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湖北省安陆市第一高级中学2013届高三下学期模拟考试数学(理)试卷


数学试卷(理科)
★★祝考试顺利★★ 注意事项: 1.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考 试时间 120 分钟. 2.答题前,请考生务必在试卷和答卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名. 3.本科考试分试卷和答卷,考生须在答卷上作答.选择题请用 2B 铅笔将答卷上对应题 目的答案标号涂黑;非选择题请按照题号顺序在各题的答题区域内作答,超出答题 区域书写的答案无效.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设复数 z 满足 (1 ? i ) z ? 2i ,其中 i 为虚数单位,则 z ? ( A. ? 1 ? i B. ? 1 ? i C. 1 ? i 2.“ a ? 1 ”是“ 1 ? 1 ”成立的( ) a A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件 3.某校学生学习《统计学》的时间(x)与考试成绩(y)之间 ? =a+bx . 经 计 算 , 方 程 为 y ? = 建立线性回归方程 y
[

) D. 1 ? i

20 ? 0.8 x ,则该方程参数的计算 (
A.a 值明显不对 C.a 值和 b 值都不对

) B.b 值明显不对 D.a 值和 b 值都正确

? ?

4.二项式 ( x ? 3 x ) 9 的展开式中有理项共有( ) 5.在区间 ?0,10? 内随机取出两个数,则这两个数的平方和 也在区间 ?0,10? 内的概率是( A. ) C. A. 1 项 B. 2 项 C. 3 项 D. 4 项



1 10

B.

? 10

? 4

D.

? 40

6.如图是关于闰年的程序框图,则以下年份是闰年的为 ( ) A.2014 年 B.2010 年 C.2100 年 D.2012 年 7. 如图,矩形 ABCD 两条对角线相交于点 O , ?BOC ? 120? , AB ? 3 cm,一动点 P 以 1cm/s 的速度沿折线 OB ? BA 运动,则点 C , O, P 围成的三角形的面积 y 与点 P 的运动时间 x(s)之间的函 数图象为( )

D

A

O C

P B

6

A

B

C

D

8.已知直角三角形 ABC,其三边分为 a,b,c,(a>b>c).分别以三角形的 a 边,b 边,c 边所在 ) 直线为轴旋转一周形成三个几何体,其体积分别为 V1 ,V2 ,V3 ,则它们的关系为 (

A. V1 ? V2 ? V3

B. V1 ? V2 ? V3

C. V1 ? V2 ? V3

D. V1 ? V2 ? V3 )

9.已知数列{an}的通项公式为 a n ? ( ) A.有最大项,没有最小项 C.既有最大项又有最小项 10. F ( ? c,0 )是双曲线 实轴长为 ( A.4 ) B. 2

4 9

n ?1

2 ? ( ) n ?1 ,则数列{an}( 3

B.有最小项,没有最大项 D.既没有最大项也没有最小项

x2 y2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的左焦点, P 是抛物线 y2=4cx 上一点, 2 a b 2 2 2 直线 FP 与圆 x +y =a 相切于点 E ,且 PE ? EF ,若双曲线的焦距为 2 +2,则双曲线的
C. D.

第Ⅱ卷(非选择题部分 共 100 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,考试共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填 在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11-14 题) 11. 为了了解某校高三男生的身体状况,抽 查了部分男生的体重,将所得数据整理后, 画出了频率分布直方图(如右图) .已知图 中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1﹕ 2﹕3, 第 2 小组的频数为 12, 则被抽查的男 生的人数是 . 12.将若干个点摆成如图所示三角形图案, 每条边(包括两个端点)有 n ( n ? 2 ,

n ? N ? )个点,相应的图案中总的点数记为an,则


9 9 9 9 + + +… ? = a 2013 a 2014 a2 a3 a3 a4 a4 a5

13.在 ?ABC 中, AB ? 2, AC ? 4. 若 P 为 ?ABC 的外心,则 AP ? BC 的值为___________. 14.某班有学生 40 人,将其数学成绩平均分为两组,第一组的平均分为 80,标准差为 4,第 二组的平均分为 90,标准差为 6,则该班 40 名学生的数学成绩平均分为 ,标准差 为 . A (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,如果 全选,则按第 15 题作答结果计分) D 15.(选修 4-1:几何证明选讲)如图,四边形 ABCD 内接于圆, E N AB ? AC , 直线 MN 切圆于点 C ,BD∥MN 交 AC 于点 E . 若 . 16.(选修 4-4:坐标系与参数方程)以极点为坐标原点,极轴为

??? ? ??? ?

