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吉林省长春市2012届高三第三次调研测试


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2012 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试

2012 年长春市高中毕业班第三次调研测试



学(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间为 120 分钟,其中第Ⅱ卷 22 题-24 题为选考题,其它题为必考题.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1. 答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2. 选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹 清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷 上答题无效. 4. 保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 .... 目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上). 1.若集合 A ? {x | x2 ? 4} ,则集合 { y | y ? x ? 1 , x ? A} ? A. { y | 0 ? y ? 1} 2. 若 B. { y | 0 ? y ? 1} C. { y | 0 ? y ? 3} D. { y | 0 ? y ? 3}

3 ? 2i ? 1 ? i ,则 z ? z
5 2
B.

1 5 1 5 ? i D. ? ? i 2 2 2 2 2 2 3.直线 l : x ? my ? 2 与圆 M: x ? 2 x ? y ? 2 y ? 0 相切,则 m 的值为 1 A.1 或-6 B.1 或-7 C.-1 或 7 D.1 或 ? 7
A. ? ? i

1 2

1 5 ? i 2 2

C.

4.对四组数据进行统计,获得以下散点图,关于其相关系数比较,正确的是

相关系数为 r1

相关系数为 r2

相关系数为 r3

相关系数为 r4

A. r2 ? r4 ? 0 ? r3 ? r1 C. r4 ? r2 ? 0 ? r3 ? r1

B. r4 ? r2 ? 0 ? r1 ? r3 D. r2 ? r4 ? 0 ? r1 ? r3

5.各项都是正数的等比数列 {an } 中, 3a1 , 1 a3 , 2a2 成等差数列, 2

a10 ? a12 ? a15 ? a19 ? a20 ? a23 ? a8 ? a10 ? a13 ? a17 ? a18 ? a21 A. 1 B. 3 C. 6 ? 1 6.函数 f ( x) ? 3cos x ? log 2 x ? 的零点个数为 2 2
则 A.2 B.3 C.4

D. 9

D.5

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7.一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果是 填入的条件是 A. i <4 C. i <5 8.函数 f ( x) ? A sin(? x ? 个公差为 图像 A.向左平移 C.向左平移 B. i >4 D. i >5

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1 ,则判断框内应 63

?
6

) (? ? 0) 的图像与 x 轴的交点的横坐标构成一

? 的等差数列, 要得到函数 g ( x) ? A cos ? x 的图像只需将 f ( x ) 的 2

? 6 2?
3

B.向右平移

? 3

D.向右平移

2? 3

9.给出下列说法: ①命题“若 ? ,则

1 ”的否命题是假命题; 6 2 ②命题 p: ?x ? R ,使 ?sin x ? 1,则 ? p : ?x ? R,sin x ? 1 ; 0 0

??

sin ? ?

③“

??

?
2

? 2 k? ( k ? Z ) ?x ?0 ) , (

”是“函数 y ? sin(2 x ? ? ) 为偶函数”的充要条件; , “在△ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A ? B ”. 1 ” 命题 q : 2

④命题 p : “

? ,使
2

sin x ? cos x ?

那么命题( ? p ? q )为真命题. 其中正确的个数是 A. 4 B. 3
2 2

C.

2

D. 1

10.双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右是焦点是抛物线 y 2 ? 8x 的焦点,两曲线的一个公共点为 P,且 2 a b
B.

|PF|=5,则该双曲线的离心率为 A.

5 2

5

C.

2

D.

2 3 3

11.四棱锥 S ? ABCD 的所有顶点都在同一个球面上,底面 ABCD 是正方形且和球心 O 在同一平面内,当 此四棱锥的体积取得最大值时,它的表面积等于 4 ? 4 3 ,则球 O 的体积等于 A.

4 2 ? 3

B.

8 2 ? 3

C.

16 2 ? 3

D.

32 2 ? 3

12.现有 4 名教师参加说题比赛,共有 4 道备选题目,若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题, 其中恰有一道题没有被这 4 位选中的情况有 A.288 种 B.144 种 C.72 种 D.36 种

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第Ⅱ (非选择题,共 90 分) 卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上). 13.二项式 ( ? x )(1 ?

