当前位置:首页 >> 数学 >>

导数补充教师版


导数专门练习
1 0 ,2 ) 1. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) , 当 x ?[ 2
?s? ? [4 ,?2 )

?1 2 ? 2 ? 2 x ,0 ? x ? 1, 时, f ( x) ? ? 函数 g ( x) ? x3 ? 3x2 ? m . 若 3 ? 1? | x ? 2

| , 1 ? x ? 2. ?? 2


, ?t ? [?4, ?2) ,不等式 f (s) ? g (t ) ? 0 成立,则实数 m 的取值范围是( (A) (??, ?12] (B) ( ??, ?4] (C) (??,8] (D) (??, 【答案】 C
31 ] 2

?1 2 ? 2 ? 2 x ,0 ? x ? 1, 1 【解析】当 x ? [0, 2) 时, f ( x) ? ? ,当 x ? [?4,?2) 时, x ? 4 ? [0,2) ,又 f ( x ? 2) ? f ( x) , 3 2 ? 1? | x ? 2 | , 1 ? x ? 2. ?? 2

? 4) 2 ,?4 ? x ? ?3 1 1 ?2 ? 8( x ? 5 f ( x ? 4) ? f ( x ? 2) ? f ( x) 则 f ( x) ? 4 f ( x ? 4) ? ? ,当 ? 4 ? x ? ?3 时, f ( x) 在 3? x ? 2 2 4 ? ,?3 ? x ? ?2 ? ?2

5 5 5 当 ? 3 ? x ? ?2 时,f ( x) 在 [?3,? ) 为减函数, 在 (? ,?2) 为增函数, 当x? [?4,?3) 为减函数, ? 6 ? f ( x) ? 2 , 2 2 2
时取得极小值为 ? 8 ,对于函数 g ( x) ? x3 ? 3x2 ? m ,有 g ?( x) ? 3 x 2 ? 6 x ? 3 x( x ? 2) ,g ( x) 在 [?4,?2) 上是减函数,

g (?2) ? m ? 4 , g (?4) ? m ? 16 ,可见 m ? 16 ? g ( x) ? m ? 4 ,依题意若 ?s ? [?4, ?2) , ?t ? [?4, ?2) ,不等式
f (s) ? g (t ) ? 0 成立,只需 m ? 16 ? ?8 ? m ? 8

2. f ( x) 是定义在非零实数集上的函数, f ?( x) 为其导函数,且 x ? 0 时, xf ?( x) ? f ( x) ? 0 ,记

a?

f (20.2 ) f (0.22 ) f (log2 5) ,则 ( , b ? ,c ? 0.2 2 log2 5 2 0.2



(A) a ? b ? c (B) b ? a ? c (C) c ? a ? b (D) c ? b ? a 【答案】C 【解析】构造函数 g(x)=

f ( x) xf '( x) ? f ( x) (x>0) ,则 g'(x)= x x2

由已知,x>0 时 g'(x)<0,即 g(x)在(0,+∞)上为减函数 2 0.2 而 0.2 <1<2 <2<log25 0.2 2 故 g(log25)<g(2 )<g(0.2 ) 即 c<a<b 3 2 3.已知函数 f(x)=x +bx +cx+d(b、c、d 为常数),当 x∈(0,1)时取得极大值,当 x∈(1,2)时取极小值,则

1 (b ? ) 2 ? (c ? 3) 2 的取值范围是( 2

).

试卷第 1 页,总 12 页

A. (

37 ,5) 2

B. ( 5,5)

C. (

37 , 25) 4

D.(5,25)

【答案】D 【解析】? f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d ,? f ' ( x) ? 3x 2 ? 2bx ? c ;因为 x∈(0,1)时取得极大值,当 x∈(1,2)时取极小

? f ' ( 0) ? 0 ?c ? 0 ? ' ? ' 2 值,所以 f ( x) ? 3x ? 2bx ? c ? 0 的两根 0 ? x1 ? 1,1 ? x2 ? 2 ,所以 ? f (1) ? 0 ,即 ?2b ? c ? 3 ? 0 ,作出不等 ?4b ? c ? 12 ? 0 ? f ' ( 2) ? 0 ? ?
2 2 式表示的平面区域(如图) ; (b ? ) ? (c ? 3) 表示区域内的点 M 到 A( ?

1 2

1 1 ,3) 的距离的平方,点 A( ? ,3) 到直线 2 2

2b ? c ? 3 ? 0 的距离 d ?

?1 ? 3 ? 3 4 ?1

?2b ? c ? 3 ? 0 ,得 B(?4.5,6), AB ? 5 ,所以 ? 5 ;联立 ? ?4b ? c ? 12 ? 0

1 5 ? (b ? ) 2 ? (c ? 3) 2 ? 25 2

4. 函数 f ( x ) 是 R 上的可导函数, x ? 0 时, f ?( x) ? A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D

f ( x) 1 ? 0 ,则函数 g ( x ) ? f ( x ) ? 的零点个数为( x x



1 ,可得 x≠0,因而 g(x)的零点跟 xg(x)的非零零点是完全一样的,故我 x f ( x) 们考虑 xg(x)=xf(x)+1 的零点.由于当 x≠0 时,f ′ ( x)+ > 0, x f ( x) ) > 0,所以 xg ( x) 在(0,+∞)上是单调 ①当 x> 0 时, ( xg ( x))? ? ( xf ( x) ?1) ? ? xf ?( x) ? f ( x) = x ( f ?( x ) ? x
【解析】由于函数 g(x) = f(x)+ 递增函数. 又∵ lim[ xf ( x) ? 1] ? 1 , ∴当 x∈ (0, +∞) 时, 函数 xg ( x) = xf ( x) ? 1 > 1 恒成立, 因此 xg ( x) = xf ( x) ? 1
x ?0

