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【核按钮】2016高考(新课标)数学(理)一轮复习配套:第四章 三角函数(基本初等函数(Ⅱ))(7课时)


第四章 三角函数(基本初等函数(Ⅱ)))

1.基本初等函数Ⅱ(三角函数) (1)任意角、弧度制 ①了解任意角的概念和弧度制的概念. ②能进行弧度与角度的互化. (2)三角函数 ①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的 定义. π ②能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α, 2 π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式,能画出 y= sinx,y=cosx,y=tanx 的图象,了解三角函数的周 期性. ③理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质 (如单调性、 最大值和最小值、 图象与 x 轴的交点等), π π? 理解正切函数在? ?-2,2?内的单调性. ④理解同角三角函数的基本关系式: sinx sin2x+cos2x=1, =tanx. cosx ⑤了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画 出函数 y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数 A,ω,φ 对函数图象变化的影响.

⑥会用三角函数解决一些简单实际问题,体会 三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 2.三角恒等变换 (1)两角和与差的三角函数公式 ①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公 式. ②会用两角差的余弦公式推导出两角差的正 弦、正切公式. ③会用两角差的余弦公式推导出两角和的正 弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切 公式,了解它们的内在联系. (2)简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换 ( 包括导 出积化和差、 和差化积、 半角公式, 但不要求记忆). 3.解三角形 (1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单 的三角形度量问题. (2)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解 决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

§4.1

弧度制及任意角的三角函数
②α 是第二象限角可表示为 ; ③α 是第三象限角可表示为 ; ④α 是第四象限角可表示为 . (3)非象限角 如果角的终边在____________上,就认为这个 角不属于任何一个象限. ①终边在 x 轴非负半轴上的角的集合可记作 {α|α=2kπ,k∈Z}; ②终边在 x 轴非正半轴上的角的集合可记作 _______________; ③终边在 y 轴非负半轴上的角的集合可记作 ________________________; ④终边在 y 轴非正半轴上的角的集合可记作 _______________________; ⑤终边在 x 轴上的角的集合可记作 _______________________; ⑥终边在 y 轴上的角的集合可记作 ;

1.任意角 (1)角的概念 角可以看成平面内一条____________绕着端点 从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.我们规 定:按____________方向旋转形成的角叫做正角, 按____________方向旋转形成的角叫做负角.如果 一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个 ____________. (2)象限角 使角的顶点与____________重合,角的始边与 x 轴的____________重合.角的终边在第几象限, 就说这个角是第几象限角. ① α 是 第 一 象 限 角 可 表 示 为 π ? ? ?α2kπ<α<2kπ+ ,k∈Z?; 2 ? ?

⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作 . (4)终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可 构成一个集合 S=________________________. 2.弧度制 (1) 把长度等于 ____________ 的弧所对的圆心 角叫做 1 弧度的角,用符号 rad 表示,读作弧度. |α|= ,l 是半径为 r 的圆的圆心角 α 所 对弧的长. (2) 弧度与角度的换算: 360° = ________rad , 180° =________rad,1° = rad≈0.01745rad, 反过来 1rad= ≈57.30° =57° 18′. (3)若圆心角 α 用弧度制表示,则弧长公式 l= __________;扇形面积公式 S 扇= = . 3.任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义 设 α 是一个任意角,它的终边上任意一点 P(x, y) 与原点的距离为 r(r>0) ,则 sinα = , cosα = ,tanα= (x≠0). x r r ※ cotα = (y≠0) , secα = (x≠0) , cscα = y x y (y≠0). (2)正弦、余弦、正切函数的定义域 三角函数 定义域 sinα ① cosα ② tanα ③ (3)三角函数值在各象限的符号

5.特殊角的三角函数值
角α 角α 的 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°

弧度 数 sinα cosα tanα

6- 2 6+ 2 , sin75° = , tan15° 4 4 =2- 3,tan75° =2+ 3,由余角公式易求 15° , 75° 的余弦值和余切值. ※ sin15° = 自查自纠: 1.(1)射线 逆时针 顺时针 零角 (2)原点 非负半轴 π ? ? ②?α|2kπ+2<α<2kπ+π,k∈Z? ? ? 3 ? ? ③?α|2kπ+π<α<2kπ+2π,k∈Z? ? ? 3 ? ? ④?α|2kπ+2π<α<2kπ+2π,k∈Z?或 ? ? π {α|2kπ- <α<2kπ,k∈Z} 2 (3)坐标轴 ②{α|α=2kπ+π,k∈Z} π ? ? ③?α|α=2kπ+2,k∈Z? ? ? 3 ? ? ④?α|α=2kπ+2π,k∈Z? ⑤{α|α=kπ,k∈Z} ? ? π kπ ? ? ? ? ⑥?α|α=kπ+2,k∈Z? ⑦?α|α= 2 ,k∈Z? ? ? ? ? (4){β|β = α + 2kπ , k∈Z} 或 {β|β = α + k· 360° , k∈Z} l π ?180? 2.(1)半径长 (2)2π π ° r 180 ? π ? 1 1 (3)|α|r |α|r2 lr 2 2 y x y 3.(1) r r x π ? ? (2)①R ②R ③?α|α≠kπ+2,k∈Z? ? ?

sinα cosα tanα 4.三角函数线 如图, 角 α 的终边与单位圆交于点 P.过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M,过点 A(1,0)作单位圆的切 线,设它与 α 的终边(当 α 为第一、四象限角时)或 其反向延长线(当 α 为第二、三象限角时)相交于点 T.根据三角函数的定义, 有 OM=x=________, MP =y=________,AT= =________.像 OM, MP,AT 这种被看作带有方向的线段,叫做有向线 段, 这三条与单位圆有关的有向线段 MP, OM, AT, 分别叫做角 α 的_______、_______、_______,统 称为三角函数线.

4. cosα sinα 切线 5.
角α 角α的 0 弧度数 sinα 0 0° 30° 45° 60° 90° π 6 1 2 π 4 π 3 π 2

y tanα x

正弦线 余弦线 正

段弧所对的圆心角的弧度数是____________. 2 3R 解: 圆心角的弧度数 α= =2 3.故填 2 3. R

120° 2π 3 3 2 1 - 2

135° 3π 4 2 2 2 - 2

150° 5π 6 1 2 3 - 2

180° 270° 360° 3π 2

π



类型一

角的概念

2 2

3 2

1

0

-1

0

cosα

1

3 2

2 2

1 2

0 不

-1

0 不

1

tanα

0

3 3

1

3

存 在

- 3

-1

3 - 3

0

存 在

0

如果 sinα>0, 且 cosα<0,那么 α 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 y x 解:∵sinα= >0, cosα= <0,∴x<0,y> r r 0.∴α 是第二象限角.故选 B. 与-463° 终边相同的角的集合是( ) α | α = k · 360° + 463° , k ∈ Z } A.{ 360° +103° ,k∈Z} B.{α|α=k· 360° +257° ,k∈Z} C.{α|α=k· 360° -257° ,k∈Z} D.{α|α=k· 解: 显然当 k=-2 时, k· 360° +257° =-463° . 故选 C. 给出下列命题: π ①小于 的角是锐角;②第二象限角是钝角; 2 ③终边相同的角相等;④若 α 与 β 有相同的终边, 则必有 α-β=2kπ(k∈Z).其中正确命题的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 π? 解:①锐角的取值范围是? ?0,2?,故不正确; π ? ②钝角的取值范围是? ?2,π? , 而 第 二 象 限 角 为 ?2kπ+π,2kπ+π?,k∈Z,故不正确;③若 α=β+ 2 ? ? 2kπ,k∈Z,α 与 β 的终边相同,但当 k≠0 时,α≠ β,故不正确;④正确.故选 B. 若点 P(x,y)是 30° 角终边上异于原点的一 y 点,则 的值为________. x y 3 3 解: =tan30° = .故填 . x 3 3 半径为 R 的圆的一段弧长等于 2 3R, 则这

若 α 是第二象限角,试分别确定 2α, α α , 的终边所在位置. 2 3 解:∵α 是第二象限角, ∴90° +k· 360° <α<180° +k· 360° (k∈Z). (1)∵180° + 2k· 360° < 2α < 360° + 2k· 360° (k∈Z), 故 2α 的终边在第三或第四象限或 y 轴的负半轴 上. α (2)∵45° +k· 180° < <90° +k· 180° (k∈Z), 2 α 当 k = 2n(n∈Z) 时, 45° + n· 360° < < 90° + 2 n· 360° , α 当 k=2n+1(n∈Z)时,225° +n· 360° < <270° 2 α +n· 360° ,∴ 的终边在第一或第三象限. 2 α (3)∵30° +k· 120° < <60° +k· 120° (k∈Z), 3 α 当 k = 3n(n∈Z) 时, 30° + n· 360° < < 60° + 3 n· 360° , α 当 k=3n+1(n∈Z)时,150° +n· 360° < <180° 3 +n· 360° , α 当 k=3n+2(n∈Z)时,270° +n· 360° < <300° 3 α +n· 360° ,∴ 的终边在第一或第二或第四象限. 3 点拨: 关于一个角的倍角、半角所在象限的讨论,有 些书上列有现成的结论表格,记忆较难.解此类题 α α 一般步骤为先写出 α 的范围→求出 2α, , 的范围 2 3 α α →分类讨论求出 2α, , 终边所在位置. 2 3 已知角 2α 的终边在 x 轴的上方(不与 x 轴重合),求 α 的终边所在的象限. 解:依题意有 2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z), π ∴kπ<α<kπ+ (k∈Z). 2 π 当 k=0 时,0<α< ,此时 α 是第一象限角; 2

3 当 k=1 时,π<α< π,此时 α 是第三象限角. 2 综上,对任意 k∈Z,α 为第一或第三象限角. 故 α 的终边在第一或第三象限.

y 2a tanα= = =2. x a 点拨: 若题目中涉及角 α 终边上一点 P 的相关性质或 条件,往往考虑利用三角函数的定义求解. 已知角 α 的终边经过点 P(3m-9,m +2). (1)若 m=2,求 5sinα+3tanα 的值; (2)若 cosα≤0 且 sinα>0,求实数 m 的取值范 围. 解:(1)∵m=2,∴P(-3,4),∴x=-3,y= 4,r=5. y 4 y 4 ∴sinα= = ,tanα= =- . r 5 x 3 4 4 - ?=0. ∴5sinα+3tanα=5× +3×? ? 3? 5 (2)∵cosα≤0 且 sinα>0, ? ?3m-9≤0, ∴? ?m+2>0. ? ∴-2<m≤3.

类型二

扇形的弧长与面积问题

如图所示,已知扇形 AOB 的圆心角 ∠AOB=120° ,半径 R=6,求:

︵ (1)AB的长; (2)弓形 ACB 的面积. 2π 解:(1)∵∠AOB=120° = ,R=6, 3 ︵ 2π ∴lAB= ×6=4π. 3 1︵ 1 (2)S 弓形 ACB=S 扇形 OAB-S△OAB= lABR- R2sin∠ 2 2 AOB 1 1 3 = ×4π×6- ×62× =12π-9 3. 2 2 2 点拨: ①直接用公式 l=|α|R 可求弧长,利用 S 弓=S 扇 -S△可求弓形面积.②关于扇形的弧长公式和面积 公式有角度制与弧度制这两种形式,其中弧度制不 仅形式易记,而且好用,在使用时要注意把角度都 换成弧度,使度量单位一致.③弧长、面积是实际 应用中经常遇到的两个量,应切实掌握好其公式并 能熟练运用. 扇形 AOB 的周长为 8 cm.若这个扇形 的面积为 3 cm2,求圆心角的大小. 解:设扇形半径为 r,则弧长为 8-2r, 1 ∴S= ·(8-2r)· r=3,解得 r=1 或 3. 2 弧长 8-2r 2 ∴圆心角 θ= = =6 或 . r 3 半径

类型四

三角函数线的应用

用单位圆证明角 α 的正弦绝对值与余 弦绝对值之和不小于 1,即已知 0≤α<2π,求证: |sinα|+|cosα|≥1. 证明:作平面直角坐标系 xOy 和单位圆. (1)当角 α 的终边落在坐标轴上时,不妨设为 Ox 轴,设它交单位圆于 A 点,如图 1,显然 sinα= 0,cosα=OA=1,所以|sinα|+|cosα|=1.

图1 (2)当角 α 的终边不在坐标轴上时,不妨设为 OP,设它交单位圆于 A 点,过 A 作 AB⊥x 轴于 B, 如图 2,则 sinα=BA,cosα=OB.

类型三

三角函数的定义
图2 在△OAB 中,|BA|+|OB|>|OA|=1,所以|sinα| +|cosα|>1. 综上所述,|sinα|+|cosα|≥1. 点拨:

已知角 α 的终边经过点 P(a,2a)(a> 0),求 sinα,cosα,tanα 的值. 解:∵角 α 的终边经过点 P(a,2a)(a>0), ∴r= 5a,x=a,y=2a. y 2a 2 5 x a 5 ∴sinα= = = ,cosα= = = , r 5 r 5a 5a 5

三角函数线是任意角的三角函数的几何表示, 利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函 数值的符号及大小,并能从任意角的旋转过程中表 示三角函数值的变化规律. 在求三角函数的定义域、 解三角不等式、证明三角不等式等方面,三角函数 线具有独特的简便性. π 0, ?时,sinα<α<tanα. 求证:当 α∈? ? 2? 证明:如图所示,

设角 α 的终边与单位圆相交于点 P,单位圆与 x 轴正半轴的交点为 A,过点 A 作圆的切线交 OP 的延长线于 T,过 P 作 PM⊥OA 于 M,连接 AP, 则在 Rt△POM 中, sinα=MP, 在 Rt△AOT 中, tanα ︵ =AT,又根据弧度制的定义,有AP=α· OP=α,易 1 1︵ 1 知 S△POA<S 扇形 POA<S△AOT,即 OA·MP< AP·OA< 2 2 2 OA·AT,即 sinα<α<tanα.

1.要注意锐角与第一象限角的区别,锐角的 集合仅是第一象限角的集合的一个真子集,即锐角 是第一象限角,但第一象限角不一定是锐角. 2.在同一个式子中,采用的度量制必须一致, π 不可混用 . 如 α = 2kπ+ 30° (k∈Z) , β = k· 360° + 2 (k∈Z)的写法都是不正确的. 3.一般情况下,在弧度制下计算扇形的弧长 和面积比在角度制下计算更方便、简捷. 4.已知角的终边上一点的坐标可利用三角函 数的定义求三角函数值,若含有参数,则要注意对 可能情况进行分类讨论. 5.牢记各象限三角函数值的符号,在计算或 化简三角函数关系时,要注意对角的范围以及三角 函数值的正负进行讨论. 6.2kπ+α 表示与 α 终边相同的角,其大小为 α 与 π 的偶数倍(而不是整数倍)的和, 是 π 的整数倍 时,要分类讨论.如: (1)sin(2kπ+α)=sinα; ?sinα(k为偶数), ? (2)sin(kπ + α) = ? =(- ? ?-sinα(k为奇数) k 1) sinα. 7.在解简单的三角不等式时,利用单位圆及 三角函数线是一个小技巧.

1.若 sinθcosθ<0,则角 θ 是( ) A. 第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第二或第四象限角 ? ?sinθ>0, ? ?sinθ<0, 解:∵sinθcosθ<0,∴? 或? ∴ ?cosθ<0 ?cosθ>0. ? ? 角 θ 是第二或第四象限角.故选 D. 2.(2014·全国)已知角 α 的终边经过点(-4, 3),则 cosα=( ) 4 3 3 4 A. B. C.- D.- 5 5 5 5 -4 4 解:cosα= 2 2=-5.故选 D. (-4) +3 3.已知角 α 的终边经过点 P(-4a,3a)(a<0), 则 2sinα+cosα 的值为( ) 2 2 2 2 A.- B. C.0 D. 或- 5 5 5 5 解:∵x=-4a,y=3a,a<0,∴r=-5a,∴ 3 4 3 4 - ?+ = sinα=- ,cosα= ,2sinα+cosα=2×? ? 5? 5 5 5 2 - .故选 A. 5 sinx |cosx| tanx 4.函数 y= + + 的值域是( ) |sinx| cosx |tanx| A. {-1, 1} B. {1, 3} C. {1, -3} D. {- 1,3} 解:(1)当 x 的终边落在第一象限时,sinx>0, cosx>0,tanx>0,∴y=1+1+1=3; (2)当 x 的终边落在第二象限时,sinx>0,cosx <0,tanx<0, ∴y=1-1-1=-1; (3)当 x 的终边落在第三象限时,sinx<0,cosx <0,tanx>0, ∴y=-1-1+1=-1; (4)当 x 的终边落在第四象限时,sinx<0,cosx >0,tanx<0, ∴y=-1+1-1=-1. 又依题意知角 x 的终边不可能落在坐标轴上, ∴上述函数的值域为{-1,3}.故选 D. 5.已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长为 2, 则这个圆心角所对的弧长是( ) 2 A.2 B.2sin1 C. D.sin2 sin1 1 2 解: ∵2Rsin1 = 2 ,∴ R= , l= |α| R = . sin1 sin1 故选 C. 6.sin1,cos1,tan1 的大小关系是( ) A.sin1<cos1<tan1 B.tan1<sin1<cos1 C.cos1<tan1<sin1 D.cos1<sin1<tan1

π 解:如图,单位圆中∠MOP=1 rad> rad,∵ 4 2 OM< <MP<AT,∴cos1<sin1<tan1.故选 D. 2 7.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 逆 2 时针方向运动 π 弧长到达点 Q,则点 Q 的坐标为 3 __________. 解 : 由 三 角 函 数 的 定 义 知 点 Q(x , y) 满 足 2 1 x=cos π=- , 3 2 1 3 故填?- , ?. 2 2 ? ? 2 3 y=sin π= . 3 2 8.若一扇形的周长为 60cm,那么当它的半径 和圆心角各为________cm 和________rad 时,扇形 的面积最大. 解:设该扇形的半径为 r,圆心角为 θ,弧长为 l,面积为 S,则 l+2r=60,∴l=60-2r. 1 1 ∴S= lr= (60-2r)r=-r2+30r 2 2 =-(r-15)2+225. ∴当 r=15 时,S 最大,最大值为 225cm2. l 30 此时,θ= = =2rad. r 15 故填 15;2. α 9.若 α 是第三象限角,则 2α, 分别是第几象 2 限角? 3 解:∵α 是第三象限角,∴2kπ+π<α<2kπ+ π, 2 k∈Z. ∴4kπ+2π<2α<4kπ+3π,k∈Z. ∴2α 是第一、二象限角,或角的终边在 y 轴非 负半轴上. π α 3 又 kπ+ < <kπ+ π,k∈Z, 2 2 4 π α 3 ∴ 当 k = 2m(m∈Z) 时 , 2mπ + < <2mπ + 2 2 4 α π(m∈Z),则 是第二象限角; 2 3 α 7 当 k = 2m + 1(m∈Z) 时, 2mπ + π< <2mπ + 2 2 4 α α π(m∈Z),则 是第四象限角.故 是第二、四象限 2 2 角.

? ? ?

10.已知扇形的周长为 10 cm,面积为 4 cm2, 求扇形圆心角的弧度数. 解:设扇形半径为 r,则弧长为 10-2r, 1 ∴S= ·(10-2r)· r=4,解得 r=1 或 4. 2 当 r=1 时,α=8>2π,舍去; 10-2×4 1 当 r=4 时,α= = . 4 2 1 因此,α= . 2 11.已知角 α 的终边经过点 P(x,- 2)(x≠0) 3 且 cosα= x,求 sinα+tanα 的值. 6 解:∵P(x,- 2)(x≠0), ∴点 P 到原点的距离 r= x2+2. x 3 又 cosα= 2 = x,∴x=± 10,r=2 3. x +2 6 当 x= 10时,点 P( 10,- 2), - 2 6 由三角函数定义知 sinα=- ,tanα= = 6 10 - 5 . 5 ∴sinα+tanα=-

5 6+6 5 6 5 - =- . 6 5 30 当 x =- 10 时,同理可求得 sinα + tanα = 6 5-5 6 . 30 求 sin15° ,cos15° ,tan15° 的值.