AB ? 6 , BC ? 4 ,则 AE 的长为

B M

C C

? x 轴的正半轴建立平面直角坐标系, 圆 C1 的方程为 ? ? 4 2 cos(? ? ) , 圆 C2 的参数方程 4
为?

? x ? ?1 ? a cos ? , ( ? 为参数) ,若圆 C1 与圆 C2 外切,则实数 a ? ___________. ? y ? ?1 ? a sin ?
π . 4

三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的一个零点是 (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? f (?x) ? 2 3sin x cos x ,求 g ( x) 的单调递增区间.

18.(本题满分 12 分)已知数列 an 满足 a1 ? 2a 2 ? 2 a3 ? ? ? ? ? 2
2

n ?1

n an ? , (n ? N * ) 2

(Ⅰ)求数列 ?an ?的通项; (Ⅱ)若 bn ?

n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . an

19.(本题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,?BAD ? 60 , Q 为 AD 的中点. PA ? PD ? AD ? 2 . (I)若点 M 在线段 PC 上且 PM ? tPC ,试确定 t 的值,使 PA // 平面 MQB ; (II)在(I)的条件下,若平面 PAD ? 平面 ABCD,求二面角 M ? BQ ? C 的大小.

?

20.(本题满分 12 分)为了缓解高考压力,某中学高三年级成立了文娱队,每位队员唱歌、 跳舞至少会一项,其中会唱歌的有 2 人,会跳舞的有 5 人,现从中选 2 人.设 ? 为选出

(?=0)= 的人中既会唱歌又会跳舞的人数,且 P

3 . 10

(Ⅰ)求文娱队的人数; (Ⅱ)求 ? 的分布列并计算 E? .

x2 y 2 1 21.(本题满分 13 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ,(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心, a b 2
椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切,过点 P(4, 0) 且不垂直于 x 轴 直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 OA ? OB 的取值范围; (Ⅲ)若 B 关于 x 轴的对称点是 E ,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点.

22.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln(ax) ( a ? 0 , a ? R ) , g ( x) ? (Ⅰ)当 a ? 1 时,记 ? ( x ) ? f ( x ) ?

(Ⅱ)若 f ( x) ? g ( x) ( x ? 1 )恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)已知对于 0 ? ? ? 1 , 恒有

x ?1 ,求函数 ? ( x) 的单调区间; x ?1

x ?1 . x

1? k ? 1? k ? ?( ) (k ? N*) 成立; 当a ? 1且0 ? ? ? 1 2 2 n 1 * 时,对任意 n ? N ,试比较 ? 与 f [(1 ? n) ? 2 n(1?? ) ] 的大小. ? k ?1 1 ? k

数学试卷(理科)参考答案
一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分) 1.A. 2.B. 3.B. 4. B. 5.D. 6. D. 7. C. 8. B. 9. C. 10. A. 二、填空题:(每小题 5 分,共 25 分) 11.48 . 12.

2012 . 2013

13. 14 . 85(2 分) ; 51 (3 分) ;

15.

10 . 16. ? 2 . (对 3

而不全的不给分) 三、解答题: (共 6 大题,共 75 分) (非参考答案的正确解答酌情给分) 17. 解: (Ⅰ)依题意,得 f ( ) ? 0 , 即 sin 解得 a ? 1 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin x ? cos x .

π 4

π π 2 2a ? a cos ? ? ? 0, 4 4 2 2
………………5 分 ………………6 分

g ( x) ? f ( x) ? f (?x) ? 2 3sin x cos x ? (sin x ? cos x)(? sin x ? cos x) ? 3sin 2x
2? ? (cos2 x ? sin2 x) ? 3sin 2x ? c o s x
由 2kπ ?