在(0,+∞)上没有零点. ②当 x<0 时,由于 ( xg ( x))? ? ( xf ( x) ? 1)? ? xf ?( x) ? f ( x) = x ( f ?( x ) ?

f ( x) ) <0, x

故函数 xg ( x) 在(-∞,0)上是递减函数,函数 xg ( x) = xf ( x) ? 1 >1 恒成立, 故函数 xg ( x) 在(-∞,0)上无零点. 综上可得,函 g(x) = f(x)+ 5.已知函数 f ( x ) = a( x ?

1 在 R 上的零点个数为 0. x

1 a ) ? 2 ln x( a ? R ) , g( x ) = ? ,若至少存在一个 x 0 ∈[1,e],使 f ( x0 ) ? g( x0 ) x x
试卷第 2 页,总 12 页

成立,则实数 a 的范围为( ). A.[1,+∞) B.(0,+∞) 【答案】B

C.[0,+∞)

D.(1,+∞)

【解析】令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ax ? 2 ln x ,因为“至少存在一个 x 0 ∈[1,e],使 f ( x0 ) ? g( x0 ) 成立” ,所以 则 h( x) min ? 0 即 a ? ( h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 有解, 恒成立,?u( x) min ? u(1) ? 0 则 a ? 0 . 6.设函数 f ( x) ? x3 ? x , x ? R .若当 0 ? ? ? 范围是( )

2 ln x 2 ln x 2(1 ? ln x) ' ) min ;令 u ( x ) ? ? 0 在 ?1, e? , 则 u ( x) ? x x x2

?
2

时,不等式 f (m sin ? ) ? f (1 ? m) ? 0 恒成立,则实数 m 的取值

A. (??,1] B. [1, ??) C. ( ,1) 【答案】A

1 2

D. ( ,1]

1 2

【解析】f ' ? x ? ? 3 x ? 1 ? 0 ,f ? x ? 单调递增, 又 f ( x) ? x3 ? x 为奇函数, 原不等式可化为
2

f ? m sin x ? ? f ?1 ? x ?



即 m sin x ? 1 ? x ,可变为

m?

1 1 ? ?1 0 ?? ? 1 ? sin x ,又 2 ,得 0 ? sin x ? 1 , 1 ? sin x ,所以 m ? 1 时恒成立.
2

7. 设函数 f ( x ) 在 R 上存在导数 f '( x) , 对任意的 x ?R, 有 f (?x) ? f (x) ?x

, 且 x ?(0, + ? )时, f '( x) ? x . 若

f (2 ?a) ? f (a) ? 2 ? 2 a ,则实数 a 的取值范围为(
(A)[1,+∞)(B)(-∞,1](C)(-∞,2](D)[2,+∞) 【答案】B

)

1 2 x , g ??x ? ? f ??x? ? x ? 0 , g ?x? ? g ?? x? ? f ?x? ? f ?? x? ? x 2 ? 0 ,所以 g ?x ? 既是增 2 1 1 2 1 2 2 函数又是奇函数, g ?2 ? a ? ? f ?2 ? a ? ? ?2 ? a ? ? f ?2 ? a ? ? a ? 2a ? 2, g ?a ? ? f ?a ? ? a ,由已知 2 2 2
【解析】设 g ? x ? ? f ( x) ?

f (2 ? a) ? f (a) ? 2 ? 2a ,得 g ?2 ? a ? ? g ?a ? ? 2 ? a ? a ? 2 ? 2a ? a ? 1 ,故选 B.
x 2 8.若函数 f ? x ? ? a ? x ? x ? ln a ? m ? 2 ? a ? 0且a ? 1? 有两个零点,则 m 的取值范围(



A. ? ?1,3? 【答案】A

B. ? ?3,1?

C. ? 3, ?? ?

D. ? ??, ?1?

x 2 【解析】考查函数 g ? x ? ? a ? x ? x ln a ? m ,则问题转化为曲线 y ? g ? x ? 与直线 y ? 2 有两个公共点,则

g ? ? x ? ? a x ln a ? 2 x ? ln a ? ? a x ? 1? ln a ? 2 x ,则 g? ? 0? ? 0 ,
当 0 ? a ? 1 时, ln a ? 0 ,
x x x 当 x ? 0 时, a ? 1 ? 0 , a ? 1 ln a ? 0 , 2 x ? 0 ,则 a ? 1 ln a ? 2 x ? 0 , x x x 当 x ? 0 , a ? 1 ? 0 , a ? 1 ln a ? 0 , 2 x ? 0 ,则 a ? 1 ln a ? 2 x ? 0 ,

?

?

?

?

?

?

?