解:如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=30° ,∠C =90° ,延长 CA 到 D 使 AD=AB, 则△ABD 是等腰 三角形且∠D=15° . 设|BC|=1,则|AD|=|AB|=2,|AC|= 3, 因此|CD|=|AD|+|AC|=2+ 3. 利用勾股定理|BD|2=|CD|2+|BC|2,代入得 |BD|2=(2+ 3)2+12=8+4 3=2( 3+1)2, 开平方得|BD|= 2( 3+1). 6- 2 |BC| 1 故 sin15° = = = , |BD| 4 2( 3+1) 2+ 3 6+ 2 |CD| cos15° = = = , |BD| 4 2( 3+1) |BC| 1 tan15° = = =2- 3. |CD| 2+ 3

§4.2

同角三角函数的基本关系及诱导公式
间的关系 (sinα+cosα)2=________________; (sinα-cosα)2=________________; (sinα + cosα)2 + (sinα - cosα)2 = ________________; (sinα + cosα)2 - (sinα - cosα)2 = ________________. 自查自纠: sinα 1.(1)①sin2α+cos2α=1 ② =tanα cosα 2.(1) x -α π ±α 2 π±α 3π ±α 2 2π±α sinx -sinα cosα ?sinα -cosα ±sinα 函数 cosx cosα ?sinα -cosα ±sinα cosα

1.同角三角函数的基本关系 (1)由三角函数的定义,同角三角函数间有以下 两个等式: ①____________________; ② . (2)同角三角函数的关系式的基本用途:①根据 一个角的某一三角函数值,求出该角的其他三角函 数值;②化简同角的三角函数式;③证明同角的三 角恒等式. 2.三角函数的诱导公式 (1)诱导公式的内容: 函数 x sinx cosx tanx cosα -α -sinα -tanα π ±α ?cotα ※ 2 π±α 3π ±α ?cotα ※ 2 2π±α (2)诱导公式的规律: 三角函数的诱导公式可概括为:奇变偶不变, 符号看象限.其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别 π 是指 的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称 2 的变化.若是奇数倍,则正、余弦互变,正、余切 互变;若是偶数倍,则函数名称________.“符号 看象限”是把 α 当成________时,原三角函数式中 π ? 的角? ?如2+α? 所 在 ________ 原 三 角 函 数 值 的 符 号.注意把 α 当成锐角是指 α 不一定是锐角,如 sin(360° + 120° ) = sin120° , sin(270° + 120° )=- cos120° ,此时把 120° 当成了锐角来处理.“原三角 函数”是指等号左边的函数. (3)诱导公式的作用: 诱导公式可以将任意角的三角函数转化为 ________三角函数,因此常用于化简和求值,其一 般步骤是: 任意负角的 三角函数
脱去k· 360° 去负(化负角为正角)

tanx -tanα ?cotα ±tanα ?cotα ±tanα

(2)不变 锐角 象限 (3)锐角 3.1+sin2α 1-sin2α 2 2sin2α

?tanx+ 1 ?cos2x=( tanx? ?

)

― ― →

任意正角的 三角函数
(把角化为锐角 )

― ― →

脱周

0° 到360° 的 三角函数

― ― →

化锐

锐角三角函数 3.sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα 三者之

1 A.tanx B.sinx C.cosx D. tanx 2 2 1 sin x + cos x ? cos2x = tanx+ 解: ? · cos2x = tanx? ? sinxcosx cosx 1 = .故选 D. sinx tanx 已知 sinθ<0, tanθ>0, 则 1-sin2θ的化简 结果为( ) A.cosθ B.-cosθ C.±cosθ D.以上都不对 解: ∵sinθ<0, tanθ>0, ∴cosθ<0, 1-sin2θ = cos2θ=-cosθ.故选 B. ( 2014·全国 ) 设 a = sin33° , b = cos55° ,c =tan35° ,则( ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b

解: ∵a=sin33° , b=cos55° =sin35° , c=tan35° , ∴c>b>a.故选 C. π ? 5 已知 α∈? ?2,π?,sinα= 5 ,则 tan(π-α) =________. π ? 5 ,π ,sinα= , 解:∵α∈? 2 ? ? 5 2 sinα 1 ∴cosα=- 5.∴tanα= =- . 5 cosα 2 1 1 ∴tan(π-α)=-tanα= .故填 . 2 2 4 若 sinθ=- , tanθ>0, 则 cosθ=________. 5 4 解:由 sinθ=- <0 且 tanθ>0,知角 θ 为第 5 4 2 - ? 三象限角,∴cosθ=- 1-sin2θ=- 1-? ? 5? 3 3 =- .故填- . 5 5

m ; 1-m2 m 当 α 为第二、三象限角时,tanα=- . 1-m2 ∴当 α 为第一、四象限角时,tanα= 点拨: 解题时要注意角的取值范围,分类讨论,正确 判断函数值的符号. α 4 设 sin = ,且 α 是第二象限角,求 2 5 α tan 的值. 2 α 解:∵α 是第二象限角,∴ 是第一或第三象限 2 角. α (1)当 是第一象限角时, 2 4?2 3 α 1-sin2 = 1-? ?5? =5, 2 α sin 2 4 α ∴tan = = ; 2 α 3 cos 2 α α 4 (2)当 是第三象限角时, 与 sin = 矛盾, 舍去. 2 2 5 α 4 综上,tan = . 2 3 α 有 cos = 2

类型一

利用同角三角函数的基本关 系式进行化简和求值
1 (1)已知 sinα= ,且 α 为第二象限角, 3

求 tanα; 1 (2)已知 sinα= ,求 tanα; 3 (3)已知 sinα=m(m≠0,m≠±1),求 tanα. 1 解:(1)∵sinα= ,且 α 是第二象限角, 3 1?2 2 2 ∴cosα=- 1-sin2α=- 1-? ?3? =- 3 . sinα 2 ∴tanα= =- . cosα 4 1 (2)∵sinα= ,∴α 是第一或第二象限角. 3 当 α 是第一象限角时, 1?2 2 2 cosα= 1-sin2α= 1-? ?3? = 3 , sinα 2 ∴tanα= = ; cosα 4 2 当 α 是第二象限角时,tanα=- . 4 (3)∵sinα=m(m≠0,m≠±1), ∴cosα=± 1-sin2α=± 1-m2(当 α 为第一、 四象限角时取正号,当 α 为第二、三象限角时取负 号).

类型二
(1)化简

诱导公式的运用

π 11π sin(2π-α)cos(π+α)cos 2+α cos 2 -α ; 9π cos(π-α)sin(3π-α)sin(-π-α)sin 2 +α

( ) ( ) ( )

(2)已知 α 是第三象限角,且 sin(π-α)cos(2π-α)tan(α+π) f(α)= . tan(-α-π)sin(-α-π) 3π? 1 ①若 cos? ?α- 2 ?=5,求 f(α)的值; ②若 α=-1860° ,求 f(α)的值. 解:(1)原式= (-sinα)(-cosα)(-sinα)(-sinα) = (-cosα)· sinα·sinα·cosα -tanα. sinα·cosα·tanα (2)f(α)= =-cosα. (-tanα)·sinα 3π 1 1 α- ?=-sinα= ,∴sinα=- . ①∵cos? 2? ? 5 5 ∵α 是第三象限的角,

∴cosα=- = 2 6. 5

1 2 2 6 - ? =- 1-? .f(α)=-cosα ? 5? 5

1 ②f(α)=-cos(-1860° )=-cos(-60° )=- . 2 点拨: ①三角式的化简通常先用诱导公式,将角度统 一后再用同角三角函数关系式,这可以避免交错使 用公式时导致的混乱.②在运用公式时正确判断符 号至关重要.③三角函数的化简、求值是三角函数 中的基本问题, 也是高考常考的问题, 要予以重视. 化简: (1)sin (π+α)-cos(π+α)· cos(-α)+1; cos(π+α)· sin2(3π+α) (2) . tan2α·cos3(-π-α) 解:(1)原式=sin2α-(-cosα)· cosα+1 2 2 =sin α+cos α+1=2. (-cosα)· sin2α sin2α (2) 原式= 2 = 2 = 3 tan α·(-cos α) tan α·cos2α 2 tan α =1. tan2α
2

必须注意以下几点:①一定是关于 sinα,cosα 的齐 次式(或能化为齐次式)的三角函数式.②因为 cosα ≠0,所以可以用 cosnα(n∈N*)除之,这样可以将被 求式化为关于 tanα 的表示式,可整体代入 tanα=m 的值, 从而完成被求式的求值运算. ③注意 1=sin2α 2 +cos α 的运用. 已知 tanα=3, 求 sin2α-3sinαcosα+1 的值. 解法一:sin2α-3sinαcosα+1 sin2α-3sinαcosα tan2α-3tanα = +1= +1 2 2 sin α+cos α tan2α+1 32-3×3 = 2 +1=1. 3 +1 解法二:∵tanα=3>0, ∴α 是第一、三象限角. ?sin2α+cos2α=1, ? 由? ?sinα=3cosα, ? 3 sinα= 10, 10 有 (α 为第一象限角), 10 cosα= 10 3 sinα=- 10, 10 或 (α 为第三象限角). 10 cosα=- 10 3 ∴sinαcosα= . 10 9 3 ∴sin2α-3sinαcosα+1= -3× +1=1. 10 10

类型三 式问题

关于 sinα,cosα 的齐次

? ? ? ? ? ?

tanα 已知 =-1,求下列各式的值. tanα-1 sinα-3cosα (1) ; (2)sin2α+sinαcosα+2. sinα+cosα 1 解:由已知得 tanα= . 2 sinα-3cosα tanα-3 5 (1) = =- . 3 sinα+cosα tanα+1 2 (2)sin α+sinαcosα+2 sin2α+sinαcosα tan2α+tanα = + 2 = +2= sin2α+cos2α tan2α+1 2 ?1? +1 ?2? 2 13 +2= . 2 5 1 ? ? +1 ? 2? 点拨: (1)形如 asinα+bcosα 和 asin2α+bsinαcosα+ ccos2α 的式子分别称为关于 sinα,cosα 的一次齐次 式和二次齐次式,对涉及它们的三角变换通常转化 为正切(分子分母同除以 cosα 或 cos2α)求解. 如果分 母为 1,可考虑将 1 写成 sin2α+cos2α.(2)已知 tanα =m 的条件下, 求解关于 sinα, cosα 的齐次式问题,

1.诱导公式用角度制和弧度制表示都可,运 用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选 取. 2.已知一个角的某一个三角函数值,求这个 角的其他三角函数值,这类问题用同角三角函数的 基本关系式求解,一般分为三种情况: (1) 一个角的某一个三角函数值和这个角所在 的象限或终边所在的位置都是已知的,此类情况只 有一组解. (2)一个角的某一个三角函数值是已知的,但这 个角所在的象限或终边所在的位置没有给出,解答 这类问题,首先要根据已知的三角函数值确定这个 角所在的象限或终边所在的位置,然后分不同的情 况求解. (3) 一个角的某一个三角函数值是用字母给出 的,此类情况须对字母进行讨论,并注意适当选取 分类标准,一般有两组解. 3.计算、化简三角函数式常用技巧 (1)减少不同名的三角函数,或化切为弦,或化 弦为切,如涉及 sinα,cosα 的齐次分式问题,常采

用分子分母同除以 cosnα(n∈N*),这样可以将被求 式化为关于 tanα 的式子. ※(2)巧用“1”进行变形,如 1=sin2α+cos2α =tanαcotα=tan45° =sec2α-tan2α 等. (3)平方关系式需开方时,应慎重考虑符号的选 取. (4)理解 sinα±cosα,sinαcosα 的内在联系,利 用(sinα±cosα)2=1± 2sinαcosα,可知一求二.

=(

) A.-1 B.-

1.sin585° 的值为( ) 2 2 3 3 A.- B. C.- D. 2 2 2 2 ×6+45° )=-sin45° 解:sin585° =sin(90° =- 2 .故选 A. 2 2.(2013·全国)已知 α 是第二象限角,sinα= 5 ,则 cosα=( ) 13 12 5 5 12 A.- B.- C. D. 13 13 13 13 5 解:∵α 是第二象限角,sinα= ,∴cosα=- 13 5 ?2 12 1-sin2α=- 1-? ?13? =-13.故选 A. 3.下列关系式中正确的是( ) A.sin11° <cos10° <sin168° B.sin168° <sin11° <cos10° C.sin11° <sin168° <cos10° D.sin168° <cos10° <sin11° -12° ) 解: ∵cos10° =sin80° , sin168° =sin(180° =sin12° ,∴sin11° <sin168° <cos10° .故选 C. 4.已知 f(cosx)=cos2x,则 f(sin15° )的值等于 ( ) 1 1 3 3 A. B.- C. D.- 2 2 2 2 3 解:f(sin15° )=f(cos75° )=cos150° =- .故选 2 D. 5.若 sinα 是 5x2-7x-6=0 的根,则 3π? ?3π ? 2 sin? ?-α- 2 ?sin? 2 -α?tan (2π-α) =( ) π π -α?cos? +α?sin(π+α) cos? ?2 ? ?2 ? 3 5 4 5 A. B. C. D. 5 3 5 4 3 2 解:由 5x -7x-6=0 得 x=- 或 x=2.∴sinα 5 cos α (- cos α )· tan2α 3 =- .∴原式= = 5 sinα·(-sinα)· (-sinα) 1 5 = .故选 B. -sinα 3 6.已知 sinα-cosα= 2,α∈(0,π),则 tanα

2 2 C. D.1 2 2 解 : 将 sinα - cosα = 2 两 端 平 方 , 整 理 得 2sinαcosα 2sinαcosα = - 1 , ∴ 2sinαcosα = 2 = sin α+cos2α 2tanα =-1,即(tanα+1)2=0,解得 tanα=-1. tan2α+1 故选 A. 1 π π 7. 已知 sinαcosα= , 且 <α< , 则 cosα-sinα 8 4 2 的值是________. π π 解:∵ <α< ,∴sinα>cosα.∵1-2sinαcosα 4 2 3 3 = (cosα - sinα)2 = ,∴ cosα - sinα =- . 故填- 4 2 3 . 2 8.f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4(a,b,α, β 均为非零实数 ) ,若 f(2015) = 6 ,则 f(2016) = ________. 解:f(2015)=asin(2015π+α)+bcos(2015π+β) +4=-asinα-bcosβ+4=6,∴asinα+bcosβ=- 2,∴f(2016)=asin(2016π+α)+bcos(2016π+β)+4 =asinα+bcosβ+4=2.故填 2. cos(π+θ) 1 9. 已知 sin(3π+θ)= , 求 3 cosθ[cos(π-θ)-1] cos(θ-2π) + 的值. 3 π 3π θ- ?cos(θ-π)-sin? +θ? sin? 2? ? ?2 ? 1 1 解:∵sin(3π+θ)=-sinθ= ,∴sinθ=- . 3 3 -cosθ ∴ 原 式 = + cosθ(-cosθ-1) cosθ cosθ·(-cosθ)+cosθ 1 1 2 = + = 1+cosθ 1-cosθ 1-cos2θ 2 2 = 2 = =18. sin θ ? 1?2 - ? 3? 1 10.已知 sinθ-cosθ= ,求: 2 (1)sinθcosθ; (2)sin3θ-cos3θ; (3)sin4θ+cos4θ. 1 解 : (1) 将 sinθ - cosθ = 两 边 平 方 得 : 1 - 2 1 3 2sinθcosθ= ,sinθcosθ= . 4 8 (2)sin3θ - cos3θ = (sinθ - cosθ)(sin2θ + sinθcosθ +cos2θ) 3 11 1 1+ ?= . = ×? 2 ? 8? 16

(3)sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ 3?2 23 =1-2×? ?8? =32. 2 1 11.(1)已知 tanα=3,求 sin2α+ cos2α 的值. 3 4 1 1 (2)已知 =1,求 的值. tanα-1 1+sinαcosα 2 2 1 sin α+ cos2α 3 4 2 2 1 解 : (1) sin α + cos2α = = 2 3 4 sin α+cos2α 2 2 1 2 2 1 tan α+ ×3 + 3 4 3 4 5 = 2 = . 2 8 tan α+1 3 +1 1 (2)由 =1 得 tanα=2, tanα-1 sin2α+cos2α 1 = = 2 1+sinαcosα sin α+cos2α+sinαcosα

tan2α+1 tan α+tanα+1 22+1 5 = 2 = . 2 +2+1 7 若 A,B 是锐角△ABC 的两个内角, 则点 P(cosB-sinA,sinB-cosA)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 π π π 解:∵A+B> ,且 A,B 为锐角,∴ >A> 2 2 2 -B>0, π ? ∴sinA>sin? ?2-B?=cosB, π ? cosA<cos? ?2-B?=sinB, ∴cosB-sinA<0,sinB-cosA>0, ∴点 P 在第二象限.故选 B.
2

§4.3

三角函数的图象与性质
0)(k∈Z) π ? ⑧x=kπ(k∈Z) ⑨? ?kπ+2,0?(k∈Z) kπ ? ⑩? ? 2 ,0?(k∈Z) ?2π ?2π ?π π π? ?? ?2kπ-2,2kπ+2?(k∈Z) π 3π? ?? ?2kπ+2,2kπ+ 2 ?(k∈Z) ?[2kπ-π, 2kπ](k∈Z) ?[2kπ, 2kπ+π](k∈Z) π π ? ?? ?kπ-2,kπ+2?(k∈Z) ?奇函数 21 奇函数 ?偶函数 ○

1.“五点法”作图 (1)在确定正弦函数 y=sinx 在[0,2π]上的图象 形状时,起关键作用的五个点是 , , , , . (2)在确定余弦函数 y=cosx 在[0,2π]上的图象 形状时,起关键作用的五个点是 , , , , . 2.周期函数的定义 对于函数 f(x), 如果存在一个非零常数 T, 使得 当 x 取定义域内的每一个值时,都有 ________________,那么函数 f(x)就叫做周期函数, 非零常数 T 叫做这个函数的周期.如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 那么这个最 小正数就叫做 f(x)的________________. 3.三角函数的图象和性质
函数 性质 定义域 y=sinx ①________ y=cosx ②________ y=tanx ③_______

图象

值域 对称性

④________ 对称轴: ⑥________; 对称中心: ⑦__________ ?__________

⑤________ 对称轴: ⑧________; 对称中心: ⑨__________ ?__________

R 无对称轴; 对称中心: ⑩_______

最小正 周期

?_______

单调性 奇偶性

单调增区间 单调增区间 单调增区 ?_________; ?_________; 间 单调减区间 单调减区间 ?_______ ?__________ ?__________ 21 _______ ?__________ ?__________ ○

自查自纠: π ? 1. (1)(0, 0) ? ?2,1? 0) π ? (2)(0,1) ? ?2,0? 1) 2.f(x+T)=f(x) 最小正周期 π ? ? 3.①R ②R ③?x|x≠kπ+2,k∈Z? ④[- ? ? 1,1] π ⑤ [ - 1 , 1] ⑥x = kπ + (k∈Z) ⑦(kπ , 2 3 ? (π,-1) ? ?2π,0? (2π, 3π ? (π, 0) ? ? 2 ,-1? (2π,

函数 f(x)=sin2x 是( ) A.最小正周期为 2π 的奇函数 B.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数 解:∵f(-x)=-sin2x=-f(x),∴函数 f(x)是 2π 奇函数,最小正周期 T= =π.故选 C. 2 π? 函数 y = sin ? ?x-4? 的一个单调增区间为 ( ) 3π 7π? π 3π? A.? B.? ?4,4? ?-4, 4 ? π π? 3π π? C.? D.? ?-2,2? ?- 4 ,4? π π π 解: 由 2kπ- ≤x- ≤2kπ+ (k∈Z), 解得 2kπ 2 4 2 π? π 3π - ≤x≤2kπ+ (k∈Z). 因此, 函数 y=sin? ?x-4?的 4 4 π 3π 单调增区间为[2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z).故选 B. 4 4 π x- ?,则函数 f(x)的图 已知函数 f(x)=sin? ? 3? 象的一条对称轴是( ) 5π 7π A.x= B.x= 6 12 π π C.x= D.x= 3 6 π π 5π 解:令 x- = +kπ,得 x= +kπ,k∈Z,观 3 2 6 察各选项知,故选 A. 1 函数 y= cosx- 的定义域为________. 2 1 1 π 解: ∵cosx- ≥0, ∴cosx≥ , 2kπ- ≤x≤2kπ 2 2 3

π π? π + ,k∈Z.故填? ?2kπ-3,2kπ+3?(k∈Z). 3 x+φ 函数 f(x)=sin (φ∈[0,2π])是偶函数, 3 则 φ=________________. x+φ 解:∵函数 f(x)=sin φ∈[0,2π])是偶函 3 ( φ π 3π 数 , ∴ = + kπ , φ = + 3kπ , k∈Z. 又 3 2 2 3π 3π ∵φ∈[0,2π],∴φ= .故填 . 2 2

类型一

三角函数的定义域、值域

(1)求 y=lg(sinx-cosx)的定义域. 解:要使函数有意义,必须使 sinx-cosx>0. 解法一: 利用图象. 在同一坐标系中画出[0, 2π] 上 y=sinx 和 y=cosx 的图象,如图所示:

π 5π 在[0,2π]内,满足 sinx=cosx 的 x 为 , , 4 4 π 5 ? 在? ?4,4π?内 sinx>cosx,再结合正弦、余弦函数的 π 5π 周期是 2π,所以定义域为{x| +2kπ<x< +2kπ, 4 4 k∈Z}. 解法二:利用三角函数线.