2 x

x ) 4 的展开式中 x 的系数是___________.

6

5

14.某长方体的三视图如右图,长度为 10 的体对角线在正视图中的长度为 6 ,在 侧视图中的长度为 5 ,则该长方体的全面积为________________. 15.等比数列 {an } 的首项为 a ,公比为 q ,其前 n 项和为 Sn ,则数列 {Sn } 为递增数列 的充分必要条件是________________. 16、

正视图

侧视图

俯视图

如果直线 2ax ? by ? 5 ? 0 (a ? 0, b ? 0) 和函数 f ( x) ? mx?1 ? 1 (m ? 0, m ? 1) 的图像恒过同一
2 2

个定点,且该定点始终落在圆 ( x ? a ? 1) ? ( y ? b ? 2) ?

85 ab 的内部或圆上,那么 的取值范围 4 2a ? b

是_______________. 三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17、 (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,向量 m ? (2cos B,1) ,向量 n ? (2 cos (
2

??

?

?

4

?

?? ? ?? ? B ), ?1 ? sin 2 B) ,且满足 m ? n ? m ? n . 2

⑴ 求角 B 的大小; ⑵ sin A ? sin C 的取值范围. 求 18.(本小题满分 12 分) 2012 年 2 月份,从银行房贷部门得到好消息,首套住房贷款利率将 回归基准利率. 某大型银行在一个星期内发放贷款的情况统计如图 所示: ⑴ 求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限(取过剩近似整数 值) ; ⑵ 从本周内该银行所借贷客户中任意选取两位,求他们贷款年限相同的概 率; ⑶ 假设该银行此星期的贷款业绩一共持续 10 个星期不变,在这段时
2 2

间里,每星期都从借贷客户中选出一人,记 ? 表示其中贷款年限不超过 20 年得人数,求 E (? ) .
D1
C1

19.(本小题满分 12 分) 已知四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中, AA1 ? 底面ABCD , 1

?ADC ? 90? , AB ?? CD , AD ? CD ? DD1 ? 2 AB ? 2 .
⑴ 求证: AD1 ? B1C ; ⑵ 求二面角 A1 ? BD ? C1 的正弦值; (3)求四面体 A BDC1 的体积. 1

A1

B1

D

C

A

B

20.(本小题满分 12 分)

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点, M , N 分别为其左右顶 a 2 b2 点,过 F2 的直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点. 当直线 l 与 x 轴垂直时,四边形 AMBN
已知 F1 , F2 分别为椭圆

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的面积等于 2,且满足 MF2 ? ⑴ 求此椭圆的方程;

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???? ?

??? ???? ? ? 2 AB ? F2 N .

⑵ 当直线 l 绕着焦点 F2 旋转但不与 x 轴重合时,求 AM ? AN ? BM ? BN 的取值范围. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x . ⑴ 讨论函数 f ( x ) 的单调性; ⑵ 对于任意正实数 x ,不等式 f ( x) ? kx ?

???? ???? ???? ??? ? ? ?

1 恒成立,求实数 k 的取值范围; 2

⑶ 是否存在最小的正常数 m ,使得:当 a ? m 时,对于任意正实数 x ,不等式 f (a ? x) ? f (a) ? e x 恒 成立?给出你的结论,并说明结论的合理性. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. 自圆 O 外一点 P 引圆的一条切线 PA ,切点为 A , M 为 PA 的中点,过
? 点 M 引 圆 O 的 割 线 交 该 圆 于 B, C 两 点 , 且 ?BMP ? 100 ,

?BPC ? 40? .
⑴ 求证: ?MBP 与 ?MPC 相似; ⑵ ?MPB 的大小. 求 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲. 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 M 的参数方程为 ?

