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【志鸿优化】2015高考数学(人教,理)一轮课时规范练61 离散型随机变量及其分布列]


课时规范练 61
一、选择题
1.设随机变量 X 的概率分布列如下表所示:

离散型随机变量及其分布列
课时规范练第 93 页

X P

0 a

1

2

F(x)=P(X≤x),则当 x 的取值范围是[1,2)时,F(x)=

( A. 答案:D 解析:∵a+=1, ∴a=. ∵x∈[1,2), ∴F(x)=P(X≤x)=. 2.设 X 是一个离散型随机变量,其分布列为
X P -1

) D.

B.

C.

0 1-2q

1 q2

则 q 等于( A.1 答案:C

) B.1± C.1D.1+

解析:由+1-2q+q2=1,得 q2-2q+=0,q=, ∴q=1+>1(舍去)或 q=1-. 3.羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草,则喜羊羊和美羊羊 恰好只有一只被选中的概率为( A. 答案:C B. ) C. D.

解析:从 5 只羊中选两只羊,有=10 种选法,喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的结果有·=6 种选法,喜羊羊和 美羊羊恰好只有一只被选中的概率为. 4.设随机变量 ξ 的分布列由 P(ξ=i)=C· 确定,i=1,2,3,则 C 的值为( A. 答案:B 解析:∵P(ξ=i)=C·, ∴P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3) =C·=C·=1, ∴C=. 5.若 P(ξ≤n)=1-a,P(ξ≥m)=1-b,其中 m<n,则 P(m≤ξ≤n)等于( A.(1-a)(1-b) C.1-(a+b) 答案:C 解析:由分布列的性质得 P(m≤ξ≤n)=P(ξ≥m)+P(ξ≤n)-1=(1-a)+(1-b)-1=1-(a+b),故选 C. 6.在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便,现从中任意选 10 个村庄,用 X 表示这 10 个村庄中交通不方便的村庄 数,下列概率中等于的是( ) A.P(X=2) 答案:C 解析:X 服从超几何分布 P(X=k)=,故 k=4. B.P(X≤2) C.P(X=4) D.P(X≤4) B.1-a(1-b) D.1-b(1-a) ) B. C. D. )

二、填空题

7.设随机变量 X 的概率分布列为
X P 1 2 m 3 4

则 P(|X-3|=1)= 答案: 解析:由+m+=1,得 m=.

.

∴P(|X-3|=1)=P(X=4)+P(X=2)=. 8.对于下列分布列有 P(|ξ|=2)= .
ξ P -2 a 0 2 c

答案: 解析:P(|ξ|=2)=P(ξ=2)+P(ξ=-2)=a+c=1-. 9.某地为了调查职业满意度,决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中,抽取 若干人组成调查小组,有关数据见下表,则调查小组的总人数为 ;若从调查小组中的公务员和教师中 随机选 2 人撰写调查报告,则其中恰好有 1 人来自公务员的概率为
相关人员数 公务员 教师 自由职业者 32 48 64 抽取人数 x y 4

.

答案:9 解析:由自由职业者 64 人抽取 4 人可得,每一个个体被抽入样的概率为,则公务员应当抽取 32×=2 人,教师应当 抽取 48×=3 人,由此可得调查小组共有 2+3+4=9 人.从调查小组中的公务员和教师中随机选 2 人撰写调查报告, 则其中恰好有 1 人来自公务员的概率为 P=.

三、解答题
10.若随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中 a 是常数,求 P 的值. 解:P=P(X=1)+P(X=2)=. 而 P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=a=1, ∴a=. ∴P=a. 11.某中学动员学生在春节期间至少参加一次社会公益活动(下面简称为“活动”).该校合唱团共有 100 名学生,他 们参加活动的次数统计如图所示.

(1)求合唱团学生参加活动的人均次数; (2)从合唱团中任选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率; (3)从合唱团中任选两名学生,用 ξ 表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量 ξ 的分布列. 解:根据统计图知参加活动 1 次、2 次、3 次的学生数分别为 10,50,40. (1)该合唱团学生参加活动的人均次数为=2.3. (2)从合唱团中任选两名学生,他们参加活动次数恰好相等的概率 P0=. (3)随机变量 ξ 的取值为 0,1,2,ξ 的分布列为
ξ P 0 1 2

12.为迎接 6 月 6 日的“全国爱眼日”,某高中学生会从全体学生中随机抽取 16 名学生,经校医用对数视力表检查 得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶),如图,若视力测试结 果不低于 5.0,则称为“好视力”.

(1)写出这组数据的众数和中位数; (2)从这 16 人中随机选取 3 人,求至少有 2 人是“好视力”的概率; (3)以这 16 人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数很多)任选 3 人,记 X 表示抽到“好视力”学 生的人数,求 X 的分布列及数学期望. 解:(1)由题意知众数为 4.6 和 4.7,中位数为 4.75. (2)设 Ai(i=0,1,2,3)表示所选 3 人中有 i 个人是“好视力”,至少有 2 人是“好视力”记为事件 A, 则 P(A)=P(A2)+P(A3)=. (3)X 的可能取值为 0,1,2,3.由于该校人数很多,故 X 近似服从二项分布 B. P(X=0)=,P(X=1)=, P(X=2)=,P(X=3)=, X 的分布列为
X P 0 1 2 3

故 X 的数学期望 E(X)=3×.


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