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二元一次方程组例题讲解与训练


二元一次方程组提高讲义
例: 解下列方程组:

? x ? 4 y ? ?1 ⑴? ?2 x ? y ? 16

?4 ? x ? y ? 1? ? 3 ?1 ? y ? ? 2 ? ⑵?x y ? ? ?2 ?2 3

?2 x ? 3 y ? 2 ? 0 ? ⑶ ? 2x ? 3y ? 5 ? 2y ? 9

? 7 ?

典型例题:
1. 解下列方程组:

?9 ? 5 ? m ? n ? ? 18 ? ⑴? ? 2 m ? 3 ? m ? n ? ? 20 ?3 2 ?

⑵?

?x ? y ?7 ? ?2 x ? 3 y ? ?1 ?

?1995x ? 1997 y ? 5989 ⑶? ?1997 x ? 1995 y ? 5987

?3 x ? y ? 2 z ? 3 ? ⑷ ? 2 x ? y ? 3 z ? 11 ? x ? y ? z ? 12 ?

?x? y y ? z z ? x ? ? ? ⑸? 2 3 4 ? x ? y ? z ? 27 ?

1

2.如果 ?

?x ? 2 ?ax ? by ? 7 是方程组 ? 的解,则 a与c 的关系是( ?y ?1 ?bx ? cy ? 5
B. 2a ? c ? 9 C. 4a ? c ? 9

) D. 2a ? c ? 9

A. 4a ? c ? 9

3.关于 x、 y 的二元一次方程组 ? 值是 .

? x ? y ? 5k 的解也是二元一次方程 2 x ? 3 y ? 6 的解,则 k 的 ? x ? y ? 9k

2 2 4. 若已知方程 a ? 1 x ? ? a ? 1? x ? ? a ? 5 ? y ? a ? 3 ,则当 a =

?

?

时,方程为一元一次

方程; 当 a = 5. 已知方程组?

时,方程为二元一次方程.

? ax ? 5 y ? 15



? x ? ?3 ?x ? 5 ;乙看错了方程②中的 b 得到方程组的解为 ? ,若按正确的 a、 b 计算, ? ? y ? ?1 ?y ? 4
求原方程组的解.

4x ?   ? by ? ?2  ②

由于甲看错了方程①中的 a 得到方程组的解为

6. 若 4x ? 3 y ? 6z ? 0, x ? 2 y ? 7 z ? 0 ? xyz ? 0? , 求代数式

5x2 ? 2 y 2 ? z 2 的值. 2 x 2 ? 3 y 2 ? 10 z 2

7. 求二元一次方程 3x ? 2 y ? 20 的:⑴所有正整数解;⑵一组分数解;⑶一组负数解.

8.已知关于 x、 y 的方程组 ? 值.

?mx ? 2 y ? 10 有整数解,即 x、 y 都是整数, m 是正整数,求 m 的 ?3x ? 2 y ? 0

2

巩固练习
一 选择题: 1. 二元一次方程组 ?

?2 x ? y ? 2 的解是( ?? x ? y ? 5 ? x ? ?1 ?y ? 4
C. ?

)

A. ?

?x ? 1 ?y ? 6

B. ?

? x ? ?3 ?y ? 2

D. ?

?x ? 3 ?y ? 2


2.已知代数式 A. ?

1 a ?1 3 x y 与 ?3x ?b y 2a ?b 是同类项,那么 a、b 的值分别是( 2
B. ?

?a ? 2 ?b ? ?1

?a ? 2 ?b ? 1

C. ?

?a ? ?2 ?b ? ?1
)

3. 若 ?
?

?x ? 9 ?4 x ? 7 y ? a ? b 是方程组 ? 解, 则 a、 b 的值是( ?y ? 2 ?3x ? y ? a ? b
81

A. ?a ? 2 ?
? ?b ? 1 ? ? 4

B. ?

?a ? 3 ?b ? ?17

C. ? a ? 2 ?

?

47

? ?b ? ? 3 ? ? 2

D. ?

?a ? 5 ?b ? ?19

4. 如果方程组 ? A.1 二 填空题: 1.方程组 ?

?4 x ? 3 y ? 7 ? 的解 x、 y 的值相等,则 k 的值是( ? kx ? ? k ? 1? y ? 3 ?
B.0 C.2 D. ?2

)

?x ?1? 6 y ? 0 ? 的解是 ?2 ? x ? 1? ? y ? 11 ?
2

.

2.如果 ? x ? y ? 5 ? 与 3 y ? 2x ?10 互为相反数,那么 x = 3. 若 ?

,y=

.

? x ? ?2 2 是方程 3x ? 3 y ? m 和 5x ? y ? n 的公共解,则 m ? 3n = ?y ? 3 ? x ? ?2 ?ax ? by ? 1 是二元一次方程组 ? 的解,则 ? a ? b ?? a ? b ? 的值是 ? y ? 31 ?bx ? ay ? 1

.

4. 已知 ?

.

三 解方程组:

? x ?1 ? 2y ? ⑴? 3 ?2 ? x ? 1? ? y ? 11 ?

⑵?

?361x ? 463 y ? ?102 ?463x ? 361y ? 102

3

四、已知关于 x、 y 的方程组 ? 求 a 的值.

?2 x ? ay ? 6 有整数解,即 x、 y 都是整数, a 是正整数, ?4 x ? y ? 7

五、先阅读,再做题:
1.一元一次方程 ax

? b 的解由 a、 b 的值决定: b ⑴若 a ? 0 ,则方程 ax ? b 有唯一解 x ? ; a ⑵若 a ? b ? 0 ,方程变形为 0 ? x ? 0 ,则方程 ax ? b 有无数多个解;
⑶若 a ? 0, b ? 0 ,方程变为 0 ? x

? b ,则方程无解.

2.关于 x、 y 的方程组 ?

?a1 x ? b1 y ? c1 的解的讨论可以按以下规律进行: a2 x ? b2 y ? c2 ?

⑴若

a1 b1 ? a2 b2

,则方程组有唯一解;

⑵若

a1 b1 c1 ? ? a2 b2 c2 a1 b1 c1 ? ? a2 b2 c2

,则方程组有无数多个解;

⑶若

,则方程组无解.

请解答:已知关于 x、 y 的方程组 ? 为: ⑴有唯一解;

? y ? kx ? b ? ? y ? ? 3k ? 1? x ? 2 ?
⑶无解?

分别求出 k,b 为何值时, 方程组的解

⑵有无数多个解;

4


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