? x ? sin ? ? cos ? ( ? 为参数), 若以该直角坐标系的原点 ? y ? sin 2?
4 2

O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 N 的极坐标方程为: ? sin(? ? ? ) ? 2 t (其中 t
为常数). ⑴ 若曲线 N 与曲线 M 只有一个公共点,求 t 的取值范围; ⑵ t ? ?2 时,求曲线 M 上的点与曲线 N 上点的最小距离. 当 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲. 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | 2 x ? 2 | . ⑴ 解不等式 f ( x) ? 5 ; ⑵ 若关于 x 的方程

1 ? a 的解集为空集,求实数 a 的取值范围. f ( x) ? 4

2012 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试

2012 年长春市高中毕业班第三次调研测试 数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.D 2.C 3. B 4. A 5.D 6. B 7.C 8.A 9.B 10.C 11.B 12.B 简答与提示: A.D 集合 A ? {x | ?2 ? x ? 2} , ?1 ? x ? 1 ? 3 ,则 0 ? x ? 1 ? 3 ,即

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{y | y ? x ?1 , x ? A} ? {y | 0 ? y ? 3} .故选 D.
B.C 由于 z ?

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3 ? 2i (3 ? 2i)(1 ? i) 3 ? 2 i ? 3i ? 2 1 5 ? ? ? ? i . 故选 C. 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2 2

C.B 由题意可知,圆 M : x2 ? 2 x ? y 2 ? 2 y ? 0 的圆心 (?1, ?1) 到直线 l : x ? my ? 2 的距离为圆的半 径 2 ,由点到直线的距离公式可知 m ? 1 或 m ? ?7 . 故选 B. D.A 由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知 r2 ? r4 ? 0 ? r3 ? r ,故选 A. 1

q E.D 由题意 a3 ? 3a1 ? 2a2 , a1q2 ? 3a ? 2a q , 即 可得 q 2 ? 2q ? 3 ? 0 , ? 3 或 q ? ?1 , 又已知 q ? 0 , 1 1

a10 ? a12 ? a15 ? a19 ? a20 ? a23 ? q 2 ? 9 .故选 D. a8 ? a10 ? a13 ? a17 ? a18 ? a21 ? 1 F.B 在同一坐标系内画出函数 y ? 3cos x 和 y ? log 2 x ? 的图像,可得交点个数为 3. 故选 B. 2 2 G.C 初始值 i ? 1, T ? 0, P ? 15 ,第一次循环后 i ? 2, T ? 1, P ? 5 ,第二次循环后 i ? 3, T ? 2, P ? 1 ,第
即 q ? 3,

1 1 ,第四次循环后 i ? 5, T ? 4, P ? ,因此循环次数应为 4 次,故 i ? 5 可 7 63 以作为判断循环终止的条件. 故选 C. ? ? H.A 由函数 f ( x) ? A sin( ?x ? ) (? ? 0) 的图像与 x 轴的交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列可 6 2
三次循环后 i ? 4, T ? 3, P ? 知,函数 f ( x ) 的周期为 ? ,可知 ? ? 2 ,即函数 f (x) ? A sin(2 x ? ) , g ( x) ? A cos 2 x ,可将 g ( x) 化为
?

? ? g ( x) ? A sin(2 x ? ) ,可知只需将 f ( x ) 向左平移 个单位即可获得 2 6
1 ? 1 ”的否命题是“若 ? ? ,则 sin ? ? ”,是假命题,因此① 6 6 2 2 正确;命题 p : ?x0 ? R, 使 sin x0 ? 1 ,则 ?p : ?x ? R, sin x ? 1 完全符合命题否定的规则,因此②
,则 sin ? ? 也正确; “函数 y ? sin(2 x ? ? ) 为偶函数”的充要条件是 sin ? ? ?1 ,即 ? ? k? ?
f ( x ? ) ? A sin[2( x ? ) ? ] ? Asin(2 x ? ) . 故选 A. 6 6 6 2

6

?

?

?

?

I.B 命题“若 ? ?

?

?

: ③错误;命题 p “?x ? (0,

?
2

2

(k ? Z ) ,因此

) ,使 sin x ? cos x ?

