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93数学联赛试题


1993 年全国高中数学联合竞赛试卷

一.选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1. 若 M={(x, |tg?y|+sin2?x ? 0}, y)| N={(x, x2+y2≤2}, M ? N 的元素个数是 y)| 则 ( (A)4 (B)5 (C)8 (D)9 )





2. 已知

f (x)=asinx+b+4(a,b 为实数),且 f (lglog310) ? 5,则 f(lglg3)的值是( ) (A)?5 (B)?3 (C)3 (D)随 a, 取不同值而取不同值 b 3. 集合 A,B 的并集 A ? B={a1,a2,a3},当 A?B 时,(A,B)与(B,A)视为不同的对, 则这样的(A,B)对的个数是( ) (A)8 (B)9 (C)26 (D)27 4. 若直线 x= ? 被曲线 C:(x-arcsina)(x-arccosa)+(y-arcsina)(y+arccosa)=0 所截的

4

弦长为 d,当 a 变化时 d 的最小值是( (A)

? 4

(B)

? 3

(C) ?

) (D)?

2

5. 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,若 c?a 等于 AC 边上的高 h,则

sin C ? A ? cos C ? A 的值是( 2 2 (A)1 (B) 1 2

) (C) 1

3

(D)?1

6. 设 m,n 为非零复数,i 为虚数单位,z?C,则方程| z+ni|+| z-mi|=n 与| z+ni|-|z- mi|=-m 在同一复平面内的图形(F1,F2 为焦点)是( )

y
F2 F1

y o
F2 F1

y x
F2 F1

y

o
F2

x

o

x
F1

O (A)

x (B) (C) (D)

二.填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1. 二次方程(1-i)x2+(?+i)x+(1+i?)=0(i 为虚数单位,??R)有两个虚根的充分必要条 件是?的取值范围为________. 2. 实数 x,y 满足 4x2-5xy+4y2=5,设 S=x2+y2,则 1 ? 1 ? _____ __.

Smax

Smin

3. 若 z?C,arg(z2?4)= 5? ,arg(z2+4)= ? ,则 z 的值是_

6

3

_______.

4. 整数 ? 10 31

? 的末两位数是_______. ?10 ? 3 ? ? ?
93

5. 设 任 意 实 数 x0 > x1 > x2 > x3 > 0 , 要 使 l o g0 1 9 9 3 l o g1 1 9 9 3 l o g2 1 9 9 3≥ ? ? x x x
x1 x2 x3

k ? log x0 1993 恒成立,则 k 的最大值是_____
x3

__.

6. 三位数(100,101,?,999)共 900 个,在卡片上打印这些三位数,每张卡片上打印一 个三位数,有的卡片所印的,倒过来看仍为三位数,如 198 倒过来看是 861;有的卡 片则不然,如 531 倒过来看是 印__ ___张卡片. ,因此,有些卡片可以一卡二用,于是至多可以少打

三. (本题满分 20 分) 三棱锥 S-ABC 中,侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直,M 为三角形 ABC 的重心,D 为 AB 的中点,作与 SC 平行的直线 DP.证明:(1)DP 与 SM 相交;(2)设 DP 与 SM 的交点为

D? ,则 D? 为三棱锥 S-ABC 的外接球球心.
四. (本题满分 20 分) 设 0<a<b,过两定点 A(a,0)和 B(b,0)分别引直线 l 和 m,使与抛物线 y2=x 有四个 不同的交点,当这四点共圆时,求这种直线 l 与 m 的交点 P 的轨迹. 五. (本题满分 20 分) 设正数列 a0, 1, 2, an, a a ?, ?满足 anan ? 2 ? an ?1an ? 2 ? 2an ?1 (n≥2)且 a0=a1=1. 求 {an}的通项公式.

第 二 试 一. (35 分) 设一凸四边形 ABCD,它的内角中仅有?D 是钝角,用一些直线段将该凸四边形分割 成 n 个钝角三角形,但除去 A、B、C、D 外,在该四边形的周界上,不含分割出的钝角三 角形顶点.试证 n 应满足的充分必要条件是 n≥4.

二. (35 分) 设 A 是一个有 n 个元素的集合,A 的 m 个子集 A1,A2,?,Am 两两互不包含.试证: (1)
m

? C1
i ?1
m

| Ai | n

≤1;

(2)

?C
i ?1

| Ai | n

≥m2.其中|Ai|表示 Ai 所含元素的个数,Cn i 表示 n 个不同元素取|Ai|个的组

|A |

合数.

三. (35 分) 水平直线 m 通过圆 O 的中心,直线 l?m,l 与 m 相交于 M,点 M 在圆心的右侧,直 线 l 上不同的三点 A,B,C 在圆外,且位于直线 m 上方,A 点离 M 点最远,C 点离 M 点 最近,AP,BQ,CR 为圆 O 的三条切线,P,Q,R 为切点.试证: (1)l 与圆 O 相切时,AB?CR+BC?AP=AC?BQ; (2)l 与圆 O 相交时,AB?CR+BC?AP<AC?BQ; (3)l 与圆 O 相离时,AB?CR+BC?AP>AC?BQ.


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