?

x 2 此时,函数 g ? x ? ? a ? x ? x ln a ? m 在区间 ? ??,0 ? 上单调递减,在区间 ? 0, ?? ? 上单调递增,同理,当 a ? 1 时,

试卷第 3 页,总 12 页

函数 g ? x ? ? a ? x ? x ln a ? m 在区间 ? ??,0 ? 上单调递减,在区间 ? 0, ?? ? 上单调递增,因此函数
x 2

g ? x ? ? a x ? x2 ? x ln a ? m 在 x ? 0 处取得极小值,亦即最小值,即 g ? x ?min ? g ? 0? ? 1 ? m ,
y

y= g(x)

y=2
1-m

O

x

x 2 由于函数 f ? x ? ? a ? x ? x ? ln a ? m ? 2 ?a ? 0且a ? 1? 有两个零点,

结合图象知 1 ? m ? 2 ,解得 ?1 ? m ? 3 ,故选 A. 9.设 D 是函数 y ? f ( x) 定义域内的一个子区间,若存在 x0 ? D ,使 f ( x0 ) ? ? x0 ,则称 x0 是 f ( x ) 的一个“次不
2 动点” ,也称 f ( x ) 在区间 D 上存在次不动点,若函数 f ( x) ? ax ? 2 x ? 2a ?

3 3 在区间 [ ?3, ? ] 上存在次不动点, 2 2

则实数 a 的取值范围是( A. ( ??, 0) 【答案】B B. [ ?



1 , 0] 4

C. [ ?

3 , 0] 14

D. [ ?

3 1 ,? ] 14 4

3 3 x) ? f( x) x? a x ? x ?2a ?2 ? ? 0 【解析】 由题意, 存在 x ? [ ?3, ? ] , 使 g( 2 2
则由 h ( x) ?
'

3 3 x? , 解得 a ? 2 2 , 设 h( x ) ? 2 2 , x ?2 x ?2 x?

? x 2 ? 3x ? 2 3 ? 0 ,得 x ? ?1 (舍去)或 x ? ?2 ,且 h( x) 在 (?3, ?2) 上递减,在 ( ?2, ? ) 上递增,又 2 2 2 ( x ? 2)

h( ?3) ? ?

1 1 3 1 3 3 h( ?2) ? ? , h( ? ) ? 0 , , 所以 h( x) 在 x ? [ ?3, ? ] 的值域为 [ ? , 0] , 即 a 的取值范围是 [ ? , 0] . 4 4 14 4 2 2

10.已知直线 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) 与函数 y ? sin x 的图象恰有四个公共点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , C( x3 , y3 ) ,

D( x4 , y 4 ) 其中 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,则有(
A. sin x4 ? 1 C. sin x4 ? k cos x4 【答案】B

)

B. sin x4 ? ( x4 ? 1) cos x4 D. sin x4 ? ( x4 ? 1) tan x4

【解析】直线 y ? k ?x ? 1? ?k ? 0? 与函数 y ? sin x 的图象恰有四个公共点,如图:

试卷第 4 页,总 12 页

当 x ? ?? ,2? ? 时, 函数 y ? sin x ? ? sin x, y ? ? ? cos x , 依题意, 切点坐标为 ?x4 , y 4 ? , 又根据导数的几何意义知: 切点处的导数值就是直线 y ? k ?x ? 1??k ? 0? 的斜率 k ,即 k ? ? cos x4 ,又 x ? ?? ,2? ? 时, sin x4 ? ? sin x4 ,

? y4 ? k ?x4 ? 1? ? ? cos x4 ?x4 ? 1? ? ? sin x4 ,? sin x4 ? ?x4 ? 1?cos x4 ,故选 B.
11.设函数 f ( x) 是定义在 (?? , 0) 上的可导函数,其导函数为 f ?( x ) ,且有 2 f ( x) ? xf ?(x) ? x 2 ,则不等式

( x ? 2014)2 f ( x ? 2014) ? 4 f (?2) ? 0 的解集为(



A. ? ??, ?2012? B. ? ?2012, 0? C. ? ??, ?2016? D. ? ?2016, 0? 【答案】C 【解析】由 2 f ( x) ? xf ?( x) ? x 2 , x ? 0 得: 2 xf ( x) ? x2 f ?( x) ? x3 ,即 [ x2 f ( x)]? ? x3 ? 0 ,令 F ( x) ? x2 f ( x) , 则当 x ? 0 时, F ?( x) ? 0 ,即 F ( x ) 在 ( ??, 0) 是减函数, F ( x ? 2014) ? (2014 ? x)2 f ( x ? 2014) ,

F (?2) ? 4 f (?2) , F (2014 ? x) ? F (?2) ? 0 , F ( x) 在 (??, 0) 是减函数,所以由 F (2014 ? x) ? F (?2) 得,

2014 ? x ? ?2 ,即 x ? ?2016 ,故选 C f ( x) 12.设函数 F ( x) ? x 是定义在 R 上的函数,其中 f ( x ) 的导函数为 f '( x) ,满足 f '( x) ? f ( x) 对于 x ? R 恒成 e
立,则( ) B. f (2) ? e2 f (0), f (2012) ? e2012 f (0) D. f (2) ? e2 f (0), f (2012) ? e2012 f (0) A. f (2) ? e2 f (0), f (2012) ? e2012 f (0) C. f (2) ? e2 f (0), f (2012) ? e2012 f (0) 【答案】B 【解析】 由 f '( x) ? f ( x) , 知 F ?( x) ?