1 ”中 2

? 2 2 ? sin x ? cos x) ? 2 sin( x ? ) ,当 x ? (0, ) 时, 2 2 2 4 ? ? 1 1 ? 2 sin( x ? ) ? 2 ,即 p “?x ?(0, ) ,使 sin x ? cos x ? ”为假命题,而命题 q “在?ABC : : 4 2 2 中,若 sin A ? sin B ,则 A ? B ”为真命题,可知命题( ? p ) ? q 为真命题,因此④正确.一共有 3
sin x ? cos x ? 2(
个正确. 故选 B.

x2 y 2 2 J.C 双曲线 2 ? 2 ? 1 的右焦点 F 是抛物线 y ? 8x 的焦点可知 c ? 2 ,又 PF ? 5 可知 P 到抛物线的 a b x2 y 2 准线 x ? ?2 的距离为 5, 可设 P(3, m) , 根据两点间距离公式可得到 m ? 2 6 , 将双曲线 2 ? 2 ? 1 a b 2 2 x y 2 2 ? 1 ,代入点 P 的坐标并求解关于 a 2 的一元二次方程, 方程化为 2 ? 可求得 a ? 1 或 a ? 36 . a 4 ? a2 2 2 2 2 又 c ? a ,可将 a ? 36 舍去,可知 a ? 1 ,即 a ? 1 , (或根据双曲线定义得 2a=|PF2|-|PF1|=2) ,综

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上可知双曲线的离心率为 e ?

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c 2 ? ? 2 . 故选 C. a 1 K.B 由题意可知四棱锥 S ? ABCD 的所有顶点都在同一个球面上,底面 ABCD 是正方形且和球心 O 在
同一平面内,当体积最大时, 可以判定该棱锥为正四棱锥,底面在球大圆上,可得知底面正方形的对 角线长度为球的半径 r ,且四棱锥的高 h ? r ,进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为 2r 的正三 角形,底面为边长为 2r 的正方形,所以该四棱锥的表面积为

S ? 4?

3 ( 2r )2 ? ( 2r )2 ? 2 3r 2 ? 2r 2 ? (2 3 ? 2)r 2 ? 4 ? 4 3 , 4

因此 r ? 2 , r ?
2

4 4 8 2? . 故选 B. 2 ,进而球 O 的体积 V ? ? r 3 ? ? ? 2 2 ? 3 3 3

L.B

3 首先选择题目,从 4 道题目中选出 3 道,选法为 C4 ,而后再将获得同一道题目的 2 位老师选出,

2 3 3 2 3 选法为 C4 , 最后将 3 道题目, 分配给 3 组老师, 分配方式为 A3 , 即满足题意的情况共有 C4 C4 A3 ? 144

种. 故选 B. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 3 15. a ? 0 且 q ? 0 简答与提示: M.利用分步计数原理与组合数公式,符合题目要求的项有 系数为 3. N.由体对角线长 10 , 正视图的对角线长 6 , 侧视图的对角线长 5 , 可得长方体的长宽高分别为 5 , 2,1,因此其全面积为 2( 5 ?1 ? 5 ? 2 ? 1? 2) ? 4 ? 6 5 . O.由 Sn?1 ? Sn 得, q ? 1 时,Sn?1 ? Sn ? a ? 0 ; q ? 1 时,Sn?1 ? Sn ? aqn ? 0 , a ? 0 ,1 ? q ? 0 . 当 当 即 综合可得数列 {Sn } 单调递增的充要条件是: a ? 0 且 q ? 0 . P.根据指数函数的性质,可知函数 f ( x) ? mx?1 ? 1(m ? 0, m ? 1) 恒过定点 (?1, 2) ,将点 (?1, 2) 代入 14. 4 ? 6 5 16. [ , ]

3 5 7 9

2 ? (? x ) 4 和 x ?14 ,求和后可得 3x ,即 x 的 x

ab 作如下变形: 2a ? b ab 1 5 5 5 ? ? ? ? 2a ? b 1 ? 2 (a ? 2b) ? ( 1 ? 2 ) 1 ? 4 ? 2( b ? a ) 5 ? 2( b ? a ) . a b a b a b a b 5 2 85 2 . 由于 (?1, 2) 始终落在所给圆的内部或圆上,所以 a ? (b ? ) ? 2 4 ?a ? 2b ? 5 ?a ? 1 ?a ? 3 ? 由? 2 或? ,这说明点 ( a, b) 在以 A(1, 2) 和 B(3,1) 为端点的线段 5 2 85 ,解得 ? ?b ? 2 ?b ? 1 ?a ? (b ? 2 ) ? 4 ? b 1 b a 10 ab 上运动,所以 的取值范围是 [ , 2] ,从而 ? 的取值范围是 [2, ] ,进一步可以推得 的 a 3 a b 3 2a ? b 3 5 取值范围是 [ , ] . 7 9

