大重量不得超过 32 公斤。"试问这两个箱子的长、宽、高各为多少 可达最大体积? 请到市场上看看,商店出售的行李箱的尺寸与你计算所得 结果是否近似?为什么? 3. 今年年初由中国建设银行北京市分行印发的《个人住 房贷款简介》的小册子中介绍了有关个人住房贷款的有关问题。其 中指明贷款额最高为拟购买住房费用总额的 70%;贷款期限最长为 20 年。个人住房贷款利率如附表 1 所示。借款人在借款期内每月以 相等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息。附表 2 列出了不同贷

款期限下的月均还款额、还款总额和利息负担总和。试给出公式说 明附表 2 中后三列数是如何算出来的。 近年来国务院批准,中国人民银行决定从 1999 年 9 月 21 日起,延长个人住房贷款期限并降低利率以支持城镇居民购房。各 商业银行个人住房贷款的最长期限由现行的 20 年延长到 30 年。每 笔贷款年限由商业银行依据借款个人的年龄、工作年限、还款能力 等因素与借款人协商确定。个人住房款年利率最高水平降为 5.88%。 并根据贷款期限划分为两个档次: 5 年以下 (含 5 年) 为年利率 5.31, 5 年以上为年利率 5.88%。 请你根据新规定计算 5 年期、20 年期的月均还款额、还款 总额和利息负担总和, 并与原附表 2 中的同期贷款的负担情况比较, 住房贷款的负担各降低了多少。 附表 1 中国建设银行北京分行个人住房贷款利率表
贷款期 1 年(含)以下 1 ~ 3(含)年 3 ~ 5(含)年 5 ~ 10(含)年 10 ~ 20(含)年 月利率(‰) 5.10 5.325 5.55 6.00 6.30 年利率(%) 6.12 6.39 6.66 7.20 7.56

附表 2 中国建设银行北京分行个人住房贷款 1~20 年月均 还款金额表 (借款额为壹万 元) 单位:元
贷款期限 (年)年利率(%) 还款总额 1 ∶ 5 ∶ 20 6.12 ∶ 6.66 ∶ 7.56 10612.00 ∶ 11784.60 ∶ 19423.20 利息负担总和 612.00 ∶ 1784.60 ∶ 9423.20 月均还款额 一次还本付息 ∶ 196.41 ∶ 80.93

表自 1998 年 12 月 7 日起执行)

某化工厂从今年一月起,若不改善生产环境,按现状生产,每月收入为 70 万元,同时将受到环保部门的处罚,第一个 2 万元。如果从今年一月起投资 500 万元增加回收净化设备(改造设备时间不计),一方面可以改善环境,另一方 。据测算投产后的前 5 个月中的累计净收入是生产时间 n(以月为单位)的二次函数,生产前 1、前 2、前 3 个月的

、204 万元和 309 万元,以后稳定在第 5 个月的水平。同时该厂不但不受罚,而且还将得到环保部门一次性 100 万元 ,投资开始见效,即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入。

据世界人口组织公布,地球上的人口在公元元年为 2.5 亿,1600 年为 5 亿,1830 年为 10 亿,1930 年为 20 亿,196 亿,1987 年为 50 亿,到 1999 年底,地球上的人口数达到了 60 亿。请你根据 20 世纪人口增长规律推测,到哪年世 00 年地球上将会有多少人口?

国庆庆典活动的中心广场有数万名学生手持圆花组成大型图案方阵,方阵前排距观礼台 120 米,方阵纵列 95 人,每列 间距多大能达到满意的观礼效果?

在某 1000 个人中有 10 个人患有一种病,现要通过验血把这 10 个病人查出来,若采用逐个人化验的方法需化验 999 指在最坏情况下化验次数,如果碰巧,可能首先化验的 10 个人全是病人,10 次化验就够了。下面讨论的化验次数均 )。

减少化验次数,人们采用分组化验的办法,即把几个人的血样混在一起,先化验一次,若化验合格,则这几个人全 ,说明这几个人中有病人,再对它们重新化验(逐个化验,或再分成小组化验)。

出一种分组化验方法使其化验次数尽可能地小,不超过 100 次。

参考解答

)此时 x=18,f(18)=65.472,g(18)=11.44 ,因此此书 25.4 万字(254 千字),所以最高稿酬为

=16629.888≈16629.89(元),最低稿酬为 11.44×254=2095.76 (元)

解 设长、宽、高分别为 a,b,c 显然 a>0,b>0,c>0. 若 a+b+c 一定(≤158),

,当且仅当 a=b=c 时等号成立,因此箱子为正方体时体积最大。

两个正方体箱子的边长分别为 a,b,(a>0,b>0). 由条件知 3(a+b)≤273,,为求最大取等号,故得 a+b=91

代入 b=91-a ,则

显然,当

时, 有最小值,且

据题意及上述,要在

且 a+b=91 ,即



的条件下求 f(a) 的最大

,于是得

个箱子的边长分别为

厘米和

厘米时,其体积之和为最大。即为:

场调查思考:

商店出售的箱子三边长与计算所得误差很大,原因:

) 正方体箱子不易携带。

) 正方体箱子容量大,但易超重。

很多货运箱的形状与手提行李箱相比,近似于正方体,因为货运箱可更多地考虑其容积问题。

解 设贷款额(本金)为 A(元),货款期限为 n(月),月利率为

,月均还款额为 B,令

款后的本利金额,则

当 k=n 时,

,于是

如贷款期 5 年时,

元,得

款总额 60B=11784.60,利息负担总额 60B-A=1784.60 ,得到附表 2 上相应的值。

低货款利率后,

均还款

还款 60B=11408.4,总利息 60B-A=1408.4 ,与原附表 2 中的同期货款的负提相比,每月少交 6.27 元。

于 n>60(10 年),

, 同理可得

年,月均还款 69.24,总还款 16617.6,总利息 6617.6,与原来比,每月省 11.69 元,共省 2805.6 元。

解 设不改造设备,按原条件生产,n 个月累计收入为 a(n),改造设备后生产,n 个月累计收入为 b(n 于是

,且可设 101=b(1)=a+b+c 204=b(2)=4a+2b+c 309=b(3)=9a+3b+c

此方程组,得到 a=1, b=100, c=0 于是

过简单计算可以发现,5 个月内投资不能见效。这是因为 b(5)-500+100=125<315=a(5)-[3+5+7+9+11], b(n)-500+100>a(n)-[3n+2n(n-1))/2] , (n>5),

,

化简得





以,经过 9 个月投资才可见效。

解 题目中的数据均为大致时间,粗略估计的量,带有较多的误差。因此寻找人口增长规律时不需要,

与数据完全吻合。数据中 20 世纪以前的人口资料更加粗略,况且人口的预报准确程度主要受到 20 世纪

因而组建预报模型时,不必要考虑 20 世纪以前的数据资料,在 20 世纪人口增长速度是逐渐变快的,因

长)建模做预报是不恰当的;做为人口增长的模型,一般可以使用指数关系 为参数。

,其中 N

式取对数可得

它是关于 t 的线性模型,这里 ln 为以 e 底的对数。利用 1930~

lna=-28.33,r=0.0162, (亿) (1930≤t≤1999)

型的拟合效果为 (人口单位:亿) 代 1930 20 19.49 1960 30 31.70 39.78 1974 40 49.11 1987 50 56.61 1999 60

口数

合数

好,可用于预报。

N(t)=100 ,可求出 t=2030.84 ,故可知如果照此规律大约在 2031 年世界人口将达到 100 亿,而于 21

7 亿。

解 下面给出一个简单的解法,但它是较粗糙的,不过也实用。

谓满意,可以认为从观礼位置看到的纵列上每个花的部分是一样的。

观礼者居高 a 米,从观礼位置看到的纵列上每个花的部分高度为 b 米。

题意,每列从第一个人到最后一个人(第 95 人)有 94 个间空,列长 192 米,则每列相邻二人平均间距

简单起见,不妨设位于 192 米长的队列中点前后的两人间隔是 2 米,则

第一、二排间距为 x 米,则

是,

(米)



我们给出如下的方法:

1000 人中任取 64 人,把他们的血样混合化验(一般地,n 个人中有 k 个病人,令 s 使 个人一组,当 n=1000 ,k=10 时,



这 64 人混合血样合格(化验是阴性),则这 64 个人正常,可排除,无需再化验,再从剩下未化验的人

样化验。

这 64 人混合血样不合格(化验呈阳性),说明这 64 人中有病人。把这 64 个人,分为两组,每组 32 人

取一组的混合血化验,即可确定有病人的一组。(即只需化验一次,若化验的这组血样成阴性,则病人

组血样成阳性,这组有病人,但此时,另一组也可能有病人)。作为最坏的可能情形,我们无法保证另

,故选定有病人的一组后,把另一组人退回到未化验的人群中去。

有病人的这组 32 人,再分为两组,每组 16 人,重复上述过程。即化验一次,确定有病人的一组,把另

群中。

次下去,直到找到一个病人为止。至此一共化验了 7 次。

从未化验的人中任取 64 人重复上述过程。

之,对每次 64 人混合血化验成阳性的,通过 7 次化验可找到 1 个病人,由于共有 10 个病人,因此,这

超过 7×10=70 次。对每次 64 人混合血化验成阴性的,由于 1000=15×64+40 ,化验次数不超过 15 次。

总的化验次数不超过 70+15=85 次。


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