工具, 即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象, 有时也利用数轴;③对于较为复杂的求三角函数的 定义域问题,应先列出不等式(组)分别求解,然后 利用数轴或三角函数线求交集. π 2π? (2)求 y=-3sin2x-4cosx+4,x∈? ?3, 3 ?的值 域. 2 2 1 cosx- ? - , 解: 原式=3cos2x-4cosx+1=3? 3? 3 ? π 2 π 1 1 ? ? ? ∵x∈? ?3, 3 ?,∴cosx∈?-2,2?. 1 2 15 ∴当 cosx=- ,即 x= π 时,y 有最大值 ; 2 3 4 1 π 1 当 cosx= ,即 x= 时,y 有最小值- . 2 3 4 1 15 ? ∴值域为? ?-4, 4 ?. π? (3)已知函数 f(x)= 2cos? ?2x+4?,求函数 f(x) π - ,0?上的最大值和最小值. 在区间? ? 2 ? π 3 π π 解:∵- ≤x≤0,∴- π≤2x+ ≤ , 2 4 4 4 π 3 π ∴当 2x+ =- π, 即 x=- 时, f(x)有最小值, 4 4 2 f(x)min=-1; π π 当 2x+ =0, 即 x=- 时, f(x)有最大值, f(x)max 4 8 π ? = 2,即 f(x)在? ?-2,0?上的最小值为-1,最大值 为 2. 点拨: 求三角函数的值域(最值)时,代数中求值域(最 值)的方法均适用,如配方法(参看例 1(2),注意三 角函数的取值范围)、换元法(注意换元后的范围变 化)、判别式法、不等式法等.对于形如 y=Asin(ωx +φ)+b(或 y=Acos(ωx+φ)+b),可直接求出 ωx+ φ 在区间的范围,然后根据单调性求解. 、 lgsinx (1)求函数 y= 的定义域; 2sinx- 3 π? (2)已知函数 f(x)=sin? ?2x-6?,x∈R,求 f(x)在 ?0,π?上的最大值和最小值; ? 2? cosx-2 (3)求 y= 的最小值. cosx-1 ?sinx>0, lgsinx 解:(1)∵y= ,∴? 2sinx- 3 ?2sinx- 3≠0. ∴原函数的定义域为 π 2 {x|2kπ<x<2kπ+π,且 x≠2kπ+ ,x≠2kπ+ 3 3 π,k∈Z}.

如图,MN 为正弦线,OM 为余弦线,要使 sinx π 5π >cosx,只须 <x< (在[0,2π]内). 4 4 π 5π ∴定义域为{x| +2kπ<x< +2kπ,k∈Z}. 4 4 π? 解法三:sinx-cosx= 2sin? ?x-4?>0,由正弦 π 函数 y=sinx 的图象和性质可知 2kπ<x- <π+ 4 π 5π 2kπ,解得 2kπ+ <x< +2kπ,k∈Z. 4 4 5π ? π ? ∴定义域为?x|4+2kπ<x< 4 +2kπ,k∈Z?. ? ? 点拨: ①求三角函数的定义域常常归结为解三角不等 式(或等式);②求三角函数的定义域经常借助两个

π? π ? π 5π? (2)∵x∈? ?0,2?,∴2x-6∈?-6, 6 ?. π π 当 2x- =- ,即 x=0 时,函数 f(x)有最小值 6 6 1 - ; 2 π π π 当 2x- = ,即 x= 时,函数 f(x)有最大值 1. 6 2 3 cosx-2 cosx-1-1 (3) 解法一: ∵y = = =1+ cosx-1 cosx-1 1 , 1-cosx 1 3 ∴当 cosx=-1 时,ymin=1+ = . 2 2 cosx-2 y-2 解法二:由 y= ,得 cosx= , cosx-1 y-1 y-2 又∵-1≤cosx<1,∴-1≤ <1. y-1 3 3 ∴y≥ .∴函数的最小值为 . 2 2

π?? ? (3)y=2? ?sin?4x-3??. 解:(1)y=[ a2+1sin(x+φ)]2 =(a2+1)sin2(x+φ) 1-cos(2x+2φ) =(a2+1)· (φ 为辅助角), 2 2π 所以此函数的最小正周期为 T= =π. 2 1 3 (2)y = 2cosx ? sinx+ cosx? - 3 sin2x + 2 ?2 ? sinxcosx =sinxcosx+ 3cos2x- 3sin2x+sinxcosx =sin2x+ 3cos2x π? =2sin? ?2x+3?, 2π 该函数的最小正周期为 T= =π. 2 π ? ?? (3)y = 2 ? ?sin?4x-3?? 的 最 小 正 周 期 是 y = π 1 2π π 2sin(4x- )的最小正周期的一半,即 T= × = . 3 2 4 4

类型二

三角函数的周期性

类型三

三角函数的奇偶性

( 2014·全国课标Ⅰ ) 在 函 数 ①y = π? cos|2x| , ② y = |cosx| , ③ y = cos ? ?2x+6? , ④ y = π? tan? ) ?2x-4?中,最小正周期为 π 的所有函数为( A.②④ B.①③④ C.①②③ D.①③ 解:可分别求出各个函数的最小正周期. 2π ①y=cos|2x|=cos2x,T= =π; 2 ②由图象知,函数的最小正周期 T=π; 2π ③T= =π; 2 π ④T= . 2 综上知, 最小正周期为 π 的所有函数为①②③. 故选 C.

点拨: ①求三角函数的周期,通常应将函数式化为只 有一个函数名,且角度唯一,最高次数为一次的形 式,然后借助于常见三角函数的周期来求解.②注 意带绝对值的三角函数的周期是否减半,可用图象 法判定,y=|cosx|的图象即是将 y=cosx 的图象在 x 轴下方部分翻折到 x 轴的上方去. 求下列函数的最小正周期. (1)y=(asinx+cosx)2(a∈R); π? 2 (2)y=2cosxsin? ?x+3?- 3sin x+sinxcosx;

判断下列函数的奇偶性. π ? (1)f(x)=cos? ?2+2x?cos(π+x); 1+sinx-cosx (2)f(x)= . 1+sinx+cosx π ? 解:(1)f(x)=cos? ?2+2x?cos(π+x) =(-sin2x)(-cosx) =cosxsin2x. ∵ f( - x) = cos( - x)sin2( - x) =- cosxsin2x =- f(x),x∈R,∴f(x)是奇函数. x x x sin +cos ?≠0, (2)∵1+sinx+cosx=2cos ? 2? 2? 2 π ∴x≠π+2kπ 且 x≠- +2kπ,k∈Z. 2 ∴f(x)的定义域不关于原点对称.故 f(x)是非奇 非偶函数.

点拨: 判断三角函数奇偶性时,必须先检查定义域是 否是关于原点的对称区间,如果是,再验证 f(-x) 是否等于-f(x)或 f(x),进而判断函数的奇偶性;如 果不是,则该函数必为非奇非偶函数.另外,对较 复杂的解析式,可选择先化简再判断,也可直接用 -x 取代 x,再化简判断,还可利用 f(-x)± f(x)=0 是否成立来判断其奇偶性. 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 2sinx-1;

(2)f(x)=lg(sinx+ 1+sin2x). 1 解:(1)∵2sinx-1≥0,∴sinx≥ , 2 π 5 π ? 即 x∈? ?2kπ+6,2kπ+ 6 ?(k∈Z),此区间不关 于原点对称. ∴f(x)是非奇非偶函数. (2)由题意知函数 f(x)的定义域为 R. f(-x)=lg[sin(-x)+ 1+sin2(-x)] =lg(-sinx+ 1+sin2x) 1 =lg 1+sin2x+sinx =-lg( 1+sin x+sinx) =-f(x). ∴函数 f(x)是奇函数.
2

( 2014·四川 ) 已 知 函 数 f(x) = π ? sin? ?3x+4?,求 f(x)的单调递增区间. π π π 2kπ π 解:由 2kπ- ≤3x+ ≤2kπ+ 得 - ≤x≤ 2 4 2 3 4 2kπ π + (k∈Z) , ∴ f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 3 12 ?2kπ-π,2kπ+ π ? (k∈Z). ? 3 4 3 12?

类型五

三角函数图象的对称性
π x+ ?(x∈R),函数 (1)已知 f(x)=2sin? ? 3?

类型四

三角函数的单调性

π? y=f(x+φ)? ?|φ|≤2?的图象关于直线 x=0 对称,则 φ 的值为________. π 解:∵y=f(x+φ)=2sin(x+ +φ)的图象关于 x 3 π π =0 对称,即 f(x+φ)为偶函数,∴ +φ= +kπ, 3 2 π π π π k∈Z,即 φ=kπ+ ,k∈Z.又|φ|≤ ,∴φ= .故填 . 6 2 6 6 π? (2)函数 y= 2sin? ?2x+4?+1 的图象的一个对 称中心的坐标是( ) 3 π 3π ? ? A.? B.? ? 8 ,0? ? 8 ,1? π ? π ? C.? D.? ?8,1? ?-8,-1? π 解:对称中心的横坐标满足 2x+ =kπ,解得 x 4 π kπ 3π =- + ,k∈Z.当 k=1 时,x= ,y=1.故选 B. 8 2 8

π ? (1) 求函数 y = sin ? ?3-2x? 的单调递减 区间; π x? (2)求 y=3tan? ?6-4?的最小正周期及单调区间. π π? ? ? 解:(1)y=sin? ?3-2x?=-sin?2x-3?, π π π 故由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ , 2 3 2 π 5 解得 kπ- ≤x≤kπ+ π(k∈Z). 12 12 π 5 kπ- ,kπ+ π? ∴函数的单调递减区间为 ? 12 12 ? ? (k∈Z). π x? ?x π? (2)y=3tan? ?6-4?=-3tan?4-6?, π π T= = =4π. |ω| 1 4 π x π π 4 由 kπ- < - <kπ+ ,解得 4kπ- π<x<4kπ+ 2 4 6 2 3 8 π(k∈Z). 3 4 8 ? ∴函数的单调递减区间为? ?4kπ-3π,4kπ+3π? (k∈Z). 点拨: 若函数 y=sin(ωx+φ)中 ω<0,可用诱导公式 将函数变为 y=-sin(-ωx-φ)的形式(目的是将 x 的系数变为正),将“-ωx-φ”视为一个整体,那 么 y=-sin(-ωx-φ)的增区间为 y=sin(-ωx-φ) 的减区间,其减区间为 y = sin( - ωx - φ) 的增区 间.对于函数 y=cos(ωx+φ),y=tan(ωx+φ)(ω<0) 等的单调性的讨论同上.

点拨: ①解此类选择题最快捷的方式往往是代入验证 法;②对于函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B,如果求 f(x) 图象的对称轴,只需解方程 sin(ωx+φ)=± 1,也就 π 是令 ωx+φ= +kπ(k∈Z)求 x;如果求 f(x)图象的 2 对称中心, 只需解方程 sin(ωx+φ)=0, 也就是令 ωx +φ=kπ(k∈Z)求 x;③对于较复杂的三角函数表达 式,有时可以通过恒等变换为②的情形,这一部分 将在“4.6 三角恒等变换”中涉及. π? 已知函数 f(x)=sin? ?ω x+3?(ω>0)的最 小正周期为 π,则该函数的图象( ) π π ? A. 关于点? 关于直线 x= 对称 ?3,0?对称 B. 4

π ? π C. 关于点? 关于直线 x= 对称 ?4,0?对称 D. 3 2π 2π 解:由 T=π 知 ω= = =2,∴函数 f(x)= T π π ? sin? ?2x+3?. π π 函数 f(x)的对称轴满足 2x+ = +kπ(k∈Z), 3 2 π kπ 解得 x= + (k∈Z); 12 2 π 函数 f(x) 的对称中心的横坐标满足 2x + = 3 kπ(k∈Z), π kπ 解得 x=- + (k∈Z).故选 A. 6 2

用数形结合方法求解.关于复合函数的单调性的求 法,参见“2.2 函数的单调性与最大(小)值”. (2) 利用三角函数的单调性比较两个同名三角 函数值的大小,必须先看两角是否同属于这一函数 的同一单调区间内,不属于的,可先化至同一单调 区间内.若不是同名三角函数,则应考虑化为同名 三角函数或用差值法(例如与 0 比较,与 1 比较等) 求解.

1.三角函数的定义域、值域 (1)三角函数的定义域的求法 三角函数的定义域是研究其他一切性质的前 提,求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三 角不等式(组).一般可用三角函数的图象或三角函 数线来确定三角不等式的解.列三角不等式时,要 考虑全面,避免遗漏,既要考虑分式的分母不能为 零;偶次方根的被开方数不小于零;对数的真数大 于零及底数大于零且不等于 1,又要考虑三角函数 本身的定义域(如正切函数等). (2)三角函数值域的求法 三角函数的值域问题,大多是含有三角函数的 复合函数值域问题,常用的方法为:化为代数函数 的值域,也可以通过三角恒等变形化为求 y= Asin(ωx+φ)+B 的值域;或化为关于 sinx(或 cosx) 的二次函数式,再利用换元、配方等方法转化为二 次函数在限定区间上的值域. 2.判断三角函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,应先判定函数定义域的对 称性,注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数; 复合函数在复合过程中, 对每个函数而言, “同奇才 奇、一偶则偶” .一般情况下,需先对函数式进行化 简,再判断其奇偶性. 3.求三角函数的周期 (1)求三角函数的周期,通常应将函数式化为只 有一个函数名,且角度唯一,最高次数为一次的形 式,然后借助于常见三角函数的周期来求. (2)三角函数的最小正周期的求法有:①由定义 出发去探求;②公式法:化成 y=Asin(ωx+φ),或 2π y=Atan(ωx+φ)等类型后,用基本结论 T= 或 T |ω | π = 来确定;③根据图象来判断. |ω | 4.三角函数的单调性 (1)三角函数单调区间的确定,一般先将函数式 化为基本三角函数标准式,然后通过同解变形或利

1-cos4x 1.函数 f(x)= 是( ) 4 π A.周期为 的非奇非偶函数 2 B.周期为 π 的奇函数 π C.周期为 的奇函数 2 π D.周期为 的偶函数 2 2π π 解:T= = 且为偶函数.故选 D. 4 2 2 . 如果函数 y = 3cos(2x + φ) 的图象关于点

?4π,0?成中心对称,那么|φ|的最小值为( ?3 ?
π A. 6 π B. 4

)

π π C. D. 3 2 8 π 8π π ? 解: 依题意得 3cos? ? 3 +φ?=0,3 +φ=kπ+2, 13 π φ=kπ- π(k∈Z),因此|φ|的最小值是 .故选 A. 6 6 π? 3 . 已 知 函 数 f(x) = 2sin ? ?x+θ+3? ?θ∈?-π,π??是偶函数,则 θ 的值为( ) ? ? 2 2?? π π π A.0 B. C. D. 6 4 3 π π 解: ∵ 函数 f(x) 为偶函数,∴ θ + = kπ + 3 2 π π π π π ? (k∈Z).又∵θ∈? ?-2,2?,∴θ+3=2,解得 θ=6, 经检验符合题意.故选 B. π? 4 .(2013·天津) 函数 f(x) = sin? ?2x-4? 在区间 ?0,π?上的最小值为( ) ? 2? 2 2 A.-1 B.- C. D.0 2 2 π π π 3π 解:∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ . 2 4 4 4 π π ? 作出 f(x)在? 显然当 2x- =- ?0,2?上的图象, 4 π? π , 即 x=0 时, 函数 f(x)在区间? ?0,2?上取最小值- 4 2 .故选 B. 2

π? 5.函数 f(x)=sinx-cos? ?x+6?的值域为(

)

故填- 3. π ? 9. 已知函数 g(x)= 2cos? ?2x+4+2m?+2 的图 象关于点(0,2)对称,求 m 的最小正值. 解:∵y=g(x)的图象关于点(0,2)对称, π π ∴2×0+ +2m= +kπ,k∈Z. 4 2 kπ π ∴m= + ,k∈Z. 2 8 π ∴当 k=0 时,m 取得最小正值 . 8 π? 10.(2014·北京)函数 f(x)=3sin? ?2x+6? 的部 分图象如图所示. (1)写出 f(x)的最小正周期及图中 x0,y0 的值; π π? (2) 求 f(x) 在区间 ? ?-2,-12? 上的最大值和最 小值.

A.[-2,2] B.[- 3, 3] 3 3 C.[-1,1] D.?- , ? ? 2 2? 3 1 3 解:∵f(x) = sinx - cosx + sinx = 3( sinx 2 2 2 π 1 x- ?, - cosx)= 3sin? ? 6? ∴函数 f(x)的值域为[- 3, 2 3].故选 B. 6. 已知函数 f(x)=sin(2x+φ), 其中 φ 为实数. 若 π π ? ?? ? ? f(x)≤? ?f?6??对 x∈R 恒成立,且 f?2?>f(π),则 f(x) 的单调递增区间是( ) π π ? A.? ?kπ-3,kπ+6?(k∈Z) π? B.? ?kπ,kπ+2?(k∈Z) π 2π? C.? ?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z) π ? D.? ?kπ-2,kπ?(k∈Z) π 解:由题意知,f(x)在 处取得最大值或最小值, 6 π ∴x= 是函数 f(x)的对称轴. 6 π π π ∴2× +φ= +kπ,φ= +kπ,k∈Z. 6 2 6 π ? 又由 f? ?2?>f(π)得 sinφ<0, 5 5 ∴φ=- π+2kπ,不妨取 φ=- π. 6 6 5 π ? ∴f(x)=sin? ?2x- 6 ?. π 5 π 由 2kπ- ≤2x- π≤2kπ+ ,得 2 6 2 π 2π? f(x)的单调增区间为? ?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z). 故选 C. 3 7.(2014·山东)函数 y= sin2x+cos2x 的最 2 小正周期为________. 1+cos2x 3 3 1 解 : ∵y = sin2x + = sin2x + 2 2 2 2 1 cos2x+ 2 π? 1 =sin? ?2x+6?+2, 2π ∴其最小正周期 T= =π.故填 π. 2 8.函数 f(x)= 3cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函 数,则 tanθ=________. 解: ∵函数 f(x)的定义域为 R, 且 f(x)为奇函数, ∴f(0)=0,即 f(0)= 3cosθ+sinθ=0(使 cosθ=0 的 θ 值不满足题设条件,故 cosθ≠0),得 tanθ=- 3.