2 sinx (? 2 3 si xn?2

π ) 10 分 .…… 6

π π π π π ? 2 x ? ? 2kπ ? ,得 kπ ? ? x ? kπ ? , k ? Z . 2 6 2 3 6 π π 所以 g ( x) 的单调递增区间为 [ kπ ? , kπ ? ] , k ? Z . …………12 分 3 6 n 1 2 n ?1 18.解: (Ⅰ) n ? 1时a1 ? , a1 ? 2a 2 ? 2 a3 ? ? ? ? ? 2 a n ? ,(1) 2 2 n 1 n ? 2时 a1 ? 2a 2 ? 2 2 a3 ? ? ? ? ? 2 n ? 2 a n ?1 ? ,(2) ………………5 分 2 1 1 1 1 n ?1 (1)-(2)得 2 a n ? 即 a n ? n ,又 a1 ? 也适合上式,? a n ? n …………6 分 2 2 2 2
(Ⅱ) bn ? n ? 2n ,∴

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? ? ? n ? 2n

2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? ? ? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1
2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n?1 ? 2 n?1 ? 2 ? n ? 2 n?1 ∴ ? Sn ? 1? 2
…………10 分

? Sn ? (n ?1)2n?1 ? 2
19.解: (Ⅰ)当 t ?

…………12 分

1 时, PA // 平面 MQB 3 下面证明:若 PA // 平面 MQB ,连 AC 交 BQ 于 N AQ AN 1 ? ? , 由 AQ // BC 可得, ?ANQ ? ?CNB ,? CB CN 2 ? PA ? 平面 MQB , PA ? 平面 PAC ,平面 PAC ? 平面 MQB ? MN ,

? PA // MN PM AN 1 ? ? PC AC 3

即: PM ?

1 PC 3

?t ?

1 3

…………5 分

(Ⅱ) 由 PA=PD=AD=2, Q 为 AD 的中点,则 PQ⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD, 所以 PQ⊥ 平面 ABCD,连 BD,而四边形 ABCD 为菱形,则 AD=AB,又∠BAD=60°,? △ABD 为正三角形, Q 为 AD 中点, ∴AD⊥BQ.以 Q 为坐标原点,分别以 QA、QB、QP 所在的直线为 x, y , z 轴, 建立如图所示的坐标系,则各点坐标为 A ( 1 , 0 , 0 ) ,B ( 0, 3, 0 ) ,Q(0,0,0) ,P(0,0, 3 ) 设 平 面 MQB 的 法 向 量 为 n ? ? x, y, z ? , 可 得 ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? 3y ? 0 ?n ? QB ? 0 ?n ? QB ? 0 , ? ,? PA // MN ,? ? ? ??? ? ? ? ? ? ???? ?n ? MN ? 0 ?n ? PA ? 0 ? ? x ? 3z ? 0 ? ? 取 z=1,解得 n ? ( 3,0,1)

?

取平面 ABCD 的法向量 QP ? 0,0, 3 ,设所求二面角为 ? , 则 cos? ?
| QP ? n | | QP | | n | ? 1 ,故二面角 M ? BQ ? C 的大小为 60°. 2

?

………10 分

?

…………12 分

20.解:设既会唱歌又会跳舞的有 x 人,则文娱队中共有 (7 ? x) 人,那么只会一项的人数是

(7 ? 2 x) 人.
3 (Ⅰ) ,即 ? P(? ? 0) ? 10
2 C7 3 ?2 x ? , 2 C7? x 10

?

(7 ? 2 x)(6 ? 2 x) 3 ? ,? x ? 2 . (7 ? x)(6 ? x) 10
3 (Ⅱ) P(? ? 0) ? 10 , P(? ? 1) ?

故文娱队共有 5 人
1 1 2 C2 ? C3 C2 3 , ? P ( ? ? 2) ? ? 1 5 C52 C52 10

…………6 分

? 的分布列为

?
P

0
3 10

1
3 5

2
1 10

3 3 1 4 ? E? ? 0 ? 10 ? 1? 5 ? 2 ? 10 ?5

…………12 分
2 2 2

21. 解: (Ⅰ)由题意知 e ?

6 c a ?b 1 c 1 4 ? 3, ? , ∴ e2 ? 2 ? 即 a 2 ? b2 又 b ? ? , 4 a 2 3 a a2 1?1
…………3 分

y2 x2 b 2 ? 3 ,故椭圆的方程为 ∴ a 2 ? 4, ? ?1 4 3

(Ⅱ)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,
? y ? k ( x ? 4) ? 由 ? x2 得: (4k 2 ? 3) x 2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 y2 ? ? 1 ? 3 ? 4

由 ? ? (?32k 2 ) 2 ? 4(4k 2 ? 3)(64k 2 ? 12) ? 0 得: k 2 ? 设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 x1 ? x2 ?