f ( x) f ?( x)e x ? f ( x)e x f ?( x) ? f ( x) 故函数 F ( x) ? x 是定义在 R 上 ? ? 0, x 2 x e (e ) e

的减函数,? F (2) ? F (0), 即

f(2) f (0) ? 0 ? f (2) ? e 2 f (0) ,同理 2 e e

f(2012 ) f (0) ? 0 ? f (2012) ? e 2012 f (0) , 2012 e e
13.已知 f ( x), g ( x) 都是定义在 R 上的函数, g ( x) ? 0 , f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ,且 f ( x) ? a x g ( x) (a ? 0 ,且

a ? 1) ,

f (1) f (?1) 5 f (n) } 的前 n 项和大于 62,则 n 的最小值为( ? ? .若数列 { g (n) g (1) g (?1) 2
试卷第 5 页,总 12 页



A.6 【答案】A

B.7

C.8

D.9

【解析】∵ f ( x) ? a x g ( x) ,∴

f ( x) ? a x ,∵ f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) , g ( x)

f ( x) ' f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) x ' ∴( ) ? (a ) ? ? a x ln a ? 0 ,即 a x ln a ? 0 ,∴ a ? 1 , 2 g ( x) g ( x)


f (1) f (?1) 5 f ( x) f ( n) 5 ? ? ,∴ a ? a ?1 ? ,∴ a ? 2 ,∴ ? 2 x ,∴ ? 2n , 2 g (1) g (?1) 2 g ( x) g ( n) f ( n) 2(1 ? 2n ) } 为等比数列,∴ Sn ? ? 2n ?1 ? 2 ? 62 ,∴ n ? 1 ? 6 ,即 n ? 5 ,所以 n 的最小值为 6,故选 g ( n) 1? 2

∴数列 { A.

14.若对定义在 R 上的可导函数 f ( x ) ,恒有 (4 ? x ) f (2 x ) ? 2 xf ?(2 x ) ? 0 , (其中 ,则 f ( x ) ( f ?( x ) 在 2 x 的值) )

f ?(2 x ) 表示函数

f ( x) 的导函数

A.恒大于等于 0B.恒小于 0 C.恒大于 0D.和 0 的大小关系不确定 【答案】C 【解析】函数 g ( x) ?

x 4 f (2 x) [ x 4 f (2 x)]?e x ? x 4 f (2 x)? [e x ]? 4 x3 f (2 x) ? 2 x 4 f ?(2 x) ? x 4 f (2 x) ? ,则 = = g ( x ) ? ex ex [e x ]2
?
恒成立, ∴当 x ? 0

(4 x3 ? x 4 ) f (2 x) ? 2 x 4 f ?(2 x) x3[(4 ? x) f (2 x) ? 2 xf ?(2 x)] = , ∵4 ( ?)x2 (f ) x 2 ? 2 (x f) 0 x? ex ex

时, g ?( x) ? 0 ,此时函数 g ( x) 单调递增;当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,此时函数 g ( x) 单调递减,∴当 x ? 0 时, g ( x) 取得极小值,同时也是最小值 g (0) ? 0 ,∴ g ( x) ?

x 4 f (2 x) x 4 f (2 x) ? g (0) g ( x ) ? ? 0 .当 x ? 0 时, ,即 ex ex

g ( x) ? 0 ,∴当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 .∵ (4 ? x) f (2 x) ? 2 xf ?(2 x) ? 0 恒成立,∴当 x ? 0 时, 4 f (0) ? 0 ? 0 恒成
立,∴ f (0) ? 0 .综上无论 x 取何值,恒有 f ( x) ? 0 ,故选 C. 15.若函数 y1 ? sin(2 x1 ) ?

1 ( x1 ? [0, ? ]), 函数 y2 ? x2 ? 3 ,则 ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 的最小值为( 2
B.

)

A.

2 5 2? 6 ?? 12 4 5 2? 6 2 ) 4

2 ? 12 (? ? 3 3 ? 15) 2 72

C. (

D.

【答案】D 【解析】由题意 ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 的最小值,可知直线与曲线上的两点的距离的平方,函数
试卷第 6 页,总 12 页

y1 ? sin(2 x1 ) ?

? 1 ( x1 ?[0, ? ]) , y1? ? 2 cos(2 x1 ) ( x1 ?[0, ? ]) ,则由题意知 2cos(2 x1 ) ? 1 ,解得 x1 ? ,此时 6 2
|

y1 ?

3 ?1 ? 3 ?1 . 点( , ) 到直线 y2 ? x2 ? 3 的距离的平方为:( 6 2 6 2

?

?

3 ?1 ?3| (? ? 3 3 ? 15) 2 2 )2 = , 故选 D. 72 2


16.设函数 f ( x) ? e x (sin x ? cos x) (0 ? x ? 2012? ) ,则函数 f ( x) 的各极小值之和为 ( A、 ?

e 2? (1 ? e 2012? ) 1 ? e 2?

B、 ?

e 2? (1 ? e1006? ) e 2? (1 ? e1006? ) C 、 ? 1 ? e? 1 ? e 2?