ax ? by ? 5 ? 0 ,可以得 a ? 2b ? 5 . 对

三、解答题(本大题必做题 5 小题,三选一选 1 小题,共 70 分) Q.(本小题满分12分)

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?

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【命题意图】本小题借助向量的垂直与数量积考查三角函数的化简,并且考查利用三角函数的变换与 辅助角公式求取三角函数的值域. 【试题解析】解:⑴由 m ? n ? m ? n ,可知 m ? n ? m ? n ? 0 .

?? ?

B ), ?1 ? sin 2 B) ? (1 ? sin B, ?1 ? sin 2B) , 4 2 ?? ? ? 1 所以 m ? n ? 2cos B ? sin 2B ?1 ? sin 2B ? 2cos B ?1 ? 0 , cos B ? , ?B ? . 2 3
2 然而 m ? (2cos B,1), n ? (2 cos (

??

?

?

(5 分)

2? 3 1 ? A) ? sin2 A ? ( cos A ? sin A)2 3 2 2 5 3 3 3 1 3 ? sin2 A ? cos2 A ? sin A cos A ? ? sin 2 A ? sin A cos A 4 4 2 4 2 2 3 1 1 ? cos 2 A 3 sin 2 A 3 1 ? ? ? ? ? ? 1? sin 2 A ? cos 2 A 4 2 2 2 2 4 4 1 3 1 1 ? (9分) ? 1 ? ( sin 2 A ? cos 2 A) ? 1 ? sin(2 A ? ) . 2 2 2 2 6 ? 2? ? ? 7? ? 1 ) ,即 2 A ? ? ( ? , ) ,即 sin(2 A ? ) ? ( ? ,1] 因为 ?B ? ,所以 A ? (0, 3 3 6 6 6 6 2 3 3 1 ? 3 3 2 2 所以 1 ? sin(2 A ? ) ? ( , ] ,即 sin A ? sin C 的取值范围是 ( , ] . (12分) 4 2 2 6 4 2
⑵ sin A ? sin C ? sin A ? sin (
2 2 2 2

R.(本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识,具体涉及到统计图的应用、二项分布以及数学 期望的求法. 【试题解析】⑴平均年限 n ? ⑵所求概率 P ?
10 ?10 ? 15 ?10 ? 20 ? 25 ? 25 ? 20 ? 30 ?15 ? 22(年) . (4 分) 80

2 2 2 2 2 C10 ? C10 ? C25 ? C20 ? C15 137 . ? 2 C80 632

(8 分)

⑶由条件知 ? ~ B (10,

9 45 9 ) ,所以 E? ? 10 ? ? . 16 16 8

(12 分) 二面角的求

S.(本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到线面的垂直关系、 法、空间向量在立体几何中的应用以及几何体体积的求法.

【 试 题 解 析 】 解 : ⑴ 由 四 边 形 A DD A1 是 正 方 形 , 所 以 AD1 ? A1 D . 又 AA1 ? 平 面 A B C D, 1

? , ?ADC ? 90? , 所 以 AA1 ? DC, AD ? DC , 而 A A ? A D A 所 以 DC ? 平 面 AA1 D1 D , 1
AD1 ? DC . 又 A1D ? DC ? D , 所 以 AD1 ? 平 面 A1 D C1 B, 从 而 AD1 ? B1C .
(4 分) ⑵以 D 为坐标原点, DA , DC , DD1 为坐标轴建立空间直角坐标系 D ? xyz ,则易得

B(2,1,0) C1 (0,2,2), A1 (2,0,2) , 设平面 A BD 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则由 1

?n1 ? DB ? 0 ? , ? ?n1 ? DA1 ? 0 ?
7

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则由 ?

