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2.2.4平面和平面平行的性质定理


问题提出

1、什么叫两平面平行? 2、两平面平行的判定定理是什么?
如果一个平面内有两条相交直线分别平 行于另一个平面,那么这两个平面平行. 3、符号语言?a ? ? , b ? ? ?
a ?b ? P a / /? b / /? ? ? ? ? ? / /? ? ? ?

4、两平面平行的判定定理解决了 两平面

平行的条件;反之,在两平面 平行的条件下,会得到什么结论?

你能否用语言表述吗? 问题讨论 性质1、若两个平面互相平行,则其中一个 1、若 ? // ?,l ? ? , 则 l与? 的位 平面中的直线必平行于另一个平面; 平行 l ?? ? 符号语言: ? ? l / /? ? / /? ?

置关系如何?

α

l

β 面面平行 线面平行

直线与直线,直线与平面平行的解题思路。
线面平行的判定定理

线线平行
线面平行的性质定理

线面平行
面 面 平 行 的 性 质 定 理 面 面 平 行 的 判 定 定 理



面面平行

思考:若 ? // ?,且? ? ? 的位置关系如何? 相交

? a, 则?与?

设? ? ? ? b, 则直线a、b的位置 关系如何?为什么?
α β a

b γ

? 例1 如图,已知平面 ? , ,? ,满足 ? // ? 且 ? ? ? ? a, ? ? ? ? b, 求证: // b 。 a
证明 ?? ? ? ? a, ? ? ? ? b,

?a ? ? ,b ? ?.
?? //?
所以a,b没有公共点

?

? a, b ? ?
? a //b

?
?

a b

定理:两个平行平面同时和第三个
平面相交,那么它们的交线平行.
简记:面面平行,则线线平行

符号语言:

? // ?

? ? ? ? ? ? a ,? ? a // b ? ? ?? ? b ?

?

?
?

a b

面面平行的其它一些性质

性质2、平行于同一平面的两平面平行;
性质3、过平面外一点有且只有一个平面与这个 平面平行; 性质4、夹在两平行平面间的平行线段相等。 这里就对性质4做出相应证明

求证:夹在两个平行平面间的两条平行线段相等.

已知: ? // ? ,AB // CD, A ? ?,C ? ?, 且

B ? ? ,D ? ? .
求证: AB=CD

? A
? B

C

?

D

且 已知: ? // ? ,AB // CD, A ? ?,C ? ?, B ? ? ,D ? ? .
求证: AB=CD 证明: AB // DC ?

?过AB,CD可作平面? ? ? B AC ? ? ? ? ? AD

? A

C D
?

BD ? ? ? ? BC

? // ?

? AC//BD

AB // CD

ABCD为平行四边形 ? AB ? CD

思考:如果平面α、β都与平面γ 相交,且交线平行,则α∥β吗?

γ a α β

b

定理的应用
例2.在四棱锥P-ABCD中,ABCD是平行四边形,M、N 分别是AB、PC的中点.求证:MN∥平面PAD. 证明: 如图,取CD的中点E,连接NE、ME, ∵M、N分别是AB、PC的中点, ∴NE∥PD,ME∥AD ∴NE∥平面PAD,ME∥平面PAD 又NE∩ME=E, ∴平面MNE∥平面PAD, 又MN?平面MNE, ∴MN∥平面PAD.

变式: P是长方形ABCD所在平面外的一点, AB、PD两点M、N满足AM:MB=ND:NP。
求证:MN∥平面PBC。
N D E A M B C

P

练习1: 如图,设AB、CD为夹在两个平行平面 ? 、 ? 之间的线段,且直线AB、CD为异面直线,M、P 分 别为AB、CD 的中点, 求证: 直线MP // 平面
提示:过A做CD的平行 直线交 于E, 取AE的中点为N,
连结BE,ED,BD,MN,MP,NP

?.
?

?

A
M

C

P
N
D

?

B

E

练习2: 点P在平面VAC内,画出过点P作一个截面 平行于直线VB和AC。 V
F P G B H A E C

练习3.已知三个平行平面? , ? , ? 与两条直线l , m

分别相并于点A, B, C和点D, E, F .
AB DE 求证 : ? . BC EF 证明: 过A作直线AH//DF, G ? ? , H ? ? . 连结AD,GE,HF(如图).

?? // ? // ? ,

? BG // CH , AD // GE // HF . AB AG AG DE ? ? , ? . BC GH GH EF AB DE ? ? . BC EF

G

H

l

m

反思~领悟:
面面平行判定定理 : 线面平行
面面平行

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面, 那么这两个平面平行。

推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内
的两条直线,那么这两个平面平行

面面平行性质定理 : 面面平行

线面平行

如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的 交线平行。

空间线面间平行关系转化示意图
判定

线线平行

判定 性质

线面平行

判定 性质

面面平行

性质

课外作业: 1、已知α∥β,AB交α、β于A、B,CD交 α、β于C、D,AB∩CD=S,AS=8,BS=9,
S

CD=34,求SC。
α
A
S

C

A

C

α

β

D

B

β

B

D

2、已知P、Q是边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1
的面AA1DD1 、面ABCD的中心 (1)求证:PQ// 平面DD1C1C A (2)求线段的PQ长
1

D1

C1
B1

P
D C

A

Q

B

例3、已知ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD
外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,

画出过G和AP的平面。

P

M
G

D

C

H
A

O

B

例4

如图:a∥α,A是α另一侧的点,B、C、D
是α上的点 ,线段AB、AC、AD交于E、F、G

点,若BD=4,CF=4,AF=5,求EG.
B C D

a

α

E

F

G

A


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