D、 ?

e 2? (1 ? e 2010? ) 1 ? e 2?

【答案】D 【解析】 f '( x) ? (ex )'(sin x ? cos x) ? ex (sin x ? cos x)' ? 2e x sin x ,令 f '( x) ? 0 ,则 x ? (? ? 2k? , 2? ? 2k? ) , 令 f '( x) ? 0 ,则 x ? (2? ? 2k? ,3? ? 2k? ) ,所以当 x ? 2? ? 2k? 时, f ( x) 取极小值,其极小值为

f (2? ? 2k? ) ? e2k? ?2? [sin(2? ? 2k? ) ? cos(2? ? 2k? )] ? e2k? ?2? ? (0 ?1) ? ?e2k? ?2?
所以函数 f ( x) 的各极小值之和 S ? ?e
2?

? e ?? ? e

4?

2010?

e2? (1 ? e2010? ) ?? 1 ? e 2?

17.定义在 R 上的可导函数 f ( x ) ,当 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? f '( x) ? xf '( x) 恒成立,

a ? f (2) , b ?
【答案】A

1 f (3) , c ? ( 2 ? 1) f ( 2) ,则 a, b, c 的大小关系为 2 A. c ? a ? b B. b ? c ? a C. a ? c ? b D. c ? b ? a





【 解 析 】 由 当 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? f '( x) ? xf '( x) 恒成立知,当当 x ? (1, ??) 时, ( x ? 1) f ?( x) ? f ( x) ? 0,? g ?( x) ? (

f ( x) )? ? 0 ,所以 g ( x) 在 x ? (1, ??) 上是增函数.因为 x ?1

2 ? 2 ? 3,? g( 2) ? g(2) ? g(3), ? c ? ( 2 ?1) f ( 2) ?

f ( 2) f (2) f (3) ?a? ?b? 2 ?1 3 ?1 2 ?1

2 18.已知函数 f ( x ) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x ? 8x ? 8 ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是

() A. y ? 2 x ? 1 【答案】A 19.设点 P 在曲线上 y ? ln x 上,点 Q 在曲线 y ? 1 ? 值为( A. ) C. B. y ? x C. y ? 3 x ? 2 D. y ? ?2 x ? 3

1 ( x >0)上,点 R 在直线 y ? x 上,则 | PR | ? | RQ | 的最小 x

2 (e ? 1) B. 2(e ?1) 2

2 D. 2 2

【答案】D
试卷第 7 页,总 12 页

【解析】由 y ? ln x 知, y ? ? 为(1,0)到 y ? x 距离

1 1 ,由 y ? ? =1 得, x =1,故 y ? ln x 与 y ? x 平行的切线切点为(1,0) ,∴ | PR |min x x
=

|1 ? 0 | 12 ? 12

2 ; 2

由 y ? 1 ? ( x >0) 知,y ? ? 为(1,0)到 y ? x 距离

1 x

1 1 1 , 由 y ? ? 2 =1 得,x =1, 故 y ? 1 ? 与 y ? x 平行的切线切点为 (1,0) , ∴ | QR |min 2 x x x
2

|1 ? 0 | 1 ?1
2

=

2 ; 2 2 , 2

∵两曲线的切点相同,故 | PR |min 与 | QR |min 可同时取到且都为 ∴ | PR | ? | RQ | 的最小值为 2 .

20.定义:如果函数 f ( x) 在 ?a, b? 上存在 x1 , x2 (a ? x1 ? x2 ? b), 满足

f ?( x1 ) ? f ( x) ?

f (b) ? f (a) f (b) ? f (a) , f ?( x 2 ) ? ,则称函数 f ( x) 是 ?a, b? 上的“双中值函数” 。已知函数 b?a b?a

1 3 x ? x 2 ? a 是 [0, a ] 上“双中值函数” ,则实数 a 的取值范围是( ) 3 3 3 3 3 A. (1,3) B. ( ,3) C. (1, ) D. (1, ) ? ( ,3) 2 2 2 2
【答案】B 【解析】

f ? a ? ? f ? 0? 1 2 1 ? a ? a ,根据题意: f ? ? x ? ? x 2 ? 2 x ? a 2 ? a 在 [0, a ] 上有两个不同的实根,令 3 a?0 3

1 ? ? a2 ? a ? 0 ? 3 ? g ?0? ? 0 ? 1 1 ? ? g ? x ? ? x 2 ? 2 x ? a 2 ? a 在 [0, a ] 上有两个不同的实根,需满足: ? g ?1? ? 0 即: ? 1 ? 2 ? a 2 ? a ? 0 解得: 3 3 ? ? g ? 2? ? 0 ? 1 2 ? 2 ? a ? 2a ? 3 a ? a ? 0 ?
3 ? a ? 3 ,所以答案为 B. 2
21.已知函数 f ? x ? ? x ? 2x ?1 ? a ln x 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,则(
2



1 ? 2 ln 2 1 ? 2 ln 2 B. f ? x2 ? ? 4 4 1 ? 2 ln 2 1 ? 2 ln 2 C. f ? x2 ? ? D. f ? x2 ? ? 4 4
A. f ? x2 ? ? ? 【答案】D 【解析】 函数 f (x) 的定义域为 (0, ??) , f ' ? x ? ? 2 x ? 2 ?

