河北省衡水中学2012-2013学年高一下学期第一次调研考试数学(理)试卷

衡水中学2012-2013学年高一下学期第一次调研考试数学 （理）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共2 页。共150分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）

一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正 确答案的序号填涂在答题卡上） 1． A. C. ， B. D. ） ,则下列结论正确的是( )

2. 已知直线 l 的倾斜角为 60? ，且 l 在 y 轴上的截距为－1，则直线 l 的方程为（ A． y ? ?

3 x ?1 3

B． y ? 3 x ? 1

C．

y??

3 x ?1 3

D． y ? 3 x ? 1 ）

3. 若A（－2，3） ，B（3，－2） ，C（ Ａ．

1 ，ｍ）三点共线 则ｍ的值为（ 2
Ｃ．－2 Ｄ．2

1 2

Ｂ． ?

1 2

4. 已知直线 l 过点(2,1),且在两坐标轴上的截距互为相反数,则直线 l 的方程为（ A． x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 或 x ? 2 y ? 0 5. 直线 l1 :ax+3y+1=0, A．-3 B. x ? y ? 3 ? 0 或 x ? 2 y ? 0 D． x ? y ? 3 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 ）

）

l2 :2x+(a+1)y+1=0, 若 l1 ∥ l2 ,则 a=（
C．-3 或 2

B．2

D．3 或-2 (
1? ?1 D． ? ，－ ? 2? ?6

6.已知 a, b 满足 a ? 2b ? 1 ，则直线 ax ? 3 y ? b ? 0 必过定点
? 1 1? A． ?－ ， ? ? 6 2?

)

B． ? ，

?1 ?2

1? ? 6?

C． ? ， -

?1 ?2

1? ? 6?

7.如图给出的是计算

1 1 1 ? ??? 的值的一个程序 2 4 100

框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应 填的语句是( ) 第 7 题图
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(A) i ? 100, n ? n ? 1 (C) i ? 50, n ? n ? 2

(B) i ? 100, n ? n ? 2 (D) i ? 50, n ? n ? 2

8.二进制数 101 110（2）转化为八进制数为( （A） 45(8) （B） 56(8) （C） 67 (8)

) （D） 78(8) ）

9. 函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? A． （3，4）

2 的零点所在的大致区间是（ x

B． （2，e） C． （1，2） D． （0，1）
2

10．方程 x ? 1 ? 1 ? ? y ? 1? 表示的曲线是（ A．一个圆 B．两个半圆 C．两个圆

） D．半圆 ） ．

11. 若实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0, 则

x?2 y?4 的取值范围为（ x ? 24 y?
4 C. (??,? ] 3

A.

? 3? ? 0, ? ? 4?

B.

?4 ? ? ? 3 , ?? ? ?

4 D. [? ,0) 3

12．已知球的直径 SC=4，A，B 是该球球面上的两点，AB= 3 ， ?ASC ? ?BSC ? 30 ? ，则 棱锥 S—ABC 的体积为（ A． 3 3 B． 3 ） C． 2 3 D．1

二 填空题 （ 每小题 5 分，共 20 分。 ） 13. 圆心在 x 轴上，且过两点 A(1，4)，B(3，2)的圆的方程为 .

14. 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上，且 AB=6，BC= 2 3 ，则棱锥 O-ABCD 的体积为_____________． 15. 已知直线 l 经过点 P (1 , 2) ，并且与点 A(2 , 3) 和点 B (0 , ? 5) 的距离相等，则直线 l 的 方程为________________. 16.如图所示，四棱锥 P-ABCD 中 底面 ABCD 为边长为 2 的菱形

?BAD ? 600 ,PA=PD=2，平面 PAD ? 平面 ABCD,则它的正视图的
面积为________________.

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三 解答题 17.（10 分）圆 0:x 2 ? y
?
2

? 8 内有一点 p(-1,2),AB 为过点 p 且倾斜角为 ? 的弦，

(1)当 ? =135 时,求 AB 的长; (2)当弦 AB 被点 p 平分时，写出直线 AB 的方程.

18.（12 分）如图所示,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? BC ? BB1 ? 2 ， D 点 为棱 AB 的中点. (1) 求证: AC1 ∥ 平面 CDB1 （2）求 BB1与平面CDB1 所成角的正切值.

