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《圆的方程》的习题


课时提升作业(五十一)圆 的 方 程
(25 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 35 分) 1.(2015? 汉中模拟)设圆的方程是 x +y +2ax+2y+(a-1) =0,若 0<a<1,则原点与圆的位置关系 是 ( ) B.原点在圆外 D.不确定
2 2 2 2 2

A.原点在圆上 C.原点在圆内

/>
【解析】选 B.将圆的一般方程化成标准方程为(x+a) +(y+1) =2a, 因为 0<a<1, 所以(0+a) +(0+1) -2a=(a-1) >0, 即
2 2 2 2

>
2

,所以原点在圆外.

2.(2015?南昌模拟)若圆 x +y -2ax+3by=0 的圆心位于第三象限,那么直线 x+ay+b=0 一定不 经过 ( A.第一象限 C.第三象限
2 2

) B.第二象限 D.第四象限 ,则 a<0,b>0.

【解析】选 D.圆 x +y -2ax+3by=0 的圆心为 直线 y=- x- ,k=- >0,- >0,直线不经过第四象限. 3.已知平面上点 P∈{(x,y)|(x-x0) +(y-y0) =16},其中 的点 P 在平面上所组成图形的面积是 ( A.4π B.16π ) C.32π
2 2 2 2

+

=4,当 x0,y0 变化时,则满足条件

D.36π

【解析】选 C.由题意可得,点 P 在圆(x-x0) +(y-y0) =16 上, 而且圆心(x0,y0)在以原点为圆心,以 2 为半径的圆上. 满足条件的点 P 在平面内所组成的图形的面积是以 6 为半径的圆的面积减去以 2 为半径的圆 的面积,即 36π -4π =32π ,故选 C. 4.若圆 x +y -2x+6y+5a=0 关于直线 y=x+2b 成轴对称图形,则 a-b 的取值范围是 ( A.(-∞,4) C.(-4,+∞) B.(-∞,0) D.(4,+∞) )
2 2

【解析】选 A.将圆的方程变形为(x-1) +(y+3) =10-5a,可知,圆心为(1,-3),且 10-5a>0,即 a<2. 因为圆关于直线 y=x+2b 对称,所以圆心在直线 y=x+2b 上,即-3=1+2b,解得 b=-2,所以 a-b<4. 【方法技巧】两种对称问题的解决方法 (1)点(a,b)关于直线 y=x+m 的对称点坐标为(b-m,a+m). (2)点(a,b)关于直线 y=-x+m 的对称点坐标为(-b+m,-a+m). 5.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 的轨迹所包围的图形的 面积等于 ( A.π ) B.4π
2

2

2

C.8π
2 2 2

D.9π
2 2

【解析】选 B. 设 P(x,y), 由题意有 ,(x+2) +y =4[(x-1) +y ], 整理得 x -4x+y =0, 配方得 (x-2) +y =4.可知圆的面积为 4π . 【加固训练】如图所示,已知 P(4,0)是圆 x +y =36 内的一点,A,B 是圆上两动点,且满足∠ APB=90°,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程.
2 2 2 2

【解析】 设 AB 的中点为 R,坐标为(x1,y1),连接 OR,PR,则在 Rt△ABP 中,|AR|=|PR|.又 R 是弦 AB 的中点,所以在 Rt△OAR 中,|AR| =|AO| -|OR| =36-( 又|AR|=|PR|= 所以有(x1-4) + 即 +
2 2 2 2

+

),

, =36-( + ),

-4x1-10=0.

因此点 R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时,点 Q 即在所求的轨迹上运动. 设 Q(x,y),因为 R 是 PQ 的中点,

所以 x1= 得
2

,y1= +
2

,代入方程 -4? -10=0,

+

-4x1-10=0,

整理得:x +y =56, 即所求 Q 点的轨迹方程为 x +y =56. 6.(2015? 漳州模拟)能够把圆 O:x +y =25 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的“太极函数”,下列函数不是圆 O 的“太极函数”的是 ( A.f(x)=4x +x C.f(x)=tan
2 2 3 2 2 2 2

)

B.f(x)=ln D.f(x)=e +e
x -x

【解析】选 D.圆 O:x +y =25 的圆心在原点,半径等于 5, 由题意可得,圆 O 的“太极函数”应该为奇函数, 结合所给的选项,A,B,C 中的函数都是奇函数,而 D 中的函数为偶函数. 7.(2015?长春模拟)已知函数 f(x)=1+x- +
2

2

+?+

,设 F(x)=f(x+4),且函数 F(x)