2π 7π 解:(1)f(x)的最小正周期为 T= =π,x0= , 2 6 y0=3. π π? π ? 5π ? (2)∵x∈? ?-2,-12?,∴2x+6∈?- 6 ,0?, π π 于是当 2x+ =0, 即 x=- 时, f(x)取得最大值 0; 6 12 π π π 当 2x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值 6 2 3 -3. π? 11.已知 f(x)=2sin? ?2x-3?. (1)求函数 y=f(x)的单调递减区间; π? (2)若函数 y=f(x+θ)? ?0<θ<2?为偶函数,求 θ 的值. π π 3π 解:(1)令 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 5 π 11π? 解得单调递减区间是? ?kπ+12,kπ+ 12 ? , k∈Z. π? (2)f(x+θ)=2sin? ?2x+2θ-3?. π? ∵y=f(x+θ)? ?0<θ<2?为偶函数, π π 5π kπ ∴2θ- = +kπ,θ= + ,k∈Z. 3 2 12 12 π 5π 又 0<θ< ,∴θ= . 2 12 已知函数 f(x)=cosxsin2x,下列结论 中错误的是( )

A.y=f(x)的图象关于点(π,0)中心对称 π B.y=f(x)的图象关于直线 x= 对称 2 3 C.f(x)的最大值为 2 D.f(x)既是奇函数,又是周期函数 解:对于选项 A,∵f(2π-x)=cos(2π-x)sin(4π -2x)=-cosxsin2x=-f(x), ∴y=f(x)的图象关于点 (π,0)成中心对称,A 正确; 对于选项 B,∵f(π-x)=cos(π-x)sin(2π-2x) π =cosxsin2x=f(x), ∴y=f(x)的图象关于直线 x= 对 2 称,B 正确; 对 于 选 项 C , f(x) = cosxsin2x = 2sinxcos2x = 2sinx(1 - sin2x) =- 2sin3x + 2sinx ,令 sinx = t ,则

t∈[-1,1],f(x)的最大值问题转化为求 h(t)=-2t3 +2t 在 t∈[-1,1]上的最大值,h′(t)=-6t2+2, 3 令 h′(t) = 0 ,得 t= ± ,经计算比较得最大值为 3 3 4 3 h? ?= ,C 错误; ?3? 9 对于选项 D,由 f(-x)=cos(-x)sin(-2x)=- cosxsin2x=-f(x)知其为奇函数,由 f(x+2π)=cos(x +2π)sin(2x+4π)=cosxsin2x 知其为周期函数, D正 确. 综上知,故选 C.

§4.4

三角函数图象的变换
ωx+φ 0 0 A 0 π 2 A 1 ?φ? ω ?ω ? π 0 A 3 π 2 -A 2π 0

1.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)在一个周期内 的简图 用五点法画 y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简 图时,要找五个特征点,如下表所示.
x ω x+φ y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0

y=Asin(ωx +φ) 1 ω 2π ω 3. ω 2π 2.|φ|

2.图象变换(ω>0) 要得到函数 y=cos(2x+1)的图象,只要将 函数 y=cos2x 的图象( ) A.向左平移 1 个单位 B.向右平移 1 个单位 1 C.向左平移 个单位 2 1 D.向右平移 个单位 2 1? 解:由题意知,要得到函数 y=cos2? ?x+2?的图 1 象,只要将函数 y = cos2x 的图象向左平移 个单 2 位.故选 C. ( 2013·山东) 将函数 y = sin(2x +φ) 的图象 π 沿 x 轴向左平移 个单位后,得到一个偶函数的图 8 象,则 φ 的一个可能取值为( ) 3π π π A. B. C.0 D.- 4 4 4 π 解:y=sin(2x+φ)的图象向左平移 个单位后, 8 π ? 得到函数 y=sin? ?2x+φ+4?,其图象关于 y 轴对称, π π π ∴φ+ = +kπ(k∈Z),φ= +kπ(k∈Z),φ 的一个 4 2 4 π 可能值为 .故选 B. 4 π? (2014·辽宁)将函数 y=3sin? ?2x+3?的图象 π 向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数( ) 2 π 7π? A.在区间? ?12,12?上单调递减 π 7π? B.在区间? ?12,12?上单调递增 π π? C.在区间? ?-6,3?上单调递减 π π? D.在区间? ?-6,3?上单调递增

路 径 ① : 先 向 左 (φ>0) 或 向 右 (φ<0) 平 移 ________个单位长度,得到函数 y=sin(x+φ)的图 象; 然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 倍 (纵坐标不变),得到函数 y=sin(ωx+φ)的图象;最 后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 ________ 倍 (横坐标不变), 这时的曲线就是 y=Asin(ωx+φ)的图 象. 路径②:先将曲线上各点的横坐标变为原来的 _______倍(纵坐标不变),得到函数 y=sinω x 的图 象;然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移 个 单位长度,得到函数 y=sin(ωx+φ)的图象;最后把 曲线上各点的纵坐标变为原来的 ________倍 ( 横坐 标不变),这时的曲线就是 y=Asin(ωx+φ)的图象. 3.函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的物理意 义 简谐运动的图象所对应的函数解析式 y= Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞),其中 A>0,ω >0.在物 理中,描述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频 率等都与这个解析式中的常数有关:A 就是这个简 谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位 置的最大距离;这个简谐运动的周期是 T= , 这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时 1 间;这个简谐运动的频率由公式 f= = 给 T 出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动 的次数;ωx+φ 称为相位;x=________时的相位 φ 称为初相. 自查自纠: 1. x - φ ω π -φ 2 ω π-φ ω 3 π-φ 2 ω 2π-φ ω

π? π 解:将函数 y=3sin? ?2x+3?的图象向右平移2得 π π 2π π x- ?+ ? = 3sin ?2x- ? ,令- + 2kπ y = 3sin ?2? 3? ? ? ? 2? 3? 2 2π π π 7π ≤2x- ≤ +2kπ,解得 +kπ≤x≤ +kπ,∴该 3 2 12 12 π 7π 函数在[ +kπ, +kπ](k∈Z)上单调递增,当 k= 12 12 0 时,选项 B 满足条件.故选 B. 已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0, -π≤φ<π) 的图象如图所示,则 φ=________.

点拨: 用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的简图,主要 π 3 是通过变量代换,设 X=ωx+φ,由 X=0, ,π, 2 2 π,2π 来求出相应的 x 值,通过列表,计算得出五 点坐标,描点后得出图象. 已知曲线 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω >0) π ? 上的一个最高点的坐标为? ?8, 2?,此点到相邻最 3π ? 低点间的曲线与 x 轴交于点? ? 8 ,0? , 且 π π? φ∈? ?-2,2?. (1)试求这条曲线的函数表达式; (2) 用“五点法”在图中画出 (1) 中函数在一个 周期上的图象. 3π π? 解:(1)由题意知 A= 2,T=4? ? 8 -8?=π,ω 2π 2π = = =2,∴y= 2sin(2x+φ). T π π ? 又图象过点? ?8, 2?,代入表达式得 2 = 2 π π π π ? sin(2· +φ),即 sin? ?4+φ?=1,从而4+φ=2kπ+2, 8 π φ=2kπ+ ,k∈Z. 4 π π? π? π ? 又∵φ∈? ?-2,2?,∴φ=4.∴y= 2sin?2x+4?. (2)按五个关键点列表: π π 3π 0 π 2π 2x+ 4 2 2 π π 3π 5π 7π x - 8 8 8 8 8 y 0 0 0 2 - 2 描点作图:

3 5 2π 解:由图象可得 T=2(2π- π)= π= ,解之 4 2 ω 4 4 3 ? 得 ω = . 将 ( π , - 1) 代 入 y = sin ? ?5x+φ? , 得 5 4 3 3 3π π+φ?=-1,则 π+φ= +2kπ,k∈Z,即 φ sin? 5 ? ? 5 2 9π 9 = +2kπ,k∈Z.又∵φ∈[-π,π),∴φ= π.故填 10 10 9 π. 10 π? 为得到函数 y=cos? ?2x+3?的图象,只需将 函数 y=sin2x 的图象向左平移________个单位长 度. π π π 2x+ ? = sin ?2x+ + ? = 解 : 函 数 y = cos ? 3? 3 2? ? ? 5 π ? sin2? ?x+12?,∴只需将函数 y=sin2x 的图象向左平 5π 5π 移 个单位.故填 . 12 12

类型一

五点法作图

2π 解:周期 T= =4π,振幅 A=2. 1 2 按五个关键点列表: x π π 3π 0 π + 2 3 2 2 2π π 4π 7π x - 3 3 3 3 y 0 描点作图: 2 0

x π? 作出函数 y=2sin? ?2+3?的图象.

2π 10π 3 0 说明由函数 y=sinx 的图象经过怎样 的变换就能得到下列函数的图象.

类型二

三角函数的图象变换

-2

π? 2 ? ? (1)y=sin? ?x+3?; (2)y=sin?2x-3π?; (3)y=|sinx|; (4)y=sin|x|. π 解: (1)将 y=sinx 的图象向左平移 个单位长度, 3 π ? 得到 y=sin? ?x+3?的图象. 2 (2)解法一:将 y=sinx 的图象向右平移 π 个单 3 2 ? 位长度,得到 y = sin ? ?x-3π? 的图象,再把 y = 2 ? 1 sin ? ?x-3π? 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 2 2 2x- π?的图象. (纵坐标不变),就得到 y=sin? 3 ? ? 解法二:先把 y=sinx 的图象上所有点的横坐 1 标缩短到原来的 (纵坐标不变), 得到 y=sin2x 的图 2 π 象,再将 y=sin2x 的图象向右平移 个单位长度, 3 2 ? 就得到 y=sin? ?2x-3π?的图象. (3)将 y=sinx 的图象的 x 轴下方部分翻折到 x 轴上方,去掉 x 轴下方图象,即可得到 y=|sinx|的 图象. (4)先去掉 y 轴左边的 y=sinx 的图象,再将 y 轴右边的图象翻折到 y 轴左边,保留 y 轴右边的图 象,即可得到 y=sin|x|的图象. 点拨: (1) 本题主要考查图象的平移、伸缩、对称变 换.三角函数的图象变换,有两种选择:一是先伸 缩再平移,二是先平移再伸缩.特别注意平移变换 时, 当自变量 x 的系数不为 1 时, 要将系数先提出. 翻 折变换要注意翻折的方向;(2)三角函数名不同的图 象变换问题, 应先将三角函数名统一, 再进行变换. π? 为得到函数 y=cos? ?x+3?的图象,只 需将函数 y=sinx 的图象( ) π A.向左平移 个单位长度 6 π B.向右平移 个单位长度 6 5π C.向左平移 个单位长度 6 5π D.向右平移 个单位长度 6 π π π 5 x+ ?=sin? +x+ ?=sin?x+ π?, 解:y=cos? 3? ? 3? ?2 ? 6 ? 5 因此只需将 y=sinx 的图象向左平移 π 个单位长 6 度.故选 C .

类型三

函数 y=Asin(ωx+φ)+k

的图象及其变换
函数 f(x)=sin(2x+φ)+acos(2x+φ), 其中 a 为正常数且 0<φ<π, 若 f(x)的图象关于直线 x π = 对称,f(x)的最大值为 2. 6 (1)求 a 和 φ 的值; (2)求 f(x)的振幅、周期和初相; (3) 用五点法作出它的长度为一个周期的闭区 间上的图象; (4) 由 y = f(x)的图象经过怎样的平移得到 y = π? 2sin? ?2x+3?的图象? 解 : (1)f(x) = sin(2x + φ) + acos(2x + φ)≤ 1+a2, 则由 1+a2=2 及 a>0,得 a= 3. 于 是 f(x) = sin(2x + φ) + 3 cos(2x + φ) = π ? 2sin? ?2x+3+φ?. π 又 f(x)的图象关于直线 x= 对称, 6 π ∴当 x= 时,f(x)取得最值, 6 π π π 即 2× +φ+ =kπ+ , 6 3 2 π 2π π 得 φ=kπ+ - =kπ- (k∈Z). 2 3 6 5π 又 0<φ<π,∴φ= . 6 7π? (2)由(1)可知 f(x)=2sin? ? 2x + 6 ? , 2π 所以函数 f(x)的振幅为 2,周期 T= =π,初 2 7π 相为 . 6 (3)列表,并描点画出图象. 7π π 3π 0 π 2π 2x+ 6 2 2 7π π π π 5π x - - - 12 3 12 6 12 y 0 2 0 0 -2

7 ? ? 7 ? (4)f(x)=2sin? ?2x+6π?=2sin2?x+12π?,要得到 π π 2x+ ? = 2sin2 ?x+ ? 的图象,只需将 y = y = 2sin ? 3? ? ? 6?

7 5 2sin(2x+ π)的图象向右平移 π 个单位长度即可. 6 12 点拨: (1)用辅助角法,将较复杂的三角式转化成 y= Asin(ωx+φ)的形式,利用 f(x)的最值,可解出 a, 再根据三角函数对称轴方程的性质及 φ 的范围可确 定 φ.(2)根据解析式,由振幅、周期和初相的定义即 可求.(3)五点法作图,关键是找出与 x 相对应的五 个点.(4)要看清由谁平移到谁,注意自变量的系数 不为 1 时,要将系数先提出来,再平移. 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ),其中 ω> π π 0,- <φ< . 2 2 π 3π (1)若 cos cosφ-sin sinφ=0,求 φ 的值; 4 4 (2)在(1)的条件下,若函数 f(x)的图象的相邻两 π 条对称轴之间的距离等于 ,求函数 f(x)的解析式; 3 并求最小正实数 m, 使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位长度后所对应的函数是偶函数. π 3π 解:(1)由 cos cosφ-sin sinφ=0 得 4 4 π π π π ? cos? ?φ+4?=0,即 φ+4=2+kπ,φ=4+kπ, k∈Z. π π π 又∵- <φ< ,∴φ= . 2 2 4 π? (2)解法一:由(1)得 f(x)=sin? ?ωx+4?. T π 2 2π 依题意, = ,T= π,ω= =3. 2 3 3 T π ? ∴f(x)=sin? ?3x+4?. 函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位长度后所对 应的函数为 π? g(x)=sin? ?3(x+m)+4?. π π g(x)是偶函数当且仅当 3m+ =kπ+ (k∈Z), 4 2 kπ π π 即 m= + (k∈Z), 从而, 最小正实数 m= . 3 12 12 解法二:亦可根据偶函数的定义求.

缩后平移时要把 x 前面的系数提取出来. 2.根据 y=Asin(ωx+φ),x∈R 的图象求解析 式的步骤: (1)首先确定振幅和周期,从而得到 A 与 ω. 1)A 为离开平衡位置的最大距离,即最大值与 最小值的差的一半. 2)ω 由周期得到:①函数图象在其对称轴处取 得最大值或最小值,且相邻的两条对称轴之间的距 离为函数的半个周期;②函数图象与 x 轴的交点是 其对称中心,相邻两个对称中心间的距离也是函数 的半个周期;③一条对称轴与其相邻的一个对称中 1 心间的距离为函数的 个周期(借助图象很好理解记 4 忆). (2)求 φ 的值时最好选用最值点求. π π 峰点: ωx+φ= +2kπ; 谷点: ωx+φ=- + 2 2 2kπ. 也可用零点求,但要区分该零点是升零点,还 是降零点. 升零点(图象上升时与 x 轴的交点):ωx+φ= 2kπ; 降零点(图象下降时与 x 轴的交点):ωx+φ=π +2kπ(以上 k∈Z).

1 . ( 2014·四川) 为了得到函数 y = sin(2x + 1) 的图象,只需把函数 y=sin2x 的图象上所有的点 ( ) 1 A.向左平行移动 个单位长度 2 1 B.向右平行移动 个单位长度 2 C.向左平行移动 1 个单位长度 D.向右平行移动 1 个单位长度 ? 1?? 解:∵y=sin(2x+1)=sin? ?2?x+2??,∴只需把 1 函数 y=sin2x 的图象上所有的点向左平移 个单位 2 长度即可.故选 A. 2 . ( 2013·全国) 若函数 y = sin(ωx +φ)(ω > 0) 的部分图象如图,则 ω=( )

1.五点法作函数图象及函数图象变换问题 (1)当明确了函数图象基本特征后, “描点法” 是作函数图象的快捷方式.“五点法”作图的优点 是用简单的计算、列表、描点替代图形变换,不易 出错,且图形简洁. (2) 在进行三角函数图象变换时,提倡“先平 移,后伸缩”,而“先伸缩,后平移”也经常出现 在题目中,所以也必须熟练掌握,但要注意:先伸

B.4 C.3 D.2 T π π 2π 解:由图可知 = ,T= ,ω= =4.故选 B. 2 4 2 T 3.(2013·四川)函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, π π - <φ< ) 的部分图象如图所示,则 ω,φ 的值分 2 2 别是( )

A.5

π B.2,- 6 π D.4, 3 3 5π π 3π 2π 解:由图可知, T= + = ,T=π,ω= 4 12 3 4 T 5 π 5π π ? =2.∵点? ?12,2?在图象上,∴2·12+φ=2+2kπ, π π π π φ=- +2kπ,k∈Z.又- <φ< ,∴φ=- .故选 3 2 2 3 A. 4.将函数 y=sinx 的图象上所有的点向右平行 π 移动 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到 10 原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式 是( ) π? π? ? A.y=sin? ?2x-10? B.y=sin?2x-5? 1 π? ?1 π ? C.y=sin? ?2x-10? D.y=sin?2x-20? 解:将函数 y=sinx 的图象上所有的点向右平 π? π 行移动 个单位长度可得 y=sin? ?x-10?,再把所得 10 各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),可 1 π x- ?.故选 C. 得 y=sin? ?2 10? 5. 将函数 y=sinx 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π) π? 个单位后,得到函数 y=sin? ?x-6?的图象,则 φ 等 于( ) π 5π 7π 11π A. B. C. D. 6 6 6 6 π? 解:由题意得 sin(x+φ)=sin? ?x-6?,∴x+φ= π π x- +2kπ,即 φ=- +2kπ,k∈Z.又 0≤φ<2π,∴ 6 6 11π φ= .故选 D. 6 6 . 已 知 函 数 f(x) = sin(ωx + π π ω >0,- <φ< ?的最小正周期为 π,将该函 φ) ? 2 2? ? π 数的图象向左平移 个单位后,得到的图象对应的 6 函数为奇函数,则 f(x)的图象( ) π ? A.关于点? ?12,0?对称 5π B.关于直线 x= 对称 12 5 π ? C.关于点? ?12,0?对称

π A.2,- 3 π C.4,- 6

π D.关于直线 x= 对称 12 解:由已知得 ω=2,则 f(x)=sin(2x+φ),设平 π ? 移 后 的 函 数 为 g(x) , 则 g(x) = sin ? ?2x+3+φ? ?-π<φ<π? 且 为 奇 函 数 , ∴ φ = - π , f(x) = 2? ? 2 3 π π π ? sin? ?2x-3?.令 2x-3=kπ+2,易得图象关于直线 x 5π = 对称.故选 B. 12 7. 函数 y=Asin(ωx+φ)(A, ω, φ 为常数, A>0, ω >0)在闭区间[-π,0]上的图象如图所示,则ω = ________.

