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高考数学解答题高强度训练(1)含答案


高考数学精华压缩版解答题(一)
1、已知函数 f ( x) ? e , g ( x) ? 1 ? ax ?
x

1 2 x , a?R 。 2

(1)设函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,讨论 F ( x) 的极值点的个数; ( 2 ) 若 ?2 ? a ? 1 , 求 证 : 对 任 意 的

x1 , x2 ? ?1,2? , 且 x1 ? x 2 时 , 都 有

g ( x2 ) ? g ( x1 ) a ? 2 ? 。 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 3
F ( x) ? e ? 1 ? ax ? 1、 解: (1)
x

1 2 x ,F '( x) ? e x ? a ? x ,F ' ' ( x) ? e x ? 1 , 令F ''( x) ? 0 , 2
'

得x?0 当 x ? (??, 0) 时, F ( x) ? 0 ,从而 F ( x ) 在 (0,??) 上单调递减,
''

当 x ? (0, ??) 时, F ( x) ? 0 ,从而 F ( x ) 在 (0,??) 上单调递增,
''

'

所以 F ' ( x)min ? F ' (0) ? 1 ? a , 当 F ' ( x)min ? 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时, F ( x) ? 0 恒成立, F ( x) 的极值点个数为 0 ;
'

当 F ' ( x)min ? 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时, (又

x? ?? , F' ( x) ? ? ? x , ? ?? , F' ( x) ? ?) ? F ( x) 的极值点个数为 2 个]
(2)证明:

g ( x2 ) ? g ( x1 ) a ? 2 a?2 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ? g ( x 2 ) ? g ( x1 ) ? 3 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 3

?

a?2 a?2 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) 3 3 ? G ( x) ? a ? 2 e x ? 1 ? ax ? 1 x 2 在 ?1,2?上单调递增 3 2 ? G ' ( x) ? a ? 2 e x ? a ? x ? 0 在 x ? ?1,2? 上恒成立 3

? ex ? a?2 x 2 e ? a ? x ? ? ? 1? a ? e x ? x (?2 ? a ? 1) ,关于 a 是一次函数。 令 H (a) ? 3 3 ? 3 ?
又 H (?2) ? 2 ? x ? 0 , H (1) ? e ? 1 ? x ? 0 , (由 F '( x) ? e ? a ? x ? 1 ? a 得)
x

x

所以 G ( x) ?

a?2 x e ? a ? x ? 0 在 x ? ?1,2? 上恒成立,所以,原命题成立。 3

2、若将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成一个直二面角,且 EA⊥ 平面 ABD,AE =a(如图) . (Ⅰ )若 a ? 2 2 ,求证:AB//平面 CDE;ks5u (Ⅱ )求实数 a 的值,使得二面角 A-EC-D 的大小为 60° .
E

C A D

B

(第 2 题)

2、 【解答】 : (1)如图建立空间指教坐标系,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1, 2 ),D(0,2,0),E(0,0, 2 2 ), ks5u

AB ? ? 2,0,0 ? , DE ? 0, ?2, 2 2 , DC ? 1, ?1, 2

?

?

?

?

2分

设平面 CDE 的一个法向量为 n1 ? ? x, y, z ? ,则有 ?2 y ? 2 2z ? 0, x ? y ? 2 z ? 0 , 取 z ? 2 时, n1 ? 0, 2, 2

?

?

4分 7分

? AB ? n1 ? 0 ,又 AB 不在平面 CDE 内,所以 AB // 平面 CDE ; (2)如图建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1, 2 ),D(0,2,0),E(0,0, a ),
DE ? ? 0, ?2, a ? , DC ? 1, ?1, 2 ,
设平面 CDE 的一个法向量为 n2 ? ? x, y, z ? ,则有

?

?

?2 y ? az ? 0, x ? y ? 2z ? 0 ,
取 z ? 2 时, n2 ? a ? 2 2, a, 2

?

