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8.3双曲线及其标准方程1


定义

|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|)

图 象

F1 o

· · ·
F2

y

F2
F1

· o ·
o

y

x

方 程
焦 点 a.b.c的 关系

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
F ( ±c,0) F(0, ± c)

a2=b2+c2

双曲线的定义: 平面内与两定点F1,F2的距离的差 的绝对值等于常数2a (小于 F1F2 ) 的 点的轨迹叫做双曲线。
F1,F2 -----焦点 |F1F2| -----焦距 y ||MF1| - |MF2|| = 2a
注意:对于双曲线定义须 抓住两点:一是平面内的 动点到两定点的距离之差 的绝对值是一个常数;二 是这个常数要小于|F1F2|
M
M

. F

1

o

. F

2

x

请思考?
1、平面内与两定点的距离的差等于常数 2a(小于|F1F2| )的轨迹是什么?
双曲线的一支

2、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于 常数(等于|F1F2| )的轨迹是什么?
是在直线F1F2上且 以F1、F2为端点向外的两条射线

3、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于 常数(大于|F1F2| )的轨迹是什么?
不存在

相关结论:
P点轨迹是双曲线 1、当||MF1|-|MF2||= 2a<|F1F2|时,

其中当|MF1|-|MF2||= 2a时,M点轨迹是与F2对 应的双曲线的一支; 当|MF2| - |MF1|= 2a时,M 点轨迹是与F1对应的双曲线的一支.
2、当 ||MF1|-|MF2||= 2a=|F1F2|时,M点轨迹是在直 线F1F2上且以F1和F2为端点向外的两条射线。

3、当||MF1|-|MF2||= 2a >|F1F2|时,M点的轨迹不存在
4、当||MF1|-|MF2||= 2a=0时,M点的轨迹是线段F1F2 的垂直平分线 。

1. 建系.以F1,F2所在的直线为X轴, 线段F1F2的中点o为原点建立直角 如何求这优美的曲线的方程? 坐标系 2.设点. 设M(x , y),双曲线的焦
距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0)
FF 11

y

y
M

O

o

常数为2a
3.列式. |MF1|

F F22 x x

- |MF2|= ? 2a



(x+c)2 + y2 -

_ 2a (x-c)2 + y2 = +

4.化简.

( x ? c) ? y
2

2

?
2

( x ? c) ? y
2

2

? ?2a
2

?

( x ? c)

2

? y

2

?

? ? 2a ?

?

( x ? c)

? y

2

?

2

cx ? a 2 ? ? a

( x ? c) 2 ? y 2

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2 2 2 2 2 2 2 2

c ? a ?b
2 2

2

x a2

2

?

y2 b
2

? 1(a ? 0, b ? 0)

? 想一想
焦点在y轴上的双曲线的图象 是什么?标准方程怎样求?

y
F2

焦点在y轴上的双曲线 的标准方程

o
F1

x

F1(0,-c),
2 2

F2(0,c)
2

c ? a ?b

焦 点 位置确定: 椭圆看分母大小 , 双曲线看x2、y2 的系数正负

注:
x2与y2的系数符号,决定焦 点所在的坐标轴,当x2,y2哪 个系数为正,焦点就在哪个 轴上,双曲线的焦点所在位 置与分母的大小无关。

? 例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲 线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6,则 (1) a=_______ , c =_______ , b4 =_______ 3 5

(2) 双曲线的标准方程为______________
(3)双曲线上一点P, |PF1|=10, 则|PF2|=_________ 4或16

| |PF1| - |PF2| | =

6

例2、已知双曲线两个焦点的坐标为F1( - 5 , 0)、 F2(5 , 0),双曲线上一点P到F1、F2的距离的差 的绝对值等于6,求双曲线的标准方程。 解:因为双曲线的焦点在x轴上,所以设它的

x y 标准方程为 ? ?1 ( a ? 0 b ? 0 ) a b
2 2 2 2



2a=6

2c=10




a=3

c=5
2 2

x y ? ?1 ∴ 所求双曲线的标准方程为 9 16
2 2

b2= 52- 32= 16

例3:k > 1,则关于x、y的方程(1- k )x2+y2=k2- 1 所表示的曲线是 ( )
A、焦点在x轴上的椭圆 B、焦点在y轴上的双曲线
C、焦点在y轴上的椭圆 D、焦点在x轴上的双曲线

解:原方程化为: y
2

2

k ?1

?

x

2

1? k

?1
1+k> 0



k>0



k2+1> 0

∴方程的曲线为焦点在y轴上的双曲线。 故 选(B)

课堂练习:
1、已知点F1(- 8, 3 )、F2(2 ,3),动点P满足 |PF1| - |PF2|= 10,则P点的轨迹是( D ) A、双曲线 C、直线
2 2 2

B、双曲线一支 D、一条射线

x y 2、若椭圆 ? ? 1 (a ? 0)与双曲线 a 4 x y
2 2

3

?

2

? 1 的焦点相同,则

a = 3

3、说明下列方程各表示什么曲线。

(1)

( x ? 3) ? y ? ( x ? 3) ? y ? 4
2 2 2 2

方程表示的曲线是双曲线

(2)
(3)

( x ? 3) ? y ? ( x ? 3) ? y ? 5
2 2 2 2

方程表示的曲线是双曲线的右支

( x ? 3) ? y ? ( x ? 3) ? y
2 2 2

2

?6

方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点, 指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。

课堂小结:
?

本节课学习了双曲线的定义、 图象和标准方程,要注意使用类 比的方法,仿照椭圆的定义、图 象和标准方程的探究思路来处理 双曲线的类似问题。

作业:
教材P108习题8.3 第3题


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