2π 2π 2π 解:由图象知 T= ,则 ω= = =3.故填 3. 3 T 2π 3 8 . ( 2013·全国新课标Ⅱ ) 函 数 y = cos(2x + π φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移 个单位后, 与函数 y 2 π 2x+ ?的图象重合,则 φ=________. =sin? 3? ? 解:y=cos(2x+φ)的图象 ????? ?? π ? ? ? y = cos ? ?2?x-2?+φ? = cos(2x - π + φ) = -cos(2x+φ)的图象. π? ∵ y = - cos(2x + φ) = sin ? ?2x+φ-2? 与 y = π? π π sin? ?2x+3? 的图象重合,∴φ-2=3+2kπ,k∈Z, 5π 解得 φ= +2kπ. 6 5π 5π 又-π≤φ<π,∴φ= .故填 . 6 6 2014· 重庆 9.( )已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)(ω π π π >0,- ≤φ< )的图象关于直线 x= 对称,且图 2 2 3 象上相邻两个最高点的距离为 π,求 ω 和 φ 的值. 解:由题意,函数 f(x)的最小正周期 T=π, 2π 2π ω= = =2. T π π ∵f(x)的图象关于直线 x= 对称, 3 π π π ∴2· +φ=kπ+ ,φ=kπ- ,k∈Z. 3 2 6 π π π 又- ≤φ< ,∴φ=- . 2 2 6 x x 10.已知函数 y= 3sin +cos (x∈R). 2 2 (1)用“五点法”画出它的图象; (2)求它的振幅、周期及初相;
π 向右平移 个单位   2

(3)说明该函数的图象可由 y=sinx 的图象经过 怎样的变换而得到? x x 3 x 1 x 解:(1)y= 3sin +cos =2? sin + cos ? 2 2 ?2 2 2 2? x π? =2sin? ?2+6?. x π 令 X= + ,按五个关键点列表: 2 6 X x 0 π 2 2π 3 2 π 5π 3 0 3π 2 8π 3 -2 2π 11π 3 0

π - 3 y 0 描点作图:

(2)根据解析式及图象知,振幅 A=2,周期 T π =4π,初相 φ= . 6 π (3)将 y=sinx 图象上各点向左平移 个单位, 得 6 π? π? 到 y=sin? 再把 y=sin? ?x+6?的图象, ?x+6?的图象上 各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得 x π? x π? 到 y=sin? 最后把 y=sin? ?2+6?的图象, ?2+6?的图象 上各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变), x π? 得到 y=2sin? 2 ? +6?图象. 11. 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0, 0<φ<π) π ? 的周期为 π,图象的一个对称中心为? ?4,0?,将函 数 f(x)图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 π (纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移 个单位 2 长度后得到函数 g(x)的图象. 求函数 f(x)与 g(x)的解 析式. 2π 解:由已知得 =π,解得 ω=2. ω π ? 又曲线 y=f(x)的一个对称中心为? ?4,0?, π π ∴2× +φ=kπ+π,即 φ=kπ+ . 4 2

π 又 0<φ<π,∴φ= ,∴f(x)=cos2x. 2 将函数 f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来 的 2 倍(纵坐标不变)后可得 y=cosx 的图象,再将 y π =cosx 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g(x) 2 π x- ?的图象,即 g(x)=sinx. =cos? ? 2? π? 已知函数 f(x)=2sin? ?ω x+φ-6?(0<φ <π, ω >0)为偶函数, 且函数 y=f(x)图象的两相邻 π 对称轴间的距离为 . 2 π? (1)求 f? ?8?的值; π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位后, 6 再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x) 的单调递减区间. 解:(1)∵f(x)为偶函数, π π 2π ∴φ- =kπ+ ,k∈Z,解得 φ= +kπ. 6 2 3 2π 2π π 又∵0<φ<π,∴φ= .由题意 =2× ,得 ω 3 2 ω =2. π? π 故 f(x)=2cos2x,f? ?8?=2cos4= 2. π (2) 将 f(x) 的图象向右平移 个单位后,得到 6 π? f? ?x-6?的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长 x π? 到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到 f? ?4-6?的图象, x π? x π x π - =2cos?2? - ??=2cos? - ?, 所以 g(x)=f? ?4 6? ? ?4 6?? ?2 3 ? x π 当 2kπ≤ - ≤2kπ+π(k∈Z), 2 3 2 8 即 4kπ+ π≤x≤4kπ+ π(k∈Z)时,g(x)单调递 3 3 减. 因 此 g(x) 的 单 调 递 减 区 间 为 ?4kπ+2π,4kπ+8π? (k∈Z). 3 3 ? ?

§4.5

三角函数模型的应用
200 A. m 3 100 3 C. m 3 解:如图, 200 3 B. m 3 100 D. m 3

1.如果某种变化着的现象具有周期性,那么 它就可以借助____________来描述. 2.三角函数作为描述现实世界中________现 象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻 画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分 重要的作用. 具体的, 我们可以利用搜集到的数据, 作出相应的“散点图”,通过观察散点图并进行 ____________而获得具体的函数模型,最后利用这 个函数模型来解决相应的实际问题. 3.y=|sinx|是以______为周期的波浪形曲线. 4.太阳高度角 θ、楼高 h0 与此时楼房在地面 的投影长 h 之间有如下关系:________________. 自查自纠: 1.三角函数 2.周期 函数拟合 3.π 4.h0=htanθ

已知某人的血压满足函数解析式 f(t) = 24sin160πt+110.其中 f(t)为血压(mmHg),t 为时间 (min),则此人每分钟心跳的次数为( ) A.60 B.70 C.80 D.90 1 160π 解: 由题意可得 f= = =80.所以此人每分 T 2π 钟心跳的次数为 80.故选 C. 某班设计了一个八边形的班徽(如图), 它由 腰长为 1,顶角为 α 的四个等腰三角形及其底边构 成的正方形所组成,该八边形的面积为( )

设塔高为 h m, 则有 100tan30° =(100-h)tan60° , 200 ∴h= (m).故选 A. 3 已知某种交流电电流 I(A)随时间 t(s)的变化 π? 规律可以拟合为函数 I=5 2sin? ?100πt-2?,t∈[0, +∞),则这种交流电在 0.5 s 内往复运动的次数为 ________次. 1 ω 100π 解:∵f= = = =50, T 2π 2π ∴0.5 s 内往复运动的次数为 0.5×50=25.故填 25. 某市的纬度是北纬 21° 34′, 小王想在某住 宅小区买房,该小区的楼高 7 层,每层 3 m,楼与 楼之间相距 15 m, 要使所买楼房在一年四季正午的 太阳不被前面的楼房遮挡,最低应该选择第______ 层的房(地球上赤道南北各 23° 26′处的纬线分别叫 南北回归线.冬季我国白天最短的一天冬至日太阳 直射在南回归线上). 解:设最低高度为 h0,则由题意知,太阳的高 34′-(-23° 26′)|=45° 度角为 90° -|21° , ∴15 21-h0 = ,得 h0=6. tan45° ∴最低应选在第 3 层.故填 3.

A.2sinα-2cosα+2 B.sinα- 3cosα+3 C.3sinα- 3cosα+1 D.2sinα-cosα+1 1 解: 四个等腰三角形的面积之和为 4× ×1×1 2 × sinα = 2sinα. 再由余弦定理可得正方形的边长为 12+12-2×1×1×cosα= 2-2cosα, 故正方形的 面积为 2-2cosα,所以所求八边形的面积为 2sinα -2cosα+2.故选 A. 在 100 m 的山顶上,测得山下一塔顶与塔 底的俯角分别为 30° ,60° ,则塔高为( )

类型一

建立三角模型

如图, 某大风车的半径为 2 m, 每 12 s 旋转一周,它的最低点 O 离地面 0.5 m.风车圆周 上一点 A 从最低点 O 开始,运动 t(s)后与地面的距 离为 h(m).

π π? C.y=sin? ?-30t+6? π π? D.y=sin? ?-30t-6? (1)求函数 h=f(t)的关系式; (2)画出函数 h=f(t)的图象. 解:(1)如图,以 O 为原点,过点 O 的圆 O1 的 切线为 x 轴,建立直角坐标系,设点 A 的坐标为(x, y),则 h=y+0.5. 2π 解: 由题意, 函数的周期为 T=60, ∴ω= = 60 π π π ?? ? .设函数解析式为 y=sin? ?-30t+φ??0<φ<2?(秒 30 3 1 针是顺时针走动 ).∵初始位置为 P0? , ?,∴t ? 2 2? 1 1 π =0 时, y= .∴sinφ= , φ 可取 .∴函数解析式为 y 2 2 6 π π ? =sin? ?-30t+6?.故选 C.

2-y 设∠OO1A=θ,则 cosθ= , 2 y=-2cosθ+2. 2π πt 又 θ= ·t= , 12 6 πt πt 所以 y=-2cos +2,h=f(t)=-2cos +2.5. 6 6 (2)列表: t 0 3 6 9 12 h 0.5 2.5 4.5 2.5 0.5 π 描点连线,即得函数 h=-2cos t+2.5 的图象 6 如图所示:

类型二

根据解析式建立图象模型

画出函数 y=|cosx|的图象并观察其周 期. 解:函数图象如图所示.

从图中可以看出,函数 y=|cosx|是以 π 为周期 的波浪形曲线. 我们也可以这样进行验证: |cos(x + π)| = | - cosx|=|cosx|, 所以,函数 y=|cosx|是以 π 为周期的函数. 点拨: 利用函数图象的直观性,通过观察图象而获得 对函数性质的认识, 这是研究数学问题的常用方法. ( 经典题 ) 弹簧挂着的小球作上下振 动, 时间 t(s)与小球相对平衡位置(即静止时的位置) π 的高度 h(cm)之间的函数关系式是 h=2sin(2t- ), 4 t∈[0,+∞).

点拨: 本题主要考查三角函数的图象和性质,以及由 数到形的转化思想和作图技能,建立适当的直角坐 标系, 将现实问题转化为数学问题, 是解题的关键. 为了研究钟表与三角函数的关系,建 立如图所示的坐标系, 设秒针尖指向位置 P(x, y). 若 3 1 初始位置为 P0? , ?,秒针从 P0(注:此时 t=0) ? 2 2? 开始沿顺时针方向走动,则点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为( )

π π? A.y=sin? ?30t+6? π π? B.y=sin? ?-60t-6?

(1)以 t 为横坐标,h 为纵坐标,画出函数在长 度为一个周期的闭区间上的简图; (2)小球开始振动的位置在哪里? (3)小球最高点、最低点的位置及各自距平衡位 置的距离分别是多少? (4)小球经过多长时间往复振动一次? (5)小球 1s 能振动多少次? π? 解:(1)画出 h=2sin? ?2t-4?的简图(长度为一个

周期). 按五个关键点列表: t π 2t- 4 π 2t- ? 2sin? 4 ? ? π 8 0 0 3π 8 π 2 2 5π 8 π 0 7π 8 3π 2 -2 9π 8 2π 0

的时间)? 解:(1)根据数据画出散点图,根据图象,可考 虑用函数 y=Asin(ωt+φ)+h 刻画水深与时间之间 的对应关系,则周期 T=12,振幅 A=3,h=10,

描点并将它们用光滑的曲线连接起来,即得 h π 2t- ?(t≥0)在一个周期的简图,如图所示. =2sin? 4? ?

π - ?=- 2,即小球开始 (2)t=0 时,h=2sin? ? 4? 振动时的位置为 (0 ,- 2)( 平衡位置的下方 2 cm 处). 3π 7π (3)t= +kπ(k∈N)时,h=2;t= +kπ(k∈N) 8 8 3 π ? 时,h=-2.即最高点位置? ? 8 +kπ,2?,最低点位 7π ? 置? ? 8 +kπ,-2?,k∈N,最高点、最低点到平衡位 置的距离均为 2cm. (4)小球往复振动一次所需时间即周期, 2π T= =π≈3.14(s). 2 (5)小球 1s 振动的次数为频率, 1 1 1 f= = ≈ ≈0.318(次/s). T π 3.14

π ∴y=3sin t+10(0≤t≤24). 6 (2)由题意,该船进出港时,水深应不小于 5+ π π 1 6.5=11.5(米),即 3sin t+10≥11.5,sin t≥ ,2kπ 6 6 2 π π 5 + ≤ t ≤ 2kπ + π(k∈Z) , 0 ≤ t ≤ 24 , ∴ 12k + 6 6 6 1≤t≤12k+5(k∈Z).在同一天内取 k=0 或 1,则 1≤t≤5 或 13≤t≤17. 所以该船最早能在凌晨 1 时进港, 最晚下午 17 时出港,在港口最多停留 16 小时. 点拨: (1)这是一道根据生活中的实例编拟的题目,由 表中数据抽象出数学问题(求解析式、解不等式), 从而得出船在港内最多停留的时间,这一过程体现 了数学建模的思想;(2)许多实际问题可以根据以前 的记录数据寻找模拟函数,再结合几个关键数据求 出解析式. 某“帆板”集训队在一海滨区域进 行集训,该海滨区域的海浪高度 y( 米 ) 随着时间 t(0≤t≤24,单位:时)而周期性变化,每天各时刻 t 的浪高数据的平均值如下表: 3 6 9 12 15 18 21 24 t/时 0 y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0 (1)试画出散点图; (2)观察散点图,从 y=at+b,y=Asin(ωt+φ) +b,y=Acos(ωt+φ)中选择一个合适的函数模型, 并求出该拟合模型的解析式; (3)如果确定在白天 7 时~19 时当浪高不低于 0.8 米时才进行训练,试安排恰当的训练时间. 解:(1)

类型三

三角函数拟合

受日月引力影响,海水会发生涨落, 在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞; 卸货后,在不至搁浅时返回海洋,某港口水的深度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作 y =f(t).下面是该港口在某季节每天水深的数据:
t(时) y(米) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0

(1)根据以上数据,求出函数 y=f(t)的近似表达 式; (2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距 离为 5 米或 5 米以上认为是安全的(船舶停靠时, 船 底只需不碰海底即可),某船吃水深度(船底离水面 距离)为 6.5 米,如果该船在同一天内安全进出港, 问它至多能在港内停留多长时间 (忽略进出港所需

(2)由(1)知选择 y=Asin(ωt+φ)+b 较合适. 由图知,A=0.4,b=1,T=12, 2π π π 所以 ω= = , 把 t=0, y=1 代入 y=0.4sin( T 6 6 π t+φ)+1, 得 φ=0, 所以所求的解析式为: y=0.4sin 6

t+1(0≤t≤24). π π 1 (3)由 y=0.4sin t+1≥0.8,得 sin t≥- , 6 6 2 π πt 7π 则- +2kπ≤ ≤ +2kπ(k∈Z), 6 6 6 即 12k-1≤t≤12k+7, 所以 0≤t≤7 或 11≤t≤19 或 23≤t≤24. 即应安排在 11 时到 19 时训练较恰当.

2π 解:T= =1,来回摆动一次所需时间即为一 2π 个周期.故选 D. 2.电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I= π Asin(ω t+φ)(A>0,ω >0,0<φ< )的图象如图所示, 2 1 则 t= 秒时,电流强度 I=( ) 100

1.三角函数模型的三种模式 在现实生活中, 许多变化的现象都具有周期性, 因此,可以用三角函数模型来描述.如:气象方面 有温度的变化,天文学方面有白昼时间的变化,物 理学方面有各种各样的振动波,生理方面有人的情 绪、智力、体力变化等.研究这些应用问题,主要 有以下三种模式: ①给定呈周期变化规律的三角函数模型,根据 所给模型,结合三角函数的性质,解决一些实际问 题; ②给定呈周期变化的图象,利用待定系数法求 出函数,再解决其他问题; ③搜集一个实际问题的调查数据,根据数据作 出散点图,通过拟合函数图象,求出可以近似表示 变化规律的函数式,进一步用函数性质来解决相应 的实际问题. 2.三角函数应用问题解题流程 三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、 天文、地理和物理等实际问题,利用三角函数的周 期性、有界性等,可以解决很多问题,其解题流程 大致是:审读题目,理解题意→设角,建立三角函 数模型→分析三角函数的性质→解决实际问题.其 中根据实际问题的背景材料,建立三角函数关系, 是解决问题的关键. 3.将图象和性质赋予实际意义 在解决实际问题时,要具体问题具体分析,充 分运用数形结合的思想,灵活运用三角函数的图象 和性质.

1.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平 衡位置 O 的距离 s(cm)和时间 t(s)的函数关系式为 s π 2πt+ ?, =6sin? 6? 那么单摆来回摆动一次所需的时间 ? 为( )

A.2π s C.0.5 s

B .π s D.1 s

B.5 安 D.10 安 4 1 1 解:由图知 A=10,T=2( - )= ,ω 300 300 50 2π 2π = = =100π,∴I=10sin(100πt+φ). T 1 50 1 ? 由于图象过点? ?300,10?,代入解析式得 1 10=10sin(100π· +φ), 300 π π π ? 即 sin? ?3+φ?=1,从而3+φ=2kπ+2,φ=2kπ π + ,k∈Z. 6 π? π π ∵0<φ< ,∴φ= .∴I=10sin? ?100πt+6?. 2 6 1 π? 1 当 t= 时, I = 10sin ? ?100π·100+6? =- 5. 100 故选 A. 3.动点 A(x,y)在圆 x2+y2=1 上绕坐标原点 沿逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转一周.已知时间 1 3 t=0 时,点 A 的坐标是? , ?,则动点 A 的纵坐 ?2 2 ? 标 y 关于 t(单位:秒)的函数表达式为( ) π π π ? A.y=sin t B.y=sin? ?6t+3? 6 π π? π C.y=sin t D.y=sin? ?3t+6? 3 2π π 解:该函数的最小正周期 T=12,ω= = , T 6 π ? 可设此函数为 y=sin? ?6t+φ?,又当 t=0 时,点 A 1 3 的坐标为? , ?,∴所求函数表达式为 y= 2 2 ? ? π π? ? sin?6t+3?.故选 B. 4.如图为一半径是 3 m 的水轮,水轮圆心 O

A.-5 安 C.5 3安

距离水面 2 m,已知水轮自点 A 开始 1 min 旋转 4 圈,水轮上的点 P 到水面距离 y(m)与时间 x(s)满足 函数关系 y=Asin(ωx+φ)+2,则有( )

2π 15 A.ω= ,A=3 B.ω= ,A=3 15 2π 2π 15 C.ω= ,A=5 D.ω= ,A=5 15 2π 解: ∵水轮上最高点距离水面 r+2=5 m, 即A 8π 2π +2=5,∴A=3.又∵水轮每秒钟旋转 = rad, 60 15 2π ∴角速度 ω= .故选 A . 15 5.如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针 运动,其初始位置为 P0( 2,- 2),角速度为 1, 那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致 为( )

π ? π π π 解: 当 0<x< 时, 0< -x< , 显然 y=f? ?2-x? 2 2 2 π π π sinx>0, 排除 C, D; 当 <x<π 时, - < -x<0, 2 2 2 π ? 显然 y=f? ?2-x?sinx<0,排除 B.所以只有 A 符合题 意.故选 A. 7.某时钟的秒针端点 A 到中心 O 的距离为 5 cm,秒针均匀地绕点 O 旋转,当时间 t=0 时,点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合,将 A,B 两点间的距离 d(cm)表示成 t (s)的函数,则 d=_____________, 其中 t∈[0,60].

π 解: 据点 P0 的坐标可得∠xOP0=- , 故∠xOP 4 π =t- .设点 P(x,y),则由三角函数的定义,可得 4 π? y y ? π? sin∠xOP= ,即 sin? ?t-4?=2,故 y=2sin?t-4?, r ? π?? 因此点 P 到 x 轴的距离 d=|y|=2? ?sin?t-4??,据解 析式可得 C 选项图象符合条件.故选 C.(另用排除 法易选 C) 6.已知函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y π ? =f? ) ?2-x?sinx 在[0,π]上的大致图象是(

解:如图所示,OA=OB=5(cm),秒针由 B 均 π 匀地旋转到 A 的时间为 t(s), 则∠AOB= t, 取 AB 30 1 π 中点为 C,则 OC⊥AB,从而∠AOC= ∠AOB= 2 60 t. π 在 Rt△AOC 中,AC=OAsin∠AOC=5sin t, 60 π π ∴d=AB=10sin t,t∈[0,60].故填 10sin t. 60 60 8.如图,塔 AB 和楼 CD 的水平距离为 80 m, 从楼顶 C 处及楼底 D 处测得塔顶 A 的仰角分别为 45° 和 60° ,则塔高 AB=________m,楼高 CD= ________m.(精确到 0.01 m)

(参考数据: 2=1.41421?, 3=1.73205?) 解: 在 Rt△ABD 中,BD=80 m,∠BDA=60° , ∴AB=BD· tan60° =80 3≈138.56(m). 在 Rt△AEC 中, EC=BD=80 m, ∠ACE=45° , ∴AE=CE=80(m). ∴CD=BE=AB-AE=80 3-80≈58.56(m). ∴塔 AB 的高约为 138.56 m,楼 CD 的高约为

58.56 m. 故填 138.56;58.56. 9.如图所示,在直径为 1 的圆 O 中,作一关 于圆心对称、邻边互相垂直的十字形,其中 y>x> 0.将十字形的面积表示为 θ 的函数.

间实验室需要降温? 解:(1)f(t)=10-2? 3 π 1 π ? ? 2 cos12t+2sin12t? π π? =10-2sin? ?12t+3?, ∵0≤t<24, π π? π π π 7π ∴ ≤ t+ < ,-1≤sin? ?12t+3?≤1. 3 12 3 3 π π? 当 t=2 时,sin? ?12t+3?=1; π π? 当 t=14 时,sin? ?12t+3?=-1. 于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,取得最小 值 8. 故实验室这一天最高温度为 12℃, 最低温度为 8℃,最大温差为 4℃. (2)依题意,当 f(t)>11 时实验室需要降温. π π? 由(1)得 f(t)=10-2sin? ?12t+3?, π π? 故有 10-2sin? ?12t+3?>11, π π 1 t+ ?<- . 即 sin? ?12 3? 2 7π π π 11π 又 0≤t<24,因此 < t+ < ,即 10<t 6 12 3 6 <18. 在 10 时至 18 时实验室需要降温. π? k+1 设关于 x 的方程 sin? ?2x+6?= 2 在 ?0,π?内有两个不同根 α,β,求 α+β 的值及 k 的 ? 2? 取值范围. π? k+1 解:设 C:y=sin? ?2x+6?,l:y= 2 ,在同 一坐标系中作出它们的图象如图.