求得 n1 ? (1,?2,?1) ;设平面 C1 BD 的法向量为 n2 ? ( x2 , y 2 , z 2 ) ,

?n2 ? DB ? 0 ? ?n2 ? DC1 ? 0 ?
(9 分)

,求得

n2 ? (1,?2,2) ,则根据 cos? ?

n1 ? n2 n1 n2

?

6 30 ,于是可得 sin ? ? . 6 6

(3) 设所 给 四棱 柱 的体积 为 V,则 V ? S ABCD ? AA ? 6 , 又 三 棱 锥 A1 ? ABD 的体 积 等 于三 棱 锥 1

B ? A1 D1C1 的体积, V1 , 记为 而三棱锥 D ? A1 D1C1 的体积又等于三棱锥 C1 ? CBD 的体积, 记为 V2 .
则由于 V1 ?

1 1 2 ? ? 2 ?1? 2 ? , 3 2 3

V2 ?

1 1 4 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ,所以所求四面体的体积为 3 2 3

V ? 2V1 ? 2V2 ? 2 .
(12 分) T.(本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到椭圆 直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识. 【试题解析】⑴当直线 l 与 x 轴垂直时,由 S AMBN ?

方程的求法、

1 2b 2 ? 2a ? ? 2 ,得 b ? 1 . 2 a

???? ? ??? ???? ? ? 2b 2 2 2 又 MF2 ? 2 AB ? F2 N ,所以 a ? c ? 2 ? ? a ? c ,即 ac ? 2 ,又 a ? c ? 1 , a
解得 a ?

2 . 因此该椭圆的方程为
????

x2 ? y 2 ? 1. 2

(4 分)

⑵设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,而 M (? 2,0), N ( 2,0) , 所以 AM ? (? 2 ? x1, ? y1 ) , AN ? ( 2 ? x1, ? y1 ) ,

???? ?

???? ? ??? ? BM ? (? 2 ? x2 , ? y2 ) , BN ? ( 2 ? x2 , ? y2 ) .

从而有

???? ???? ???? ??? ? ? ? AM ? AN ? BM ? BN ? (? 2 ? x1 )( 2 ? x1 ) ? y12 ? (? 2 ? x2 )( 2 ? x2 ) ? y22
2 2 ? x12 ? x2 ? y12 ? y2 ? 4 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2x1x2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 2 y1 y2 ? 4 .

(6 分) 因为直线 l 过椭圆的焦点 (1, 0) ,所以可以设直线 l 的方程为 x ? ty ? 1 (t ? R) ,则

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 由? 2 消去 x 并整理,得 (t ? 2) y ? 2ty ?1 ? 0 , ? x ? ty ? 1 ? ?2t ?1 所以 y1 ? y2 ? 2 , y1 y2 ? 2 . t ?2 t ?2
2

(8 分)

2 ? 2t 4 进而 x1 ? x2 ? t ( y1 ? y2 ) ? 2 ? 2 , x1 x2 ? (ty1 ? 1)(ty2 ? 1) ? 2 , t ?2 t ?2 可得 ???? ???? ???? ???? ? ? 4 2 2 ? 2t 2 ?2t 2 ?1 8 6 ? AM ? AN ? BM ? BN ? ( 2 ) ? 2( 2 )?( 2 ) ? 2( 2 )?4 ? 2 (t ? 2) 2 t 2 ? 2 . t ?2 t ?2 t ?2 t ?2 (10 分)

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令 t ? 2 ? m ,则 m ? 2 . 从而有 AM ? AN ? BM ? BN ?
2

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1 1 8 6 1 3 9 ? ? 8( ? ) 2 ? ,而 0 ? ? ,所 2 m 2 m m m 8 8

???? ???? ???? ???? ? ?

以可以求得 AM ? AN ? BM ? BN 的取值范围是 [ ?

???? ???? ???? ??? ? ? ?

9 , 0) .(12 分) 8
究函数的单

U. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来研 调性、极值以及函数零点的情况.

