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高考数列压轴题


高考数学试题之数列
1(山东卷 19)。(本小题满分 12 分) 将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: a1 a2 a3 a4 a7
……

a5 a8

a6 a9 a10

记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},b1=a1=1. Sn 为数列{bn}的前 n 项和,且 满足

2bn ? 1(n≥2). bn S N ? S 2 n
1 }成等差数列,并求数列{bn}的通项公式; Sn
4 时,求上表中第 k(k≥3)行所有项和的和. 91

(Ⅰ)证明数列{

(Ⅱ)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为 同一个正数.当 a81 ? ?

2.(江苏卷 19).(Ⅰ)设 a1 , a2 ,??, an 是各项均不为零的等差数列( n ? 4 ) ,且公差 d ? 0 , 若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列: ①当 n =4 时,求

a1 的数值;②求 n 的所有可能值; d

3(江西卷 19) . (本小题满分 12 分) 数列 {an } 为等差数列, an 为正整数,其前 n 项和为 Sn ,数列 {bn } 为等比数列,且 a1 ? 3, b1 ? 1 , 数列 {ban } 是公比为 64 的等比数列, b2 S2 ? 64 . (1)求 an , bn ; (2)求证

1 1 1 3 ? ??? ? . S1 S2 Sn 4

4(湖北卷 21).(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 和 {bn } 满足: a1 ? ? , an ?1 ? 数, n 为正整数. (Ⅰ)对任意实数 ? ,证明数列 {an } 不是等比数列; (Ⅱ)试判断数列 {bn } 是否为等比数列,并证明你的结论; (Ⅲ)设 0 ? a ? b , Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和.是否存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都有

2 an ? n ? 4, bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21), 其中 ? 为实 3

1

a ? Sn ? b ?若存在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由.
5.(湖南卷 18).(本小题满分 12 分) 数列 ?an ? 满足a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ? (1 ? cos (Ⅰ)求 a3 , a4 , 并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?
2

n? n? )an ? sin 2 , n ? 1, 2,3,?. 2 2

1 a2 n?1 Sn ? 2 ? . , Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn . 证明:当 n ? 6时, n a2 n

6(陕西卷 22) . (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ?

3 3an , 2, ?. , an ?1 ? ,n ?1 5 2an ? 1

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的 x ? 0 , an ≥

1 1 ?2 ? 2, ?; ? ? x ? , n ? 1, 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?

(Ⅲ)证明: a1 ? a2 ? ? ? an ? 7(浙江卷 22) (本题 14 分) 已 知 数 列

n2 . n ?1

?an ?



an ? 0 , a1 ? 0 , an?1 ? an?1 ? 1 ? an (n ? N ? ) . 记
2 2

S n ? a1 ? a2 ? ? ? an . Tn ?
求证:当 n ? N 时, (Ⅰ) an ? a n ?1 ; (Ⅱ) S n ? n ? 2 ; (Ⅲ) Tn ? 3 。
?

1 1 1 . ? ??? 1 ? a1 (1 ? a1 )(1 ? a 2 ) (1 ? a1 )(1 ? a 2 ) ?(1 ? an )

8(辽宁卷 21) . (本小题满分 12 分) 在数列 | an | , a1=2, b1=4, 且 an, | bn | 中, bn , an
?1 成等差数列, n
* (n?N ) b ,an?1,bn?1 成等比数列

(Ⅰ )求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4,由此猜测 | an | , | bn | 的通项公式,并证明你的结论; (Ⅱ )证明:

1 1 1 5 ? ?…? ? . a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn 12

2


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