解:设 S 为十字形的面积,则 π π? S=2xy-x2=2sinθcosθ-cos2θ? ?4<θ<2?. 10.已知,如图表示电流强度 I 与时间 t 的关 π π 系 I=Asin(ωt+φ)(t≥0,- <φ< )的图象. 2 2

(1)试根据图象写出 I=Asin(ωt+φ)的解析式; 1 (2)为了使 I=Asin(ωt+φ)中 t 在任意一段 秒 100 的时间内电流强度 I 能同时取得最大值|A|与最小值 -|A|,那么正整数 ω 的最小值是多少? 解:(1)由图知,A=300, 1 1 1 - ?= , T= -? 60 ? 300? 50 2π 2π ∴ω= = =100π. T 1 50 ω ω π ∵- +φ=2kπ, k∈Z, ∴φ= +2kπ= + 300 300 3 2kπ. π π? π ∵φ∈? ?-2,2?,∴φ=3. π 100πt+ ?(t≥0). ∴I=300sin? 3? ? 1 2π 1 (2)问题等价于 T≤ ,即 ≤ , 100 ω 100 ∴ω≥200π. ∴最小的正整数 ω 为 629. 11 . ( 2014·湖北 ) 某 实 验 室 一 天 的 温 度 ( 单 位: ℃)随时间 t(单位: h)的变化近似满足函数关系: π π f(t)=10- 3cos t-sin t,t∈[0,24). 12 12 (1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于 11℃, 则在哪段时

1 k+1 当 ≤ <1 时,即 0≤k<1 时,直线 l 与曲 2 2 线 C 有两个交点,且两交点的横坐标为 α,β,从图 π π 象中还可看出 α,β 关于 x= 对称,故 α+β= . 6 3 π 综上可知,0≤k<1,且 α+β= . 3

§4.6

三角恒等变换

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α± β)=____________________. (2)cos(α± β)=____________________. (3)tan(α± β)= .

计算 sin43° cos13° -sin13° cos43° 的值等于 ( ) 1 A. 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α=______________. (2)cos2α = ___________ = ___________ = ___________. (3)tan2α=_________. 3.半角的正弦、余弦、正切公式 1-cosα α (1)sin =± . 2 2 1+cosα α (2)cos =± . 2 2 1-cosα 1-cosα α sinα (3)tan =± = = . 2 sinα 1+cosα 1+cosα 4.几个常用的变形公式 (1)升幂公式:1± sinα= ; 1+cosα= ;1-cosα= . 2 2 (2)降幂公式:sin α= ;cos α= . (3)tanα±tanβ=______________________; tanα-tanβ tanα+tanβ tanαtanβ= -1=1- . tan(α-β) tan(α+β) (4)辅助角公式: asinα+bcosα= a2+b2sin(α+ φ), 其中 cosφ= , sinφ= , 或 tanφ= , φ 角所在象限与点(a,b)所在象限________. 自查自纠: 1.(1)sinαcosβ±cosαsinβ (2)cosαcosβ?sinαsinβ tanα±tanβ (3) 1?tanαtanβ 2.(1)2sinαcosα (2)cos2α - sin2α 2cos2α - 1 1 - 2sin2α 2tanα (3) 1-tan2α α α 2 α α sin ±cos ? 2cos2 4.(1)? 2sin2 2? ? 2 2 2 1-cos2α 1+cos2α (2) (3)tan(α± β)(1 ? 2 2 tanαtanβ) a b b (4) 2 一致 2 2 2 a a +b a +b

1 解:原式=sin(43° -13° )=sin30° = .故选 A. 2 α 3 (2013·江西)若 sin = ,则 cosα=( ) 2 3 2 1 1 2 A.- B.- C. D. 3 3 3 3 2 α 1 3 解: cosα = 1 - 2sin2 = 1 - 2× ? ? = . 故选 2 ?3? 3 C. sin47° -sin17° cos30° =( ) cos17° 3 1 1 3 A.- B.- C. D. 2 2 2 2 sin47° -sin17° cos30° 解: = cos17° sin(30° +17° )-sin17° cos30° = cos17° sin30° cos17° +cos30° sin17° -sin17° cos30° = cos17° 1 sin30° = .故选 C. 2 已 知 tanα + tanβ = 2 , tan(α + β) = 4 ,则 tanα·tanβ=____________. tanα+tanβ 2 1 解:tanα·tanβ=1- =1- = .故 4 2 tan(α+β) 1 填 . 2 π ? (2013·四川)设 sin2α=-sinα, α∈? ?2,π?, 则 tan2α 的值是________. π ? 解:∵sin2α=2sinαcosα=-sinα,α∈? ?2,π?, 1 3 ∴ cosα =- , sinα= ,∴ tanα =- 3, tan2α = 2 2 2×(- 3) 2tanα = = 3.故填 3. 1-tan2α 1-(- 3)2

类型二 类型一 非特殊角求值问题

给值求值问题
8 ,cos(α- 17

已知 α,β 为锐角,sinα=

求值: (1)sin18° cos36° ; 2cos10° -sin20° (2) . cos20° 2sin18° cos18° cos36° 解:(1)原式= 2cos18° 2sin36° cos36° sin72° 1 = = = . 4cos18° 4cos18° 4 2cos(30° -20° )-sin20° (2)原式= cos20° 2cos30° cos20° +2sin30° sin20° -sin20° = cos20° 2cos30° cos20° = = 3. cos20° 点拨: 对于给角求值问题,如果所给角是非特殊角, 解决这类问题的基本思路有:(1)化非特殊角为特殊 角; (2)化为正负相消的项, 消去后求值; (3)化分子、 分母使之出现公约数, 进行约分求值; (4)当有 α, 2α, 3α,4α 同时出现在一个式子中时,一般将 α 向 2α, 3α(或 4α)向 2α 转化,再求关于 2α 式子的值. ( 2013·重庆 )4cos50°- tan40°= ( ) 2+ 3 A. 2 B. 2 C. 3 D.2 2-1

21 β)= ,求 cosβ 的值. 29 π? 8 1 π 解:∵sinα= < ,α∈? ?0,2?,∴0<α<6. 17 2 π π? 21 3 ∵cos(α-β)= < ,α-β∈? ?-2,2?,0<β 29 2 π π < ,∴- <α-β<0. 2 2 8 ?2 15 ∴cosα= 1-sin2α= 1-? ?17? =17. sin(α - β) = - 1-cos2(α-β) = - 21?2 20 1-? ?29? =-29. ∴ cosβ = cos[α - (α - β)] = cosαcos(α - β) + 20 155 15 21 8 - ?= . sinαsin(α-β)= × + ×? 17 29 17 ? 29? 493 点拨: 给值求值问题,即给出某些角的三角函数式的 值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于 “变角”,如 α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β) 等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时一定 要注意角的范围的讨论.另常用的勾股数(3,4,5; 5,12,13;8,15,17;20,21,29),掌握它,可 简化计算. 1 已知 tan(α+β)=-1,tan(α-β)= , 2 则 sin2α 的值为( ) sin2β 1 1 A. B.- C.3 D.-3 3 3 sin2α sin[(α+β)+(α-β)] 解: = sin2β sin[(α+β)-(α-β)] =sin(α+β)cos(α-β)-cos(α+β)sin(α-β) = tan(α+β)+tan(α-β) 1 = .故选 A. tan(α+β)-tan(α-β) 3
sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)

sin40° cos40° 4sin40° cos40° -sin40° = cos40° 2sin80° -sin40° = cos40° 2sin(60° +20° )-sin(60° -20° ) = cos40° 3 3 sin20° + cos20° 2 2 = cos40° 3 1 ? 3? sin20° + cos20° 2 ?2 ? = cos40° 3sin50° = = 3.故选 C. cos40° 解:原式=4cos50° -

类型三

给值求角问题

已知 tanα= 3(1+m),tan(-β)= 3 (tanαtanβ+m)(m∈R),若 α,β 都是钝角,求 α+β 的值. 解: ∵-tanβ= 3tanαtanβ+ 3m, 且 tanα= 3 + 3m(m∈R), ∴tanα-(-tanβ)= 3- 3tanαtanβ,即 tanα+

tanβ= 3(1-tanαtanβ). tanα+tanβ ∴tan(α+β)= = 3>0. 1-tanαtanβ π ? ?π ? ∵α,β 都是钝角,即 α∈? ?2,π?,β∈?2,π?, 4 ∴α+β∈(π,2π).∴α+β= π. 3 点拨: 给值求角问题,可转化为“给值求值”问题, 解得所求角的某一三角函数值结合所求角的范围及 函数的单调性可求得角. 已知 α,β 均为锐角,sinα= = 10 ,求 α-β 的值. 10 解:由已知得 cosα= 1-sin2α= 3 10 . 10 ∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ 5 10 2 5 3 10 2 = × - × =- . 5 10 5 10 2 ∵sinα<sinβ,∴α<β. π π ∴- <α-β<0.∴α-β=- . 2 4 sinβ= 1-cos2β= 2 5 , 5 5 ,cosβ 5

1 =cos2β-sin2αcos2β- cos2αcos2β 2 1 =cos2β-cos2β(sin2α+ cos2α) 2 1+cos2β 1 2 2 ? = -cos2β? ?sin α+2(1-2sin α)? 2 1+cos2β 1 1 = - cos2β= . 2 2 2 证法三: (从“幂”入手, 利用降幂公式先降次) 1-cos2α 1-cos2β 左 边 = · + 2 2 1+cos2α 1+cos2β 1 · - cos2αcos2β 2 2 2 1 1 = (1 + cos2αcos2β - cos2α - cos2β) + (1 + 4 4 1 1 cos2αcos2β+cos2α+cos2β)- cos2αcos2β= . 2 2 证法四:(从“形”入手,利用配方法,先对二 次项配方) 左 边 = (sinαsinβ - cosαcosβ)2 + 1 2sinαsinβcosαcosβ- cos2αcos2β 2 1 1 2 =cos (α+β)+ sin2αsin2β- cos2αcos2β 2 2 1 =cos2(α+β)- cos(2α+2β) 2 1 1 =cos2(α+β)- [2cos2(α+β)-1]= . 2 2 点拨: ①三角函数式的变形,主要思路为角的变换、 函数变换、结构变换,常用技巧有“辅助角” “1 的 代换”“切弦互化”等,其中角的变换是核心.② 三角函数式的化简原则:尽量使函数种类最少,次 数相对较低, 项数最少, 尽量使分母不含三角函数, 尽量去掉根号或减少根号的层次,能求值的应求出 其值.③三角恒等式的证明一般有三种方式:从左 到右,从右到左,左=右=某一三角式.一般来说 都是从复杂的一端向简单的一端证明. 2(3+cos4x) 1 求证:tan2x+ 2 = . tan x 1-cos4x 4 4 sin2x cos2x sin x+cos x 证法一:左边= 2 + 2 = 2 2 cos x sin x sin xcos x 2 2 2 2 2 (sin x+cos x) -2sin xcos x = 1 2 sin 2x 4 1 1 1- sin22x 1- sin22x 2 2 = = 1 2 1 sin 2x (1-cos4x) 4 8 8-4sin22x 4+4cos22x 4+2(1+cos4x) = = = 1-cos4x 1-cos4x 1-cos4x 2(3+cos4x) = =右边. 1-cos4x

类型四

三角函数式的化简与证明
求 证 : sin2αsin2β + cos2αcos2β - 1 2

1 cos2αcos2β= . 2 证明:证法一:(复角→单角,从“角”入手) 1 左 边 = sin2αsin2β + cos2αcos2β - (2cos2α - 2 2 1)(2cos β-1) 1 = sin2αsin2β + cos2αcos2β - (4cos2αcos2β - 2 2 2 2cos α-2cos β+1) 1 =sin2αsin2β-cos2αcos2β+cos2α+cos2β- 2 1 2 2 2 2 2 =sin αsin β+cos αsin β+cos β- 2 1 1 1 =sin2β+cos2β- =1- = . 2 2 2 证法二:(从“名”入手,异名化同名) 1 左 边 = sin2αsin2β + (1 - sin2α)cos2β - 2 cos2αcos2β 1 =cos2β-sin2α(cos2β-sin2β)- cos2αcos2β 2

2(2+1+cos4x) 证法二:右边= 2sin22x 2(2+2cos22x) 2(1+cos22x) = = 2sin22x 4sin2xcos2x 2 2 2 (sin x+cos x) +(cos2x-sin2x)2 = 2sin2xcos2x 4 2(sin x+cos4x) 1 = =tan2x+ 2 =左边. 2 2 2sin xcos x tan x

解: D.

sin2α 2sinαcosα = = 2tanα = 2×3 = 6. 故选 cos2α cos2α

1.深层次领悟公式的功能、规律与内涵 对三角公式, 知其结构特征仅是第一层面要求, 重要的是要知晓公式的功能及揭示的规律与内涵. 如 1± sin2α=(sinα±cosα)2 有并项的功能, cos2α 2 =cos α-sin2α 有升幂的功能,sin2α=2sinαcosα 有 将角由大化小的功能,两角和与差的正切公式,揭 示的是同名不同角的正切函数的关系等. 2.余弦的差角公式是本节公式之源,掌握其 证明过程以及和差倍半公式的推演方法是很必要 的. 3.三角恒等证明分有条件的恒等证明和无条 件的恒等证明.对于有条件的恒等证明,需要注意 的问题有二:一是仔细观察等式两边结构上的联系 与差异,探寻消除差异(函数的差异、角的差异)的 方法;二是充分利用条件,特别是将条件变形整理 后使用. 4.熟知一些恒等变换的技巧 ①公式的正用、逆用及变形用. ②熟悉角的拆拼技巧,理解倍角与半角是相对 的,如 2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β) α 2α α α +β, 是 的半角, 是 的倍角等. 3 3 2 4 ③在三角函数运算、求值、证明中,有时需要 将常数转化为三角函数值, 尤其要重视常数“1”的各 π 种变形,例如:1=tan ,1=sin2α+cos2α 等. 4 ④在进行三角函数化简、 求值、 恒等式证明时, 常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次 降低次的方法,达到由不统一转化到统一,消除差 异的目的. 总之,三角恒等变换说到底就是“四变”,即 变角、变名、变式、变幂.通过对角的分拆,达到 使角相同;通过转换函数,达到同名(最好使式中只 含一个函数名);通过对式子变形,达到化简(尽可 能整式化、低次化、有理化);通过幂的升降,达到 幂的统一.

1 2.若 tanθ+ =4,则 sin2θ=( ) tanθ 1 1 1 1 A. B. C. D. 5 4 3 2 2 2 1 sinθ cosθ sin θ+cos θ 解: ∵tanθ+ = + = = tanθ cosθ sinθ sinθcosθ 1 1 =4,∴sin2θ= .故选 D. 1 2 sin2θ 2 cos15° -sin15° 3. 的值是( ) cos15° +sin15° 3 A.- 3 B.0 C. 3 D. 3 1-tan15° tan45° -tan15° 解: 原式= = =tan30° 1+tan15° 1+tan45° tan15° 3 = .故选 D. 3 π? 4 ? 7π? 4.已知 cos? ?α-6?+sinα=5 3,则 sin?α+ 6 ? 的值是( ) 2 3 2 3 4 4 A.- B. C.- D. 5 5 5 5 π π π α- ?+sinα=cosαcos +sinαsin + 解:∵cos? 6 ? ? 6 6 sinα 3 1 3 3 = cosα+ sinα+sinα= cosα+ sinα 2 2 2 2 π? 4 1 3 = 3? cosα+ sinα?= 3sin? ?α+6?=5 3, 2 ?2 ? π? 4 ∴sin? ?α+6?=5. 7 ? 4 ? π? ∴sin? ?α+6π?=-sin?α+6?=-5.故选 C. 3 5.已知 α 为第二象限角,sinα+cosα= ,则 3 cos2α=( ) 5 5 5 5 A.- B.- C. D. 3 9 9 3 3 解:由 sinα+cosα= 两边平方可得 1+sin2α 3 1 = , 3 2 sin2α=- . 3 ∵α 是第二象限角,∴sinα>0,cosα<0. ∴ cosα - sinα = - (cosα-sinα)2 = - 15 1-sin2α=- . 3 ∴ cos2α = cos2α - sin2α = (cosα+sinα) 3 5 15? (cosα-sinα)= 3 ×? =- .故选 A. - 3 3 ? ?

sin2α 1.若 tanα=3,则 2 的值等于( cos α A.2 B.3 C.4 D.6

)

π? 6 . ( 2014·全国课标Ⅰ ) 设 α∈ ? ?0,2? , π? 1+sinβ β∈? ) ?0,2?,且 tanα= cosβ ,则( π π A.3α-β= B.3α+β= 2 2 π π C.2α-β= D.2α+β= 2 2 sinα 1+sinβ 解: 由条件得 = ,即 sinαcosβ = cosα cosβ π π ? cosα(1+sinβ),sin(α-β)=cosα=sin? ?2-α?,∵-2 π π π π π <α -β< , 0< - α< ,∴ α -β = - α , 2α- β= . 2 2 2 2 2 故选 C. 7.(2014·课标全国卷Ⅱ)函数 f(x)=sin(x+2φ) -2sinφcos(x+φ)的最大值为________. 解:∵f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ) =sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ) =sin(x+φ)cosφ-sinφcos(x+φ) =sinx, ∴函数 f(x)的最大值为 1.故填 1. π 1 0, ? ,则 8 . 已知 sinα = + cosα ,且 α∈ ? ? 2? 2 cos2α 的值为________. π? ? sin?α-4? cos2α-sin2α cos2α 解: = =- 2(cosα π? 2 ? sin?α-4? (sinα-cosα) 2 π? 1 +sinα)=-2sin? 得 2 ?α+4?.又由 cosα-sinα=-2, π π 1 2 α+ ?=- ,cos?α+ ?=- . cos? ? 4? ? 4? 2 4 π? 由于 α∈? ?0,2?, π? π? 1 2? ∴ sin ? ?α+4? = 1-cos ?α+4? = 1-8 = 14 . 4 π cos2α 14 α+ ? = - 2× ∴ = - 2sin ? =- 4 ? ? π 4 α- ? sin? ? 4? 14 . 2 14 故填- . 2 1+cos20° 9.求 -2sin10° ·tan80° 的值. 2sin20° 2 2cos 10° sin80° 解:原式= -2sin10° · 4sin10° cos10° cos80° cos10° 2sin10° cos10° = - 2sin10° sin10° -2sin20° cos10° sin20° cos10° = - = 2sin10° sin10° 2sin10°

cos10° -2sin(30° -10° ) = 2sin10° cos10° -2(sin30° cos10° -cos30° sin10° ) = 2sin10° 1 3 ? cos10° -2? cos10° - sin10° 2 ?2 ? 3 = = . 2sin10° 2 1 13 π 10. 已知 cosα= , cos(α-β)= , 且 0<β<α< . 7 14 2 (1)求 tan2α 的值; (2)求 β 的值. 1 π 解:(1)由 cosα= ,0<α< , 7 2 1?2 4 3 得 sinα= 1-cos2α= 1-? ?7? = 7 , sinα 2tanα 所以 tanα= =4 3,tan2α= =- cosα 1-tan2α 8 3 . 47 π 13 π (2)由 0<β<α< , cos(α-β)= >0 得 0<α-β< , 2 14 2 3 3 所以 sin(α-β)= 1-cos2(α-β)= ,于是 cosβ 14 = cos[α - (α - β)] = cosαcos (α-β) + sinαsin (α-β) 1 13 4 3 3 3 1 π = × + × = ,所以 β= . 7 14 7 14 2 3 π 5 ? 11.(2014·江苏)已知 α∈? ?2,π?,sinα= 5 . π ? (1)求 sin? ?4+α?的值; 5π ? (2)求 cos? ? 6 -2α?的值. π ? 5 ,π ,sinα= , 解:(1)∵α∈? ?2 ? 5 2 5 ∴cosα=- 1-sin2α=- . 5 π ? π π ∴sin? ?4+α?=sin4cosα+cos4sinα 2 2 5 10 2 5? = ×?- + × =- , 2 ? 5 10 5 ? 2 5 (2) 由 (1) 知 sin2α = 2sinαcosα = 2× × 5 ?-2 5?=-4, 5 ? 5 ? 5 2 3 cos2α=1-2sin2α=1-2×? ? = , ?5? 5 5 π 5 π 5π ? ∴cos? ? 6 -2α?=cos 6 cos2α+sin 6 sin2α 4 3 3 1 - ? =?- ?× + ×? ? 2 ? 5 2 ? 5? 4+3 3 =- . 10 某同学在一次研究性学习中发现,以 下五个式子的值都等于同一个常数.