?x n? ,得 【试题解析】⑴令 f() l x10 x ? ? ?
1 e 1 e

1 . e

当 x ? ( 0 , ) 时, f ?(x) ? 0;当 x ? ( , ?? ) 时, f ?(x) ? 0.

1 (3 分) e 1 1 ⑵由于 x ? 0 ,所以 fx xxk ? x . ( ?n x ) l ?? k l ? ? n 2 2 x 1 1 2? x1 1 1 ? 构造函数 k(x) ? ln x ? ,则令 kx? ? 2? 2 ? ,得 x ? . () 0 x2 x 2 x 2x 2 1 1 当 x ? ( 0 , ) 时, k?(x) ? 0;当 x ? ( , ?? ) 时, k?(x) ? 0. 2 2 1 1 1 所以函数在点 x ? 处取得最小值,即 k m? ? ? ? 2 ()i k x n () l n 11l . ? n 2 2 2 因此所求的 k 的取值范围是 ( ? ?n ). (7 分) ? ,1 l 2 ⑶结论:这样的最小正常数 m 存在. 解释如下: (a ? x) ln(a ? x) a ln a ? a . f (a ? x) ? f (a) ? ex ? (a ? x)ln(a ? x) ? a ln a ? e x ? ea ? x e x ln x 构造函数 g ( x) ? ,则问题就是要求 g (a ? x) ? g (a) 恒成立. (9 分) ex (ln x ? 1)e x ? x ln x ? e x ln x ? 1 ? x ln x ?( x) ? ? 对于 g ( x) 求导得 g . e2 x ex 1 令 h( x) ? ln x ? 1 ? x ln x ,则 h?( x ) ? ? ln x ? 1 ,显然 h?( x ) 是减函数. x 又 h?(1) ? 0 ,所以函数 h( x) ? ln x ? 1 ? x ln x 在 (0,1) 上是增函数,在 (1, ??) 上是减函数,而
所以函数 f ( x ) 在 ( 0 , ) 上单调递减,在 ( , ? ? ) 上单调递增.

1 e

1 1 1 1 2 2 ? e2 h( 2 ) ? ln 2 ? 1 ? 2 ? ln 2 ? ?2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 0 , e e e e e e h(1) ? ln1 ? 1 ? ln1 ? 1 ? 0 , h(e) ? ln e ? 1 ? e ln e ? 1 ? 1 ? e ? 2 ? e ? 0 . 所以函数 h( x) ? ln x ? 1 ? x ln x 在区间 (0,1) 和 (1, ??) 上各有一个零点, 令为 x1 和 x2 ( x1 ? x2 ) ,并且 h h 有: 在区间 (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) 上, ( x) ? 0, 即 g ?( x) ? 0 ; 在区间 ( x1 , x2 ) 上, ( x) ? 0, 即 g ?( x) ? 0 . 从
而可知函数 g ( x) 在区间 (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) 上单调递减,在区间 ( x1 , x2 ) 上单调递增. g (1) ? 0 ,当

0 ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, g ( x) ? 0 . 还有 g ( x2 ) 是函数的极大值,也是最大值.
题目要找的 m ? x2 ,理由是: 当 a ? x2 时,对于任意非零正数 x , a ? x ? a ? x2 ,而 g ( x) 在 ( x2 , ??) 上单调递减,所以

g (a ? x) ? g (a) 一定恒成立,即题目所要求的不等式恒成立,说明 m ≤ x2 ; 当 0 ? a ? x2 时,取 x ? x2 ? a ,显然 x ? 0 且 g (a ? x) ? g ( x2 ) ? g (a) ,题目所要求的不等式不
恒成立,说明 m 不能比 x2 小.

