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江苏省海门市2008年暑期新教师招考试题(中学数学)


江苏省海门市 2008 年暑期新教师招考试题(中学数学) 年暑期新教师招考试题(中学数学)
(由江苏省海门中学 方伟 命制) 江苏省海门中学 ) 小题, 一、填空题(本题 14 小题,共计 42 分) 填空题( 1.设数集 M={x|m≤x≤m+

3 1 },N={x|n- ≤x≤n},且 M、N 都是集合{x|0≤x≤1}的子集,如果 4 3

把 b-a 叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度” ,那么集合 M∩N 的“长度”的最小值是___________.

2.矩阵 ?

3.已知向量 a = (2,1), b = (3, ?1) ,则 a 与 b 的夹角 θ 为 4.在等式“1= 两个数是

?? 1 2? 5 ? 的特征值是 ? 2 3? ? ?

______。 _____.

( )

1

+

()

9

”的两个括号内各填入一个正整数,使它们的和最小,则填入的

若 f (1) < f (lg x) ,则 x 的取值范围是 ______________ . 11.在 ?ABC 中,已知 a ? b = c cos B ? c cos A ,则 ?ABC 为 ________三角形. 12.用三种不同颜色给 3 个矩形随机涂色,每个矩形上涂一种颜色,则 3 个矩形颜色都不同的概 率是 ______. 13.老张、老刘、老李和老赵, 一个是教师,一个是职员,一个是工人,一个是干部,还知道(1) 张、刘为邻居,每天骑车上班; (2)老刘比老李年纪大; (3)老张教老赵打太极拳; (4)教师每 天步行上班; (5)职员的邻居不是干部; (6)干部和工人不认识; (7)干部比职员和工人年纪都 大,那么他们的职业按职员、工人、干部、教师的姓氏排列为____________________. 14. 设 f ( x) =

I←0 S←0 5.已知 z = (| z | ?1) + 5i ,则复数 z = _______. While I<6 6. 已知伪代码如图,则输出结果 S=_ ________. 7.过点 M (3, ?4) ,且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为 I←I+2 t 2t S←S+I2 dx < 3 ,则 t ∈ ____ 8.若 2 xdx ? 0 0 End while 9.已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线的方程 Print S 为 2 x ? y = 0 ,则双曲线的离心率为 __________. (第 6 题) 10.已知定义在实数集 R 上的偶函数 f ( x) 在区间 [ 0,+∞ ) 上的单调增函数,

_________.





1 3 + 3
x

, 利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法, 可求得 f(-12)+ f(-

11)+ f(-10)+…+ f(0)+…+ f(11)+ f(12)+ f(13)的值为________. 解答题( 小题, 二、解答题(本题 6 小题,共计 58 分) 15.如图,摩天轮的半径为 40m,点 O 距地面的高度为 50m,摩天轮做匀速转动, 每 3min 转一圈,摩天轮上的点 P 的起始位置在最低点处. (1)试确定在时刻 t(min)时点 P 距离地面的高度; (2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间点 P 距离地面超过 70m. 40 50

O P

16.已知函数 f ( x) = ln(2 x + 1) .

(Ⅰ)求曲线 f ( x) = ln(2 x + 1) ,在 x =

1 处的切线的方程; 2 (Ⅱ)若方程 f ( x) + f ′( x) = a 有解,求 a 的取值范围.

17.如图,以长方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A、C 及另两个顶点为顶点构造四面体. (1)若该四面体的四个面都是直角三角形,试写出一个这样的四面体(不要求证明) ; (2)我们将四面体中两条无公共端点的棱叫做对棱,若该四面体的任一对对棱垂直,试写出一 个这样的四面体(不要求证明) ; (3)若该四面体的任一对对棱相等,试写出一 个这样的四面体(不要求证明) ,并计算它的体 积与长方体的体积的比. D1 C1 A1 B1 C B

D

A

, 18.设绝对值小于 1 的全体实数的集合为 S,在 S 中定义一种运算“ ? ”

使得 a ? b =

(1) 证明:如果 a 与 b 属于 S,那么 a ? b 也属于 S. (2) 证明:结合律 (a ? b) ? c = a ? (b ? c ) 成立.

a+b 1 + ab

19.如图,过椭圆

x2 a2

+

y2 b2

= 1(a > b > 0) 的左焦点 F 任作一条与两坐标轴都不垂直的弦 AB ,若点

M 在 x 轴上, 且使得 MF 为 ?AMB 的一条内角平分线, 则称点 M 为该椭圆的 “左特征点” . : (1) 2 x 求椭圆 + y 2 = 1(a > b > 0) 的“左特征点” M 的坐标; :试根据(1)中的结论猜测: (2) 5
椭圆
x2 a
2

+

y2 b2

= 1(a > b > 0) 的“左特征点” M 是一个怎样的点?并证明你的结论.