1 4

32k 2 64k 2 ? 12 , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3



∴ y1 y2 ? k ( x1 ? 4)k ( x2 ? 4) ? k 2 x1 x2 ? 4k 2 ( x1 ? x2 ) ? 16k 2 ∴ OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? (1 ? k )
2

64k 2 ? 12 32k 2 87 2 ? 4 k ? ? 16k 2 ? 25 ? 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3

87 87 87 1 13 ?? 2 ? ? , OA ? OB ? [?4, ) ,∴ ? 3 4 4 4 4k ? 3 13 ∴ OA ? OB 的取值范围是 [?4, ) . 4
0 ? k2 ?
(Ⅱ)证明:∵ B 、 E 两点关于 x 轴对称,∴ E ( x2 ,? y 2 ) 直线 AE 的方程 y ? y1 ?

…………9 分

y1 ? y 2 y ( x ? x2 ) ( x ? x1 ) ,令 y ? 0 得: x ? x1 ? 1 1 x1 ? x2 y1 ? y 2
2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) x1 ? x2 ? 8
…………13 分

又 y1 ? k ( x1 ? 4) , y2 ? k ( x2 ? 4) ,∴ x ?

将①代入得: x ? 1 ,∴ 直线 AE 与 x 轴交于定点 (1,0) . 22. 解: (Ⅰ) ? ( x) ? ln x ?

x ?1 ( x ? 0且 x ? 1) x ?1 1 2 x2 ?1 ∴ ? ?( x) ? ? ? x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2 ∵ x ? 0 且 x ? 1 , ∴ ? ?( x) ? 0 ,故函数 ? ( x) 的单调区间为 (0,1) 和 (1,??) ;…4 分 x ?1 x ?1 1 (Ⅱ)∵ ln( ax ) ? 对 x ? 1 恒成立,∴ ln a ? ln x ? ,即 ln a ? 1 ? ? ln x x x x 对 x ? 1 恒成立. 1 1 1 令 h( x) ? 1 ? ? ln x ,则 h ?( x) ? 2 ? ? 0 ( x ? 1 ) ,∴ h( x) 在区间 [1,??) 上单调 x x x 递 减 , 故 ln a ? h( x) max ? h(1) ? 0 , 解 得 : a ? 1 , 于 是 实 数 a 的 取 值 范 围 为 [1,??) . …………9 分 1 (Ⅲ)当 a ? 1 时,由(Ⅱ)得: ln x ? 1 ? ( x ? 1 ) ,又 f ( x) ? ln x . x
令x ?

1 1? k ? ? ? * (k ? N ) ,则 ln(1 ? k ) ? ln k ? ,由已知条件,对于 0 ? ? ? 1 , ? 1? k ? k

1? k ? 1? k ? ?( ) ( k ? N * )成立,即 1 ? k ? ? 21?? (1 ? k ) ? . 有 2 2


1 ? ln(1 ? k ? ) ? ln k ? ? ln(1 ? k ) ? ? ln k ? ? ln 21?? . ? 1? k

取 k ? 1,2,3,?, n ,得:

1 ? ln(1 ? 1) ? ? ln 1? ? ln 21?? , ? 1?1 1 ? ln(1 ? 2) ? ? ln 2 ? ? ln 21?? , 1 ? 2? 1 ? ln(1 ? 3) ? ? ln 3? ? ln 21?? 1 ? 3?
…………

1 ? ln(1 ? n) ? ? ln n ? ? ln 21?? . ? 1? n
将以上式子相加得:

?1? k ?
k ?1 n

n

1

? ln(1 ? n) ? ? n ln 21?? ? ln(1 ? n) ? ? ln 2 n(1?? ) ? f [(1 ? n) ? 2 n(1?? ) ]



?1? k ?
k ?1

1

? f [(1 ? n) ? 2 n(1?? ) ] .

…………14 分

(供题:安陆一中 伍海军

李治国)


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