的零点均在区间[a,b],(a<b,a,b∈Z)内,圆 x +y =b-a 的面积的最小值是 ( A.π B.2π - +?+ >0. C.3π D.4π )

【解析】选 A.因为 f(x)=1+x- + f′(x)=1-x+x -x +?+x
2 3 2012

,所以当 x<-1 或 x>-1 时,

=

而当 x=-1 时,f′(x)=2013>0, 所以 f′(x)>0 对任意 x∈R 恒成立,得函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数, 因为 f(-1)=(1-1)+ +?+ <0,f(0)=1>0,

所以函数 f(x)在 R 上有唯一零点 x0∈(-1,0), 因为 F(x)=f(x+4),得函数 F(x)的零点是 x0-4∈(-5,-4), 所以 a≤-5 且 b≥-4,得 b-a 的最小值为-4-(-5)=1, 因为圆 x +y =b-a 的圆心为原点,半径 r=
2 2 2 2 2

,

所以圆 x +y =b-a 的面积为π r =π (b-a)≥π ,可得面积的最小值为π ,故选 A. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.若过点 P(a,a)可作圆 x +y -2ax+a +2a-3=0 的两条切线,则实数 a 的取值范围是
2 2 2

.

【解析】 圆的方程可化为(x-a) +y =3-2a,因为过点 P(a,a)能作圆的两条切线,所以点 P 在圆 的外部, 即

2

2

解之得 a<-3 或 1<a< . 故 a 的取值范围为(-∞,-3)∪ 答案:(-∞,-3)∪ 9.(2015 ?长沙模拟 ) 已知圆 M 的圆心在直线 x-y-4=0 上并且经过圆 x +y +6x-4=0 与圆 x +y +6y-28=0 的交点,则圆 M 的标准方程为 【解析】设两圆交点为 A,B,由方程组 求得 或
2 2 2 2

.

.

故点 A(-1,3),B(-6,-2),因此 AB 的垂直平分线的方程为 x+y+3=0.

再由

求得

故圆心为

,r=

,

所以所求的圆的方程为 答案: + =

+

=

.

【加固训练】若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆 的标准方程是 .

【解析】设圆心 C(a,b)(a>0,b>0),由题意可得 b=1. 又圆心 C 到直线 4x-3y=0 的距离 d= 解得 a=2 或 a=- (舍去). 所以该圆的标准方程为(x-2) +(y-1) =1. 答案:(x-2) +(y-1) =1
2 2 2 2

=1,

10.(2015?聊城模拟)已知 x,y 满足 x +y =1,则 【解析】

2

2

的最小值为

. 的最小值是直线 PQ 与 =1 得 k= ,结合图

表示圆上的点 P(x,y)与点 Q(1,2)连线的斜率,所以

圆相切时的斜率.设直线 PQ 的方程为 y-2=k(x-1)即 kx-y+2-k=0.由 形可知, 答案: ≥ ,故最小值为 .

(20 分钟 40 分) 1.(5 分)(2015?九江模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x +y -8x+15=0,若直线 y=kx+2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最小值是 ( A.) B.2 2 2 2

C.-

D.-

【解析】选 A.圆 C 的方程可化为(x-4) +y =1,易知圆 C 的圆心为(4,0),半径为 1. 由题意知,直线 y=kx+2 上存在一点 A,以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 AC≤ 1+1 成立,即 AC≤2. 因为 AC= ,所以 ≤2,解得- ≤k≤0.

所以 k 的最小值是- ,选 A. 2.(5 分)已知圆 C 关于 y 轴对称,经过点(1,0)且被 x 轴分成两段弧长比为 1∶2,则圆 C 的方 程为 ( A. C.x +
2

) +y = =
2

B. D.x +
2

+y = =

2

【解析】 选 C.由已知圆心在 y 轴上,且被 x 轴所分劣弧所对圆心角为 π ,设圆心(0,a),半径 为 r,则 rsin =1,rcos =|a|,解得 r= x+
2

,即 r = ,|a|=

2

,即 a=±

,故圆 C 的方程为

= . ax+by=1(a,b 是实数)与圆 O:x +y =1(O 是坐标原点)
2 2

3.(5 分)(2014?温州模拟)已知直线

相交于 A,B 两点,且△AOB 是直角三角形,点 P(a,b)是以点 M(0,1)为圆心的圆 M 上的任意一 点,则圆 M 的面积的最小值为 .

【解析】因为直线与圆 O 相交所得△AOB 是直角三角形,可知∠AOB=90°, 所以圆心 O 到直线的距离为 所以 a =1- b ≥0,即2 2

= .

