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2015年高考理数专题复习---圆锥曲线(理科)(解析版)


2015 年高考理数专题复习---圆锥曲线
本章内容是高中数学的重要内容之一,也是高考常见新颖题的板块,各种解题方法在本章得到了 很好的体现和充分的展示,尤其是在最近几年的高考试题中,平面向量与解析几何的融合,提高了题目 的综合性,形成了题目多变,解法灵活的特点,充分体现了高考中以能力立意的命题方向。通过对近几 年的高考试卷的分析,可以发现选择题、填空题与解答题均可涉及

本章的知识,分值 20 分左右。 主要呈现以下几个特点: 1.考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等知识及基本技能、基本方法,常以选择 题与填空题的形式出现; 2.直线与二次曲线的位置关系、圆锥曲线的综合问题常以压轴题的形式出现,这类问题视角 新颖,常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景,以考查学生的应变能力和解决问题的 灵活程度; 3.在考查基础知识的基础上,注意对数学思想与方法的考查,注重对数学能力的考查,强调 探究性、综合性、应用性,注重试题的层次性,坚持多角度、多层次的考查,合理调控综合程度; 4.对称问题、轨迹问题、多变量的范围问题、位置问题及最值问题也是本章的几个热点问题, 但从最近几年的高考试题本看,难度有所降低,有逐步趋向稳定的趋势。 复习建议 1.加强直线和圆锥曲线的基础知识,初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基 本方法。 2.由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容,选择、填空题灵活多变,思维能力要求较高, 解答题背景新颖、综合性强,代数推理能力要求高,因此有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、高 考的热点问题作深入的研究。 3.在第一轮复习的基础上,再通过纵向深入,横向联系,进一步掌握解决直线与圆锥曲线问题 的思想和方法,提高我们分析问题和解决问题的能力。 3.重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程 ①方程思想,解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线,因此把直线与圆锥曲 线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理,就简化解题运算量. ②用好函数思想方法 对于圆锥曲线上一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量,从而使一些线

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的长度及 a,b,c,e 之间构成函数关系,函数思想在处理这类问题时就很有效。 ③掌握坐标法 坐标法是解析几何的基本方法,因此要加强坐标法的训练。 ④对称思想 由于圆锥曲线和圆都具有对称性质,可使分散的条件相对集中,减少一些变量和 未知量,简化计算,提高解题速度,促成问题的解决。 ⑤参数思想 参数思想是辩证思维在数学中的反映,一旦引入参数,用参数来划分运动变化状 态,利用圆、椭圆、双曲线上点用参数方程形式设立或(x0、y0)即可将参量视为常量,以相对静 止来控制变化,变与不变的转化,可在解题过程中将其消去,起到“设而不求”的效果。 ⑥转化思想 解决圆锥曲线时充分注意直角坐标与极坐标之间有联系,直角坐标方程与参数方 程,极坐标之间联系及转化,利用平移得出新系坐标与原坐标之间转化,可达到优化解题的目的。 除上述常用数学思想外,数形结合、分类讨论、整体思想、构造思想也是不可缺少的思想方法, 复习也应给予足够的重视.

母题一: x2 y2 设 A、B 为双曲线 2 - 2 =λ (λ≠0)同一条渐近线上的两个不同的点,已知向量 m=(1,0),|AB|=6, a b

AB m =3,则双曲线的离心率 e 等于( |m|
(A)2 (B)

)

2 3 3

(C)2 或 3

(D)2 或

2 3 3

母题二:

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已知 a 、 b 、 a ? b 是等差数列, a 、 b 、 ab 是等比数列,则椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的准线方程是( a 2 b2
D. y ? ?



A. x ? ?

8 3 3

B. y ? ?

8 3 3

C. x ? ?

2 3 3

2 3 3

【答案】B 母题三: 抛物线 y 2 ? ax(a ? 0) 与直线 x ? 1 围成的封闭图形的面积为

4 ,若 3


直线 l 与抛物线相切且平行于直线 2 x ? y ? 6 ? 0 ,则 l 的方程为 【答案】 16 x ? 8 y ? 1 ? 0 母题四:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2.其中 F2 也是抛 a 2 b2 5 物线 C2: y 2 ? 4 x 的焦点,点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点,且 | MF2 |? . 3
在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1: (1)求 C1 的方程;

OB =0, (2) 平面上的点 N 满足 MN ? MF 直线 l∥MN, 且与 C1 交于 A、 B 两点, 若 OA · 1 ? MF 2,
求直线 l 的方程.

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母题五: 已知双曲线

y2 x2 ? ? 1 (a>0,b>0)的上、下顶点分别为 A、B,一个焦点为 F(0,c) (c>0) ,两 a2 b2

准线间的距离为 1,|AF|、|AB|、|BF|成等差数列,过 F 的直线交双曲线上支于 M、N 两点.

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(Ⅰ) 求双曲线的方程; (Ⅱ) 设 MF ? ? FN , 问在 y 轴上是否存在定点 P, 使 AB ⊥ ( PM ? ? PN ) ? 若存在,求出所有这样的定点 P 的坐标,若不存在,请说明理由.