19.（12 分）已知圆 C： ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 ，直线 l1 过定点 A (1，0). （1）若 l1 与圆 C 相切，求 l1 的方程； （2）若 l1 与圆 C 相交于 P、Q 两点，求三角形 CPQ 的面积的最大值，并求此时直线 l1 的方程
2 2

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20. (12 分)已知圆 P 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 外切，并且与直线 l : x ? 3 y ? 0 相切于点
2 2

Q(3, ? 3) ，求圆 P 的方程

21. （12分） 已知圆C经过点A（-3,0）,B(3,0),且圆心在直线y=x上 ,又直线 l: y=kx+2 与圆C交于P, Q两点 （1） 求 圆C的方程 （2） 过点（0，2）做直线a与l垂直，且直线a与圆C交于M,N两点，求四边形PMQN 面 积的最大值

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2012—2013 学年度下学期一调考试
高一年级理科数学试卷参考答案
一选择 CBACA 二填空
2

CDBCD

AB

13. ( x ? 1) ? y ? 20
2

14. 8 3

15. 4 x ? y ? 2 ? 0或x ? 1

16.

3 3 2

三解答 17.（10 分） （1）依题意直线 AB 的斜率为-1，直线 AB 的方程为：y-2=-(x+1),圆心 0(o,o)

2 30 1 2 ,则 AB = 8 ? d = ,? AB 的长为 30 . 2 2 2 1 （2）此时 AB 的斜率为 ,根据点斜式方程直线 AB 的方程为 x-2y+5=0. 2
到直线 AB 的距离为 d= 18.（12 分） （1）证明： 连接BC1交B1C于M , 连接DM 又 D 是 AB 的中点，可得 MD∥ 1， AC 又 MD ? 平面CDB1 AC1 ? 平面CDB 1 ∴AC1 ∥平面CDB1 （证法二：可取 A1 B1的中点D1 , 证明平面AC1 D ∥ 平面 CDB1 从而得证）

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（2）可由已知条件证明 平面CDB1 ? 平面ABB1 A 1

平面CDB1 ? 平面ABB1 A 1 ? B1 D
过 B 作 BE ? B1 D ，则 BE ? 平面CDB1 ∴?BB1 E 是 BB1 与平面CDB1 所成的角 由已知可得 BB1 ? BD ∴?BEB1 ∽?DBB1

1 1 AB=1,BB1=2 得 tan ?BB1 E ? 2 2 1 即 BB1 与平面 CDB1 所成角的正切值为 . 2
由 BD= 19．解：(Ⅰ) ①若直线 l1 的斜率不存在，则直线 l1：x＝1，符合题意. ②若直线 l1 斜率存在，设直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 1) ，即 kx ? y ? k ? 0 ． 由题意知，圆心（3，4）到已知直线 l1 的距离等于半径 2，即：
k? 3 . 4

3k ? 4 ? k k2 ?1

? 2 ，解之得

所求直线 l1 的方程是 x ? 1 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 .

（Ⅱ）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为 0, 设直线方程为 kx ? y ? k ? 0 ， \ 则圆心到直线 l1 的距离 又∵△CPQ 的面积 ＝ 4d 2 ? d 4 ? ∴ ∴

d?

2k ? 4 1? k 2

S?

1 d ?2 4?d2 ? d 4?d2 2

? (d 2 ? 2) 2 ? 4

当 d＝ 2 时，S 取得最大值 2.

d?

2k ? 4 1? k 2

＝

2

∴

k ＝ 1

或

k ＝ 7

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所求直线 l1 方程为 x－y－1＝0 或 7x－y－7＝0 . 20. (12 分) 解：设圆心 P (a, b) ，∵ PQ ? l ，∴ k PQ ?kl ? ?1 ，即

b? 3 3 (? ) ? ?1 ，即 3a ? 3b ? 12 ? 0 ①， a ?3 3 2 2 又∵圆 x ? y ? 2 x ? 0 的圆心为 (1, 0) ，半径为１，又由外切
有 (a ? 1) ? b ? 1 ?
2 2

a ? 3b 2

②，

由①、②得 a ? 4 ， b ? 0 或 a ? 0 ， b ? ?4 3 ． 这时半径分别为２，６．

∴圆的方程为 ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 4 或 x 2 ? ( y ? 4 3) 2 ? 36
21.（12） （1） x ? y ? 9
2 2

（2）14

22．(1)解： （1）函数 f ( x) 的图象如右图； 函 数 f ( x) 的 单 调 递 减 区 间 是 (0,1) 单 调 增 区 间 是 (??, 0) 及

(1, ??)

…………3 分

（2）作出直线 y ? m ， 函数 g ( x) ? f ( x) ? m 恰有 3 个不同零点等价于函数 y ? m 与函数 f (x) 的图象恰有三个不同公共点。

1 x ? x?0 ?2 ? ( 3 ) , ? 由函数 f ( x) ? ? ? 1 x 2 ? x ? 1, x ? 0 ?2 ? 1 ∴ m ? ( ,1) 2

又 f(0)=1 f(1)=

1 2

…………6 分

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