a 2 x2 ? 2 x ? a ? , 因为函数 f (x) 有两个极值点 x1 ,x2 , x x

2 所以 x1 , x2 是方程 2 x ? 2 x ? a ? 0 的两根,又 x1 ? x2 ,且 x1 ? x2 ? 1 ,所以

试卷第 8 页,总 12 页

1 ? x2 ? 1, a ? 2x2 ? 2x22 ,? f ( x2 ) ? ( x2 ?1)2 ? (2x2 ? 2x22 )ln x2 . 2 1 2 2 令 g (t ) ? (t ? 1) ? (2t ? 2t ) lnt( ? t ? 1) ,则 g '(t ) ? 2(t ? 1) ? (2 ? 4t ) lnt ? (2 ? 2 t) ? 2(1 ? 2 t) lnt ? 0, 所以 g (t) 2 1 1 1 ? 2 ln 2 1 ? 2 ln 2 , 所以 f ? x2 ? ? 在区间 ( ,1) 是增函数, g (t) ? g( ) ? ,故选 D. . 2 2 4 4
22.已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? a ,若 f ( x ? 1) 是奇函数,则曲线 y ? f ( x) 在点 (0, a ) 处的切线方程是( A. x ? 0 【答案】C 【解析】根据函数 f ( x ? 1) 是奇函数,所以 f ( x ) 的图像的对称中心是 (1, 0) ,故有 f (1) = 0 ,所以 a = 2 ,即 B. x ? 2 C. y ? 2 D. y ? 4 )

f ( x) = x3 - 3x2 + 2 ,所以有 f (0) = 2 , f , ( x) = 3x2 - 6x, f , (0) = 0 ,故所求的切线为过 (0, 2) 点且斜率是 0 的直
线,所以方程为 y ? 2 ,故选 C.
2 2 23.已知函数 f ( x) ? x3 ? bx 2 ? cx 的图象如图所示,则 x1 等于( ) ? x2

y
x1 1

O
A.

x2

2
4 3

x
C.

2 3

B.

8 3

D.

16 3

【答案】C

8 ? 4b ? 2c ? 0 , x1 , x2 是函数 f 【解析】 由图象可知 f (x) 的图象过点 (1, 0) 与 (2, 0) , (x) 的极值点, 因此 1 ? b ? c ? 0 ,
c ? 2, 解得 b ? ?3 , 所以 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 2 x , 所以 f ?( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 2 ,x1 , x2 是方程 f ?( x) ? 3x 2 ? 6x ? 2 ? 0
的两根,因此 x1 ? x2 ? 2 , x1 ? x2 ?

2 4 8 2 2 2 ,所以 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 ? x2 ? 4 ? ? ,答案选 C. 3 3 3

1) 和 y ? x ? ex 的交点分别为 A, B ,则线段 AB 的最小值为________. 24.已知直线 y ? a 与曲线 y ? 2( x-
【答案】

3 2

【解析】当 y ? a 时, 2( x ? 1) ? a ,所以 x ?

a ? 1 ;设方程 x ? e x ? a 的根为 t ,所以 t ? et ? a ,则 2

AB ?

t ? et et ? 1 t ? et a ? 1 ? t , g ' (t ) ? ,令 g ' (t ) ? 0 ,得 t ? 0 ,当 ?1? t ? ? 1 ? t ,设 g (t ) ? 2 2 2 2

t ? (??,0), g ' (t ) ? 0 ; t ? (0, ??), g ' (t ) ? 0 ,所以 g (t ) min ? g (0) ?
25.设点 P(x, y)为函数 y=x -2(x> 3 )图像上一动点,记 m=
2

3 3 ,所以 AB ? . 2 2

3x ? y ? 4 x ? 3 y ? 4 ? , 则当 m 取最小值时,点 P x ?1 y ?1

试卷第 9 页,总 12 页

的坐标为. 【答案】 ? 2, 2? . 【解析】 m ? 当且仅当
3x ? y ? 4 x ? 3 y ? 4 x ?1 x ?1 =3+ y ? 1 +3+ =6+ y ? 1 + ? 8, ? x ?1 y ?1 x ?1 x ?1 y ?1 y ?1

x ?1 y ?1 = ,即 y-= 1 x- 1( x> 3, y> 1) , x ?1 y ?1
∴点 P ? 2, 2 ? .

?y ? x ?x ? 2 ∴? , 得? 2 ?y ? 2 ?y ? x ? 2

26.设 x, y ? R ,定义 x ? y ? x(a ? y ) ( a ? R ,且 a 为常数) ,若 f ( x) ? e x , g ( x) ? e? x ? 2 x 2 ,

