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考前增分策略 专题二 填空题的解题方法与技巧考]


随堂讲义?第二部分
专题二

考前增分策略

填空题的解题方法与技巧

数学填空题是一种只要求写出结果,不要求写出解

答过程的客观性试题,是高考数学中的三种常考题型之一,
填空题的类型一般可分为完形填空题、多选填空题、条件 与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改

革的试验田,创新型的填空题将会不断出现. 因此,我们 在备考时,既要关注这一新动向,又要做好应试的技能准 备.解题时,要有合理的分析和判断,要求推理、运算的 每一步都正确无误,还要求将答案表达得准确、完整. 合 情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空

题的基本要求.

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Z 重 点方法 讲 解

方法1 直接法
这是解填空题的基本方法,它是直接从题设条件 出发、利用定义、定理、性质、公式等知识,通过变

形、推理、运算等过程,直接得到结果.
例1设a=(m+1)i-3j,b=i+(m-1)j,其中i,j 为互相垂直的单位向量,又(a+b)⊥(a-b),则实数m =________ -2 .

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解析 2)j.

a+b=(m+2)i+(m-4)j,a-b=m i-(m+

∵(a+b)⊥(a-b),∴(a+b)· (a-b)=0,
∴m(m+2)i2+[-(m+2)2+m(m-4)]i· j-

(m+2)(m-4)j2=0,而i,j为互相垂直的单位向量,
故可得m(m+2)-(m+2)(m-4)=0,∴m=-2.

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ax+1 例 2 已知函数 f(x)= 在区间(-2,+∞)上为增 x+2 ?1 ? ? ,+∞? 函数,则实数 a 的取值范围是__________ ?2 ? .
解析 2)j. ∵(a+b)⊥(a-b),∴(a+b)· (a-b)=0, a+b=(m+2)i+(m-4)j,a-b=m i-(m+

∴m(m+2)i2+[-(m+2)2+m(m-4)]i· j-(m
+2)(m-4)j2=0,而i,j为互相垂直的单位向量, 故可得m(m+2)-(m+2)(m-4)=0,∴m=-2.

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方法2 特殊化法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗 示答案是一个定值时,可以把题中变化的不定量用特殊 值代替,即可以得到正确结果.

在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别 cos A+cos C 为 a,b,c.若 a,b,c 成等差数列,则 1+cos Acos C 3 =__________ . 5

例3

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解析 特殊化:令 a=3,b=4,c=5,则△ABC
3 为直角三角形,cos A= ,cos C=0,从而所求 5 3 值为 . 5

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例4

过抛物线 y=ax2(a>0)的焦点 F 作一直线

交抛物线于 P,Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分 1 1 4a 别是 p,q,则 + =________ . p q
分析 此抛物线开口向上,过焦点且斜率为k的直

线与抛物线均有两个交点P、Q,当k变化时PF、FQ

的长均变化,但从题设可以得到这样的信息:尽管
PF、FQ不定,但其倒数和应为定值,所以可以针对 直线的某一特定位置进行求解,而不失一般性.

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? 1? 0, ?把直线 解析 设 k = 0,因抛物线焦点坐标为? 4a? ?

1 1 方程 y= 代入抛物线方程得 x=± ,∴|PF|=|PQ| 4a 2a 1 1 1 = ,从而 + =4a. 2a p q

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求值:cos2α+cos2(α+120°)+cos2(α+ 3 240°)=__________ . 2 例5

题目中“求值”二字提供了这样信息: 答案 3 为一定值,于是不妨令 α=0°,得结果为 . 2

解析

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方法3 数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题,若能数中思 形,以形助数,则往往可以简捷地解决问题,得出正 确的结果. 例 6 A,且 A
[2,+∞) ________ .

如果不等式

4x- x2 >(a-1)x 的解集为

{x|0< x<2},那么实数 a 的取值范围是

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解析 根 据 不等 式解 集 的几 何意 义, 作 函数 y =

4x- x2和 y=(a-1)x 的图象(如图),从图上容易 得出实数 a 的取值范围是[2,+∞).

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y 例 7 已知实数 x, y 满足(x-3) +y =3, 则 x-1 的最大值是__________ . 3
2 2

解析 x-1可看作是过点 P(x,y)与 M(1,0)的直线
的斜率,其中点 P 在圆(x-3)2+y2=3 上,如图, y 当直线处于图中切线位置时,斜率 最大,最大 x-1 值为 tan θ= 3.

y

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方法4 等价转化法
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”,将问题等价 地转化成便于解决的问题,从而得出正确的结果.

1 36 . __________ , b = __________ 8

例 8

3 不等式 x > ax + 的解集为 (4 , b) ,则 a = 2

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解析
2

设 x=t,则原不等式可转化为:

3 at -t+ <0,∴a>0,且 2 与 b(b>4)是方程 2 1 的两根,由此可得 a= ,b=36. 8

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例9

不论k为何实数,直线y=kx+1与曲线x2+

y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点,则实数a的取值范 围是__________ [-1,3] .

解析 题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上, ∴a2+1≤2a+4.∴-1≤a≤3.

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例 11

函数 y= 4x-1+2 3-x的单调递减区

?13 ? ? ,3? ?8 ? 间为_____________________ .

解析 易知 x∈?1,3?,y>0.∵y 与 y2 有相同的单调区 4
? ?

?

?

间,而 y2=11+4 -4x2+13x-3,
?13 ? ? ∴可得结果为 8 ,3?. ? ?

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小结反思 1.数学填空题,绝大多数是计算型(尤其是推理 计算型)和概念(性质)判断型的试题,解答时必须按规则 进行正确的计算或者合乎逻辑的推演和判断. 2.求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、

“快”上下功夫.常用的方法有直接法、特殊化法、数
形结合法、等价转化法等.

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