?

9分 10 分

又平面 AEC 的一个法向量为 n3 ? ? ?1,1,0? , 因为二面角 A ? EC ? D 的大小为 60? ,? 即 a 2 ? 2 xa ? 2 ? 0 ,解得 a ? 2 ? 2 又 a ? 0 ,所以 a ? 2 ? 2 . 注:几何解法相应给分. 15 分

n2 ? n3 n2 n3

?

1 , 2

14 分

3、已知椭圆 C:

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为 2 2 a b

半径的圆与直线 x-y+ 6 =0 相切.又设 P(4,0),A,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意 两个不同的点,连结 PB 交椭圆 C 于另一点 E. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q; (III)求 OB ? OE 的取值范围.

c 1 4 c 2 a 2 ? b2 1 ? , ? e2 ? 2 ? ? ,即 a 2 ? b2 , 2 a 2 3 a a 4 2 2 6 x y ? 3 ,? a 2 ? 4, b2 ? 3 ,故椭圆 C 的方程为 ? 又b ? 3 分 ks5u ?1 4 3 1?1 (2)由题意知直线 PB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y ? k ? x ? 4?? k ? 0? ,
3、 【解法】 : (1)由题意知 e ?

? y ? k ? x ? 4? 由? 2 ,德 4k 2 ? 3 x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 ① 2 3 x ? 4 y ? 12 ? 32k 2 64k 2 ? 12 , x1 x2 ? 设点 B ? x1 , y2 ? , E ? x2 , y2 ? ,得 x1 ? x2 ? 2 5分 4k ? 3 4k 2 ? 3

?

?

2 1 ?? ? ? 32k 2 ? ? 4 ? 4k 2 ? 3?? 64k 2 ? 12 ? ? 0 ,即 0 ? k 2 ? , 4 y2 ? y1 又 A? x1 , ? y1 ? ,直线 AE 的方程为 y ? y2 ? ? x ? x2 ? , x2 ? x1

6分 7分

令 y ? 0 ,得 x ? x2 ?

y2 ? x2 ? x1 ? y2 ? y1



将 y1 ? k ? x1 ? 4? , y2 ? k ? x2 ? 4? 代入整理得 x ? 由① 得,代入② 整理得 x ? 1 , 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q ?1,0 ? ;

2 x1 x2 ? 4 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 8
11 分



9分

(3)由(2)有 OB ? OE ? x1 x2 ? y1 y2 ? k 2 ? 1 x1 x2 ? 4k 2 ? x1 ? x2 ? ? 16k 2

?k ?

2

? 1?? 64k 2 ? 12 ? ? 4k 2 ? 32k 2 ? 16k 2 4k ? 3
2

? ? ? 4k ? 3? ? 100k
2

? 12 87 ? 13 ? ? 25 ? 2 ? ??4, ? 4k ? 3 4k ? 3 ? 4?
2 2

15 分

4、设函数 f (x)=ax-lnx-3(a∈ R) ,g(x)=xe1 x. (Ⅰ )若函数 g(x) 的图象在点 (0,0) 处的切线也恰为 f (x) 图象的一条切线,求实数 a 的值; - (Ⅱ )是否存在实数 a,对任意的 x∈ (0,e],都有唯一的 x0∈ [e 4,e],使得 f (x0)=g(x) 成立.若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 注:e 是自然对数的底数.


g ' ? x ? ? ?1 ? x ? e1? x ,? g ' ? 0? ? e ,所以 g ? x ? 的图象在 ? 0,0 ? 处的切线方 程是 y ? ex ;2 分 1 设 y ? ex 与 f ? x ? 的图象切于点 ? x0 , y0 ? ,而 f ' ? x ? ? a ? , x 1 2 ? a ? ? e 且 ax0 ? ln x0 ? 3 ? ex0 ,解得 a ? e ? e ; 5 分 x0
4、 【解法】 : ( 1) (2) 且 g ? 0? ? 0, g ?1? ? 1, g ? e ? ? e2?e ? ? 0,1? ,? g ? x ? ? ? 0,1? ;

g ' ? x ? ? ?1 ? x ? e1? x ,? g ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, e? 上单调递减,
8分

?4 若 令 m ? g ? x? , 则 原 命 题 等 价 于 对 于 任 意 m ? ? 0,1? , 都 有 唯 一 的 x0 ? ? ?e , e ? ? ,使得

f ? x0 ? ? m 成立.