F ( x) ? f ( x) ? g ( x) .
① g ( x) 不存在极值; ②若 f ( x ) 的反函数为 h( x) ,且函数 y ? kx 与函数 y ? h( x) 有两个交点,则 k ? ③若 F ( x) 在 R 上是减函数,则实数 a 的取值范围是 (??, ?2] ; ④若 a ? ?3 ,在 F ( x) 的曲线上存在两点,使得过这两点的切线互相垂直. 其中真命题的序号有__________(把所有真命题序号写上) . 【答案】②③ 【解析】因为 g ' ( x) ? ?e? x ? 4 x ,令 m( x) ? 4 x ? e? x ,则 m' ( x) ? 4 ? e? x ? 0 ,故 m( x) 单调递增,且 m(0) ? 0 , 故存在 x0 ? (0,1) , 使得 x ? (??, x0 ) 时,g ' ( x) ? 0 ;x ? ( x0 , ??) 时,g ' ( x) ? 0 , 所以 x ? x0 是函数 g ( x) m(1) ? 0 , 的极小值点, 故①错误; 由已知得 h( x) ? ln x , 直线 y ? kx 与 h( x) ? ln x 相切时, 直线 y ? kx 与函数 y ? h( x) 有 两个交点,设切点为 ( x0 , y0 ) ,因为 h ( x) ?
'

1 ; e

1 1 1 ln x0 ,所以 k ? , x0 ? e ,所以 k ? ,故②正确;由题意得, ? e x x0 x0

F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ae x ? 1 ? 2 x 2e x ,因为 F' ( x) ? ?ex (2x2 ? 4x ? a) ,由题意可知, F' ( x) ? 0 在 R 上恒成立,
x 2 x 故 ? ? 16 ? 8(?a) ? 0 ,解得 a ? ?2 ,故③正确;当 a ? ?3 时, F ( x) ? ?3e ? 1 ? 2 x e ,设 P( x1 , y1 ) ,Q( x2 , y2 )

是 F ( x) 曲线上的任意两点,因为

F ' ( x) ? ?ex (2x2 ? 4x ? 3) ? ? ex [2( x ? 1)2 ? 1] ? 0 ,所以 F ' ( x1 ) ? F ' ( x2 ) ? 0 ,所以 F ' ( x1 ) ? F ' ( x2 ) ? ?1 不成立,
故 F ( x) 的曲线上不存在两点,使得过这两点的切线互相垂直,故④错误,综上,正确的命题有②③. 27.已知 f ( x) ? ① f ( x0 ) ? x0 【答案】②⑤
试卷第 10 页,总 12 页

ln x ? ln x, f ( x) 在 x ? x0 处取最大值。以下各式正确的序号为. 1? x 1 1 ② f ( x0 ) ? x0 ③ f ( x0 ) ? x0 ④ f ( x0 ) ? ⑤ f ( x0 ) ? 9 9

【解析】 f ' ? x ? ? ?

x ? 1 ? ln x (1 ? x)
2

,令 g ? x ? ? x ?1 ? ln x, 则函数有唯一零点,即 x0 ,代入可得 ? x0 ? 1 ? ln x0 ,所以

f ? x0 ? = ? ? x0 ? 1? ?

1 ? 1 ? x0 1 1 ln x0 1 ln x0 ?1 ? 9 x0 ? ? ln x0 ? ? , x ? 时, ? x0 ,即②正确,又 f ? x0 ? ? ? 9 9 1 ? x0 9 9 ?1 ? x0 ? 1 ? x0

1 1 ? 1 ? ln ?1? 9 ? 0 ? f ' ? x ? ,故 f ? x ? ? 1 ? 0, 故选⑤ f '? ? ? ? 9 0 0 1 2 9 ?9? (1 ? ) 9
28.曲线 f(x)=

f ? ?1? x 1 2 e -f(0)x+ x 在点(1,f(1))处的切线方程为________. 2 e
1 2

【答案】y=ex-

【解析】f′(x)=

f ? ?1? x f ? ?1? 1 f ? ?1? x e -f(0)+x? f′(1)= e -f(0)+1? f(0)=1.在函数 f(x)= e -f(0)x+ e e e

1 2 1 x 中,令 x=0,则得 f′(1)=e.所以 f(1)=e- ,所以 2 2 1 1 f(x)在(1,f(1))处的切线方程为 y=e(x-1)+f(1)=ex- ,即 y=ex- . 2 2
29.定义在 R 上的函数

f ( x) 满足: f (1) ? 1,且对于任意的 x ? R ,都有 f '( x) ?

1 ,则不等式 2

f (log 2 x) ?

log 2 x ? 1 的解集为__________________. 2

【答案】 (0, 2) 【解析】 设 g ( x) ? f ( x) ?

1 1 1 x, ∵ f '( x) ? , ∴ g ?( x) ? f ?( x) ? ? 0 , ∴ g ( x) 为 R 上 的 减 函 数 , 又 f (1) ? 1 , 2 2 2

所 以 g (1) ? f (1) ?

log2 x ? 1 1 1 1 1 ? , 所 以 f (log 2 x) ? ? log 2 x ? 可 转 化 为 2 2 2 2 2

1 1 g (log 2 x) ? f (log 2 x) ? log 2 x ? ? g (1) , ∴ log2 x ? 1 ? log 2 2 , 又 y ? log2 x 是 底 数 为 2 的 增 函 数 , 2 2
∴ 0 ? x ? 2 , 所 以 不等式

f (log 2 x) ?

log 2 x ? 1 的解集为 (0, 2) . 2

3 30.若不等式 mx ? ln x ? 1 对 ?x ? ? 0,1? 恒成立,则实数 m 的取值范围是.