(Ⅰ)sin213° +cos217° -sin13° cos17° ; 2 2 (Ⅱ)sin 15° +cos 15° -sin15° cos15° ; (Ⅲ)sin218° +cos212° -sin18° cos12° ; 2 2 (Ⅳ)sin (-18° )+cos 48° - sin(-18° )cos48° ; (Ⅴ)sin2(-25° )+cos255° - sin(-25° )cos55° . (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常 数; (2)根据(1)的计算结果, 将该同学的发现推广为 三角恒等式,并证明你的结论. 解法一:(1)选择(Ⅱ)式,计算如下: sin215° +cos215° -sin15° cos15° 1 1 3 =1- sin30° =1- = . 2 4 4 (2)三角恒等式为 3 sin2α+cos2(30° -α)-sinαcos(30° -α)= . 4 证明如下: sin2α+cos2(30° -α)-sinαcos(30° -α) 2 =sin α+cos(30° -α)[cos(30° -α)-sinα] = sin2α + cos(30° - α)(cos30° cosα + sin30° sinα -sinα) =sin2α+cos(30° -α)(cos30° cosα-sin30° sinα) = sin2α + (cos30° cosα + sin30° sinα)(cos30° cosα -sin30° sinα)

=sin2α+cos230° cos2α-sin230° sin2α 3 1 =sin2α+ cos2α- sin2α 4 4 3 2 3 2 3 = sin α+ cos α= . 4 4 4 解法二:(1)同解法一. (2)三角恒等式为 3 sin2α+cos2(30° -α)-sinαcos(30° -α)= . 4 证明如下: sin2α+cos2(30° -α)-sinαcos(30° -α) 1-cos2α 1+cos(60° -2α) = + - 2 2 sinα(cos30° cosα+sin30° sinα) 1 1 1 1 = - cos2α+ + (cos60° cos2α+sin60° sin2α) 2 2 2 2 3 1 - sinαcosα- sin2α 2 2 1 1 1 1 3 3 = - cos2α + + cos2α+ sin2α - sin2α 2 2 2 4 4 4 1 3 - (1-cos2α)= . 4 4

§4.7

正弦定理、余弦定理及其应用
(4)已知两边及夹角,用____________定理,必 有一解. 4.三角形中的常用公式及变式 (1)三角形面积公式 S△= = = = = .其中 R,r 分别为三 角形外接圆、内切圆半径. A (2)A + B + C = π , 则 A = __________ , = 2 __________ ,从而 sinA = ____________ , cosA = A ____________ , tanA = ____________ ; sin = 2 A A __________ , cos = __________ , tan = 2 2 __________.tanA+tanB+tanC=____________. (3)若三角形三边 a,b,c 成等差数列,则 2b B = ____________ ? 2sinB = ____________ ? 2sin = 2 A-C A+C A-C A C 1 cos ?2cos =cos ?tan tan = . 2 2 2 2 2 3 自查自纠: a b c 1.(1) = = = 2R sinA sinB sinC b c (2)①2RsinB 2RsinC ② 2R 2R ③sinA∶sinB∶sinC 2.(1)b2+c2-2bccosA c2+a2-2cacosB a2+b2-2abcosC a2+b2 b2+c2-a2 c2+a2-b2 a2+b2-c2 (2) > < 2bc 2ca 2ab (3)互化 sin2C+sin2A-2sinCsinAcosB sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC 3.(1)正弦 (2)正弦 一解、两解或无解 ① 一解 ②两解 ③一解 ④一解 (3)余弦 (4)余弦 1 1 1 abc 1 4 . (1) absinC bcsinA acsinB (a 2 2 2 4R 2 +b+c)r π B+C (2)π-(B+C) - sin(B+C) -cos(B 2 2 +C ) B+C B+C 1 -tan(B+C) cos sin 2 2 B+C tan 2 tanAtanBtanC (3)a+c sinA+sinC

1.正弦定理 (1)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对 角的正弦的比相等,即 .其中 R 是三 角形外接圆的半径. (2)正弦定理的其他形式: ① a = 2RsinA , b = ____________ , c = ____________; a ②sinA= ,sinB= ,sinC= ; 2R ③a∶b∶c=______________________. 2.余弦定理 (1)余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其 他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦 的积的两倍.即 a2=________,b2=________, c2=________.若令 C=90° ,则 c2=________, 即为勾股定理. (2)余弦定理的变形:cosA=________,cosB= ________,cosC=________. 若 C 为锐角,则 cosC>0,即 a2+b2______c2; 若 C 为钝角,则 cosC<0,即 a2+b2______c2.故由 a2+b2 与 c2 值的大小比较,可以判断 C 为锐角、钝 角或直角. (3) 正、余弦定理的一个重要作用是实现边角 ____________,余弦定理亦可以写成 sin2A=sin2B + sin2C - 2sinBsinCcosA , 类 似 地 , sin2B = _______________;sin2C=__________________.注 意式中隐含条件 A+B+C=π. 3.解三角形的类型 (1) 已 知 三 角 形 的 任 意 两 个 角 与 一 边 , 用 ____________定理,只有一解. (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角, 用 ____________ 定 理 , 可 能 有 ________________________.如在△ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况如表: A 为钝 A 为锐角 角或直 角 图形 关系式 a= bsinA bsinA<a <b a≥b a>b

解的 ① ② ③ ④ 个数 (3)已知三边,用____________定理.有解时, 只有一解.

(2014·广东)在△ABC 中,角 A,B,C 对 应的边分别为 a, b, c, 则“a≤b”是“sinA≤sinB” 的( ) A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 a b 解: 在△ABC 中, 由正弦定理可得, = , sinA sinB a sinA 即 = ,注意到 a,b,sinA,sinB 均为正数,则 b sinB a≤b?sinA≤sinB,亦即“a≤b”是“sinA≤sinB” 的充分必要条件.故选 A. 在△ABC 中,已知 b=6,c=10,B=30° , 则解此三角形的结果有( ) A.无解 B.一解 C.两解 D.一解或两 解 c·sinB 5 解: 由正弦定理知 sinC = = ,又由 b 6 c>b>csinB 知,C 有两解.也可依已知条件,画出 △ABC,由图知有两解.故选 C. 陕西)设△ABC 的内角 A, B, C 所对的 (2013· 边 分 别 为 a, b, c, 若 bcosC + ccosB = asinA, 则 △ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 解 : 由 已 知 和 正 弦 定 理 可 得 sinBcosC + sinCcosB=sinA·sinA,即 sin(B+C)=sinAsinA,亦 π 即 sinA=sinAsinA.∵0<A<π,∴sinA=1,A= .∴△ 2 ABC 为直角三角形.故选 B. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 π a,b,c.若 a=2,B= ,c=2 3,则 b=________. 6 解:由余弦定理知 b2=a2+c2-2accosB=22+ π (2 3)2-2×2×2 3×cos6=4,b=2.故填 2. (2014·湖北)在△ABC 中,角 A,B,C 所 π 对的边分别为 a,b,c.已知 A= ,a=1,b= 3, 6 则 B=________. 1 3 3 解:由正弦定理得 = ,sinB= . π sinB 2 sin 6 π 2π π 2π ∵b>a,∴B>A,B= 或 .故填 或 . 3 3 3 3

= 2sinB. 又由于 A-C=90° , B=180° -(A+C), 故 cosC + sinC = sinA + sinC = 2sin(A + C) = 2sin(90° + 2C)= 2sin2(45° +C). ∴ 2sin(45° + C) = 2 2 sin(45° + C)cos(45° + C), 1 即 cos(45° +C)= . 2 又∵0° <C<90° ,∴45° +C=60° ,C=15° . 点拨: 利用正弦定理将边边关系转化为角角关系,这 是解此题的关键. (2014·江西)在△ABC 中, 内角 A, B, 2sin2B-sin2A C 所对的边分别是 a, b, c.若 3a=2b, 则 sin2A 的值为( ) 1 1 7 A.- B. C.1 D. 9 3 2 2sin2B-sin2A 2sin2B 解:由正弦定理得 = 2 -1= sin2A sin A 2 2 b 3 7 ? ? ? 2? ?a? -1=2×?2? -1=2.故选 D.

类型二

余弦定理的应用

类型一

正弦定理的应用

△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 A-C=90° ,a+c= 2b,求 C. 解:由 a+c= 2b 及正弦定理可得 sinA+sinC

在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B, cosB b C 的对边,且 =- . cosC 2a+c (1)求 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积. a2+c2-b2 解:(1)由余弦定理知,cosB= ,cosC 2ac a2+b2-c2 cosB b = ,将上式代入 =- 得 2ab cosC 2a+c a2+c2-b2 2ab b · 2 2 2=- , 2ac a +b -c 2a+c 整理得 a2+c2-b2=-ac. a2+c2-b2 -ac 1 ∴cosB= = =- . 2ac 2ac 2 2 ∵B 为三角形的内角,∴B= π. 3 2 (2)将 b= 13,a+c=4,B= π 代入 b2=a2+ 3 2 c2-2accosB,得 13=42-2ac-2accos π,解得 ac 3 =3. 1 3 3 ∴S△ABC= acsinB= . 2 4 点拨:

①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角 化边进行变形是迅速解答本题的关键.②熟练运用 余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程 思想在解题过程中的运用. 若△ABC 的内角 A, B, C 所对的边 a, b,c 满足(a+b)2-c2=4,且 C=60° ,则 ab 的值为 ( ) 4 2 A. B.8-4 3 C.1 D. 3 3 2 2 2 解:由余弦定理得 c =a +b -2abcosC=a2+ 2 b -ab,代入(a+b)2-c2=4 中得(a+b)2-(a2+b2 4 -ab)=4,即 3ab=4,∴ab= .故选 A. 3

化简得 b2+c2-a2=bc. b2+c2-a2 1 π ∴cosA= = ,A= . 2bc 2 3 在△ABC 中,由余弦定理得 4=a2=b2+c2- 2bccosA=b2+c2-bc≥bc,当且仅当 b=c 时取等 号, 1 1 3 ∴S△ABC= bcsinA≤ ×4× = 3.故填 3. 2 2 2

类型四

判断三角形的形状

类型三

正、余弦定理的综合应用

(2013·全国新课标Ⅱ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+ csinB. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 解:(1)由已知及正弦定理得 sinA=sinBcosC+ sinCsinB.① ∵A=π-(B+C), ∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.② 由①,②和 C∈(0,π)得 sinB=cosB. π 又 B∈(0,π),∴B= . 4 1 2 (2)△ABC 的面积 S= acsinB= ac. 2 4 由已知及余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB, π 即 4=a2+c2-2accos , 4 4 2 2 又 a +c ≥2ac,∴ac≤ , 2- 2 当且仅当 a=c 时,等号成立. 因此△ABC 面积的最大值为 2+1.

在三角形 ABC 中,若 tanA∶tanB= a2∶b2,试判断三角形 ABC 的形状. a2 sin2A tanA 解法一: 由正弦定理, 得 2= 2 , 所以 = b sin B tanB 2 sin A , sin2B sinAcosB sin2A 所以 = ,即 sin2A=sin2B. cosAsinB sin2B 所以 2A=2B,或 2A+2B=π,因此 A=B 或 A π +B= ,从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 2 a2 sin2A tanA 解法二: 由正弦定理, 得 2= 2 , 所以 = b sin B tanB 2 sin A cosB sinA ,所以 = ,再由正、余弦定理,得 sin2B cosA sinB a2+c2-b2 2ac a 2 2 2 2 2 2 2 2= ,化简得(a -b )(c -a -b )=0,即 b +c -a b 2bc 2 a =b2 或 c2=a2+b2. 从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 点拨: 由已知条件, 可先将切化弦, 再结合正弦定理, 将该恒等式的边都化为角,然后进行三角函数式的 恒等变形,找出角之间的关系;或将角都化成边, 然后进行代数恒等变形,可一题多解,多角度思考 问题,从而达到对知识的熟练掌握. 在△ABC 中,若 sin2A+sin2B<sin2C, 则△ABC 的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 解:在△ABC 中,∵sin2A+sin2B<sin2C,∴由 a2+b2-c2 2 2 2 正弦定理知 a + b <c . ∴ cosC = <0 ,即 2ab ∠C 为钝角,△ABC 为钝角三角形.故选 C.

点拨: (1) 化边为角与和角或差角公式的正向或反向 多次联用是常用的技巧;(2)已知边及其对角求 三角形面积最值是高考中考过多次的问题,既 可用三角函数求最值,也可以用余弦定理化边 后用不等式求最值. (2014·课标全国卷Ⅰ) 已知 a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2, 且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC, 则△ABC 面积的 最大值为________. 解:由正弦定理得(2+b)(a-b)=(c-b)c,

类型五

解三角形应用举例

又 AC=30t,OC=vt, 此时,轮船航行时间 t = 10 1 10 3 = ,v= = 30 3 1 3

某港口 O 要将一件重要物品用小艇送 到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位 于港口 O 北偏西 30° 且与该港口相距 20 n mile 的 A 处,并以 30 n mile/h 的航行速度沿正东方向匀速行 驶.假设该小艇沿直线方向以 v n mile/h 的航行速 度匀速行驶,经过 t h 与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇 航行速度的大小应为多少? (2) 假设小艇的最高航行速度只能达到 30 n mile/h,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速 度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并 说明理由. 解法一: (1) 设相遇时小艇航行的距离为 S n mile,则 S= 900t2+400-2· 30t· 20· cos(90° -30° ) 2 1 ? = 900t2-600t+400= 900? ?t-3? +300, 1 10 3 故当 t= 时, Smin=10 3, 此时 v= =30 3. 3 1 3 即小艇以 30 3 n mile/h 的速度航行,相遇时 小艇的航行距离最小. (2)设小艇与轮船在 B 处相遇,则

30 3. 即小艇以 30 3 n mile/h 的速度航行,相遇时 小艇的航行距离最小. (2)假设 v=30 时,小艇能以最短时间与轮船在 D 处相遇,此时 AD=DO=30t. 又∠OAD=60° ,所以 AD=DO=OA=20,解 2 得 t= . 3 据此可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30° , 航行速度的大小为 30 n mile/h.这样,小艇能以最短时间与轮船相遇. 证明如下: 如图,

v2t2=400+900t2-2· 20· 30t· cos(90° -30° ), 600 400 故 v2=900- + 2 . t t 600 400 2 3 ∵0<v≤30, ∴900- + 2 ≤900, 即 2- ≤ t t t t 0, 2 2 解得 t≥ .又 t= 时,v=30.故 v=30 时,t 取 3 3 2 得最小值,且最小值等于 . 3 此时,在△OAB 中,有 OA=OB=AB=20,故 可设计航行方案如下:航行方向为北偏东 30° ,航 行速度为 30 n mile/h,小艇能以最短时间与轮船相 遇. 解法二:(1)若相遇时小艇的航行距离最小,又 轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北 方向.

由(1)得 OC=10 3,AC=10, 故 OC>AC,且对于线段 AC 上任意点 P,有 OP≥OC>AC. 而小艇的最高航行速度只能达到 30 n mile/h, 故小艇与轮船不可能在 A, C 之间(包含 C)的任意位 置相遇. 设∠COD=θ(0° <θ<90° ),则在 Rt△COD 中, 10 3 CD=10 3tanθ,OD= . cosθ 由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间 10+10 3tanθ 10 3 分别为 t= 和 t= ,所以 30 vcosθ 10+10 3tanθ 10 3 = . 30 vcosθ 15 3 由此可得,v= . sin(θ+30° ) 3 又 v≤30,故 sin(θ+30° )≥ ,从而,30° ≤ 2 θ<90° . 由于 θ=30° 时,tanθ 取得最小值,且最小值为 3 . 3 10+10 3tanθ 于是,当 θ=30° 时,t= 取得最小 30 2 值,且最小值为 . 3 点拨: ①这是一道有关解三角形的实际应用题,解题 的关键是把实际问题抽象成纯数学问题,根据题目 提供的信息,找出三角形中的数量关系,然后利用 正、余弦定理求解.②解三角形的方法在实际问题 中,有广泛的应用.在物理学中,有关向量的计算

设小艇与轮船在 C 处相遇. 在 Rt△OAC 中,OC=20cos30° =10 3,AC= 20sin30° =10.

也要用到解三角形的方法.近年的高考中我们发现 以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之 一.③不管是什么类型的三角应用问题,解决的关 键都是充分理解题意, 将问题中的语言叙述弄明白, 画出帮助分析问题的草图,再将其归结为属于哪类 可解的三角形.④本题用几何方法求解也较简便. 如图,某公司要在 A,B 两地连线上 的定点 C 处建造广告牌 CD,

其中 D 为顶端,AC 长 35 米,CB 长 80 米.设 A,B 点在同一水平面上,从 A 和 B 看 D 的仰角分 别为 α 和 β. (1)设计中 CD 是铅垂方向,若要求 α≥2β,问 CD 的长至多为多少(结果精确到 0.01 米)? (2)施工完成后,CD 与铅垂方向有偏差,现在 实测得 α=38.12° ,β=18.45° ,求 CD 的长( 2≈ 1.414, sin123.43° ≈0.83, sin18.45° ≈0.32, cos38.12° ≈0.79,结果精确到 0.01 米). π 解: (1)∵α≥2β ,且 0 < 2β≤α < ,∴ tanα ≥ 2 tan2β. |CD| 40 |CD| 即 ≥ ,解得|CD|≤20 2, 35 |CD|2 1- 6400 ∴|CD|≈28.28 米. (2) 由题得,∠ ADB = 180° - 38.12° - 18.45° = 123.43° , 35+80 |AD| ∵ = ,∴|AD|≈44.34 米. sin123.43° sin18.45° 2 2 2 ∵|CD| =35 +|AD| -2· 35· |AD|· cos38.12° , ∴|CD|≈27.19 米.

4.应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一 般步骤: (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示 意图; (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量 与求解量尽量集中到一个三角形中,建立一个解斜 三角形的模型; (3)求解: 利用正、 余弦定理有序地解出三角形, 求得数学模型的解; (4)检验:检验上述所求得的解是否符合实际意 义,从而得出实际问题的解. 5.正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理, 它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角 与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、 外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也 是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要 依据.其主要方法有:化角法,化边法,面积法, 运用初等几何法.注意体会其中蕴涵的函数与方程 思想、等价转化思想及分类讨论思想.

1.在△ABC 中,A>B 是 sinA>sinB 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解:因为在同一三角形中,角大则边大,边大 则正弦大,反之也成立,故是充要条件.故选 C. sinA cosB 2.在△ABC 中,若 = ,则∠B 的值为 a b ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° sinA cosB sinA 解:因为 = ,由正弦定理,得 = a b sinA cosB ,所以 tanB=1,B=45° .故选 B. sinB 3.如图,正方形 ABCD 的边长为 1,延长 BA 至 E, 使 AE=1, 连接 EC, ED, 则 sin∠CED=( )

1.已知两边及其中一边的对角解三角形时, 要谨防漏解. 2.在判断三角形的形状时,一般将已知条件 中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角 关系(注意应用 A+B+C=π 这个结论)或边边关系, 再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、 配 方等)求解,注意等式两边的公因式一般不要约掉, 而要移项提取公因式,否则有可能漏掉一种形状. 3.要熟记一些常见结论,如三内角成等差数 列,则必有一角为 60° ;若三内角的正弦值成等差 数列,则三边也成等差数列;内角和定理与诱导公 式结合产生的结论: sinA = sin(B + C) , cosA =- B+C A cos(B+C),sin =cos ,sin2A=-sin2(B+C), 2 2 cos2A=cos2(B+C)等.

