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二阶等差数列及其通项公式


二阶等差数列及其通项公式
⑷ 1,2,4,7,11,16,22,… ⑸ 1,3,6,10,15,21,28,… ⑹ 1,3,7,13,21,31,43,… 通过观察分析,也能发现上面三个数列有其内在规律与特点, 但若想轻易写出通项公式却有难处。 本文旨在由等差数列推导出如⑷、⑸、⑹这样的一类数列的通 项公式,并给出一个相关定义。 二、 预备知识: 1、 等差数列的定义:

如果一个数列 a1,a2,a3,…,an,…, 从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 d,即 a2 - a1 = a3 - a2=… = an - an-1 = d,则称此数列为等差数列,常数 d 叫等差数列的公差。 2、 等差数列的通项公式:an =a1 + ( n - 1 ) d, 公 差: d = a2 - a1.

三、 二阶等差数列的定义及其通项公式: a) 定义:如果一个数列 a1,a2,a3,…,an,…, (★)

从第二项起,每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数 列,即 a2 - a1,a3 - a2,a4 - a3,…, an - an-1,…成为一个等差数 列,则称数列(★)为二阶等差数列。

相应地,d =(a3 - a2) - (a2 - a1)= a3 + a1 - 2a2 称为二阶等差数列的二阶公差。 显然,依此定义可以判断,⑷、⑸、⑹均是二阶等差数列。 其二阶公差分别为 1、1、2. 说明:⑴、为区别于二阶等差数列,可把通常定义的等差数 列称为一阶等差数列. ⑵、二阶与一阶等差数列的相互关系: 二阶等差数列不一定是一阶等差数列,但一阶等差数列肯 定是二阶等差数列。 b) 二阶等差数列的通项公式: 设数列 a1,a2,a3,…,an,…是一个二阶等差数列,为了书 写的方便,我们记数列 a2 - a1,a3 - a2,a4 - a3,…,an - an-1,… 为 b1 , b2 , b3 , …,bn-1 , …, (☆)

即记 bn= an+1 - an, (n≥1,n∈Z) 则数列 (☆) 是一个一阶等差数列。 显然,对于数列(☆),d = b2 - b1 = a1 + a3 - 2a2, 根据等差数列的通项公式,则有 bn= an+1 - an = b1 + (n-1) d, (n≥1,n∈Z) 由此得,an +1= an + b1 + (n-1) d 依此规律,则有 a2 = a1 + b1,

a3 = a2 + b1+d, a4 = a3 + b1+2d, ………………… an = an-1 + b1 + (n-2 ) d, 由上面各式左右分别相加,可得 an = a1 +(n-1)b1 +

(n ? 1)( n ? 2) (●) d, 2

此即为二阶等差数列的通项公式, 其中,b1 = a2 - a1, [注:bn= an+1 - an, (n≥1,n∈Z)] c) 例证: 对于数列⑷, 知 a1 =1, b1 =1, d=1, 则由公式 (●) 可得, an=1+

(n-1)×1+

(n ? 1)( n ? 2) n ? n ? 1
2

2

=

2



代入验证,正确。 同理可求知⑸、⑹的通项公式:

n ?n
2

⑸、an =

2

⑹、an = n2-n+1 由此通项公式,则可求出二阶等差数列后面未给出的任何一项。


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