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高一数学:不等式复习2期末复习练习新人教A版必修5


不 等 式 求 最 值
[定理]如果 a,b∈R,那么 a2+b2 ≥2ab(当且仅当 a=b 时,取“=” ) a?b [定理]如果 a,b 是正数,那么 ab ? (当且仅当 a=b 时,取“=”) 2 1. 二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和“积式”转化为“和式”的 放缩功能。 2. 创设应用均值不等式的条件、合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧,而拆

与凑的成因在于使等号能够成立。 3. “和定积最大,积定和最小, ”即 2 个正数的和为定值,则可求其积的最大值 a?b 2 ab ? ( ) ;积为定值,则可求其和的最小值 a ? b ? 2 ab 。 2 应用此结论求值要注意三个条件: ⑴各项或因式非负; ⑵和或积为定值; 一正二定三相等 ⑶等号能不能取到。 必要时要作适当的变形,以满足上述前提。 4 例 1、若 x<0,则 2 + 3x + x 的最大值是 ( ) (A) 2 + 4 3 (B) 2±4 3 (C) 2-4 3 (D) 以上都不对

例 2、已知 x,y 都是正数,且

2 1 ? ? 1 ,求 x+y 的最小值。 x y

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例 3、已知 a>b>0,则 a2 +

16 的最小值是_________。 b(a-b)

巩固练习 1 . 设 a 、 b 为 实 数 , 且 a + b = 3 , 则 2a ? 2b 的 最 小 值 为 ( A.6 B. 4 2 C. 2 2 D.8 )

2.若 x>4,则函数 y =-x+ A.有最大值—6 C.有最大值—2

1 4-x





B.有最小值 6 D.有最小值 2 4 3.已知 y=f(x)是偶函数,当 x>0 时,f(x)=x+ ,当 x∈[-3,-1]时,记 f(x)的最大 x 值 为 m , 最 小 值 为 n , 则 m - n 等 于 ( ) 3 A.2 B.1 C.3 D. 2 4 、 已 知 0?a?b , 且 a?b?1 , 则 下 列 四 个 数 中 最 小 的 是 ( ) A、 a 2 ? b2 B、 2ab C、 a 满 足 D、
1 2

5 、 已 知 实 数 ( ) A.
1 2

x , y

x+y - 1=0 , 则

x2+y2 的 最 小 值 为

B.2 C. 2

D.

2 2

6.设实数 x, y 满足 x + y=4, 则 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 2 的最小值为 A.
2





B.4

C.2 2

D.8 ( )

1 7.不等式 y ? x(1 ? 3x)(0 ? x ? ) 的最大值是 3 4 1 1 1 A. B. C. D. 243 12 64 72

8、下列函数中, y 的最小值是 4 的是 A、 y ? x ?
4 x


4 (0 ? x ? ? ) sin x



B、 y ? sin x ?

C、 y ? 3 x ? 4?3? x

D、 y ? lg x ? 4log x 10
1 a?b 则 (lg a ? lg b) 、 R ? lg 2 2

9、已知 a ? b ? 1, P ? lg a lg b 、Q ? A、 R ? P ? Q B、 P ? Q ? R





C、 Q ? P ? R

D、 P ? R ? Q

10、设 a, b, x, y 均为正数,且 a 、 b 为常数, x 、 y 为变量.若 x ? y ? 1 ,则 ax ? by 的最 大值为

A.

a? b 2

B.

a ? b ?1 2

C.

a?b

D.

( a ? b) 2 2

11.已知两个正数 x,y 满足 x+y=4,则使不等式 值范围是 .

1 4 ? ≥m,恒成立的实数 m 的取 x y

a2 ? b2 12.已知 a >b, a · b=1 则 的最小值是 a?b
13、若直角三角形周长为 2,则它的最大面积为 14、已知 m , n ? R ? , m ? n ? 1 ,则
ma ? nb

. 。
m a? n 。 b

15、 (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? log a x(a ? 0且a ? 1, x ? R ? ) . x1 、x 2 ? R ? , 试 若
1 x ?x 比较 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 与 f ( 1 2 ) 的大小,并加以证明. 2 2

16、已知 a, b, c, d ? R ,且 a 2 ? b2 ? 1, c 2 ? d 2 ? 1 ,求证: ac ? bd ? 1 (改为: a 2 ? b2 ? m, c 2 ? d 2 ? n 呢?)

17、 (本小题满分 12 分)某工厂去年的某产品的年产量为 100 万只,每只产品的 销售价为 10 元,固定成本为 8 元.今年,工厂第一次投入 100 万元(科技成 本) ,并计划以后每年比上一年多投入 100 万元(科技成本) ,预计产量年递 增 10 万只,第 n 次投入后,每只产品的固定成本为 g (n) ?
k (k>0,k n ?1

为常数, n ? Z 且 n≥0) ,若产品销售价保持不变,第 n 次投入后的年利润为
f (n) 万元.

(1)求 k 的值,并求出 f (n) 的表达式; (2)问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?

答案:例 1、C

例 2、 3 ? 2 2

例 3、16

练习 1、B2、A3、B4、C5、A6、C7、B8、C9、B10、C 11、 m ?

5 ?2 2 4 1 2

12、 2 2

13、 3 ? 2 2

14、 ?

15、 a ? 1 时, [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? f (

x1 ? x2 ); 2

x ? x2 1 ) 0 ? a ? 1 时, [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? f ( 1 2 2
16、略 17、解: (1)由 g (n) ?

k ,当 n=0 时,由题意,可得 k=8, n ?1 8 n ?1 8 n ?1 9 n ?1 ) ? 100 n .

所以 f (n) ? (100 ? 10n) (10 ?

(2)由 f (n) ? (100 ? 10 n)(10 ?

) ? 100 n ? 1 000 ? 80

(

n ? 10 n ?1

) ? 1 000 ? 80( n ? 1 ?

) ? 1 000 ? 80 ? 2 9 ? 520 .

当且仅当 n ? 1 ?

9 n ?1

,即 n=8 时取等号,

所以第 8 年工厂的利润最高,最高为 520 万元


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