9分

1 1 , x?? , ?? e?1 , e4 ? e?4 , e? ? ? ? ? x x ?4 ① 当 a ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 恒成立,所以 f ? x ? 在 x ? ? ?e , e? ? 上单调递减,要满足条件,则必须
而 f '? x? ? a ? 有 f max ? f e?4 ? ae?4 ? 1 ? 1,且 f min ? f ? e ? ? ae ? 4 ? 0 ,无解,所以此时不存在满足条件 的 a ;10 分 ks5u ?4 ② 当 0 ? a ? e ?1 , f ' ? x ? ? 0 恒成立,所以 f ? x ? 在 x ? ? ?e , e? ? 上单调递减,要满足条件,则 必须有 f max ? f e?4 ? ae?4 ? 1 ? 1, 且 fn 解得 0 ? a ? ? f ? e ? ? ae ? 4 ? 0 , m i 11 分

? ?

? ?

4 ? 0 ? a ? e ?1 ; , e

1? ?1 ? ? ③ 当 e?1 ? a ? e 4 时, f ? x ? 在区间 ? e ?4 , ? 上单调递减,在 ? , e ? 上单调递增, a? ?a ? ? 4 ?1? 又 f e?4 ? ae?4 ? 1 ? 1 ,要满足条件,则 f min ? f ? ? ? f ? e ? ? ae ? 4 ? 0 ,解得 a ? , e ?a?

? ?

?e?4 ? a ?

?4 ④ 当 a ? e 4 时, f ' ? x ? ? 0 恒成立,所以 f ? x ? 在 x ? ? ?e , e? ? 上单调递增,

4 ; e

12 分

又 f min ? f e?4 ? ae?4 ? 1 ? 1 ,所以此时不存在 a 满足条件; 综上有 0 ? a ?

? ?

13 分

4 . e

15 分

5、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, 已知侧面 PAD为等腰直角三角形,底面 ABCD 为直角梯形,

AB // CD , ?ABC ? ?APD ? 90o , 侧 面 PAD ? 底 面
ABCD ,
且 AB ? 4 , AP ? PD ? BC ? CD ? 2 , (Ⅰ )求异面直线 PA 与 BD 所成的角; (Ⅱ )设点 E 在侧棱 PB 上,若二面角 E ? AD ? C 的大小为 求 BE 的长.

? , 4

5、 【解法】 :取 AD 的中点 O, AB 的中点 N,则 ON,OA,OD 两两垂直 如图,以 O 为原点建立空间直角坐标系.根据已知条 件,

A( 2 ,0,0) , B(? 2,2 2,0) , D(? 2 ,0,0) ,

P(0,0, 2 )
1 由 于

PA ? ( 2 ,0,? 2 ), BD ? (0,?2 2 ,0) ,
则 PA ? BD ? 0 ,故 PA 与 BD 的所成角为 90° .……6 分 (Ⅱ )设存在满足条件的点 E,并设 PE ? ? PB , 则

AE ? AP ? PE ? (? 2,0, 2 ) ? ?(? 2,2 2,? 2 )
? (? 2 (1 ? ? ),2 2?, 2 (1 ? ? )) .(其中 ? ? [0,1] )……………………8 分

故 当 E 位于线段 PB 间,且

? PE 1 ? 时,二面角 E ? AD ? C 的大小为 , 4 PB 3

此时线段 BE 的长为

4 3 .…………………………………………………14 分 3

6、如图,已知椭圆 L :