3 10 10 5 5 A. B. C. D. 10 10 10 15 解法一: 在 △ECD 中, CD = 1 , CE = 5 , CE ∠ CDE = 135°, ∴ 由 正 弦 定 理 知 = sin∠CDE CD 5 1 ,即 = ,解得 sin∠CED sin135° sin∠CED sin∠CED 10 = . 10 解法二:由题意知 CD=1,CE= EB2+BC2= 22+12= 5,DE= AE2+AD2= 12+12= 2 ,

所以 cos∠CED=

DE2+CE2-CD2 2+5-1 = = 2DE·CE 2× 2× 5

3 10 , sin ∠ CED = 1-cos2∠CED = 10 2 3 10 10? = 1-? ?10 ? 10 .故选 B. 4 . 在 △ABC 中 , sin2A ≤ sin2B + sin2C - sinBsinC,则 A 的取值范围是( ) π π ? ? A.? B.? ?0,6? ?6,π? π ?π,π? 0, ? C.? D. 3 ? ? ?3 ? 解:由正弦定理角化边得 a2≤b2+c2-bc, b2+c2-a2 1 ∴b2+c2-a2≥bc.∴cosA= ≥ . 2bc 2 π ∴0<A≤ .故选 C. 3 5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别 为 a,b,c,若∠C=120° ,c= 2a,则( ) A.a>b B.a<b C.a=b D.a 与 b 的大小关系不能确定 解 : 据 题 意 由 余 弦 定 理 可 得 a2 + b2 - 2abcos120° =c2=( 2a)2,化简整理得 a2=b2+ab, 2 变形得 a -b2=(a+b)(a-b)=ab>0,故有 a-b>0, 即 a>b.故选 A. π 6.(2013·天津)在△ABC 中,∠ABC= ,AB 4 = 2,BC=3,则 sin∠BAC=( ) 10 10 3 10 5 A. B. C. D. 10 5 10 5 解 法 一 : 由 余 弦 定 理 得 AC2 = AB2 + BC2 - 2 2AB· BCcos ∠ ABC = ( 2)2 + 32 - 2× 2 × 3 × = 2 AC BC 5,AC= 5,又由正弦定理 = , sin∠ABC sin∠BAC 2 3× 2 3 10 BCsin∠ABC 得 sin∠BAC= = = . AC 10 5

a 则 =________. b 解法一: 由正弦定理 sinBcosC + sinCcosB = 2sinB, a sinA 即 sin(B+C)=sinA=2sinB,有 = =2. b sinB 2 2 a +b -c2 解 法 二 : 由 余 弦 定 理 得 b· + 2ab 2 2 2 a +c -b a c· =2b,化简得 a=2b,因此, =2. 2ac b 解法三:由三角形射影定理,知 bcosC+ccosB =a, a ∴a=2b,∴ =2.故填 2. b 8.(2014·四川)如图,从气球 A 上测得正前方 的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 67° ,30° ,此时 气 球 的 高 是 46m , 则 河 流 的 宽 度 BC 约 等 于 ____________m . ( 用四舍五入法将结果精确到个 位.参考数据:sin67° ≈0.92,cos67° ≈0.39,sin37° ≈0.60,cos37° ≈0.80, 3≈1.73)

解法二:设 CD 为 AB 边上的高,则由题设知 3 2 3 2 2 BD = CD = , ∴ AD = - 2 = , AC = 2 2 2 CD AD2+CD2 = 5. ∴ sin ∠ BAC = sin ∠ DAC = = CA 3 2 2 3 10 = .故选 C. 10 5 7.(2014·广东)在△ABC 中,角 A,B,C 所 对应的边分别为 a,b,c,已知 bcosC+ccosB=2b,

解:过 A 作 BC 边上的高 AD,D 为垂足.在 Rt△ACD 中,AC=92,在△ABC 中,由正弦定理 AC 92 得 BC = × sin ∠ BAC = × sin37° ≈ sin67° sin∠ABC 92 ×0.60=60(m).故填 60. 0.92 9.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b,c.角 A,B,C 成等差数列. (1)求 cosB 的值; (2)边 a,b,c 成等比数列,求 sinAsinC 的值. ?2B=A+C, ? π 解:(1)由题意知? 得 B= ,从而 3 ? ?A+B+C=π, 1 cosB= . 2 1 (2)∵b2=ac,cosB= , 2 ∴由正弦定理得 sinAsinC=sin2B=1-cos2B= 3 . 4 10. 如图, 在△ABC 中, ∠ABC=90° , AB= 3, BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90° .

1 (1)若 PB= ,求 PA; 2 (2)若∠APB=150° ,求 tan∠PBA. 解: (1)由已知得, ∠PBC=60° , ∴∠PBA=30° ,

1 1 在△PBA 中,由余弦定理得 PA2=3+ -2× 3× 4 2 7 7 cos30° = ,∴PA= . 4 2 (2) 设 ∠PBA = α ,∴∠ PCB = α , PB = sinα. 在 3 sinα △PBA 中, 由正弦定理得, = , sin150° sin(30° -α) 3 化简得 3cosα=4sinα,∴tanα= ,即 tan∠PBA 4 3 = . 4 11.(2014·安徽)设△ABC 的内角 A,B,C 所 对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,△ABC 的面积为 2,求 cosA 与 a 的值. 1 3 解:由 S△ABC= bcsinA= sinA= 2得 2 2 2 2 1 sinA= ,∴cosA=± 1-sin2A=± . 3 3 1 2 当 cosA = 时,由余弦定理得 a = b2 + c2 - 3 1 2bccosA=32+12-2×3×1× =8,a=2 2; 3 1 当 cosA=- 时,由余弦定理得 a2=b2+c2- 3 1? 2 2 2bccosA=3 +1 -2×3×1×? ?-3?=12,a=2 3.

设△ABC 是锐角三角形,a,b,c 分 π 别是内角 A,B,C 所对边长,并且 sin2A=sin( + 3 π 2 B)sin( -B)+sin B. 3 (1)求角 A 的值; → → (2)若AB· AC=12, a=2 7, 求 b, c(其中 b<c). 3 1 3 1 解: (1)∵sin2A = ? cosB+ sinB? cosB - 2 2 ?2 ?2 3 1 3 sinB+sin2B= cos2B- sin2B+sin2B= , 4 4 4 3 π ∴sinA=± .又 A 为锐角,∴A= . 2 3 → → (2)由AB·AC=12 可得 cbcosA=12.① π 由(1)知 A= ,所以 cb=24.② 3 由余弦定理知 a2=c2+b2-2cbcosA, 将 a=2 7 2 2 及①代入,得 c +b =52,③ ③+②×2,得(c+b)2=100,所以 c+b=10. 因此,c,b 是一元二次方程 t2-10t+24=0 的 两个根. 解此方程并由 c>b 知 c=6,b=4.

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的. π? 1.(2014·陕西)函数 y=cos? ?2x-6?的最小正 周期是( ) π A. B.π C.2π D.4π 2 π? 2π 解:函数 y=cos? ?2x-6?的最小正周期 T= 2 = π.故选 B. 2.“等式 sin(α+γ)=sin2β 成立”是“α,β, γ 成等差数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解: 若等式 sin(α+γ)=sin2β 成立, 则 α+γ=2β +2kπ,或 α+γ+2β=π+2kπ,k∈Z;若 α,β,γ 成等差数列,即 α+γ=2β, 则等式 sin(α+γ)=sin2β 成立.故选 B. 3.函数 y=cos2x+2sinx 的最大值为( ) 1 3 A.1 B. C. D.2 2 2 解:y=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx 1 2 3 sinx- ? + , =-2? 2? 2 ? 1 3 当 sinx= 时,ymax= .故选 C. 2 2 2014 ·福建 4.( )将函数 y=sinx 的图象向左平 π 移 个单位,得到函数 y=f(x)的图象,则下列说法 2 正确的是( ) A.y=f(x)是奇函数 B.y=f(x)的周期为 π π C.y=f(x)的图象关于直线 x= 对称 2 π - ,0?对称 D.y=f(x)的图象关于点? ? 2 ? π 解:将函数 y=sinx 的图象向左平移 个单位, 2 π ? 得到函数 f(x)=sin? 易知其图象关于点 ?x+2?=cosx, ?-π,0?对称.故选 D. ? 2 ? 湖南)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对 5.(2013· 的边长分别为 a,b.若 2asinB= 3b,则角 A 等于 ( ) π π π π A. B. C. D. 12 6 4 3

解: ∵2asinB= 3b,∴由正弦定理知 sinA= asinB 3 = . b 2 ∵△ABC 为锐角三角形,∴A=60° .故选 D. 6.△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 acosC,bcosB,ccosA 成等差数列,则 角 B 等于( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 解: acosC + ccosA = 2bcosB ,由正弦定理得 sinAcosC + sinCcosA = 2sinBcosB , sin(A + C) = 1 2sinBcosB,即 sinB=2sinBcosB,得 cosB= ,0° < 2 B<180° ,所以 B=60° .故选 B. 7.设 tanα,tanβ 是方程 x2-3x+2=0 的两根, 则 tan(α+β)的值为( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 解:由题意知 tanα+tanβ=3,tanαtanβ=2,∴ tanα+tanβ 3 tan(α+β)= = =-3.故选 A. 1-tanαtanβ 1-2 8. (2014·全国课标Ⅰ)如图, 圆 O 的半径为 1, A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为 射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂 线,垂足为 M.将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在[0,π]的图象大致为( )

解:由题意知,f(x)=|cosx|·sinx,x∈[0,π], π? 1 当 x∈ ? ?0,2? 时 , f(x) = cosx · sinx = 2 sin2x ; 当 π ? 1 x∈? ?2,π?时,f(x)=-cosx·sinx=-2sin2x.观察各 选项,故选 C. 9.若△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, b,c,且 a=1, ∠B=45° ,S△ABC=2,则 b=( ) A.5 B.25 C. 41 D.5 2

1 2 解:由 S△ABC= acsin45° = c=2, 得 c=4 2, 2 4 由余弦定理知 b2=a2+c2-2accosB=12+(4 2)2- 2 2×1×4 2× =25,b=5.故选 A. 2 10.把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横 坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平 移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到 的图象是( )

ω >0,-π<φ≤π.若 f(x)的最小正周期为 6π,且当 π x= 时, f(x)取得最大值,则( ) 2 A.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数 B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数 C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数 D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数 2π 2π 1 解:∵T=6π,∴ω= = = . T 6π 3 π? ?1 π ? ?π ? 又∵f? ?2?=2sin?3×2+φ?=2sin?6+φ?=2, π π π ∴ +φ= +2kπ,k∈Z,即 φ= +2kπ,k∈Z. 6 2 3 x π? π 又∵-π<φ≤π,∴φ= .∴f(x)=2sin? ?3+3?. 3 ∴ f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 5 ?- π+6kπ,π+6kπ? , 单 调 递 减 区 间 为 2 ? 2 ? π 7 ? +6kπ, π+6kπ?,k∈Z. 2 ?2 ? 观察各选项,故选 A. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分. 13 . cos43° cos77°+ sin43° cos167°的 值 为 ____________. 解 : cos43° cos77° + sin43° cos167° = 1 cos43° cos77° + sin43° ( - sin77° ) = cos120° =- . 故 2 1 填- . 2 14.(2014·重庆)将函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω> π π 0, - ≤φ< )图象上每一点的横坐标缩短为原来的 2 2 π 一半,纵坐标不变,再向右平移 个单位长度得到 y 6 π ? =sinx 的图象,则 f? ?6?=________. 解: 把函数 y=f(x)的横坐标缩短为原来的一半, 纵坐标不变,得 y=sin(2ωx+φ)的图象,再向右平 π ? π? ? 移 个 单 位 长 度 得 到 y = sin ? ?2ω?x-6?+φ? = 6 πω 1 sin?2ωx+φ- ?的图象,因此 2ω=1,ω= , 2 3 ? ? ωπ π π π π φ- =φ- =2kπ(k∈Z),∵- ≤φ< ,∴φ= . 3 6 2 2 6 x π? ?π? 2 2 ∴f(x)=sin? ?2+6?,f?6?= 2 .故填 2 . 15.(2014·全国卷Ⅰ)如图,为测量山高 MN, 选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点. 从A点 测得 M 点的仰角∠MAN=60° ,C 点的仰角∠CAB =45° 以及∠MAC=75° ;从 C 点测得∠MCA=60° , 已知山高 BC=100 m,则山高 MN=________m.

解:把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横 坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得 y1=cosx+ 1,向左平移 1 个单位长度得 y2=cos(x+1)+1,再 向下平移 1 个单位长度得 y3=cos(x+1).令 x=0, π 得 y3>0; 令 x= -1, 得 y3=0.观察各选项图象知, 2 只有选项 A 的图象满足要求,故选 A. θ 1 11.已知 θ 为第二象限角,且 cos =- ,那 2 2 1-sinθ 么 的值是( ) θ θ cos -sin 2 2 1 A.-1 B. C.1 D.2 2 θ 解:由 θ 为第二象限角知 在第一、三象限,又 2 θ 1 θ θ θ 由 cos =- <0 知 是第三象限角,且 cos >sin . 2 2 2 2 2 θ θ θ ?cos -sin ?2 cos -sinθ 2? 2 2 ? 2 1-sinθ 故 = = θ θ θ θ θ θ cos -sin cos -sin cos -sin 2 2 2 2 2 2 =1.故选 C. 12.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中

解:在△ABC 中,AC=100 2,在△MAC 中, MA AC = , 解得 MA=100 3, 在 Rt△MNA 中, sin60° sin45° MN 3 =sin60° = ,故 MN=150.故填 150. 2 100 3 16.(2013·全国卷Ⅰ)设当 x=θ 时,函数 f(x) =sinx-2cosx 取得最大值,则 cosθ=________. 5 2 5 ? 解: f(x)=sinx-2cosx= 5? sinx- cosx , 5 ?5 ? 5 2 5 令 cosφ= ,sinφ=- , 5 5 则 f(x)= 5(sinxcosφ+cosxsinφ)= 5sin(x+φ), π π 当 x+φ=2kπ+ , k∈Z, 即 x=2kπ+ -φ, k∈Z 2 2 π 时,f(x)取最大值,此时 θ=2kπ+ -φ,k∈Z. 2 π 2 5 ? ∴ cosθ = cos ? ?2kπ+2-φ? = sinφ =- 5 . 故填 2 5 - . 5 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 17.(10 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分 别为 a,b,c,asinA+csinC- 2asinC=bsinB. (1)求 B; (2)若 A=75° ,b=2,求 a,c. 解:(1)∵asinA+csinC- 2asinC=bsinB, ∴由正弦定理得 a2+c2- 2ac=b2. a2+c2-b2 2ac ∴由余弦定理得 cosB = = = 2ac 2ac 2 ,B=45° . 2 (2)sinA = sin(30° + 45° ) = sin30° cos45° + 6+ 2 1 2 3 2 cos30° sin45° = × + × = . 2 2 2 2 4 6+ 2 2× 4 bsinA 故 a= = =1+ 3, sinB 2 2 3 2× 2 bsinC c= = = 6. sinB 2 2 18.(12 分)(2014·陕西)△ABC 的内角 A,B, C 所对的边分别为 a,b,c. (1)若 a,b,c 成等差数列,证明:sinA+sinC =2sin(A+C); (2)若 a,b,c 成等比数列,求 cosB 的最小值.

解:(1)证明:∵a,b,c 成等差数列,∴a+c =2b. 由正弦定理得 sinA+sinC=2sinB. ∵sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), ∴sinA+sinC=2sin(A+C). (2)∵a,b,c 成等比数列,∴b2=ac. 由余弦定理得 a2+c2-b2 a2+c2-ac 2ac-ac 1 cosB= = ≥ = , 2ac 2ac 2ac 2 当且仅当 a=c 时等号成立. 1 ∴cosB 的最小值为 . 2 x π? 19.(12 分)已知函数 f(x)=2sin? ?3-6?,x∈R. 5π? (1)求 f? ? 4 ?的值; π? ? π? 10 (2)设 α,β∈? ?0,2?,f?3α+2?=13,f(3β+2π) 6 = ,求 cos(α+β)的值. 5 5π? ?1×5π-π?=2sinπ= 2. 解:(1)f? = 2sin ?4? ?3 4 6? 4 π? π? π 1 10 ? ? ? (2)∵ = f ? ?3α+2? = 2sin ?3×?3α+2?-6? = 13 1 π 6 ×(3β+2π)- ? = 2sinα , = f(3β + 2π) = 2sin ? 3 6? ? 5 π? 5 3 2sin? ?β+2?=2cosβ,∴sinα=13,cosβ=5. π? 又∵α,β∈? ?0,2?, 5 ?2 12 ∴cosα= 1-sin2α= 1-? ?13? =13, 3?2 4 sinβ= 1-cos2β= 1-? ?5? =5. 12 3 5 故 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= × - 13 5 13 4 16 × = . 5 65 20.(12 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0 ≤φ≤π)为偶函数, 其图象上相邻的两个最高点之间 的距离为 2π. (1)求 f(x)的解析式; π π? ? π 1 5π? (2)若 α∈? f?α+3? 求 sin? ?-3,2?, ?=3, ?2α+ 3 ? 的值. 解:(1)∵图象相邻的两最高点间的距离为 2π, 2π ∴T=2π,则 ω= =1. T π ∵f(x)是偶函数,∴φ=kπ+ (k∈Z), 2 π 又 0≤φ≤π,∴φ= . 2 π ? ∴f(x)=sin? ?x+2?=cosx.

π π? π ? 5π? (2)∵α∈? ?-3,2?,∴α+3∈?0, 6 ?. π 1 α+ ?= , 由已知 cos? ? 3? 3 π ? 2 2 得 sin? ?α+3?= 3 . 5π? 2π? ? ∴sin? ?2α+ 3 ?=-sin?2α+ 3 ? π? ? π? 4 2 =-2sin? ?α+3?cos?α+3?=- 9 . 21 . (12 分 )( 2014·山东 ) 已知向量 a = (m , cos2x),b=(sin2x,n),函数 f(x)=a· b,且 y=f(x) π 2 π ? ? ? 的图象过点? ?12, 3?和点? 3 ,-2?. (1)求 m,n 的值; (2)将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单 位后得到函数 y=g(x)的图象,若 y=g(x)图象上各 最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x) 的单调递增区间. 解:(1)由题意知 f(x)=a· b=msin2x+ncos2x. π 2π , 3?和? ,-2?, ∵y=f(x)的图象过点? ?12 ? ?3 ? π π 3=msin +ncos , 6 6 ∴ 即 4π 4π -2=msin +ncos , 3 3 1 3 3= m+ n, 2 2

k∈Z. 22.(12 分)在一个特定时段内,以点 E 为中心 的 7 n mile 以内海域被设为警戒水域,点 E 正北 55 n mile 处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速 直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45° 且与点 A 相距 40 2 n mile 的位置 B,经过 40 min 又测得该船已 26 行驶到点 A 北偏东 45° +θ(其中 sinθ= ,0° <θ 26 <90° )且与点 A 相距 10 13 n mile 的位置 C. (1)求该船的行驶速度(单位: n mile/h); (2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是 否会进入警戒水域,并说明理由. 解:(1)如图,AB=40 2,AC=10 13,∠BAC 26 = θ , sinθ = . 由于 0° < θ < 90° ,所以 cosθ = 26 26?2 5 26 = . 26 ? 26 ? 由余弦定理得 BC= AB2+AC2-2AB· AC· cosθ =10 5. 10 5 所以船的行驶速度为 =15 5( n mile/h). 2 3 (2)如图所示,以 A 为原点建立平面直角坐标 系,设点 B,C 的坐标分别是 B(x1,y1),C(x2,y2), 2 BC 与 x 轴的交点为 D.由题设有,x1=y1= AB= 2 40,x2=ACcos∠CAD=10 13cos(45° -θ)=30,y2 =ACsin∠CAD=10 13sin(45° -θ)=20,所以过点 20 B,C 的直线 l 的斜率 k= =2,直线 l 的方程为 y 10 =2x-40. 1-?

? ? ?

? ? 3 1 ?-2=- 2 m-2n,
解得 m= 3,n=1.

π? (2)由(1)知 f(x)= 3sin2x+cos2x=2sin? ?2x+6?, π? 由题意知 g(x)=f(x+φ)=2sin? ?2x+2φ+6?, 设 y=g(x)的图象上符合题意的最高点为 (x0, 2), 由题意知 x2 0+1=1,∴x0=0, 即到点(0,3)的距离为 1 的最高点为(0,2), π? 将其代入 y=g(x)得 sin? ?2φ+6?=1. π ∵0<φ<π,∴φ= . 6 π? 因此,g(x)=2sin? ?2x+2?=2cos2x. π 由 2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z 得 kπ- ≤x≤kπ, 2 k∈Z. π ? ∴函数 y=g(x)的单调递增区间为? ?kπ-2,kπ?,

又点 E(0,-55)到直线 l 的距离 0 ? 55 ? 40 d= =3 5<7. 1? 4 所以船会进入警戒水域.


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