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于任意正实数 x ,不等式 f (a ? x) ? f (a)e x 恒成立. ( 注意:对于 x1 和 x2 的存在性也可以如下处理: (12 分)

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综合可知,题目所要寻求的最小正常数 m 就是 x2 ,即存在最小正常数 m ? x2 ,当 a ? m 时,对

1 1 . 作出基本函数 y ? ln x 和 y ? 的图像,借助于它 x ?1 x ?1 1 们的图像有两个交点很容易知道方程 ln x ? 有两个正实数根 x1 和 x2 ,且 0 ? x1 ? 1, x2 ? 1 (实 x ?1 际上 x2 ? 2.24),可知函数 g ( x) 在区间 (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) 上单调递减,在区间 ( x1 , x2 ) 上单调递 增. g (1) ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, g ( x) ? 0 . 还有 g ( x2 ) 是函数的极大值,也是
令 h( x) ? ln x ? 1 ? x ln x ? 0 ,即 ln x ? 最大值. ) V.(本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算,具体涉及圆的性质以及三角形相似等有关知 识内容. 【试题解析】⑴因为 MA 为圆的切线,所以 MA ? MB ? MC .
2

又 M 为 PA 中点,所以 MP ? MB ? MC . 因为 ?BMP ? ?PMC ,所以 ?BMP 与 ?PMC 相似. ⑵由⑴中 ?BMP 与 ?PMC 相似,可得 ?MPB ? ?MCP .
2

(5 分)
?

在 ?MCP 中,由 ?MPB ? ?MCP ? ?BPC ? ?BMP ? 180 , 得 ?MPB ?

180? ? ?BPC ? ?BMP ? 20? . 2

(10 分)

W.(本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标 方程的互化、直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等知识内容. 【试题解析】对于曲线 M,消去参数,得普通方程为 y ? x ? 1, x ?
2

2 ,曲线 M
(2 分)

是抛物线的一部分; 对于曲线 N,化成直角坐标方程为 x ? y ? t ,曲线 N 是一条直线.

(1)若曲线 M,N 只有一个公共点,则有直线 N 过点 ( 2,1) 时满足要求,并且向左下方平行运动直到过 点 (? 2,1) 之前总是保持只有一个公共点,再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共 点 , 所 以 ? 2 ?1 ? t ?

2 ?1 满 足 要 求 ; 相 切 时 仍 然 只 有 一 个 公 共 点 , 由 t ? x ? x 2 ?1 , 得
5 4

t 0求得 t ? ? . 综合可求得 t 的取值范围是: 2 ? 1 ? t ? 2 ? 1或 x2 ? x ?1 ? t ?0, ? ?1 ? 4 (1 ? ) ? , ?
t?? 5 . 4

(6 分)

2 (2)当 t ? ?2 时,直线 N: x ? y ? ?2 ,设 M 上点为 ( x0 , x0 ? 1) , x0 ?

2 ,则

d?

2 x0 ? x0 ? 1

2

1 3 ( x0 ? ) 2 ? 2 4 ?3 2, ? 8 2

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当 x0 ? ?

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(10 分)

1 3 2 . 时取等号,满足 x0 ? 2 ,所以所求的最小距离为 2 8

X.(本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到绝对值不等式及不等式的解法以及函数等有 关知识内容.

?3 x ? 1, x ? 1 ? 【试题解析】解: (1) f ( x) ? ? x ? 3,?1 ? x ? 1 ?? 3 x ? 1, x ? ?1 ?
当 x ? 1 时,由 3x ? 1 ? 5 解得: x ?

4 ;当 ? 1 ? x ? 1 时,由 x ? 3 ? 5 得 x ? 2 ,舍去; 3

当 x ? ?1 时,由 ? 3x ? 1 ? 5 ,解得 x ? ?2 . 所以原不等式解集为 ? x | x ? ?2或x ? (5 分)

? ?

4? ?. 3?

(2)由(1)中分段函数 f ( x ) 的解析式可知: f ( x ) 在区间 ? ??, ?1? 上单调递减,在区间 ? ?1, ?? ? 上单调 递增.并且 f ( x)min ? f (?1) ? 2 , 所以函数 f ( x ) 的值域为 [2, ??) .从而 f ( x) ? 4 的取值范围是 [?2, ??) ,

1 1 1 ?a的 ( f ( x) ? 4 ? 0) 的取值范围是 (??, ? ] ? (0, ??) .根据已知关于 x 的方程 f ( x) ? 4 f ( x) ? 4 2 1 解集为空集,所以实数 a 的取值范围是 (? , 0] . (10 2
进而 分)

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