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0) , a2 b2

梯形 ABCD(AB∥ CD∥ y 轴,|AB|>|CD|)内接于椭圆 L. (Ⅰ )设 F 是椭圆的右焦点, E 为 OF(O 为坐标原点) 的中点,若直线 AB,CD 分别经过点 E,F,且梯形 ABCD 外接圆的圆心在直线 AB 上, 求椭圆 L 的离 心率; (Ⅱ )设 H 为对角线 AC 与 BD 的交点, |AB|=2m, |CD| = 2n , |OH| = d ,是否存在正实数 ? ,使得

m ? n ?b ? 恒成立?若存在,求出 ? 的最小值; d a
若不存在,请说明理由.

6、 【解法】(Ⅰ )设 F (c,0) ,则 E ( ,0) , D (c, 根据题意,有 AE=ED,即有

c 2

b2 c b 4a 2 ? c 2 ) , A( , ) a 2 2a

b 2 ( 4a 2 ? c 2 ) c 2 b 4 ? ? , 4 a2 4a 2

∵ m>n>0, ∴ m ? n ? y1 ? y 2 ? y1 ? y 2 ? ?

2 x 0 tb 2 a 2 ? b 2t 2

?

2d t b 2 a 2 ? b 2t 2

……………………12 分



2 t b2 m?n 2b 2 2b 2 b ? 2 ? ? ? d 2ab a a ? b 2t 2 a 2 2 ?b t t

∴ 存在正实数 ? ,使得

m ? n ?b ? 恒成立,且 ? 的最小值的为 1………………15 分 d a

7、已知函数 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x 2 ? ax ? 2 . (Ⅰ )求函数 f ( x) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值; (Ⅱ )若函数 y ? f ( x)与y ? g ( x) 的图象恰有一个公共点,求实数 a 的值; (Ⅲ )若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 有两个不同的极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,且 x2 ? x1 ? ln2 , 求实数 a 的取值范围. 7、 【解法】(Ⅰ )由题,令 f ' ( x) ? ln x ? 1 ? 0 得 x ? 从而① 当0 ? t ?

1 e

1 1 1 时,函数 f ( x ) 在 (t , ) 上单调递减,在 ( , t ? 2) 上单调递增, e e e 1 1 此时函数 f ( x ) 在区间 [t , t ? 2] 上的最小值为 f ( ) ? ? ; e e 1 ② 当 t ? 时,函数 f ( x ) 在 [t , t ? 2] 上单调递增, e 此时函数 f ( x ) 在区间 [t , t ? 2] 上的最小值为 f (t ) ? t ln t ;………………5 分
(Ⅱ )由题: f ( x) ? g ( x) ? x ln x ? x 2 ? ax ? 2 ? 0 在 (0,??) 上有且仅有一根, 即: a ? ln x ? x ?

2 在 (0,??) 上有且仅有一根, x

2 1 2 x2 ? x ? 2 1 ? ? 2 ( x ? 2)(x ? 1) , ,则 h ( x) ? ? 1 ? 2 ? x x x x2 x 易知, h( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1,??) 上单调递增,
令 h( x) ? ln x ? x ? 所以, a ? h( x) min ? h(1) ? 3 …………10 分 (Ⅲ )由题: y ? f ( x) ? g ( x) ? x ln x ? x 2 ? ax ? 2 则其导函数为 y ? ? ln x ? 2 x ? 1 ? a , 题意即为: y ? ? ln x ? 2 x ? 1 ? a ? 0 有两个不同实根 x1 , x2 , 等价于: a ? ? ln x ? 2 x ? 1 有两个不同实根 x1 , x2 , 等价于:直线 y ? a 与函数 G( x) ? ? ln x ? 2 x ? 1 的图像有两个不同的交点,

1 1 1 ? 2 ,已知 G ( x) 在 ( 0, ) 上单调递减,在 ( ,?? ) 上单调递增, 2 x 2 画出函数 G ( x ) 图像的大致形状(如右图) ,
由 G ?( x) ? ?