【答案】 [

e2 , ??) 3

3 3 3 3 1 或 mx3 ? ln x ? 1 .又 x ? ? 0,1? ,所 【解析】由 mx ? ln x ? 1 得 mx ? ln x ? 1 或 mx ? ln x ? ?1 ,即 mx ? ln x ?

试卷第 11 页,总 12 页

? ln x ? 1 ? 3 以 m ? ln x3? 1 或 m ? ln x3?1 .因为不等式 mx ? ln x ? 1 对 ?x ? ? 0,1? 恒成立,所以 m ? ? ? 3

x

x

?

x

?max



1 ? x3 ? (ln x ? 1) ? 3x 2 ? ? ln x ? 1 ln x ? 1 m?? ,则 f ?( x) ? x ? .(1)令 f ( x) ? x6 ? x3 ?min x3
2 2 ?2 x 2 (1 ? 3 ln x) ? ? ?2 2 3 3 3 ? ? x ? e ? 1 ? 0 ? x ? e e ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 .所以 . 令 得 ,当 时, ;当 f ( x ) ? 0 f ( x ) ? 0 x6

f ( x) 在 (0, e ) 上是增函数,在 (e ,1] 是减函数.所以 f ( x) max ? f (e ) ?

?

2 3

?

2 3

?

2 3

ln e

?

2 3 2

?1

(e 3 ) 3

?

2 ? ?1 e2 ? 3?2 ? ,所以 e 3

1 ? x3 ? (ln x ? 1) ? 3 x 2 2 2 e2 ln x ? 1 ? 4 x ? 36x ln x ,因为 x ? ? 0,1? ,所以 ln x ? 0 , m ? .(2)令 g ( x) ? ,则 g?( x) ? x 6 3 x x 3 x
所以易知 g?( x) ? 0 ,所以 g( x) 在 ? 0,1? 上是增函数.易知当 x ? 0 时, g( x) ? ?? ,故 g( x) 在 ? 0,1? 上无最小值,

e2 e2 ln x ? 1 所以 m ? 在 ? 0,1? 上不能恒成立.综上所述, m ? ,即实数 m 的取值范围是 [ , ??) . 3 3 x3
31.设点 P 是曲线 y=2x 上的一个动点,曲线 y=2x 在点 P 处的切线为 l,过点 P 且与直线 l 垂直的直线与曲线 y 2 =2x 的另一交点为 Q,则 PQ 的最小值为_____________ 【答案】
2 2

3 3 4
2

【解析】设 P 的坐标为(a, 2 a ),由 y‘=4x 得 l 的斜率为 4a,所以,直线 PQ 的斜率为= ?

1 ,所以,PQ 的方程为: 4a

y- 2 a = ?
2

1 (x-a), 4a
2

与 y=2x2 联立,整理得, 2 x ?

1 1 1 1 x ? 2a 2 ? ? 0 ,所以,由韦达定理, x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ?a 2 ? , 4a 4 8a 8

由弦长公式得, PQ= 1 ? (?

1 2 1 1 1 1 9 ) (? )2 ? 4(?a 2 ? ) ? ? 2 ? 4a 2 ? ,利用导数研究此函数的最值, 4 4a 8a 8 1024a 8a 4

知,PQ 的最小值为

3 3 。 4

试卷第 12 页,总 12 页


相关文章:
导数补充教师版
导数补充教师版_数学_高中教育_教育专区。导数 1.设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数 f ?( x ) ,且函数 f ( x ) 在 x ? ?2 处取得极小值...
导数教师版
导数教师版_数学_高中教育_教育专区。导数考点一:求导公式。 例 1. f ?( x ) 是 f ( x ) ? 1 3 x ? 2 x ? 1 的导函数,则 f ?(?1) 的值...
导数(教师版)
导数(教师版)_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 导数(教师版)_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 157份文档 ...
导数运算教师版
导数运算教师版_数学_高中教育_教育专区。导数运算练习一、 选择 1.函数 y=x3cosx 的导数是( ) A.3x2cosx+x3sinx B.3x2cosx-x3sinx C.3x2cosx D.-x3si...
导数的概念及运算——教师版
导数的概念及运算——教师版_数学_高中教育_教育专区。关联性教育首倡者 新教育...销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x (单位:元, ...
导数的综合应用教师版(经典)
导数的综合应用教师版(经典) 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 导数的综合应用...单调增加; 当 a ? ?1 时, f '( x) <0,故 f ( x) 在 (0, ??...
2015模拟导数教师版
2015模拟导数教师版_数学_高中教育_教育专区。1. (2015 昌平二模文)20.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? a( x ? 2)2 ? 2ln x . ( I ) ...
导数一教师版 文档
导数教师版 文档 导数的应用导数的应用隐藏>> 导数 一:基础知识 1.导数的意义: 导数是函数 y ? f (x) 在点 x 0 处的瞬时变化率, 它反映了函数 y ?...
分类汇编(导数)教师版
分类汇编(导数)教师版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016年北京各区试题分类汇编 2016 年各区一模解答题分类汇编——导数 1. (朝阳) (本小题满分 13 分...
更多相关标签:
乡村教师补充机制 | 教师补充机制 | 天津教师补充公积金 | 乡村教师补充 | 创新教师队伍补充 | 薄弱学课教师补充机制 | 建立教师补充工程 | 教师补充方案 |