代入得

2(3k 2 ? 4) 4(2 ? m) 1 1 ? ? 4m ? 0 ,化简得 6k2-12mk2=0,∵ k≠0,∴ m ? .即 P(0, ). 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 2

∴ 当 MN 与 x 轴平行时,y 轴上所有的点都满足条件;当 MN 不与 x 轴平行时,满足条件的定点 P 的坐标为 (0,
1 ).?????????????12 分 2

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高考模拟
1.已知 ?ABC 的顶点 B、C 在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个 3
). C.

焦点在 BC 边上,则 ?ABC 的周长是( A.

2 3

B.

6

4 3

D.

12

【答案】C

x2 3 2 2.已知双曲线 2 ? y ? 1 的一条准线方程为 x ? ,则该双曲线的离心率为( 2 a
A.



3 2

B.

3 2

C.

6 2

D.

2 3 3

【答案】D 3.抛物线 y=2x2 的焦点坐标为( A. ( ) C. (0,

1 ,0) 2

B. (

1 ,0) 4

1 ) 4

D. (0,

1 ) 8

【答案】D 4.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F1 (? 5, 0) ,点 P 位于该双曲线上,线段 PF1 的中点坐标 为 (0, 2) ,则双曲线的方程为( )

A.

x2 ? y2 ? 1 4

B. x ?
2

y2 ?1 4

C.

x2 y2 ? ?1 2 3

D.

x2 y2 ? ?1 3 2

【答案】B 【解析】 PF1 ? 2

? 5?

2

? 22 ? 6, PF2 ? 4, a ?

6?4 ? 1, b 2 ? c 2 ? a 2 ? 1, 所以双曲线的方程为 2

x2 ?

y2 ? 1。 4 x2 y2 1 2 ? ? 1 的右准线重合,则 m 的值是( y 的准线与双曲线 m 12 4
B. )

5.抛物线 x ? A.

?8

? 12

C. 4

D. 16

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6.已知双曲线

(a >0,b >0).它的两条渐近线截直线 )

?所得线段的长度恰好为

它的一个焦点到一条渐近线的距离,则该双曲线的离心率为( A. 【答案】C B. C. 2 D 3

7. 已知抛物线错误!未找到引用源。的焦点为 F ,准线为 l ,点 P 为抛物线上一点,且在第一象 限,错误!未找到引用源。,垂足为 A , PF ? 4 ,则直线 AF 的倾斜角等于( A.错误!未找到引用源。 B. ) D.

5? 6
【答案】B 8. 设 F 是抛物线 y ? ? 等于( ) B.450; C.600;

2? 3

C.错误!未找到引用源。

1 2 x 的焦点, 与抛物线相切于点(-4,-4)的直线 l 与 x 轴的交点为 Q,则 ?PQF 4
D.900.

A.300; 【答案】D 9.椭圆 ( A.20 【答案】C

x2 y 2 ? =1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1, F2 的连线互相垂直,则 ?PF1 F2 的面积为 49 24

) B.22 C.24 D.28

10、设 e1.e2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2 的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,且 满足 ,则 的值为( )

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A. 【答案】C 11. 已知双曲线


B. 1

C. 2

D. 4

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为( 13 ,0),则该双曲线的渐近线方程为 9 a

·

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点, 12. 设 F1、F2 是双曲线 点 P 在双曲线上, 且 PF 则 PF1 ? PF2 1 ? PF 2 ? 0, 4 1
的值等于 【答案】2 13 双曲线 。

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦 点距离的等差中项,则 P 点到 16 9


左焦点的距离为 【答案】13



【解析】由 a ? 4, b ? 3, 得 c ? 5 设左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,则 | PF2 |? 由双曲线的定义得: | PF 1 |? 2a? | PF 2 |? 8 ? 5 ? 13 .

1 (a ? c ? c ? a) ? c ? 5 , 2

14.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0) 的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则以双曲线的顶点和焦点分别 a2 9

为焦点和顶点的椭圆的离心率为__________. 【答案】

2 13 13

15.已知函数 y ? loga ? x ? 3? ?1? a ? 0且a ? 1? 的图象恒过定点 A. 若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上, 其 中

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mn>0,当

x2 y2 1 2 ? 有最小值时,椭圆 2 ? 2 ? 1 的离心率为 m n m n

.

x2 y 2 2 16. 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 3 ,离心率为 ,其右焦点为 F ,过点 B(0, b) a b 2
作直线交椭圆于另一点 A .(Ⅰ)若 AB ? BF ? ?6 ,求 ?ABF 外接圆的方程; (Ⅱ)若直线 y ? k ( x ? 2) 与椭圆 N : 值范围. 解: (Ⅰ)由题意知: c ? 3 , e ?

x2 y 2 1 2 5 ? 2 ? 相交于两点 G 、 H ,且 HG ? ,求 k 的取 2 a b 3 3

c 2 2 2 2 ,又 a ? b ? c , ? a 2

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? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 2 2 由 ? x2 得: (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ? 2
2 4 2 2 由 ? ? 64k ? 4(2k ? 1)(8k ? 2) ? 0 得: k ?

1 ??( ? )???????????9 分 2

8k 2 8k 2 ? 2 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

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