8、过点 F (0,1) 作直线 l 与抛物线 x ? 4 y 相交于两点 A、 B ,圆
2

C : x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1
(Ⅰ)若抛物线在点 B 处的切线恰好与圆 C 相切, 求直线 l 的方程; (Ⅱ)过点 A、 B 分别作圆 C 的切线 BD、AE , 试求 AB ? AE ? BD 的取值范围.
2 2 2

8、 【解法】 :设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ?
2 ' 由 x ? 4 y ,得 y ?

1 x,? 过点 B 的切线方程 2

(第 21 题图)

为:

y ? y2 ?

2 x2 ?x ? x2 ? ,即 x2 x ? y ? y 2 ? x2 ? 0 2 2 2

(3 分)

1 ? y2 ?
由已知:

2 x2 2

2 x2 ?1 4

? 1 ,又 y 2 ?

2 x2 , 4

(5 分)

2 ? x2 ? 12? x2 ? ?2 3, y2 ? 3,

即点 B 坐标为 ? 2 3,3 ,

?

?

(6 分)

? 直线 l 的方程为: y ? ?

3 x ? 1. 3

(7 分) (8 分)

(Ⅱ)由已知,直线 l 的斜率存在,则设直线 l 的方程为: y ? kx ? 1 ,
2 联立 x ? 4 y ,得 x ? 4kx ? 4 ? 0 ? x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4

2

2 ? x12 ? x2 ? 16k 2 ? 8

(9 分)
2

解法一: AB ? AE ? BD ?

2

2

?
2 1 2 1

1 ? k 2 x1 ? x2
2 1

? ? ? AC ? 1? ? ? BC ? 1? (12 分)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

?

? ?? ??

1 ? k 2 x1 ? x2 1? k 2 1? k 2
1

? ? ? x ? ? y ? 1? ? 1? ? ? x ? ? y ? 1? ? 1? x ? x ? ? ?x ? y ? 2y ? ? ?x ? y ? 2y ? x ? x ? ? ? x ? ? kx ? 1? ? 2 ? kx ? 1? ? ? ? x ? ? kx ? 1? ? 2 ? kx ? 1? ?
2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2

(13 分)

? ? ?2 ? 2k 2 ? x1 x2 ? 4k ? x1 ? x2 ? ? 6 = ?8k 2 ? 2 ? 2
解法二: AB ? AE ? BD ? AC ? CB ? AC ? 1 ? CB ? 1
2 2 2 2

(15 分)
2

?

2

??

?

(12 分)

? 2 AC CB ? 2 ? 2 ? ? x1 , ?1 ? y1 ? ? x2 ,1 ? y2 ? ? 2 ? 2 ? ? x1 x2 ? ?1 ? y1 ??1 ? y2 ? ? ? 2

? 2 ? ?x1x2 ? ? kx1 ? 2?? kx2 ? 2?? ? 2
? ? ?2 ? 2k 2 ? x1 x2 ? 4k ? x1 ? x2 ? ? 6

(13 分)

? 2 ? 8k 2 ? 2
解法三: AB ? y1 ? 1 ? y 2 ? 1 ?

(15 分)

x12 x2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 4k 2 ? 4 , 4 4
2 2

AE ? AC ? CE ? ?x1 ? 0? ? ? y1 ? 1? ? 1 ?
2 2 2
4 2 x2 3x2 ? , 同理, BD ? 16 2 2

x14 3x12 ? , 16 2
(13 分)

? AB ? AE ? BD ? 2 ? 8k 2 ? 2
故 AB ? AE ? BD 的取值范围是 ? ??, 2? .
2 2 2

2

2

2

(15 分)


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