20.关键词 关键词:数学作文 关键词

理论背景:从 2000 年开始,我国已把“探索型课题学习”列入教学计划,并规定了教学时 理论背景 间。2001 年华东师范大学的张奠宙教授在一次给研究生的讲话报告中,提出了“数学作文”这个 概念,它类似于国外学生做的“Project”,结合我国的实际, “数学作文”是“探索型课题”研 究过程和结果的展现形式。它不同于严格意义上的数学论文,它是数学“双基”的延伸。通过数 学作文能够对数学基础进行整理,上升为更加理性的认识。 200字简要地谈谈对“数学归纳法”这个概念的认知。 注意:数学语言的运用) (注意 请你用 200-300 字简要地谈谈对“数学归纳法”这个概念的认知。 注意:数学语言的运用) (

参考答案

1.

1 12

2.4,-2 3.

π
4

4.4,12 5.12-5i

6.20 7

x + y + 1 = 0或4 x + 3 y = 0
12.

(-1,3)9. 5或 5 8. 9 教师 14.

13 3

2 13. 张职员、刘工人、赵干部、李 9 2 1 3 15. (1) y = 40 cos( 2π t ) + 50 (2)1 分钟 16. (1) y = x + ln 2 ? (2) a ≥ ln 2 + 1 17. 2 3
10. x > 10或0 < x < 1 10 11. 等腰或直角

解 (1) 如四面体 A1-ABC 或四面体 C1-ABC 或四面体 A1-ACD 或四面体 C1-ACD; (2) 如四面体 B1-ABC 或四面体 D1-ACD; (3)如四面体 A-B1CD1 18. (1)当-1<a<1,-1<b<1 时,有-1< 成 立 , 从 而 用 比 较

a+b a+b 2 <1 成立,也即证 ( ) <1 1 + ab 1 + ab
法 即 可 证 得 ( 2 )

a+b +c a+b 1 + ab b)*c= *c= = a + b + c + abc 因为此式关于 a+b 1 + ab 1+ ? c 1 + bc + ca + ab 1 + ab
19. (1)解:设 M (m,0) 为椭圆

a,b,c 对

称,所以即得(a*b)*c=a*(b*c)成立,这样就利用对称性减少了一半计算。

x2 + y 2 = 1 的左特征点,椭圆的左焦点为 5
x2 2 2 + y 2 = 1 得 ( ky ? 2) + 5 y = 5 . 即 5

F

(-2,0) , 可 设 直 线

AB

的 方 程 为 x = ky ? 2( k ≠ 0) , 并 将 它 代 入

(k 2 + 5) y 2 ? 4ky ? 1 = 0 .
设 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) , 则 y1 + y2 = 4k , y1 y2 = 2
k +5 1 . ∵ k2 + 5

∠AMB



x

轴平分,∴

k AM + k BM = 0

. 即

y1 y2 + = 0, 化简得y1 ( x 2 ? m) + y 2 ( x1 ? m) = 0 x1 ? m x 2 ? m 将 x1

= ky1 ? 2 , x2 = ky 2 ? 2 代入得 2ky1 y2 ? ( y1 + y 2 )(m + 2) = 0 ,由 k ≠ 0 ,即整理得 m = ? ∴ M (? ,0) .
x2 a2 + y2 b2 = 1 的“左特征点”是椭圆的左准线与 x 轴的交点. 证明:设椭圆的左准线 l 与


5 2

5 2

(2)由(1)猜想:椭圆

x

轴相交于点

M

,过点

A

B

分别作 ∥

l

的垂线,垂足分别为点

C

| AF | | BF | | AF | | AC | ∵ = ,即 = . | AC | | BD | | BF | | BD | | AC | | CM | | AC | | BD | = ,即 = . | BD | | DM | | CM | | DM |

AC

FM



BD

,



、 D .据椭圆第二定义得 | AF | | CM | . 于 是 = | BF | | DM |

∴ tan ∠AMC = tan ∠BMD.又 Q ∠AMC与∠BMD均为锐角

∴∠ AMC =∠ BMD .∴∠

AMF

=∠ BMF .∴ MF 为∠

AMB 的平分线。

故点 M 为椭圆的“左特征点”. (2)数学归纳法的定义(或者解题步骤) (3) 20. 纲要(1)数学归纳法作为归纳法的一种,它属于完全归纳。 重难点突破:奠基的重要性及注意点,在证明 P(K+1)时一定要用到归纳假设 P(K) (4)适用范围:可以证明 与正整数相关的命题。 (5*)其他:数学归纳法从证明的方式来区分,可以有第一数学归纳法、第二数学归纳法、 多重数学归纳法、翘翘板数学归纳等等


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