,

≤b≤

设圆 M 的半径为 r,则 r=|PM|=

=

=

(2-b),

又-

≤b≤

,所以

+1≥|PM|≥ )π .

-1,

所以圆 M 的面积的最小值为(3-2 答案:(3-2 )π

【加固训练】已知点 P(2,2),点 M 是圆 O1:x +(y-1) = 上的动点,点 N 是圆 O2:(x-2) +y = 上 的动点,则|PN|-|PM|的最大值是 ( A. -1 B. -2 ) C.2D.3-

2

2

2

2

【解析】选 D.|PN|-|PM|的最大值是|PO2|+ =|PO2|-|PO1|+1=2+1=3. ? =k| |.
2

4.(12 分)已知定点 A(0,1),B(0,-1),C(1,0),动点 P 满足: (1)求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型. (2)当 k=2 时,求|2 + |的最大、最小值. =(x,y-1),

【解析】(1)设动点坐标为 P(x,y),则 因为
2

=(x,y+1),

=(1-x,-y).

?
2

=k|
2

,
2

所以 x +y -1=k[(x-1) +y ], 整理得(1-k)x +(1-k)y +2kx-k-1=0. 若 k=1,则方程为 x=1,表示过点(1,0)且平行于 y 轴的直线. 若 k≠1,则方程为
2 2 2

+y =
2

2

.表示以

为圆心,以

为半径的圆.

(2)当 k=2 时,方程化为(x-2) +y =1,

因为 2 所以|2
2 2

+ +

=(3x,3y-1), |= + = | .
2 2

.

又 x +y =4x-3,所以|2 =

问题归结为求 6x-y 的最值,令 t=6x-y,由于点 P 在圆(x-2) +y =1 上,故圆心到直线 t=6x-y 的距离不大于圆的半径,即 结 合 |2 + =3+ 最小值为 |= , = -3. ≤1,解得 12≤t≤12+ , 得 |2 + , | 的 最 大 值 为

【一题多解】本题还可以用以下方法求解 方法一:问题归结为求 6x-y 的最值,令 t=6x-y,则 y=6x-t,代入圆的方程,得到一个关于 x 的 一元二次方程,根据这个方程的判别式不小于零得到与原解析完全相同的结果. 方法二:因为(x-2) +y =1,所以令 x=2+cosθ ,y=sinθ , 则 36x-6y-26=6 ∈[46-6 所以|2 + ,46+6 cos(θ +φ )+46 ], =3+ ,最小值为 = -3.
2 2

|的最大值为

【方法技巧】解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合,根据圆的知识探求最值时 的位置关系.解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面: (1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题. (2)研究图形的形状、位置关系、性质等. 5.(13 分)(能力挑战题)如图,已知圆 O 的直径|AB|=4,定直线 l 到圆心的距离为 4,且直线 l 垂直于直线 AB.点 P 是圆 O 上异于 A,B 的任意一点,直线 PA,PB 分别交 l 于 M,N 两点.

(1)若∠PAB=30°,求以 MN 为直径的圆的方程. (2)当点 P 变化时,求证:以 MN 为直径的圆必过圆 O 内的一定点. 【解析】如图,建立直角坐标系,得☉O 的方程为 x +y =4,直线 l 的方程为 x=4.
2 2

(1)当点 P 在 x 轴上方时, 因为∠PAB=30°, 所以点 P 的坐标为(1, 所以 lAP:y= ), (x-2). ),N(4,-2 ), .

(x+2),lBP:y=-

将 x=4 分别代入,得 M(4,2

所以线段 MN 的中点坐标为(4,0),|MN|=4
2 2

所以以 MN 为直径的圆的方程为(x-4) +y =12. 同理,当点 P 在 x 轴下方时,所求圆的方程仍是 (x-4) +y =12. 综上,以 MN 为直径的圆的方程为(x-4) +y =12. (2)设点 P 的坐标为(x0,y0),则 y0≠0, 所以 + =4(y0≠0),
2 2 2 2

所以

=4-

. (x+2),

因为 lPA:y= lPB:y=

(x-2), ,

将 x=4 分别代入,得 yM= yN= 所以 M 所以|MN|= 线段 MN 的中点坐标为 , ,N =

, , ,

以 MN 为直径的圆 O′截 x 轴所得的线段长度为 2

=

=

=4

. ,0),(4+2 ,0).

则圆 O′与 x 轴的两交点坐标分别为(4-2 又(4-2 (4+2
2

) +0 =28-16 ) +0 =28+16
2

2

2

<4, >4, ,0).

所以☉O′必过☉O 内定点(4-2


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